G立体几何（文科）（高考真题+模拟新题）.pdf

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1、G 立体几何G1空间几何体的结构9.G l 20 1 2重庆卷设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,啦 和,且长为。的棱与长为5 的棱异面，则。的取值范围为（）A.（0,g B.（0,小）C.（1,&D.（1,市）图 1 29.A 解析如图 1 -2 所示，设=C D =巾,BC=BD=A C =A D =1,则 N/8=N B C D =45。,要构造一个四面体，则 Z CD与共面8 8 不能重合，当 8 8 与Z CD重合时，a=0;当/、B、C、。四点共面，且 4 8 两点在。C 的两侧时，在 N 8C中，ZACB=Z A C D +Z B C D=45 +45 =9 0 ,AB=A

2、 C2+BC2=y 2,所以 a 的取值范围是（0,的.8.G l、G 2 20 1 2陕西卷将正方体（如 图 1 一3所示）截去两个三棱锥，得到图所示的几何体，则该几何体的左视图为（）A B C D图 1 -48.B 解析分析题目中截几何体所得的新的几何体的形状，结合三视图实线和虚线的不同表示可知百应的左视图应该为B.1 5.G l、G 1 2 20 1 2 安徽卷若四面体4 8 8 的三组对楼分别相等，即Z 8=CO,A C=BD,A D=B C,则（写出所有正确结论的编号）.四面体A B C D每组对棱相互垂直；四面体A B C D每个面的面积相等；从四面体/8 C D 每个顶点出发的三

3、条棱两两夹角之和大于9 0。而小于1 80。；连接四面体/8C。每组对棱中点的线段相互垂直平分；从四面体A B C D每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长.1 5.解析如图，把四面体/B C D 放入长方体中，由长方体中相对面中相互异面的两条面对角线不一定相互垂直可知错误；由长方体中A 4 B C咨A A B D也X D C B义 D C A,可知四面体/B C D 每个面的面积相等，同时四面体N8 C D 中过同一顶点的三个角之和为一个三角形的三个内角之和，即 为 1 80,故正确，错误；长方体中相对面中相互异面的两条面对角线中点的连线相互垂直，故正确；从四面体4 8 C D 每

4、个顶点出发的三条棱可以移到一个三角形中，作为一个三角形的三条边，故正确.答案为.B5.G l 20 1 2上海卷一个高为2 的圆柱，底面周长为2兀，该圆柱的表面积为5.6兀 解析考查圆柱的表面积，利用圆的周长求得圆柱的底面半径.由圆柱的底面周长可得底面圆的半径，2村=2兀，.得圆柱的表面积5 =2 2+2 nh=2兀+4兀=6兀.1,1 9.G l、G l l 20 1 2上海卷如 图 1 一1,在三棱锥夕一力8 C 中，为_ 1 _ 底 面/8 C,。是尸 C 的中点，已知AB=2,A C=2 小,均=2,求：（1）三棱锥P 4 8 C 的体积；（2）异面直线B C 与A D所成的角的大小（

5、结果用反三角函数值表示）.1 9.解：（1）SJB C=；X2X2吸=2小，三棱锥P-A B C的体积为H=；SA/BC X P A X 2 小 X 2=1 /3.(2)取 P8 的中点E,连接D E、A E,则 EO 8 C,所以N/O E(或其补角)是异面直线B C与 4 0所成的角.在/中，D E=2,AE=y j 2,AD=2,22+22-2 3cos/4 D E=2 X 2 X 2 =33所以 Z A D E=a r c c o s .,3因此，异面直线B C 与A D所成的角的大小是a r c c o s .G2 空间几何体的三视图和直观图1 0.G 2 20 1 2天津卷一个几何

6、体的三视图如图1 2 所示（单位：m）,则该几何体的体积为 m 3.图1 21 0.30 解析由三视图可得该几何体为两个直四棱柱的组合体，其体积”3X 4X 2+1（1 +2）X 1 X 4=3O.1 3.G 2 20 1 2辽宁卷一个几何体的三视图 如 图1 3所示，则该几何体的体积为图L31 3.1 2+TT 解析本小题主要考查三视图和体积公式.解题的突破口为通过观察分析三视图，得出几何体的形状，是解决问题的根本.由三视图可知，几何体是一个长方体与一个圆柱构成的组合体，所以该几何体的体积为 忆=M女 方 体+%B m =4 X 3 X l+兀*/_ L E O,又。为8。的中点，所以BE=

7、DE.(2)证法一：取的中点M因为M是/E的中点，所以 M NII BE.连接。M DN,M N,又平面BEC,B E U平面8E C,所 以 M N II平面BEC,又因为48。为正三角形，所以 N B D N=30,又 CB=CD,Z 5 C =120,因此 N C 8 D =30。，所以D N M BC,又 O M t平面BEC,B C U平面B E C,所以D N 平面BEC,火 MN C D N =N,故平面DM NII平面BEC,又 O A/u平面DM N,所以D MII平面BEC.证法二：延长B C 交于点、F,连接E E因为 CB=CD,N B C D =120.所以 NCBZ

8、)=30.因为18。为正三角形.所以 N B/D =6 0。，N/B C=9 0。，因此N Z 之 8=30。，所以 4B=AF.又 AB=AD,所以。为线段/斤的中点.连接。由点M是线段/E的中点，因此。M/E F.又。平面8E C,E F U 平面BE C,所以力M il平面BEC.18.G 4、G7 2012辽宁卷如图 1一5,直三棱柱/8C-4 B C,ZBAC=9 0,AB=4 C=巾,AA=1,点 M,N 分 别 为 8 和 夕C的中点.（1）证明：MN 平面/A C C；（2）求三棱锥/-MMC 的体积.（锥体体积公式产=15 77,其中S 为底面面积，为高）图 1-518.解：

9、（1）（证法一）连结 48 ,A C,由已知 N A 4 c =9 0。，AB=A C,三棱柱/B C-H B C 为直三棱柱,所以M 为/夕 中 点，又因为N 为 夕C的中点，所以M N I I 4 C .又 MW 平面，A C C ,A C u 平面，A C C ,因此MV平面，A C C .（证法二）取，B 中点P,连结M P,NP,M、N 分别为A B 与 夕C的中点，所以 M P 口 44,P N I I A1 C ,所以 M P/平面/ACC,平面 Z A C C ,又 M P C N P =P,因此平面M PN平面Z A C C ,而九W U平面MPN.因此MV/平 面 小A C

10、 C .(2)(解法一)连结B N,由 题 意NIB C ,平面B C Cl平面 2 B C C =B C ,所 以 不N 工平面NBC.又，N =：B C=1,故VA,-MNC=%_/T M e：/匕f BC=2嗫，(解法二)匕i-MNC=VA-NBC-VM-NBC=,V 4-NBC=d16.G4、G5、G72012北京卷如图 1-9(1),在 RtZMBC 中,ZC=90,D,E 分别为AC,的中点，点尸为线段CQ上的一点，将/沿 折 起 到 小 的 位 置，使AyF L C D,如图 1一9(2).(1)求证：DE平面4C B；(2)求证：A/JLBE；(3)线段4 2上是否存在点0,使

11、小CJ_平面。E。？说明理由.16.解：(1)证明：因为。，E 分别为ZC,Z 8 的中点,所以D E M BC.又 因 为 平 面 小 C8,所以D E M平面小CB(2)证明：由已知得力C_L8C且。E/BC,所以。ZC.所以 D E U Q,D ELCD,所以DE_L平面小DC而/尸U平面小)C,所以DE-L小E又因为AXFLCD,所以/尸1 平面BCDE,所以小产，BE.线段4 8 上存在点,使小C_L平面DEQ.理由如下：如下图，分别取4C,的中点P,Q,则 P Q I I BC.AFC B又因为D E I I BC,所以 D E I I PQ.所以平面D E Q即为平面DEP,由(

12、2)知，OE-L平面小OC,所以。E_Lm C.又因为P 是等腰三角形。小C 底边小C 的中点，所以小CLDP.所以小CJ平面DEP.从而小CJ平面DEQ.故线段4 8 上存在点0,使得小C_L平面。E。.16.G4、G52012江苏卷如图1一4,在直三棱柱/8 C 一小8 G 中，小8 1=4 G，D,E 分别是棱8C,C G 上的点(点。不同于点C),R A D 1.D E,尸为5 G 的中点.求证：(1)平面平面8 C G 5；(2)直线小F 平面ADE.图 1 41 6.证明：(1)因为/8 C-4 81G 是直三棱柱，所以CG J平面/8C,又/O U 平面/8 C,所以CG JL/

13、D又因为 AD ID E,CC,OEU 平面 8CG81,C C CDE=E,所以/Z)_L平面8CG81.又N OU平面ADE,所以平面ZDEJ平面BCCiBi.(2)因为小力=小6,一为QG 的中点,所以小尸_L2IG.因为CC|J 平面4 8 1 G，且小尸U平面小8 C”所以CC|_L小 尸.又因为 C G，8C 1U 平面 8 C G S，C G C 8|G =G，所以4 尸_L平面BCC B.由(1)知/O J平面8CG81，所以小厂/D又/。U平面/D E,4 F 4 平面Z O E,所以平面/(5.G4,G52012浙江卷设/是直线，a,夕是两个不同的平面()A.若/a,l/p

14、,则 a 夕B.若/a,则 a_LQC.若 la,则/_L/?D.若 a 邛,l/a,则/J_/?5.B 解析本题考查了线面、面面平行，线面、面面垂直等简单的立体几何知识，考查学生对书本知识的掌握情况以及空间想象、推理能力.对于选项A,若/a,/夕，则a 或平面a 与夕相交；对于选项B,若/I I a,1 1 ,则 a _ L.;对于选项C,若 aJ_,/La,则/6 或/在平面内；对于选项D,若 a_L/?,II I a,则/与用平行、相交或/在平面”内.G 5 空间中的垂直关系19.G5 2012江西卷M 1-7,在梯形N B C D 中，A B/CD,E,F 是线段1 8 上的两点，K

15、D E LAB,CF AB,4 8=1 2,AD=5,B C=4 巾,DE=4,现将/)：,l CF B 分别沿。E,C F 折起，使 48 两点重合于点G,得到多面体CDE FG.(1)求证：平面。E G_ L 平面C F G；(2)求多面体C D E F G的体积.A EF B图 1一719.解：(1)证明：因为Q E1 T R C F L E F,所以四边形CDE 尸为矩形，由 G。=5,D E =4,得 G E=y G D2-D E2=3.由 G C =4啦，C F=4,得 F G n q G C a-C 卢=4,所以 EF=5.在 E FG 中，EF1-G E1+F G2,所以 E

16、G 1 G 尸，又因为 CF LEF,C FL FG,得，CF_ L 平面 E KG,所以C F1E G,所以EG 1 平面C FG,即平面OEG 1 平面CF G.F G G F 12(2)如图，在平面E G F 中，过点G 作尸于点 ，则G，=F=三因为平面CDE F_ L 平面E F G,得 G，J _ 平面CD EF,VCDEFG=%SCDEFG H=16.14.G5 2012四川卷如 图 1-4,在正方体481c l 5 中,M、N 分别是棱C。、C G 的中点，则异面直线4 与 D N 所 成 的 角 的 大 小 是-吮图 1414.9 0 解析因为A B C D-A B C D为

17、正方体，故 小 在 平 面C DD上的射影为即小M在平面C D O i G 上的射影为D i M,而在正方形 CD D C 中，由 ta n Z )lA/=ta n Z C Ar=1,可知 D i M LD N,由三垂线定理可知，Ay M LD N.20.G 5、G 6、G10、G U 2012重庆卷已知在直三棱柱 Z 8C-/181c l 中，45=4,A C=B C=3,。为 N 8 的中点.(1)求异面直线C G 和A B的距离；(2)若小C,求二面角小一C 0 81的平面角的余弦值.C|图 1-32 0.解：(1)因/C =8C,D 为 4B 的中点、,故 CDL4B.又直三棱 柱 中

18、,CG J面/8 C,故 C G 1 C D,所以异面直线C G 和 的 距 离 为 8=yBC2-BD2=y5.(2)解法一：由 CZJ-L/3,CDLBBi，故 CZ-L 面从而 CDJ-Z)小，CDLDB故N&D Bi为所求的二面角A i-C D-B i的平面角.因小。是小C 在面出上的射影，又已知z/B J小C,由三垂线定理的逆定理得1 小。，从而N/S，N/|D 4 都与N B/8 互余，因 此/丛=/小。/,所 以 Rt小s R S B/M，因 此 的 答，得 44；=4D小 31=8.从而 4D=7A#+AD2=2小,BQ =A Q =2事,所以在小。当中，由余弦定理得小。2 +

19、。尻-小乐2AXDDBcos N4 0 3=_3-解法二：如下图，过。作 小 交 小 囱 于 在 直 三 棱 柱 中，由(1)知。8,DC,两两垂直，以。为原点，射线。8,DC,分别为x 轴、)，轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz.设直三棱柱的高为，则 4(-2,0,0),小(-2,0,),5,(2,0,h),C(0,0),从而=(4,0,h),AC=(2,小,h).由刀11 永 得 刀 布=0,故 房 产(-2,0,26)，函=(2,0,2吸)，5 C=(O,邓,0).设 平 面 的 法 向 量 为，=(x”,z i),则反，机，山”即卜 屈=0,12xi+27Z|=0,取 z

20、=1,得机=,0,1).设 平 面 的 法 向 量 为=(X 2,外，Z2),则”_L比，加 1，即小 丫2=。，G=N/D C=45。，所以NCDG=90。，即.又 D C C B C=C,所以DG J平面BD C.又QG u平面BD Ci,故平面8OC 平面BD C.(2)设棱锥8 D 4C G的体积为片，/C=l.由题意得1 1 +2 1r1=x xixi=2，又三棱柱Z8C4 8 1 G的体积=1,所以(/一匕)：K,=l：1.故平面8O G分此棱柱所得两部分体积的比为1 ：1.19.G4、G52012山东卷 如图1一6,几何体E-/8 C。是四棱锥，N 8D为正三角形，CB=CD,E

21、C1 BD.图16(I)求证：B E=D E；(2)若NBCC=120。，M为线段Z E的中点，求证：DM平面2EC19.证明：取8。的中点O,连接C。，E0.由于 C8=C D,所以 CO18Z),又 EC1 BD,E C H C O =C,CO,ECU平面 EOC,所 以 平 面EOC,因此 8D_LEO,又。为8。的中点，所以BE=D E.(2)证法一：取 的 中 点N,连接。初，D N,M N,因为M是/E的中点，所以 MN I I BE.E又 MW平面BEC,8EU 平面BEC,所以MN 11平面BEC,又因为/B D 为正三角形，所以 N8W=30。，又 CB=CD,Z B C D

22、=n O 0,因此 NC8O=30。，所以 DNII BC,又 W平面BEC,BCU平面B E C,所以。N 平面BEC,又 MN C D N =N,故平面DM NII平面BEC,又 DA/u平面DM N,所以D MII平面BEC.证法二：延长8 c 交于点F,连接EF.因为 C8=CD,N B C D=120.所以 NC8O=30。.因 为 为 正 三 角 形.所以 N 8/D =60。，N/8C=90。,因此 N4FB=30。，所以48=夕尸.又 AB=AD,所以。为线段工尸的中点.连接。由点M 是线段/E 的中点，因此。M/EE又功侬平面BEC,EFU平面BEC,所以D MII平面BEC

23、.19.G5、G72012湖南卷 如图1-7,在四棱锥尸一/8C Z)中，平面/8C。，底面/8CZ?是等腰梯形，AD/BC,AC1BD.(1)证明：B D L P C；(2)若 4)=4,B C=2,直线P D 与平面RJC所成的角为30。，求四棱锥尸一1 8 8 的体积.1 9.解：(1)证明：因为必 1 平面/8C。，8O U 平面4 8 c D,所以R 4 L B DB C图 1-8又 ACLBD,PA,NC 是平面R I C 内的两条相交直线，所以80,平面B 4 C而 P C U 平面P A C,所以BD1PC.(2)设 NC 和 8。相交于点。，连结P。，由(1)知，8。一平面弘

24、0 所以NZ)P。是直线P Z)和平面处C 所成的角.从而NZ)P O=3 0。.由8。！.平面处C,P0U平面处C 知，BDLP0.在 R t A P OZ)中，由 NZ)P O=3 0。得 PD=2OD.因 为 四 边 形 为 等 腰 梯 形，力 C_ L8 D,所以 NO。，BOC均为等腰直角三角形.从而梯形A B C D的高为y。+?。=(4+2)=3,于是梯形A B C D的面积S=1 x(4+2)X 3=9.在等腰直角三角形/。中，。=冬 1。=2 也,所以P D=2 O D=4 y 2,P A P E T-A D-=4.故四棱锥P-A B C D的体积为r=|x S X/?4=|

25、x 9 X 4=1 2.1 9.G5、G7 2 0 1 2 湖北卷 某个实心零部件的形状是如图1 7所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台小当G 口一4 8 C D,上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱/88Z2 8 2 c 2。2.图 1 7(1)证明：直线平面ZCC2 Z2；现需要对该零部件表面进行防腐处理.已知4 8=1 0,小当=2 0,4 4 2=3 0,4 E_L平面小。，所以。EJ 小 C.又因为P 是等腰三角形。小C 底边4 c 的中点，所以小CJLOP.所以小C-L平面DEP.从而小C_L平面。E0.故线段4 8 上存在点0

26、,使得小CJ平面DEQ.16.G4、G52012江苏卷 如图1一4,在直三棱柱/8 C 小&G 中,小8 i=4 G，D,分别是棱8C,C G 上的点(点。不同于点C),且尸为5 G 的中点.求证：(1)平面4)E J_平面BCG&；(2)直线小尸平面ADE.1 6.证明：因为ZB C-小81cl是直三棱柱，所以CG J平面/8C,又 4 5 U 平面N 8 C,所以CG J_4).又因为 CC,DEU 平面 BCGBi，C g C D E =E,所以45_L平面BCGBi.又4 D U 平面ADE,所以平面4D E 1平面BCC BX.(2)因为小当=小G，尸为81G 的中点,所以小/_L&

27、G.因为CG J平面4 8 C 1，且小尸U平面小8|G，所以C C J/iE又因为 CC1，&G U 平面 8CC|81，C G C 8|G=G，所以小尸，平面BCGBi.由(1)知 ZOJ平面8 C G S，所以小尸4/D又 ADU平面A D E,小网平面/O E,所以小尸平面NOE.19.G 5、G7、GU2012全国卷 如图1一1,四棱锥P-4 8 C Q中，底面/8 C D 为菱形,/M_L底面 48CD,4 c=2 巾,P4=2,E 是 PC 上的一点，PE=2EC.(1)证明：尸 C,平面BED；(2)设二面角4 一 尸 8 一。为 90。，求 尸 O 与平面P 8 c 所成角的

28、大小.c图 I T1 9.解：方法一：(1)证明：因为底面N8CZ)为菱形，所以2J_NC,又 P 4 1 底面/BCD,所以PCJ_8D设/C C 8D =尸，连结E E 因为/C=2 吸,PA=2,PE=2 E C,故PC =2yfi,EC=FC=y 2,.P C _ 丘 A C _ 昼/A.而FC-7 6,EC-76,PC AC因为斤=函，/.FCE=Z.PCA,所以 F C E s pc A,N F E C =N PAC=90,由此知PCLEF.P C 与平面BED内两条相交直线BD,E F 都垂直，所以尸CJ平面BED(2)在平面以8 内过点力作ZG 1P8,G 为垂足.因为二面角4

29、-P 8-C 为 90。，所以平面R1B_L平面PBC又平面A4BC平面PBC=PB,故 4GJ平面 PBC,AG1BC.8 c 与平面P A B内两条相交直线以，4 G 都垂直,故 2c_L平面为5,于是8 c !/以所以底面/8 C D 为正方形，A D =2,PD 7 P A 2 1 h=2 巾.设。到平面P 8C 的距离为d.因为4 D I I B C,且 ADC平面P8C,8CU 平面P 8 C,故4 n 平面P2C,A,。两点到平面 P 8C 的距离相等，即d=4G=，l设尸。与平面尸8 c 所成的角为a,则 sina=/=；.所以尸。与平面P8C 所成的角为30。.方法二：(1)

30、以4 为坐标原点，射线NC为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Z-xyz.设 C(2 0,0),瓦0),其中加0,则尸(0,0,2),展 半，0,6,B阵,h,0).于 是 无=(2/，0,-2),由 停，b,|),虎=停，一,|),从 而 无前=0,P C-5 k =0,故 P C 工 BE,P C ID E.又B E C D E =E,所以PC-L平面B O E(2)亦=(0,0,2),福=(巾,-6,0).设加=(x,y,z)为平面玄8的法向量，则机4。=0,机弘8 =0,即 2z=0 _ 0 _,/2x -by =0,令x =6,则机=(b,y 2,0).设=(p,q,尸)

31、为平面PBC的法向量，则 P C=0,n-BE=0,即 2 y 1 2 p-2r =0 且 +如+$=0,令p=l,则尸=啦，=-#，=(1，-小，啦).因为面面PB C,故m n=0,即&-石=0,故6=,，于是 =(1,-1,啦)，D P=(-6，-y 2,2),i rD P 1c o s n,D P)=-=,n D P _ L 面 4/8 与，从而 C D L D A i，C D V D B,故N/QS为所求的二面角Ax-C D-Bi的平面角.因小。是小C在面4上的射影，又已知4C,由三垂线定理的逆定理得 当t A D,从而NA1AB1，N小D 4 都与N B/B 互 余,因此/4/8=

32、所 以 R t 4 N Ds R t Z i S M/,0=4 ,得=/。小8|=8.从而 AID=、AA：+AD2=2 BID=AQ=2 5解法二：如下图，过。作。以小交小囱于。在直三棱柱中，由(1)知。8,DC,两两垂直，以。为原点，射线。8,DC,分别为x轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系。-孙z.设直三棱柱的高为高则2(-2,0,0),小(-2,0,h),S i(2,0,)，C(0,0),从而标1=(4,0,)，永=(2,8-).由布I J 永 得 福 祝=0,即 8-2=o,因此A =A D(O)B x图 1 -4故亦尸(一2,0,2的，丽=(2,0,2夜)，庆=(0,邓,

33、0).设平面4c。的法向量为机=(修，yi，zi),则机_ L O C,m _ L D 4 ,即Sn=0,、一2x 2y 2z1=0,取 Z =1,得 tn=,0,1).设平面囱8 的法向量为=(必，及，Z 2),则 J _ 庆，nl.而,即!小 力=0,恳+2任 2=0,取 Z 2=-1,得 =(、，0,1)，所以mvi 21 2cos m,n)=|网rr网 Vi2=+=1=-V/2+1 T-3所以二面角AX-C D-B 的平面角的余弦值为去G 7棱柱与棱锥13.G7 20 12山 东 卷 如 图 13所示，正方体N 8 C。一小8,T4=|X|X1X1X1=|,7.G7 20 12江苏卷如

34、图 12,在长方体/B C D 4 3 1 G z）i 中,A B=A D=3 c m,AA=2 c m,则四棱锥A-B B Q Q的体积为 c n?.而；A B图 1-27.6 解析本题考查四棱锥体积的求解以及对长方体性质的运用.解题突破口为寻找四棱锥的高.连/C交 8。于点O,因四边形/B C D 为正方形，故ZO为四棱锥/-88QQ的高，从而 r=|x 2 X3 V2 X=6.3.G 2、G7 201 2浙江卷已知某三棱锥的三视图（单位：c m）如 图 1 1 所示，则该三棱锥的体积是（）A.1 c m3 B.2 c m3C.3 c m3 D.6 c m33 I-正视图侧视图俯视图图 1

35、 -13.A 解析本题考查三棱锥的三视图与体积计算公式，考查学生对数据的运算能力和空间想象能力.由三视图可知，该几何体为一个正三棱锥，则 r=|s/?=|x|x 1 X 2X 37T1 8.G 5、G7 201 2陕西卷直三棱柱/8。一4 8|。|中，A B=A AX,N C A B=证明：CBBAi；（2）已知/8=2,B C=4 求三棱锥CI一 小 的 体 积.二图 1 一71 8.解：（1）证 明:如 图,连 结 4 8 1，c1 G,义I-1 _ _ _-4BiT T4 5C-4 8 1 c l 是直三棱柱,NCAB=Q二/Cl平面小，故小.又,.”=/小，.四边形/8 8 1 小是正

36、方形，.-.BAXLAB,X CAQ ABi=A.二8 小 JL 平面C/当，故 CBJ BAi.(2 y.-AB=AAl=2,B C =小，二/。=小。|=1,由知,4 c l i 平面4 5小,.-V CX-ABA=|SAT4 BT4IICI=|X2X 1=j.1 9.G5、G7 201 2 湖南卷 如图1 一7,在四棱锥P-/B C。中，平面Z 8 C D,底面A 8 C D 是等腰梯形，AD/BC,ACLBD.(1)证 明:BD LP C-,(2)若/。=4,B C=2,直线PA与平面为C所成的角为30。，求四棱锥P-488的体积.所以 P t J LBD.又 ACLBD,P A,NC

37、是平面A 4 C 内的两条相交直线，所 以 平 面 为 C.而尸CU平面以C,所以BD LP C.(2)设/C和 8。相交于点。，连 结 P0,由(1)知，8。，平 面%C,所以/CPO是直线PD和平面R I C 所成的角.从而N D P O=3 0。.由平面A 4 C,POU平面以C知，BD LP O.在 R t/P O D 中，由 /。=30。得 P D=2 O D.因为四边形A B C D为等腰梯形,N C L 2。，所以八4。，8 O C 均为等腰直角三角形.从而梯形A B C D的 高 为%O+T 8 C=TX(4+2)=3,于是梯形A B C D的面积S=1 x(4+2)X 3=9

38、.2 ._在等腰直角三角形4 0。中，拳 4。=2啦，所以P D=2 O D=4 y l2,P A=j P D2-A D2=4.故四棱锥P-A B C D的体积为=|x S X/=|x 9 X 4=1 2.1 9.G5、G7 201 2湖北卷 某个实心零部件的形状是如图1 7 所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台小SG 5/8 C D,上部是一个底面与四楼台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD-A2B2C2D2.图 1 7(1)证明：直线生。平面力C G/2；(2)现需要对该零部件表面进行防腐处理.已知4 8=1 0,小 氏=20,4 4 2=30,/4

39、=1 3(单位：c m),每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？1 9.解：(1)因 为 四 棱 柱 的 侧 面 是 全 等 的 矩 形，所以4 4 2-L/8,AA2-AD,又因为=所 以 相 2,平面/B C D连接B D,因为8OU平面/B C D,所以4 4 2,8 D因为底面Z 8 C。是正方形，所以4 CLBD.根据棱台的定义可知，8。与田。1 共面.又已知平面力8 8 平面小8CQ1,且平面B B Q i D C 平面A BCD =BD,平面8 8 Q 1 O C 平面4 8 。1。1=团。,所以当。|“8D于是由/也 1 _ 8。，AC1 BD,B|D,I I

40、 B D,可得/儿,与。”/C l B Q i，又因为4 所 以 平 面 4 C C 24 2.(2)因为四棱柱Z88-4 28 2c 2功的底面是正方形，侧面是全等的矩形，所以S S嵋 柱 E +S =(A2B2)2+4 AB-AA2=1 02+4 X 1 0X 30=1 300(c m2).又因为四棱台小SG A-1 8。的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形.所以$2=S B U&T S S +S,1=(A B)+4 X (/1 8+/|8|)伴 展 横 彩 他 高=202+4 x|(1 0+20)y i 32-|(20-1 0)2=1 1 20(c m2).于是该实心零部件的表面

41、积为S =SX+S2=300+1 1 20=2 4 20(c m2),故所需加工处理费为0.25=0.2X 2 4 20=4 8 4(元).1 9.G 7、G1 2 201 2福建卷 如图1 3 所示，在长方体/B8小中，A B=A D=1,/小=2,河为棱QQ上的一点.(1)求三棱锥/一MCG 的体积；(2)当小M+MC取得最小值时，求证：8|A/_ L 平面“1 C.X,Di图 1 31 9.解：由长方体4 8 C。-小B|C Q|知,4 D JL 平面 C Q D i G，.点/到平面C DD的 距 离 等 于 1,又$W；CGXCO=g x 2 X l =1,V A-M CC =M C

42、C =将侧面C D。G 绕。G 逆时针转9 0。展开，与侧面小 共面(如图),当小，M,C共线时，4 M+M C取得最小值.由/Z)=CD=1,A A i=2,得 M为 中点.连接 G M,在GMC 中，M C=2,MC =,CC,=2.CC=M Cl+M d2,得ZCM C=9 0 ,即 C M,M g.又由长方体知，8|GJL 平面 COG，.BiCilCM.又 8 1 G n G A/=G，CAn平面 8 c lM,得 CM_L8|M;同理可证，ByM LAM,又 4 MC MC =M,.,.历/1 平面加4c.16.G4、G5、G72012北京卷 如图 1-9(1),在 RtZsNBC

43、 中，NC=90。,D,E 分别为 AC,的中点，点尸为线段CD上 的 点，将 沿 折 起 到 小。E的位置，使AXF L C D,如图 1 一9(2).(1)求证：DE平面小C8；(2)求证：AiFl.BE；(3)线段由8上是否存在点。，使小C_L平面。E。？说明理由.16.解：(1)证明：因为。，E分别为ZC,的中点,所以 D E I I BC.又因为DE。平面小CB,所以。E/平面AXCB.(2)证明：由已知得/C L 3 C且。E/8C,所以。EJL/C.所以 D E U R D E LCD,所以。平面小DC.而/F U平面ADC,所以。E_L小凡又因为小尸所以4 9 _L平面BCDE

44、,所 以/J_8.(3)线段4 2上存在点Q,使小C 1平面。E0.理由如下：如下图，分别取小C,小8的中点尸，Q,则 P Q I I BC.B又因为D E I I BC,所以 D E I I PQ.所以平面D E Q即为平面DEP,由Q）知，E_L平面4D C,所以。J_4C.又因为尸是等腰三角形。小C 底边小C 的中点，所以小C_LDP.所以/C-L 平面DEP.从而小CJ平面DEQ.故线段4 8 上存在点。，使得小CJ平面DEQ.7.G2、G7 2012北京卷某三棱锥的三视图如图14所示，该三棱锥的表面积是（）A.28+6V5B.30+65C.56+12小D.6 0+12小7.B 解析本

45、题考查三棱锥的三视图与表面积公式.由三视图可知，几何体为一个侧面和底面垂直的三棱锥，如图所示，可知SM=1X5X410,=1X 5X 4=10,S i=；X6X2巾=6y 5,S 右=：X4X5=10,所以 S*=10X3+65=30+6/5.12.G2、G7 2012安徽卷某几何体的三视图如图1 2所示，则该儿何体的体积等于正（主）视 图 侧（左）视图542俯视图图 1-212.56 解析如图，根据三视图还原的实物图为底面是直角梯形的直四棱柱，其体积 为 夕=；(2+5)X4X4=56.19.G5、G7、GU 2012全国卷如 图 1一1,四棱锥P-4 8 8 中，底面Z8C。为菱形,R4_

46、L底面/8CZ),A C=2 吸,PA=2,E 是尸C 上的一点，PE=2EC.(1)证明：PC_L平面8ED；(2)设二面角/一尸8 一。为 90。，求尸。与平面P8C 所成角的大小.c图 1 11 9.解：方法一：(1)证明：因为底面Z8CD为菱形，所以又E 4 1底面/BCD,所以PC_L8D设 NCC8D=尸，连结E E 因为NC=2吸,PA=2,PE=2 E C,故P C =2小,EC=，F C =yf2,从 而 生=巡，47;=6.r C ziCPC AC因为的=反;，Z.FCE=Z.PCA-,所以 F C E s PC A,N F E C =Z PAC=90,由此知PCLEF.P

47、 C 与平面BED内两条相交直线B。，E F 都垂直，所以尸CJ平面BED(2)在平面以8 内 过 点/作 NG_LP&G 为垂足.因为二面角N-P 3-C 为 90。，所以平面以8J平面P8C.又平面RIBCI平面PBC=PB,故/G J平面 PBC,AG1BC.8 c 与平面均8 内两条相交直线为，NG都垂直，故 2 c l平面为8,于是8 c l 4 8,所以底面/8CD 为正方形，A D =2,PD-ylPA2+A D2=2y 2.设。到平面PBC的距离为a因为N O/8 C,且平面 8C,8C U 平面尸8 C,故 平面PBC,A,。两点到平面 P 8 C 的距离相等，即d=ZG=q

48、 i设 与 平 面P8C所成的角为a,则s i n a =；.所以P。与平面P8C所成的角为3 0 .方法二：(1)以Z为坐标原点，射线ZC为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Z -|),8(娘，R O).,从而P C B E =Q,设即令设P C D E=0,故 PCLBE,P C IDE.又 B E C D E =E,所以尸C J平面(2)苏 =(0,0,2),AB=(y 2,-6,0).m =(x,y,z)为平面 K4 8 的法向量，则0,=0,2 z =0 S-yflx-by=0,x=b,则”?=(6,A/2,0).n=(p,q,r)为平面P8C的法向量，则n-PC=0,n-B

49、E=0,即 Rip-2r=0 且 +bq+r=0,令 p=1，则 r=y 2,q=-乎，=(1,-乎，干).因为面R 4 8 J面P8 C,故n r =0,即b-1=0,故 b=小,于是=(1,-1,媳)，D P=(一正，-正，2),一、n-DP 1cos 小 D P)=2 n DP ，DP=6 0.因为尸。与平面P2C所成的角和 ，DP互余，故PO与平面尸8c所成的角为3 0 .19.G 5、G 7 2 0 12课标全国卷 如图14,三棱柱/8 C 小囱G中，侧棱垂直底面,Z A C B=9 0,A C=B C=A Ai,。是棱 4小 的中点.(l)i l E明：平面 BDCi J _平面

50、B D C；(2)平面BOG分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.图 1 -419.解：（1）证明：由题设知 8 C J _ C G，BCLAC,C CH A C=C,所以 8 C _ L 平 面/CG小.又。GU平面/CG4，所以。G _ L 8 c.由题设知/|O C I =/）C=4 5。，所以/CL G=9 0 ,即。GJ _ O C.又。C A8C=C,所以，平面8D C 又。GU平面B D G，故平面B G J _ 平面BDC.（2）设棱锥8 D4 CC1 的体积为匕，/C=l.由题意得1 1+2 1X 1 X 1 =2，又三棱柱Z 8 C 一小囱G 的体积=1，所以（修一匕）：匕