2023年湖南省株洲市茶陵县高考数学试卷含解析.pdf

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1、2023年高考数学模拟试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图是全等的直角三角形，则该几何体的各个面中，最大面的面积 为（）正视图D.V22r2 v2 r2 2 .2.已知椭圆4 +与=1（ab0）与 双 曲 线 鼻 与=上（a 0,0）的焦点相同，则

2、双曲线渐近线方程为（）VB.y=y/3xD.y=y/2x3.命题（0）,Inx”的否定是（A.Vxe(0,l),e-v lnx0C.3x0 e(0,1),e In x0D.Bx0 (0,1),eX i n+2拓，x,y,zeR,则5 772 3A.-B.-C.-D.3 3 27.若xeO,l时，ev-|2 x-|0,则。的取值范围为（）6A.1 B.2 e,e2 C.2-e,l D.2 1 n 2-2,l8.数列 斯 是等差数列，”】=1,公差del,2,且 Q 4+?0 o+ai 6=1 5,则实数X的最大值为（）7 5 3A.B.C.2 1 92 3 D.1 929,已知集合 A=y|y=

3、|x|-1,xGR,B=x|x2,A.-3GA B.3 B C.AAB=B则下列结论正确的是D.AUB=B（）x+y+z-（）34_31C.一2D.4函数/（）=COSX+Xcosx-x1 1.在 -2肛2加的图象大致为212.已知椭圆c：=+ay1=1的短轴长为2,焦距为2 g,耳、鸟分别是椭圆的左、右焦点，若点P为。上的任意一1 1A.1,2 B.夜,6 C.V2,4 D.1,4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.（5分）有一道描述有关等差与等比数列的问题:有四个和尚在做法事之前按身高从低到高站成一列，已知前三个和尚的身高依次成等差数列，后三个和尚的身高依次成等比数列，且

4、前三个和尚的身高之和为450cm,中间两个和尚的身高之和为315cm,则最高的和尚的身高是 cm.yxV Y l14.若实数羽）满足约束条件x+y 2 4,设Z=3x 2y的最大值与最小值分别为&，则一=.x”或“=”或 v ）.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。2 2/T17.（12分）椭圆W：鼻+2=1 （。人0）的左、右焦点分别是E，F2,离 心 率 为 券，左、右顶点分别为A,B.过工且垂直于x轴的直线被椭圆W截得的线段长为1.（1）求椭圆W的标准方程；（2）经过点尸（1,0）的直线与椭圆W相交于不同的两点C、D（不与点A、8重合），直线C 8与直线x=4相

5、交于点 ，求证：A、。、加三点共线.18.（12分）在ZI4BC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2ccos8=2 a-b,（I）求NC的大小；（U）若 审-；丽=2,求AABC面积的最大值.1 9.（1 2 分）已知函数/（无）=l n x-m x-m，2（根 R）.（1）讨论函数/（x）的极值；（2）记关于x 的 方 程/（力+“犬=0的两根分别为夕应（，4）,求证：ln +ln q 2.2 0.（1 2 分）已知函数/（x）=l +2 x-网-6aln x存在一个极大值点和一个极小值点.x（1）求实数a 的取值范围；（2）若函数/（X）的极大值点和极小值点分别为七和马，且/（石

6、）+/（9）2 6 e,求实数a 的取值范围.（e 是自然对数的底数）2 1.（1 2 分）某公司生产的某种产品，如果年返修率不超过千分之一，则其生产部门当年考核优秀，现获得该公司年的相关数据如下表所示：年份2 0 1 12 0 1 22 0 1 32 0 1 42 0 1 52 0 1 62 0 1 72 0 1 8年生产台数（万台）2345671 01 1该产品的年利润（百万元）2.12.753.53.2 534.966.5年返修台数（台）2 12 22 865806584888 8 8部分计算结果：亍=鼻，=6,了 =鼻,=4,Z（x,H）-=72,3/=1 8 /=!i=l88（人一0

7、2 =1 8.0 45,（%-x）（%歹）=34.5/=!i=l年返修台数注：年返修率二 农年生产台数（1）从该公司年的相关数据中任意选取3 年的数据，以J表示3 年中生产部门获得考核优秀的次数，求 4 的分布列和数学期望；（2）根据散点图发现2 0 1 5 年数据偏差较大，如果去掉该年的数据，试用剩下的数据求出年利润 （百万元）关于年生产台数x（万台）的线性回归方程（精确到0.0 1）.附：线性回归方程），=的 +&中，:（：；一 ，?,a y-h x.2 2.（1 0 分）设 X,y,Z G R,z（x+2 y）=m.(1)若f+2 2+3z2的最小值为4,求加的值;(2)若 炉+4y 2

8、+gz2 2 1,证明：1.参考答案一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】根据三视图还原出几何体，找到最大面，再求面积.【详解】由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，如图所示，将其放在一个长方体中，并记为三棱锥PABC.SAC=S”4g=/1 3 SAC=)AABC =2,故最大面的面积为后.选D.【点睛】本题主要考查三视图的识别，复杂的三视图还原为几何体时，一般借助长方体来实现.2.A【解析】由题意可得2/-2=/+层，即/=3 6，代入双曲线的渐近线方程可得答案.【详解】2 2 2 2 X y依题意椭圆+=l(a

9、b 0)与双曲线二一2r=(a0,b 0)即/一 庐=l(a0 b)的焦点相同，可a2 b2 a2 h2 22 2得：a2-b2=a2-vb2,2 2b即/=3/，.2 =1，可 得 近=手，a 3-3正h双曲线的渐近线方程为：=逅=士 半X,72故选：A.【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题.3.D【解析】根据全称命题的否定是特称命题，对命题进行改写即可.【详解】全称命题的否定是特称命题，所以命题“心 (0，1),0-*1 1 1 1 的否定是：3xoe(O,l),e W ln x。.故 选D.【点睛】本题考查全称命题的否定，难度

10、容易.4.B【解析】计算求半径为R =2,再计算球体积和圆锥体积，计算得到答案.【详解】如图所示：设球半径为R,则R 2=(3_ R+6 2,解得R =2.4,32 1 r2 匕 32故求体积为：V,=-7lie=7T,圆锥的体积：V2=-7Vy/3 x3=3万，故 于=不.3 3 3%9故选：B.p【点睛】本题考查了圆锥，球体积，圆锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.5.B【解析】据题意以菱形对角线交点。为坐标原点建立平面直角坐标系积运算计算出结果.【详解】设AC与BO交于点。，以。为原点，丽 的 方 向 为x轴，八yV-2C则D(1,O),诙=卜川，-9 5所以。石。b=

11、一一1=4 4，用坐标表示出方瓦丽，再根据坐标形式下向量的数量国 的 方 向 为y轴，建立直角坐标系，方=1 I T，故选：B.【点睛】本题考查建立平面直角坐标系解决向量的数量积问题，难度一般.长方形、正方形、菱形中的向量数量积问题，如果直接计算较麻烦可考虑用建系的方法求解.6.C【解析】利用分布列求出“，求出期望E(X),再利用期望的性质可求得结果.【详解】由分布列的性质可得2+,+。=1,得。=,，所以，(X)=lx l+2 x l+3 x l=-(2 3 6 /2 3 6 3因此，E(2 X +a)=E 2 X+-=2 E(X)+-=2 x-+-=-.I 6)6 3 6 2故选：C.【点

12、睛】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，是基本知识的考查.7.D【解析】由题得l x-e a 2x+，对,。恒成立，令/(x)=2x-e,g(x)=2 x+ex,然后分别求出/皿，即可得”的取值范围【详解】由题得2x e*a V 2x+，对Vx G 1卜恒成立，令/(x)=2x-e*,g(x)=2x+e”,./(x)=2-e 在 0,1单调递减，且_f(ln2)=0,.-./(x)在(0n2)上单调递增,在(In 2,1)上单调递减，Wln2)=21n2 2，又g(x)=2x+e*在 0,1单调递增，.ag(x)min =g(O)=l，的取值范围为 21n2-2,l.故选：D【点睛】

13、本题主要考查了不等式恒成立问题，导数的综合应用，考查了转化与化归的思想.求解不等式恒成立问题，可采用参变量分离法去求解.8.D【解析】利 用 等 差 数 列 通 项 公 式 推 导 出 入=生 学，由d e i,2 ,能求出实数?.取最大值.【详解】,数列 飙 是等差数列，ai=l,公差 dG l,2,且 a4+Xziio+ai6=15,、13-18dA l+3d+X(l+9d)+l+15d=15,解得入=-,l+9dV dG l,2,=13-18dl+9d一+1 是 减 函 数,a _ i o i.d=l时，实数入取最大值为入=-.1 +9 2故 选 D.【点睛】本题考查实数值的最大值的求法

14、，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.9.C【解析】试题分析：集合A=y|y N-l .8=4，A c B =B考点：集合间的关系10.A【解析】3如 图 设 平 面 8 c。，球心。在 A尸上，根据正四面体的性质可得AO=A E,根据平面向量的加法的几何意义,4重心的性质，结合已知求出x+y +z 的值.【详解】如 图 设 平 面 8 c。，球心。在 A E 上，由正四面体的性质可得：三角形8C。是正三角形,在直角三角形E O 8中,OB2=OF2+BF2 n OA2=(-AO)2+=A。邛AO=4-AF9 AF=ABBF AF=AD+DF AF=AC+CF9 因为尸为

15、重心，因 此/B+尸C+FO=。，则3 A F A B +A C+A D f 因此 A0=（AB+4C+A。），因此 x=y=z=，则 x+y+z=，故选 A.4、/4 4【点睛】本题考查了正四面体的性质，考查了平面向量加法的几何意义，考查了重心的性质，属于中档题.11.A【解析】因为/(0)=1，所以排除C、D.当x从负方向趋近于0时，0cosx+xcosx-x,可得0 /(x)1.故选A.12.D【解析】先求出椭圆方程，再利用椭圆的定义得到|产用+归用=4,利用二次函数的性质可求1 4俨闻|产入区4,从而可得【详解】2由题设有。=l,c=,故。=2,故椭圆C:土+y?=l,4因为点尸为。上

16、的任意一点,故归耳|+|尸闾=4.1 1 叫+附|4.4乂 明|PF2附|附|P/叫附1(4-附|)因为2-也 怛 用2+6,故14附|(4-怛用)4,1 1 ,所以 1 1-7 +1-7 0,转化为a+2ab+2ab4 2x 0恒 成 立，利用基本不等式求解最值.2x4-1【详 解】由题。力 均 为 正 数，不 等 式（2。匕+/4 4+46力+3/恒 成 立，等价于k.0则k W3+-=2x+l+2x+l2x+l,/2 x 4-1 +-2/22 x 4-1当且仅当2 x+1 =即x =史 二1时取得等号，2 x+l 2故攵的最大值为2 a.故答案为：2血【点睛】此题考查不等式恒成立求参数的

17、取值范围，关键在于合理进行等价变形，此题可以构造二次函数求解，也可利用基本不等式求解.1 6.【解析】注意到。1,人 1,/?0,故有a Z?/?.又由工+=log(),0.3 +log()2 2 =log o2 0.6 ab.故答案为：.【点睛】本题考查对数式比较大小，涉及到换底公式的应用，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.三、解答题：共7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。r21 7.(1)+/=1,(2)见解析4【解析】2h2(1)根 据 已 知 可 得 凸-=1,结合离心率和 力,c关系，即可求出椭圆W的标准方程；a(2)CO斜率不为零，设 8的方程为=冲+1,与椭圆方

18、程联立，消去x,得到C,。纵坐标关系，求出8C方程，令x =4求出 坐标，要证A、D、M三点共线，只需证心力一3的二。，将 一 心,”分子用C,。纵坐标表示,即可证明结论.【详解】2 2（1）由于0 2=/_，将=代入椭圆方程二+4=1,a2 b2得y =三，由题意 知 空=1,即a =2.a a又e=3=昱,所以a =2,b=.a 2r2所以椭圆W的方程为+/=1.4（2）解法一:依题意直线。斜率不为0,设 8 的方程为 =?），+1,x-my联立方程4/+V =114 消去 x得。”2+4）2+2机3 =0,由题意，得/0恒成立，设C（N，X）,D（x2,y2）,上 八 2m 3所以 X+

19、%=-2 7，凹%=-2 7m+4 ivr+4直线C B的方程为/二 工 一？）.令=4,得（4,一 当）.玉一 2 X,-2又因为 4 2,0）,。（%，%），则 直 线 皿A M的斜率分别为怎就=缶，所以心。一心”=会一4不3y2。-2）-y （+2）3（%1 -2）（马 +2）上式中的分子3 y 2 （芭一 2）-y （x2+2）=3%（加以T）一 ,（阳2 +3）=2myiy2-3（yi+y2）=-6m+&n加2 +4=0,左 加 一 心”=0所以A，D,A/三点共线.解法二:当直线C D的斜率Z不存在时，由题意，得 8 的方程为x=l,代入椭圆W的 方 程 得CQ,与，以,-直线CB

20、的方程为y=一 苧X _ 2）._ _ c则 M（4,-G）,AM，=（6,-石），AD=（3,-）,2所 以 祝=2而，即A，D,A7三点共线.当直线C O的斜率Z存在时，设。的方程为了=&。-1）（女 工0）,C（%，x）,D（x2,y2）,y=k(x-1),联 立 方 程x2消去丁，得(4 4 2+1*-8 h +4%2-4=0.由题意，得/0恒成立，故 谷+=8F4k2-4叱+1 内 止+1直线CB的 方 程 为 尸 资（“一2）.令x=4,得 爪4,仁）.又因为A（2,0）,。（，必），则 直 线 皿AM的斜率分别为3=工%,加=小，所以“40 “A M%=3%(%-2)一%(%2+

21、2)x,+2 3(%1 2)3(%)-2)(%2+2)上式中的分子3y2 (为一 2)-%(+2)=3叔9 -1)(玉一 2)一依玉一 1)(+2)4k2-4 Xk2=2依-5%(%|+x2)+Sk=2kx；-5kx-+8Z=04F+1 4F+1所 以 原 -%仙=0所以A,D,三点共线.【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，要熟练掌握根与系数关系，设而不求方法解决相交弦问题，考查计算求解能力，属于中档题.1 8.(1)C =(2)2 7 33【解析】分析：(1)利用正弦定理以及诱导公式与和角公式，结合特殊角的三角函数值，求得角C；(2)运用向量的平方就是向量模的平方，以及向量

22、数量积的定义，结合基本不等式，求 得 的 最 大 值，再由三角形的面积公式计算即可得到所求的值.详解：(1)；2ccosB=2a-b,.2 si nC c osB =2 si nA -si nB，.二 2 si nC c osB =2 si n(B+C)-si nB ,.1 712 si nB c osC =si nB,c osC =,.C=2 3(I I)取 B C 中点 O,则 乱 一;国|=2=|方，在 A A D C 中，A D2=A C2+C D2-2 A C -C D c o s C，1h此时又4此=。加i nC =ab,其最大值为2 G.2|点睛：该题考查的是有关三角形的问题，涉

23、及到的知识点有正弦定理，诱导公式，和角公式，向量的平方即为向量模的平方，基本不等式，三角形的面积公式，在解题的过程中，需要正确使用相关的公式进行运算即可求得结果.1 9.(1)见解析；(2)见解析【解析】(1)对函数求导，对参数，讨论，得函数单调区间，进而求出极值；(2)24是 方 程/(力+?2%2=0的两根，代入方程，化简换元，构造新函数利用函数单调性求最值可解.【详解】z,x 旎的音、1 n 2 -tnx-2nrx1+(1)依题意，f (%)=m-2 m x=-=-；x x x若m =0,则f(x)0,则函数/(x)在(0,+功上单调递增，此时函数/(X)既无极大值，也无极小值；(注：也

24、 可 将 画-g丽|=2=|次 两 边 平 方)即4 =尸a+5 I-T2必L曲=也,所以a Z?V 8,当且仅当a =4,Z?=2时取等号.4 2 2若/n 0,贝！|1 +如 0,令 f M=0,解得 x =,2m故当x e(O,，一)时，r(x)0,/(x)单调递增；2m当x w(，-,+oo)时，fr(x)0,令/(x)=。，解得x =-,m故当X E(O,-)时，/(%)。，/S)单调递增；m当 X(-,+8)时，r(X)2,即证相(+q)2,即证：匕(p +q)2,即证l n N 。，q-p P p+q设 幺=r(r l),只需证：i n r 也 二D(r l),P t+设g =h

25、 w 迎?，则g)=”0,r +1 r(/+l)故g(f)在(L+o o)上单调递增，故g(/)g(l)=O,即故I n +I n q 2.r +1【点睛】本题考查函数极值及利用导数证明二元不等式.证明二元不等式常用方法是转化为证明一元不等式，再转化为函数最值问题.利用导数证明不等式/U)g(x)的基本方法：若/(%)与g(x)的最值易求出，可直接转化为证明/(),n i n g(x),若“x）与g（x）的最值不易求出，可构造函数（x）=/（x）g（x）,然后根据函数（幻 的 单 调性或最值，证明/心）0、2 0.(1)4 ,+o o9；(2)(e,+o o).7【解析】（1）首先对函数/（x

26、）求导，根据函数存在一个极大值点和一个极小值点求出a的取值范围;（2）首先求出/（x j +/（w）的值，再根据/（x j +/（w）2-6e求出实数a的取值范围.【详解】（1）函数/（X）的定义域为是（0,+”）,r（x）=22a 6a 2x2 (tax+2a2X若/（X）有两个极值点，则方程2 d 一 6ax +2。=0 一定有两个不等的正根,设为X1和 ，且N ,所以=36a2-16a04%+%=3 0 解得6/-,xx2=a0此时r（x）2(x-xt)(x-x2)x1当0%0,当王 时，r（x）o,当时，/(x)0,故*是极大值点，是极小值点，故实数a的取值范围是(2)由(1)知，x,

27、+x2=3a,xtx2=a,2Q2。则/(斗)+f(“2)=+2 1-6Q I n X y+1 +2冗2-6Q I n x1,国x2=2+2(%+)一 2玉+”2)XX2-6a In xx2,_ _ _ 2。3。，1 八 /i=2+2x3。-6。In。=2 6 In a,a由/(x j+/(w)2 6e,得2 6alnae,令 g(a)=a In a(a ,考虑到 g(e)=eln e=e,所以 alna e可化为 g(a)g(e),所以g(a)在 1,+00)上为增函数，由 g(a)g(e),得a e,故实数a的取值范围是(e,M).【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的极值点和单调性，利

28、用函数单调性证明不等式，属于难题.21.(1)见解析；(2)y=0.48x+1.27【解析】(D先判断得到随机变量4的所有可能取值，然后根据古典概型概率公式和组合数计算得到相应的概率，进而得到分布列和期望.(2)由于去掉2015年的数据后不影响B的值，可根据表中数据求出3；然后再根据去掉2015年的数据后所剩数据求出a即可得到回归直线方程.【详解】(1)由数据可知，2012,2013,2016,2017,2018五个年份考核优秀.由题意J的所有可能取值为0,1,2,3,%=。)窄=C8 JOp(D=鲁4，C8 5op(“2)=罟c2cl 3 0 _ 1 556-2 8()=等 吟 故J的分布列

29、为:自0123p1561 5561 52852 8(2)因 为%=5=6,所以去掉2 0 1 5年的数据后不影响B的值,所 以 魅=0 x-!-+l x +2 x +3 x a =56 56 2 8 2 81 5-可。一切Z -)2所以3 =3 4.572 0.48.又去掉2 0 1 5年的数据之后x =6 X!6=6,y4x 8-3 2 9 7-T，2 9 3 4 5所以3 =9一版=三 一 二x 6 a 1.2 7,-7 72从而回归方程为：9=O.48X+1.27.【点睛】求线性回归方程时要涉及到大量的计算，所以在解题时要注意运算的合理性和正确性，对于题目中给出的中间数据要合理利用.本题

30、考查概率和统计的结合，这也是高考中常出现的题型，属于基础题.2 2.(1)2；(2)见解析【解析】(1)将d +2 2+3 z 2化简为(V+z 2)+2(y 2+z 2),再利用基本不等式即可求出最小值为4,便可得出加的值；(2)根据 Y+Z?2 2 2 1 a4，P2(a2+b2)(a+b)2,得出 V+4丁+g z?N(x +2 y)2+；z?,利用基本不等式求出最值，便可得出?的取值范围.【详解】解：(1)由题可知，X,y,zwR,z(x+2 y)=mx1+2y-+3z2=(x2+z2)+2(y2+z2)2 x z +4y z =2 w =4,：m =2.(2)V cr+b2 2at,：.2(a2+b2)(a+h f,:.x2+4y2+z?；(x+2 y)2 +卜2 -2|(x+2 y)z|1,/.|/7?|1,即：或m2 1.【点睛】本题考查基本不等式的应用，利用基本不等式和放缩法求最值，考查化简计算能力.