2023年经济数学基础期末复习.pdf

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1、经济数学基础期末复习第1章 函 数复习知识点：函数的概念、函数的奇偶性、复合函数、分段函数、基本初等函数和初等函数、经济分析中的几个常见函数、建立函数关系式复习规定：(1)理解函数概念，掌握求函数定义域的方法，会求初等函数的定义域和函数值；(2)了解复合函数概念，会对复合函数进行分解；(3)了解分段函数概念，掌握求分段函数定义域和函数值的方法；(4)知道初等函数的概念，理解常数函数、幕函数、指数函数、对数函数和三角函数(正弦、余弦、正切和余切)的解析表达式、定义域、重要性质及图形：(5)了解需求、供应、成本、平均成本、收入和利润函数的概念；下面我们来看例题.例 1 设/(x)=x +l ,则/

2、(/*)+1)=().A.x B.x+1 C.x+2 D.x+3解 由于x)=x +l,得/(/(x)+1)=(/(x)+1)+1 =/(X)+2将 f(x)=x +1 代入，得 f(f(x)+l)=(x+l)+2 =x +3对的答案:D例2 下列函数中，()不是基本初等函数.A.y=()v B.y =I n x2 C.y=D.y=e c osx解 由于y =l n/是由y =i nM,a =/复合组成的，所以它不是基本初等函数对的答案:B例3设函数/(x)=0TT ITA./(-)=/(-)B./(0)=/(2万)4 4CJ(0)=/(-2T)D.咛=乎解 由于 一2%0时，x si n，仍

3、然是无穷小量.所 以li m x si n =0.x x对的答案：0例6 若li m f(x)=A，则/(处在点工。处()X T*。A.有定义 B.没有定义。C.极限存在 D.有定义，且极限存在解函数在一点处有极限与函数在该点处有无定义无关.对的答案：Cx+1 x 0例7当k 时，/(x)=在x =0处仅仅是左连续.x1+k x0+即当=1时，/(x)在x =0不仅是左连续，并且是连续的.所以，只有当上w 1 时，/(X)在X =0仅仅是左连续的.对的答案：w l“I 八 什”、冗 n l.f(x +A r)-f(x),例 8 右/(x)=c os ,则-=().4 A x收 八,7 1 .7

4、CA.O B.C.-s i n o D.s i n 2 4 4TT解 由于/(x)=c os 是常数函数，常数函数是可导的，并且它的导数是0.4所以由导数定义可得1 i m 史 =/(0)=0A r 0 A r对的答案:ATT注意：这里的_/(X)=CO Sz 不是余弦函数.例 9 曲线y =d-无在点(1,0 )处的切线是().A.y=2 x-2。B.y=-2x4-2C.y=2x+2 D.y=-2x-2解由导数的定义和它的几何意义可知，y(l)=(-x)1 =(3-1)|=2X=X=1是曲线y =/x 在点(i,o)处的切线斜率，故切线方程是y 0 =2(x l),即 y =2 x 2对的答

5、案:A例 1 0 已知 y =,则 y =().A.x3 B.3x2 C.6x D.6解直接运用导数的公式计算：y=(l x4y =x3,0v9 +s i n3 x-3xx 5x +4-XT4-x-1 2 l i m(XT13 x 1x2-1 x-i)(1)解 对分子进行有理化，即分子、分母同乘J9 +s i n3 x +3，然后运用第一重要极限和四则运算法则进行计算.即l i m1 0j 9 +s i n3 x -3x=11m(j9+sin 3 R +sin 3 x+3)a。x(j 9 +s i n3 x +3)=l i ms i n 3 尤xx l i m .1 =3 x 1 =1s。j

6、9 +s i n3 x +3 6 2(2)解 将分子、分母中的二次多项式分解因式，然后消去零因子，再用四则运算法则和连续函数定义进行计算.即l i m 3 +4=园 (x-4)(1)x f 4 x-x-1 2 x4(x-4)(x +3)=丽3=乂=33 (x +3)4+3 7(3 )解 先通分,然后消去零因子，再四则运算法则和连续函数定义进行计算.即.3 x 1 (3 x)(x +1)l i m (-)=l i m-x-i 1-i x-1 (x-l)(x +l)r-2 1=l i m-=-1X f 1 X +1例 12求下列导数或微分：(1)设 y =(4 +l)(3 l),求 dy.(2)设

7、丫=J x +e*s i nx ,求 dy.(3)设丁=05 6+1 1 1 1-，求 y .2x 一 1(1)角 吊 由于 y (V+1)(1)=y/x H广yJX yJX且 yf=(-Vx +-J=)r=-=-=-7=(1 +-)Nx 2 j x 2 Vx3 2jx Xdy=-(1 +)dx2 j尢 x注意：求导数时，要先观测函数，看看能否将函数化简，若能，应将函数化简后再求导数，简化计算过程.导数运算的重点是复合函数求导数，难点是复合函数求导数和隐函数求导数.解由于.一号e“s i n打+e*+e：c os%2 j x +e s i nx 2ylx+ex s i nx.7 l +ex(c

8、 os x +s i nx),所以 dy=ydx=-1-dx2 j x +e，s i nx)(3)解 yr=(c os V-l n(2 x-l)r=-s i nVx-(Vx)r-=-=s i n Vx +-2.x 1 2 J x 2 x 1复合函数求导数要注意下面两步：分清函数的复合环节，明确所有的中间变量；依照法则依次对中间变量宜至自变量求导，再把相应的导数乘起来.第3章 导 数 的 应 用复习知识点：函数的单调性、函数的极值和最大(小)值、导数在经济问题中的应用复习规定：掌握函数单调性的判别方法，会求函数的单调区间；了解函数极值的概念，知道函数极值存在的必要条件，掌握极值点的判别方法，知道

9、函数的极值点与驻点的区别与联系，会求函数的极值；了解边际概念和需求弹性概念，掌握求边际函数的方法；纯熟掌握求经济分析中的应用问题(如平均成本最低、收入最大和利润最大等).下面通过例题复习本章重点内容例 1 3 函数/(x)=x I n x的单调增长区间是.解 由 于 fx)=(x -I n x)f=1 -x令.(x)=l 得 1X故函数的单调增长区间是(1,+8).对的答案：(1,+8)例 1 4 满足方程/)=0的点是函数y =f(x)的().A.极大值点 B.极小值点 C.驻点 D,间断点解 由驻点定义可知，对的答案：C例 1 5 下列结论中()不对的.A ./(x)在龙=与 处连续，则一

10、定在X0处可微.B.f(x)在 x =x()处不连续，则一定在和 处不可导.C.可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D.若/(幻 在 小 6 内恒有/(x)0,则 在 a,6 内函数是单调下降的.解由于函数在一点处连续并不能保证在该点处可导，所以，对的答案:A求经济分析中的最值问题是本课程的重点之一，要掌握运用函数的导数求经济问题中的平均成本最低、总收入最大、总利润最大等问题的方法.下面举一个求获得最大利润时的产量的应用问题，而其它两种类型的应用问题请大家自己练习.例 1 6 生产某种产品q 台时的边际成本C (q)=2.5 q+1 0 0 0 (元/台)，固定成本50 0元，若已知边际收入为

11、R(q)=2 q+2 0 0 0,试求(1)获得最大利润时的产量；(2)从最大利润的产量的基础再生产1 0 0台,利润有何变化？解(1)L=R-C=2g+2000(2.5q+1000)=0.5+1000令=0,求得唯一驻点q=2000.由于驻点唯一，且利润存在着最大值，所以当产量为2023时，可使利润达成最大.(2)在利润最大的基础上再增长1 00台,利润的改变量为2100=(-与2 +1000公2000(2100=-2500 AL=1皿(0.5g+1000)dq。即利润将减少2500元.第4章 一元函数积分学复习知识点：原函数、不定积分和定积分概念、积分的性质、积分基本公式、第一换元积分法、

12、分部积分法、无穷限积分复习规定：理解原函数与不定积分概念，了解定积分概念,知道不定积分与导数(微分)之间的关系；纯熟掌握积分基本公式和直接积分法；掌握第一换元积分法(凑微分法)、分部积分法；(4)知道无穷限积分的收敛概念，会求简朴的无穷限积分.下面通过例题复习本章重点内容例 17 假如 J/(x)dx=sin2x+c,则/(x)=.解根据不定积分的性质可知/(x)=(j/(x W =(Sin2x+cy=2cos2x且 f(x)=(2cos2x)=-4sin2x对的答案：4sin2x例1 8 设/(x)的一个原函数是e-2，,则/(x)=(。).A.e2 B.-2e2x C.-4 e 2 x D

13、.4e-2x。解 由于/(x)的一个原函数是e-21故/(x)=(e-2 x)=-2e2x所以对的答案：B例1 9 广义积分(，e2 vdx=_J 00解 由于 f e2 xdA-=l i m-e2x=l i m -(l-e2a)=-JF a-2 2 2所以对的答案：-2r x3例2 0 计算不定积分J解用第一换元积分法求之.-d x =J 4+x2?4+x 2x：,2dx2T(i-44 +x2)d x2=y-21 n(4 +x2)+c例2 1南,卜 算 定积分J。x c o s%x d x解用分部积分法求之.x c o s乃_ x d x=-x s i n%x -f s i n x d xJ

14、o 7t 0 1 2=COS-X=-乃 一 0 万 一例22.计算定积分 J：s i n杷解 由于，当0%O Ms i n X =s i n x;当%v x v 27r 时,s i n x v 0,即卜 i n =s i n x;向根=s i r u u i r+(-s i n x)d r=-c o s ：+c o s x|：=1 +1 +1 +1=4第 5 章 积 分 应 用复习知识点：积分的几何应用、积分在经济分析中的应用、常微分方程复习规定：(1)纯熟掌握用不定积分和定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量的方法；(2)了解微分方程的几个概念，掌握简朴的可分离变量的微分方程的解法，

15、会求一阶线性微分方程的解.用不定积分或定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量，一般出现在应用题中，并且经常与导数应用中求最值问题相联系，所以一定要综合应用所学的知识求解应用问题.有关的例题，我们在第3章中已经讲过，这里就不在举例了.微分方程中的基本概念是指微分方程、阶、解(也就是通解、特解)，线性微分方程等,这些概念大家要比较清楚的.比如例 23 。)3 +e-2,=0 是 阶微分方程.解 由于微分方程(y)3+e-2x y =0 中所含未知函数的导数的最高阶数是2 次，所以它是2 阶微分方程.对的答案：2例 24 微分方程y =y的通解是y=().A.0.5x2+c B.c e*C.

16、cex D.y=e +c解用可分离变量法很容易求解，因此，对的答案:B例 25 求微分方程y =满足初始条件y(0)=0 的特解.解 将微分方程y =e 2，-变量分离，得 e、d y =e 2 k,等式两边积分得ev=-e2v+c2将初始条件y(0)=0代入，得c =l/2.所以满足初始条件的特解为：e =0.5(e2x+1)第6章 数 据 解 决考核知识点：总体与样本、重要特性数复习规定：了解总体、样本、均值、加权平均数、方差、标准差、众数和中位数等概念，掌握它们的计算方法；例26 设 一 组 数 据%=0,超=1 0，与=2 0,其权数分别为1=0.1,，2=0-6,“3=S3,则这组数

17、据的加权平均数是().A.1 2 B.1 0 C.6 D.4解 由 于 加 权 平 均 数 是3p.x.=0.1 x 0+0.6x 1 0+0.3 x 20=1 2i=i所以，对的答案：A第七章随机事件与概率复习知识点：随机事件与概率、事件的关系与运算、概率的加法公式与乘法公式、事件的独立性复习规定：知道随机事件的概念，了解事件互不相容和对立事件等概念，；了解概率的概念及性质，会计算简朴古典概型问题；了解条件概率概念，掌握概率的加法公式和乘法公式；(4)理解事件独立概念，掌握有关计算.下面举几个例题来说明这一章的重点.例2 7.对任意二事件A,B,等式()成立.A.P(AB)=P(A)P(B)

18、B.P(A+3)=P(A)+P(B)C.P(A|B)=P(A)(P(B)HO)D.P(AB)=P(A)P(BA)(P(A)HO)解 由 概 率 乘 法 公 式 可 知，对的答案:D例28 掷两颗均匀的骰子，事 件“点数之和为3”的概率是().11-1A.B.C.D.36 18 12111解 两颗均匀的骰子的“点数之和”样本总数有6x6=3 6个，而“点数之和为3”的事件具有：1+2和2+1两个样本，因此，该事件的概率为2.18对的答案：B例2 9.假设事件A,8互相独立，已知尸(A)=0.3,P(3)=0.6,求事件4与3只有一个发生的概率.解 A与8只有一个发生的事件为：A B+A B,且

19、与 初 是 互 斥 事 件，于是PAB+M)=P(A 历+P(AB)=P(A)P(历+P(A)P(B)=0.3 x(l-0.6)+(l-0.3)x 0.6=0.54例3 0.己知 P(A)=0.7,P(B)=0.3,口4月)=0.5,求 (川3).解 由于A=A8+A耳，且AB与A是互斥事件，得P(A)=P(AB)+P(A有)所以，尸 邓)=久坐=地心幽=口丝=2。1 P(B)P(B)0.3 3例3 1有甲、乙两批种子,发芽率分别是0.85和0.75,在这两批种子中各随机取一粒,求至少有一粒发芽的概率.解 设A表达甲粒种子发芽,B表达乙粒种子发芽，则A,8独立，且尸(A )=0.1 5,P(B

20、)=0.2 5故至少有一粒发芽的概率为：P(A+B)=1 -P(A+8)=1-P A B)=1 -P(A)P(B )=1 -0.1 5 x 0.2 5 =0.9 6 2 5例 3 2 已知事件A,8,C互相独立，试证(A+6)与C互相独立.证 由于事件A,B,C互相独立，即P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C)且 P(A+B)C1=P(AC)+P(BC)-P(ABC)=P(A)P(C)+P(B)P(C)尸(A)P(8)尸(C)=P(A)+P(B)-P(A)P(8)P(C)=P(A+B)P(C)所以(A+8)与 C 互相独立.第8章 随机变量与数字特性复习知识点：两类随机变量

21、、常见分布(二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布)、盼望与方差复习规定：了解离散型和连续型随机变量的定义及其概率分布的性质；了解随机变量盼望和方差的概念及性质，掌握其计算方法；了 解 二 项 分 布，记住它的盼望与方差；(4)理解正态分布、标准正态分布，记住其盼望与方差.纯熟掌握将正态分布化为标准正态分布的方法.纯熟掌握正态分布的概率计算问题.将一般正态分布X N(,cr2)化为标准正态分布Y N(0,1)的公式：Y=X-Aa它们的概率计算公式:h n a LIP(a Y b)=(。)一(。)，P(a X b)=0(出)-D(y a下面举几个例子说明本章的重点：例 3 3 设随机变量X的概率

22、分布为-1 00.1 0.2 a 0.4则=.解 根据离散型随机变量的概率分布的性质:ZP=1k对的答案：0.3例 3 4 设 乂 8(n，p),且 E(X)=6,D(X)=3.6,则=解 根据二项分布的盼望和方差的定义：(X)-np-6,D(X)-np-p)-3.6得 1 。=0.6,p=0.4,n对的答案：1 5例 3 5设随机变量X的密度函数为/(x)=,3(%-2)0a x 3其它求(1)常数。；E(X)解(1)根据密度函数的性质 1=f f(x)dx=f33(x-2)2d x =(x-2)3|3=1 (a-2)3J-a o Ja I a得 a=2/(x)=3(x-2)2 2 x 30

23、 其它E(X)=4(x)d x =1 3 x(无一2)?d x例 3 6 某类钢丝的抗拉强度服从均值为1 0 0 (k g/c n?),标准差为5 (k g /c m2)的正态分布,求抗拉强度在9 0 1 1 0 之间的概率.(=0.8 4 1 3,(2)=0.9 7 7 2)解 设钢丝的抗拉强度为X,则X-N(1 0 0 ,5?),且-N(0,l).P(9 0 X l l 0 )=P(90-100 X 100 110-100-A=B .矩阵AHO,3WO,也许有A B =().下面举例说明本章的重点：例 3 7 设矩阵A =l-2 3 ,/是单位矩阵，则 人丁人/=.-2 3解 由 于 AT

24、=1-2 3-2 4-63-6 9所以假如矩阵运算AT A成立,0-2 30-2 3-2 3 -6.对的答案：-2 3 -63-6 83-6 8该例题说明，可转置矩阵不一定是方阵;A 也不一定是方阵.例 3 8 矩阵10003101-2110100000()0_的 秩 是（)B.2C.3D.4解 化成阶梯形矩阵后，有 3 个非0 行,故该矩阵的秩为3.对的答案:C例 39 设 矩 阵 A101-2B=2-3200 -12计 算（BA）工解 由 于8 A=2-30201-2-5-32042(BA/)=所以(BA)1-5-3 1 0-11 142 042 011-1 -11 00-24 50 11

25、%-21%-2 5/,1例 4 0 设 矩 阵 A-3-3021，求矩阵A-111-11解 由于 A I-3-3 20 1100010001111-3 2-0 9 70 4-31 0 0 1 1 3 23 1 0 -0 -1 1-1 0 10 4-31 0 01 1 2-1 0 11 0 -1f 0 -1 10 0 1-2 -3 -6-1 13 41 02 f o i9 J|_ 0 00011 1 3-2 3 73 4 91 1 3所以 A-=2 3 73 4 9例 4 1 设 A,8均为”阶对称矩阵，则A8+BA也是对称矩阵.证。由于 A,B是对称矩阵，即 AT=A,夕 丁 =6且(AB+B

26、A)r=(AB)，+(BA)T=8 T A1 +Ar Br=BA+AB=AB+BA根据对称矩阵的性质可知，4 B+A 4 是对称矩阵.第 10章 线性方程组复习知识点：线性方程组、消元法、线性方程组有解鉴定定理、线性方程组解的表达复习规定：了解线性方程组的有关概念，纯熟掌握用消元法求线性方程组的一般解;理解并纯熟掌握线性方程组的有解鉴定定理.非齐次线性方程组4X=b 的解的情况归纳如下：AX=b 有 唯 一 解 的 充 足 必 要 条 件 是 秩(彳)=秩(4)=;/X =%有无穷多解的充足必要条件是秩(彳)=秩(A)；AX 无解的充足必要条件是秩(W)二秩(A).相应的齐次线性方程组AX=0

27、 的解的情况为：AX=0 只有零解的充足必要条件是秩(4)=;AX0有非零解的充足必要条件是 秩（!）.下面用几个例来说明本章的重点:_ 1 2 2例4 2 若线性方程组的增广矩阵为A=,则当；1=（。）时线性方程组2 1 4有无穷多解.A.1 B.4 C.2 D.-2解 将增广矩阵化为阶梯形矩阵，一 1 4 2 1 1 2 2 14 =2 1 4）L0 1-2 4 0此线性方程组未知量的个数是2 ,若它有无穷多解，则 其 增 广 矩 阵 的 秩 应 小 于2,即1-2九=0,从而4 =1.2对的答案：D例4 3 若非齐次线性方程组Am xn X =b的（），那么该方程组无解.A.秩（-n B

28、.秩（A）-mC.秩（A）w 秩（A）D.秩（A）=秩（A）解 根据非齐次线性方程组解的判别定理，得 Ax X=6无解O 秩（A）H秩（彳）对的答案：C例4 4 求下列解线性方程组的一般解%,-3尤2 +2X3+尤4 =0 X 1 +2%2%3 +2%4 0%,-2X2+3无3 -2X4=0解 将系数矩阵化成阶梯形矩阵1A=-11-3 22 -1-2 31 1 32-0 1-2|_ 0 12 11 31 -31 07 0 10 0-1 -8 1 F 11 3-02 0 00 01 00 1-8-30由于，秩（/）=3 4,所以，方程组有非零解.一般解为x1-8X4 0c 0-2 1 -1-5 3-1-5 3 c-11 20-50 0-1 13-10 c可见，当c=0 时，秩（A）=秩（A）23,所以方程组有无穷多解.。1 _53503-5_501 0入T 0 10 0原方程组的一般解为3 1Xl二彳一三尤3（当是自由未知量）尤2 =1+广