《常微分方程》练习题2.pdf

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1、123-132自测麟1.x y-xy+y=0.2.求通解/y1-2沙+21y =0.3.y,Jt-y+ae y=0;4.求通解 xiy,-2 xy+5 y=0.5.2x Tx+2x =Zl n .6.-4x y+（4x 2-1）丁=0;7.化/1yl+方+（二-吟y=0为莓系数方程8=；）。8.求方程D”+；y-y =o通解。9 .将 宿/+秒+3-然2 =0化为自共扼方程。10.将（1-X2）孕-升 华+附2y =0化为常系数方程。ax3 ax133-138自测题1.设振动很小，试求下列单项的周期，若其长为（l）e=1 0 cm（2）e=4 0 cm2.小振幅的单项若周期为1秒（2）2秒试求

2、期项长。3.一质点徐徐地沉入液体，当沉入时，液体的反作用力与下沉的速度成正比例，求（1）初值条件；（2）通解；（3）运动规律。4.一物体在大气中降落，初速度为零，空气阻力与速度的平方成正比例，求物体的运动规律。5.如果不计阻力，某一浮筒的垂直运动服从票+400、=0求此运动的周期。6.一重p =4千克之物挂在弹簧的下端，它使弹簧的长度增长了 1厘米。假定弹簧的上端有一转动机产生铅直调和振动y =2s i n 3Qi厘米，并且在起始t =0B寸，重物处干静止状态。试 求（1）运动方程；（2）数学解；（3）初始条件；（4）运动规律。此重物运动的规律。139-143自1.说明二阶线性齐次方程的一切解

3、集构成一个二维线性空间。J J2.将二阶线性振动方程0,化为方程组。成2 diJ 3.将v a n d er Po l方程 -+p(x2-1)+X=0化为方程组。/2尸 dt4.将L i en a r d+f(x)竺+g(x)=。方程化为方程组。d dt5.试将人造卫星运动方程组_ kx d2y _ kxM-。2+)3/2 而 8+.2)3/2化为一阶方程组。144-145自M S1.将下列方程组写成向量方程的形式。公-出力-由yy-+XX=小瓦力瓦=5x2+y,=7y2+4x.=3x+4y +5z,(3)=2x+y+l,H =x+，公-曲4-:，、=s i n2 x/c o s y/,=2s

4、 i n 3 c o s 2”.dx(小dy.dix +y +s i n t,3x+7y+cost.2,叙述向量微分方程蛆初值问题解的存在惟一性定理证明的五个步骤.146-150自 婕1.解 方 程 组 包=玄=-一。(x+ywO)dt xt x+y八 十的 dx dy dz dx+dy+d dx-dy dx-dz2.求解-=-=-=-=-=-y+z z+x x+y 2(x+y+z)y-z x3.求 解 四=尘=一 丝X Z y4.解以下之联立微分方程式(y+z)dx+(z+x)力 +(x+y)dz=0(x+z)dx+ydy+xdz=0,1dx+2 力-(x+2y虺=05.解2dx+矽+(x-

5、y)由=0151-156自1.线性微分方程的初值问题存在隹一性定理与非线性方程组存在惟一性定理的主要区别。2.叙述线性微分方程组存在惟一性定理证明的五大步骤。3.试用逐次逼近法求方程组与=(1满足初始条件X(0)=(；的第三次近似解。4.求始值问题 =y 2+*,y(o)=0,y(O)=1的第三次近似解。dx*5.设x(z)是 才o 上的连续函数，且为，时，|x(i)|M+M J x 此处财，无都是非负常数。试用叠代法(即逐步逼近法)证明刖)区初当“勺4八时。6.设用，耳，,除互不相同，求 力 二 冉 疗 和，”炉 构 成 的 朗 斯 基 行*1 5 7-1 6 2自MS1.4.W(x验证向量

6、函物且为(x)=8，为(x)=小线性无关。V；F -X、F .x.、证向量函数%(x)=e c o s x,y2(x)=s m x在任何区间上线性无关。k-s i n r )k COS T/已 给 方 程 组 学*_ 为生=与也，(0).ax x ax1 x2 x解矩阵与基本解矩阵的异同。2 A (0设(2)=,(1)验证()是线性齐次方程组X )=二2口 V 1万n2 X )在任何不包含原点的区间a S?4 8上的解矩阵；(2)基解矩阵。6.若线性齐次方程组号=4 e)x与 宏=4 x有相同的基本解组，试证矩阵函数4()=N2G)其中N1)=N2是X”的矩阵函数，且在a /0)(36.8)a

7、x x ax x2 x4.求(36.8)的通解。168-173自 履1.依据线性算子 的性质，列出并证明一系列关于高阶线性齐次方程解的定理。2.叙述函数组的线性相关与线性无关的概念.3 .证明函数组1,冗数,足,在任何区间a M x 4 8上线性无关。4 .证明函数组e,e口（其中当i w /时4 w勺）在任意区间a W xW力上线性无关。5.叙述并证明在区间（a,与内函数组线性相关，线性无关的判定理6.指出定理4与定理5的主要区别。174-177自 融1.举例说明，两矩阵一般地说/方W后/.2.将下列矩阵分解为对角矩阵与累等矩阵之和r2 Pr2 2 0、q 1 1、S 2 2、4 =4 .求

8、解下列方题dxf.=x +y,i 1（1）iX 求 丝=y的基解矩阵。设N=oH=x-y.d x（0 2）Q将它分解，并求解 =A yax185-189自测题(2 1 00 2 1.A=0 0 2(0 0 01 2 1 00 2 12.A=0 0 2k0 0 01 2 1 00 2 13.A 0 0 2N 0 0,0-1 01 0 04.A=0 0 01 0 0 19-21 2$.设北o i、0 001-4o出i0、0.（l）将/分 解；（2）展开e。2/0、0.0，（1）将/分解为对角矩阵与幕字矩阵之和；（2）展开e。2;0、0.0，（1）将/分解；（2）将e及展开。2）0、-1 -1、1

9、110（1）求力的特征方程，特征根。0 b（2）将 N分解为角矩阵与黑等矩阵之和（3）计 算（2）中的舞等矩阵；（4）将e.展开。190-192自 穗1.给矩阵/=,5 3、-6 -4；.（1）求特征根；（2）求特征向量；（3）求=旬的解。ax2.设N=02、0;，求（1）N的特征根;（2）/的特征向量；（3）求 碟=如3.给矩阵A=1 2（1）求特征根;（2）求特征向量；（3）求 名=通解；（4）试解初值问题。193-194自 叁1.给矩阵/=0 +2_/+_/+&-2*=0（1）求对应齐次方程特征根；（2）求齐次方程通解;（3）求方程通解；（4）求解极值问题。203-205自测题1 .方程

10、1y +_/=/+co s x,（I）求齐次方程的特征根；（2）求齐次方程的通解；（3）求方程的通解。2.对方程丁-2/-4 y +8 V =1 6（e-2#+e 2x）,U）求对应齐次方程的特征根；盘）求齐次方程通解；（3）求方程通解。3 .对方程丁时+2丁+_/+&-2*=。（1）求对应齐次方程特征根；（2）求齐次方程通解;C 3）求方程通解；（4）求解极值问题。206-210自测题1.设 y=/+1,（1）求（2）求 乂 居。2.给出差分方程%=%赤-1 +a/a d，（1）给出它的阶；（2）给出它的特征方程。3.求解一阶常系数线性齐次差分方程y*+i-Wx=3*）-4.对差分方程1+2

11、-3 丫 川+2yx=4,（1）求齐次方程的特征方程；（2）求对应齐次差分方程的通解；（3）求非齐次差分方程的通解。5.求给方程居+2+4y*+i+yx=x（x+1）,（i）求特征方程特征根；（2）求对应齐次方程通解；（3）求方程通解。211-216自测题1.指出常微分方程两个特点。2.解释概念（1）非自治系统；（2）自治系统。3.（1）什么是相空间；（2）什么叫增广相空间。4.请给出自治系统的（1）几何解释；（2）力学解释。5.常微分方程耐的转折点在什么时代？6.常微分方程定性时创立时代。217-221自测题1.解释如下概念：（1）轨线；（2）相空间；（3）增广相空间；（4）积分曲线。2.指

12、出轨线与积分曲线的区别与联系。3.是否每条轨线都有确定方向？4.简述自治系统三条基本性质。5.为什么将上题的（3）称为群的性质？222-226自测题1.解释名词：（1）平面向量场；（2）常点；（3）奇点。2.向量场/（x）=（尸（冗力,。（冗）与一阶方程尸（冗）公+。（孔、）砂=。的线索场主要区别O3.比较=-丫（1-/-为冬=/一炉-/）与 虫=一 色 的（1）,二者区别；a t a t dx y联系；4.方 程 组 电=_ y e d）,电=川 与 玄=等价吗？d t d t d t y5.对系统=曰=/，（i）给出轨线方程；（2）给出奇点。a t a t227-229自测题1./有异号实

13、特征值此B 寸。（1）讨论奇点类型；（2）作出相图草图。2./的特征根都有正实部情形。（1）奇点类型；（2）作出相图草图。3.5 的特征值为宪虚数。（1）奇点类型；（2）作出相图草图。230-233自MS1.给出系统(l)?=x+y-x(/+y 2)三9(x,y),=_x+y-y(,x2+y2)=Q(x,y)at at 冬=-y+x(x2+y3-I)2”(x,y)g =-x+y(x2+y2-I)2=Q(x,y)at at的切性曲线。2.给 系 统 半=2 x(l+-2 y 2 p(x,y)W =-y(i-4x 2+3y 2”M xy)用at at定理2研究闭轨不存在性；(2)用定理3研究角轨有

14、存在性。3.给 系 统 孚=y三P(*,y),字=-”-如+加x，4y 2三。(X,内，用定理2，S Jfat at究闭轨有存性；(2)用定理3研究闭轨不存在性。4.给 系 统 学=-y+m xy+ny1=p(x,y),冬=式1 +x)三Q(x,y),用 定 理2讨论di dt闭轨：(2)用定理3讨论闭轨：(3)指出闭轨存在条件。234-235自测题1.给出三个极限环的例子，并尽可能作出极限环所在环域。2.判定以上三个例子中奇点类型。236-241自测题1.试判别下列函数的定号性。*(x,y)=X2.(2)，()=x2-2 xy2.(3)*()=，-2 4 +八/(4)7(x,y)=x2+2

15、x y+y+x2y2.(5)=x c o s x+y s i n x.(6)，()=x +y+x：(7)(x,y,z)=2x2-4 xy+3y2+2 yz+9 z2.以-出力瓦2.公-必打一面-.3.=-x+z yn2 3=-2x y-y3X32y3y1-2X2+2办瓦力一流-办-由由小瓦力一成/4、6.九公-力力-由应瓦-3x+y-z+3x(6x2+5y2+2z2)-2 x-5 y+z +5 y(6 x2+5 y2+2z2)2x-y-2z +2z(6,+5y2+2z2)242 将(2x-4y+6)d x+(x+y-3)d y=0 化为齐次方程。243 求解=f(x+y+l)dx244说明当p

16、(x 连续时，线性齐次方程的。解唯一。245证明线性齐次方程任意两个解的和与差仍是它的解。246常数变易法用变换y=C(x)ex p(-Jp(x)d x)与线性齐次方程通解有什么不同X248 d y/d x-y=0.yjl-x2，dy _249 求初 值 问 题 的 解 姮/c o s x【)，(0)=1250 求解 2x y=4x.dx251 求解方程 y -2y=x 2 ex p(2x),y(0)=0.252解 方 程 虫=一dx x+y253设 y ,(x),y 2(x)是一阶线性方程两个不相同的特解，试用这两个特解来表示通解。254.用变量替换或微分方法将下面方程化为线性(1)x d

17、x=(x2 2y+l)d y(2)(x+l)(y y -l)=y2(3)y(x)=y(t)力+x+1255化下列方程为线性方程 y-y=x J yX(2)y，=y 2-x 2-l256将方程y d x+(y-x)d y=0给两种解法。257试证明:凡具有通解为y=C0(x)+e (x)式的一阶方程都是线性方程。其中。(x),(p(x)为可微函数。常微分方程2答案123-132答案：1.方程是欧拉方程,它有一个二重实根r =l，其特征方程为十-1)-r +l=0 或(I)”。，故通解为y =ef(C+C/)=+x.2.令x=e，求导数有了；=0；2-；%山 ,代入方程得2、1 2 一 变 广2、

18、2成 电dt2次+2 j =0dt或d 2y 的 c c-+2v =0,d a dt它 的 特 征 方 程 一3尸+2=0,特 征 根 勺=1心=2，通解为 y=c1et+c2e2t,换 回 原 变 量 得y=C1x+C2xr3.证明：作 自 变 量 的 替 换j =e-*,-力-=心-力-=-g -x-0时当a。时q 3 s 而J +C 2 s i n nJ ,w|w I w T w ,当4之0时当a 32x 25(2)2=2/J 政/=-：cmV32 玄 23.由题意次x =TKg-A z,从而有始值问题(1)(2)“k.x +x=g mx(0)=0,r*(0)=0上解得方程通解了=门+。

19、2 m +第3由武0)=0 x(0)=0,得质点的运动规律2 3X=吗岁Q _k M4.由题意加x =g-H 2,得始值问题%*+xf2=g,x(0)=0.x(0)=0m令x，=z,方程变形为，比2z+z=g。m5.解 为 =已送血2氏+。/。5 20故 周 期 为 变=上。20 106.（1）取 x 轴铅直向下，i=0时重物所处的位置为原点，重物的位移彳=武力。则物体的运动方程为d2x，/-、at其中y=2 s i n 3 8,无为弹簧的弹性系数。由题意，冽g 上 1=0，故方程成为d2x,、w-7 T=一 岭 一 力。d r4又因P-冽g=4（千克重），故 那=；当 x=1 （厘米）时，9

20、=匕 1 =4（千克重）,故无=4。将冽内的值代人上式。得4 d2x“c.八=-4(%-2 sin 3的，g at即-4-g x=2sin 30Z d r(2)其特征方程为户+g=0,它 的 根 为 尸=诟，故对应的齐次方程的通解为X =C cosa+5 8$痴。因/()=2gsin30,30i不是特征方程的根，故设特解x*=e7 cos30t+h sin 30t.t*而x=-30a sin 30t+30h cos30t,ttx=-900 5:C=2:1,因此方程2y+z=0是所求的方程。4.因所求平面与已知平面平行，所以它们共法矢量，又因该平面过原点，故平面方程的常数项为零，因此所求的平面方

21、程为“_8y+3z=Q.凡 力=1,B=-2,C=5,D=-3 呜s i.n2 x+c o s y f、2 s i n 3 x +4 c o s 2 次或 丝=9(f,Z).dtx+j3x+7s i n f、c o s f.d则至3x +77s i n fc o s f或-=F(Z)+/(0.at 证 Z 三则Jx(5)Z m(；),欧 Z x+7+3 +Q1 ,7+2.(1)向量方程组的初值问题(31.2)Q 解积分方程：700=九+焉(5冲;(2)作逐步逼近向量序列(y(r)：oW =y o,y x)=y o +编 /(s),($)以,8=1,2).(3)用数学归纳法证明口式x)在卜一丽|

22、二为上有定义，连续并且满足不等式|八。)-汨|4 班一，(|r-r0|+2宓=勺.此 2 式联立后即为通解。5dx2-5+2y)1 ydy dz-(x +2y)1 =|F x-y 2 1 2 1|由 此 得 生=卫=玄，於是可积的方程式为-X x+y 1dx dz-x 1总,得 z+log X=C ,其 他 可 积 的 方 程 式 为 _=w.-X x+y解之，得 R+2个=。2故2+1。8才=6，芯2+20=勺为通解。151-156答案：1.线性方程组的系数，非 齐 次 项（或称自由项）都在某个区间上连续，初值问题解也在整个区间上存在惟一。这是一个大范围的存在惟一性定理；而一般非线性方程组的

23、存在惟一性定理仅保证在卜-而|二打上成立，这里人一般“很小”，所以又称为局部性的定理。这里线性微分方程组与非线性微分方程的显著差别之一。2.见正文。3.取 第0次近似解X 0（Z）=（：）则第一次近似解为XW(t)=第二次近似解为CM：搦dtX )=dt=2)0 1、-1叭UJ第三次近似解为0、0 1X+0,拉由1 2)一七、Vt 2)24.令y=z,则上始值问题化为等价的一阶方程组的始值问题y-z1y(0)=02 二7+无2 z(0)=l.取零次近似解。）=6,则V第一次近似解为。=(0+1dx=1+X,3110+第二次近似解为m=Q+j(11+炉3K +/dx=,X4x +1221+-X3

24、,3第三次近似解为Q 3)(x)+J21+-X33x4 YX+12；dx=X6d-*7+/)从而所给二阶方程始值问题的第三次近似解为y =X+J。65.证 因忒。是为 上连续函数，从而存在Mi 0,使得|x ）|此，又由|明4 M +砌#以M+喝 M+kMi(t-t0)dT/2=M+kM(t-t0)+Ml(t-t0)2妨上维续做下去，由数学归纳法如2lr-及 一1 lr Xk()|x +励-。)2 d-F-d-有卜区 l i m M 21+Hm 匕MW=Mek(tto)月To o 2=o i!h+o 盟！6 的L n，J2,1上面为著名的范德蒙行列式。157-162答案：1.由千6/1 ）+。

25、22（打 三0，即，1 口e*1U/q +x 三 0C1 ,0+C 2=0得推得仅当q =勺=0时，上面方程组才成立。故 为J 2在任何区间内线性无关。2.证 反证法，如 果 当/2线性相关，解存在不全为0的C1，J使 与 为+。2y 2=0,用对应分量相等，推得所以 1），是方程组的解。从 而 典）=2z 1（o n是X（）二2 2 X 的基解矩阵。7)6.设 典）是 方 程 组 与=与%=4 G/相同的基本解组所组成的基解矩阵，则%=4 酗 不=4（。勒两式相减，得（A i（t）-A 24）I a）=0,因d et小。）壬0,从 而 拓1（。，（49z）e g=o.即4()-4 =0,即4

26、 )=4(9163答案：1.（1）令dydK-2y 港-iy71=K 乃=丁ax可 将（35.9）化为等至2（x）,，m（X）是方程（35.9）的忽个解，则取5）在X点的值与所点的值之间有下列关系：其中J l（42（。，片（力的朗斯基行列式为：M（X）打八（X）K(x)川（X）取（X）=,xe(a,b)乂 I)涔 口（X）产”任）郎（x）=的（35.12）164-167答案：1.(1)31 叩=(-s i n x)c o s2 x +c o s x(l-s i n x c o s x)dx=-c o s x +s i n x c o s2 x +c o s x-s i n x c o s2 x

27、 s 0;d c o s x ,.小.、.今-(-s i n x)(l +s i n x c o s x)-c o s x s i n2 xdx=-s i n x +s i n x +s i n2 x c o s x -c o s x s i n 2 x =0./、d(ex c o s x)外 .、(2)-二 x c o s 无c o s a x +g x s i n x(l -s i n x c o s X)dx=&x co sx-ex s i n x-ex c o s x c o s2 x +s i n x-s i n2 x c o s x =0;d(e s i n x).八 、.、-级

28、s m x(l +s i n x c o s x)-ex s i n x s i n2 xdx=gx c o s x +g x s i n x-o s i n x-&x sin2 xco sx-&x s i n s i n2 x c o s x三 0;(3)在(Ik (2)的基础上，即知V(x)是(36.7)的解矩阵。,、s i n x ex c o sx2.(1)d et(y(x)=(s i n 2 x 4-c o s2 x)=0.c o s x s i n x所以F(x)是基解矩阵。(2)(36.7)的通解为yx=-cr s i n x+c c o s x,yx=c1s i n x+c C

29、O ST其中q,与是任意常数。一 八、小、-%2 In-Z2 In x3.疆 证(1)1=，当=,；(3)F(x)=是(36.8)对2.)xln x)-x xln x)(x2 X2 X4/、ta x-(l n x)2+-应齐次方程组的解，(4)y*=2 2/4是(3 6 3)的特解。x八、外 x,3炉 3x (In x)2 4-In x-H-(2 2 4 A),d(x2)x?d(-x)x2 2x._ _(1)-F(-x)=2 x-2x=0;-+=-1 -1 +2=0.dx x dx x2 xd(x。-x2 In x)-x2 In x,八一 炉(2)-+xln x=2 x-2xln x-x+xl

30、n x+xln x=0,dx x xd(xn x)x2-x2 In x 2(xln x),=0有复数解1y（x）=（x）+i u（x）,则此解的实数部分以（x）和虚数部分u（x）也都是同一齐次方程的解。证 已知Z;u（x）+i u（x）=O,要证=0和Z*=0。利用算子的性质和（2）,我们得到：L u+z u s Z u +IL u =0,因而，zT 砌三o和 亡 以 三o,因为实变量的复函数只在其实数部分和虚数部分恒等干学时，才恒等于零。注意，我们把算子L*的性质（1）和（2）应用干实变量的复函数（x）+i u（x）显然是可以的，因为在证明性质（1）和（2）时仅利用了导数的性质：（切 =。（

31、其 中c是常数）和0 1 +y 2）=+其，这些性质对实变量的复函数仍是成立的。2.函 数 乃）,为（力，居5）称为在x的某变化区间a W 上是线性相关的，如果在此区间存在常邕勺,。2,4使乃+/y”0 （37.7 ）且至少有一个外w 0。反之，如果恒等式（37.7）仅当%=%=&=二/=0时成立，则函数当，乃，八称为在区间a 4 x 占上是线性无关的。3.证因为恒等式 1，2,，即 =71 72 yn=0谭-D 需 f证 己 给 在 区 间a 4 x 4 3上且生不全为0。将恒等式（37.11）微 加-1次，我们得到：a i/i+a 2 y?+-+axyx=0曲 河+劭 同 +即 北 三0,

32、（37 12）巧 用 T +%湾 F+“+”三0.这个关干全体外的含个方程的线性齐次方程组对区间a x 4 5上的任何x值有非平凡解（即生不全为零），因此，方程组（37.12）的朗斯基行列式印3 1，为，K）在区间&K x S力上之每一点x处必等千零。超1 5如果线性无关的函数组为,乃，,K 是线性齐次方程/卜 三 J +n（x）J 6-D+=0（37.13）的解（所有必（x）在区间a 4 x4 3 上连续），则无论在区间a 4 x4 5 上的那一点，朗斯基行列式丹 g-八质(x)=*乂 wO.证 我们假定在区间a 4 xSS上的某一点x=耳处朗斯基行列式咫（而）=0,我们选取常 数%G=1,

33、2,n）使之满足方程组a/式两）+a 2y 2（湎）+外 （而）三0,a/；（两）+。2川（而）+-+外 乂（而）三0,巧#-（而）+。2游-”（而）+%乂*川（通”0,且使生不全为零。这样的选取法是可能的，因为附个未知数6 的双个方程的齐次线性方程组（37.14）的行列式等千零，取（而）=0,所以，方程组有非平凡解。对干这样选取的,线性组合：y 乃+&M是齐次线性方程（37.13）的解，并且满足零始条件（这是由千方程组（37.14）：y O o）=O，y（Xo）=0,y（-i）（x0）=0.（37.15）方 程（37.13）的平凡解丁三o 显然也满足此零始值条件，且按解之惟一性定理满足零始值

34、条件（37.14）的解仅有这一个。因此&M +a 2y 2+%居 三，解 巧，为，V 携性相关，与定理的条件矛盾。注 1，从定理4 和 5 得出，方 程（37.13）的在区间a 4 上线性无关的解刈,乃,，匕在任一包含在区间。4 工4 8 内的区间的三兀4 瓦上线性无关。旬6系数外（X）G=1,2,-,用在区间a x b上连续的线性齐次方程2*切 三 声）+Pl（x&S T）+外（力=0（37.16）在区间a 4 x W 3上的附个线性无关特解X。）G=1,2,-,冏）之线性组合,=1而 蛇在这1=1个区间上的通解，其中.（x）（i =L 2,，福）是任意常数。5.当a 4 x W 3时，方程

35、满足存在及惟一性定理的条件。因此，如果能选择任意常数q ,使了=为满足任意给定的始值条件i=i丁（而）=先,1/（而）=K，,*-1）（而）=%*-,其中X。是区间a 4 x4 8上的任一点，那么，当aW xAS时，它就是通解.6.定理4与定理5的不同在于后者假定了函数K，乃，八是系数连续的方程（37.13）之解.不能去掉这个假定而认为函数必，为，居是任意的可连续微枷-1次的函数，因为容易举出线性无关的函数组（当然不是系数连续的方程（37.13）的解），其朗斯基行列式不仅在个别点等于，甚至恒等千零。例如，设在区间0 W x W 2上定义两个函数乃（x）和乃（x）：1y l（x）=。-1）2,当

36、o w x w i ,和丁1。）=0,当 1 x 2 ,为（x）=0,当14 x W 2 ,和 乃（x）=（x-l）2,当0 xW l。显然，一 三0,当0 4 x W 2,因为在区间0 4 x4 1,第二列由零组成，而在区间M 为0 x 2上线性无关，因为先在区间0 4 x 4 1上，研究恒等式a1 1y l +a 2乃 三0（V x V 2）,我们得出结论：=0，然后再在区间1 x 2上研究此恒等式，我们又得到a?=0。174-177答案:1.1 0、0 0;而 B-/=000、b故 AB n BA2.(1)4 =2 04-仅(0r，(24=0100300、o%1(3)4=0(00500、

37、0o+01001、i0，0(4)4 =0、03.(1)1 0e3+、o+00ro y1 0+2llon2%(4)010o0、(0o+o0)00e3+:20012、30，2一则为0)注 意 如 下 规 律：T2=b2I。0、i)=Re(6)=b#0.r0 N；=0 t e-n-t*X=+V*-+*_X+Q+V)X(V2 1)X 作变换，六，、八 六、，逆变换=L，丫=-7=-=(V2-1-(1+V2)v 2 0 2 0将原方程组化为 =4 iu,=-4 iv,轨线族方程 v=c.出 dt原方程的轨线族为-2 9=5.0 00 0(0 1、(2)因 为/=2 00 2)0 Oj (0 0)x2 0

38、、(0 n.又(3)A =)。.185-189答案：1 (1)A=r2000020000200、002)十9000100001000、010;=2E+N.(2)eA=e2 fej r=e2(+J +2.(1)/=2 F+9000100001000、000;=2E+Nr0000000010000、000,；N；=o.3.（1）(2)e0、000,三 2E+N2.（2）2Vj =0；所以J+2（，+2）。4.广5.如 果 义 是 N的一个阀重特征值,COST-s i n r00、s i n rCOST0000c o s r一 s i n r(A)=(2 A)3 九=2是 N 的三重特征根。(2)特

39、征向量满足方程组9(工一2期=00由此得到 21=Gi =，而n 1是任意的。因此,而9(A-2 E)3r3=001 3 Y00-1 00 0人01 3、6o的所有的解。由此得到%=0,和为都是任意的。现在，向量满足方程(4-2)2，=0,但是(4-0 o此外,9(A-2 E)3r=000-1 r=0 00 0 J(0 01 3 V 0 00G的所有的解。显然，每一个向量 啷是这个方程的解.得向量但它不满足(A-2E)2r=Oo是第二个线性无关解，又;1=2是单根，因此73=e2”Ay的一个解；现在求第二个线性无关解。(o%E+x(4-)1f o 1 o Yo i l+X0 0 0、0 0 1

40、1八 “x10是第三个线性无关解。(4)直 了)=oxe0、0.d et O)#0,所以，(x)=。1乃+勺 为+C3/3(0 072.(1)特征多项式p(4)=(2-几)？,4=2是/的三重特征根。(2)特征向量满足方程组(A-2 E)r1=010由此得到勺=G=。，而勺是任意的。因此,而,0 1(A-2 P)2r2=0 00-1 03 V01 3、m o -。0-1r2 =0 0 0r2 10 0)、0 0 0,0的所有的解。由此得到0=0,小和G都是任意的。现在，向量。2=1满足方程(4-2)。=0,但是口一 2qr w 0 o此外,01 3、3r00(A-2 E)3r=00-1r=00

41、o0 0 4。乙/小一“3诂凌(x)=0 户0 0(4)所以通解：y=%为+。272+G为.(5)在通解常数G,6和。3由初始条件来确由此得到q =I q=2和q=1。因此MX)=e户(E +x(/-2砌 1假 曾1 O卜1=-1+x 0=e2x 18 o)：+x(N-2 与+1(N-2罚 0v(1 Q3 x-i x22-x1/r2 x-匚 户2-xe2 1 1,d et 我 0”0.)D p 代 伊 定：2=q 0+2 1 +。3 0l o j 同f l +5 x-M-JAy 一个解答案:1-A 1,1.(1)d et(j 4-A f f)=A -24+2,特征根为4=1士 i.1 1-A2

42、)当;l =l +i,j -1 a-?j -尸o o 取特征向量C)r对应齐次方程组通解为:(3)用常数变易法求原方程组通解，由-(/)s i n /+c2(/)c o s/=c o s/c；G)c o s/4-72(/)s i n f =二得 c；(i)=c o s(l-i s加)，c2(/)=g-*(s i n i+c o s2/).。一 C T干是q()=(s i n Z-c o s/)4-(s i n 2/4-2c o s 2 f)+a,尸.二-.1 5c2(Z)=-(s i n +c o s t)H-(s i n 22-一c o s N )+。从而原方程组的通解为：=+1,特征根为;

43、I二上,一;I 12.(1)det(-4-Z ff)=-1(2)当;I=j 时,J-1-1-i)I。OJ取特征向量(L?)r，A Y s(cosZ (sin 2、(cos/4-i sin/)=+ii)71-1、0 0 1取特征向量(U)二当；I =-3时,3-1、3-1取特征向量(1,3对应有次方程组通解为:由(3)用常数变易法求非齐次方程组的解=co stc；(f)e7+3c；。)-交=4 c o s t -血 t得干是从而原方程组的通解为:t/、g /、q =2 G1n t-c o s z),c2(f)=(3c o s Z-s i n ),八 1 rq(i)=c o s/+afc2(Z)=

44、c o s/+p.a,Vw，八 产+(o、C O S j4.（1）_ _ 4 1d e t(j 4 -=万 4,特征根 4 =2.3 1 X（2）当;1=2时，取特征向量（1,3），Cl T当;1 =-2时，取特征向量 3 3,对应齐次方程组的通解为：（3）用常数变易法求非齐次方程组的解卜；（5/+*）产=1注 沦 武 一。加口=-31z得 q（s）=一丁一七勺=于 七，千是 c/s）=-e25+a r,c2（s）=-e2s+p.从而原方程组的通解为:1 9 9-2 0 2答案：1.A2 4-1=O,Zj =i,Z=-i o(2)对应齐次方程通解=q c o s x+c 2 c o s元。(3

45、)因/(x)=/+c o s冗o不是特征方程的根，z是特征方程的根，故设特解y*=ax2+bx+c+x(h c o s x 4-A:s i n x)而=2 ax-b-hco 3 x-ksn x-A x s i n 无 +而c o s 几=2 a 2 h s i n x+2无c o s x我x c o s x一 与x s i n x,代入方程并比较方程两边同类项系数。得2 +c =0,2?=0,(2=1,2上=2 h=0故 7 =1,i =0,c =-2,h=0,k=.2y*=x2-2+s i n x2通解为y =V+y*=q c o s x+c2 s i n x+x2-2+-s i n2.(1

46、)十 一2 4-4l +8=0,它有一个单根，4 =一2,一 个 二 重 牛 乳=2。(2)齐次方程的解为Y=。仰*+(g2+q x)*(3)因/(x)=16(e-2*-2是特征方程的单根，2是特征方程的二重根，故设特解y=+8x 22 2而 y =a/x -2a x e-叙 +。制 +2 bx2e2 l(f=-4 e-2x +4a x 2-*+2 be +8bx 领+4力/0 叙，y例=1 2 ae-2 x-8axe-2 x+126笈 方 +245x 2k代入方程并比较两边同类项的系数，得1 6a=16,86=16,故 以=1,3=2,y *=x E+2 x2e2 x通解为 y =P+y*=

47、q。-*+e2 x(c2+c3x)+疵-制+3.(1)乃+2力+4=0,单根；l =0 二重根;12=-1。(2)对应齐次方程通解为P=q +(q .(3)因/(x)=-&6,-2不是特征方程的根，故设特解为尸=四-船而y*=-2 ae-2x,y =4点/2x =-2x,代入方程并比较方程两边同类项的系数，得-2 a=-2,a=1.y*=2-2x,通解为 V=y +y*=q+r Q +与 彳)+然(4)因 y，=_%_ c3x)-2-2xy*=g f (c?-2C3+C3X)+4 e x由初始条件，得q =4,j =-3,个=0,初值问题的特解为y=4 -3&-x+8-2 x203-205答案

48、：1.A2 4-1=O,Zj =i,Z=-i o(2)对应齐次方程通解=q c o s x+c 2 c o s元。(3)因/(x)=/+c o s冗o不是特征方程的根，z是特征方程的根，故设特解y*=ax2+bx+c+x(h c o s x 4-A:s i n x)而=2 ax-b-hco 3 x-ksn x-A x s i n 无 +而c o s 几=2 a 2 h s i n x+2无c o s x我x c o s x一 与x s i n x,代入方程并比较方程两边同类项系数。得2 +c =0,2?=0,(2=1,2上=2 h=0故 7 =1,i =0,c =-2,h=0,k=.2y*=x

49、2-2+s i n x2通解为y =V+y*=q c o s x+c2 s i n x+x2-2+-s i n2.(1)十 一2 4-4l +8=0,它有一个单根，4 =一2,一 个 二 重 牛 乳=2。(2)齐次方程的解为Y=。仰*+(g2+q x)*(3)因/(x)=16(e-2*-2是特征方程的单根，2是特征方程的二重根，故设特解y=+8x 22 2而 y =a/x -2a x e-叙 +。制 +2 bx2e2 l(f=-4 e-2x +4a x 2-*+2 be +8bx 领+4力/0 叙，y例=1 2 ae-2 x-8axe-2 x+126笈 方 +245x 2k代入方程并比较两边同

50、类项的系数，得1 6a=16,86=16,故 以=1,3=2,y *=x E+2 x2e2 x通解为 y =P+y*=q。-*+e2 x(c2+c3x)+疵-制+3.(1)乃+2力+4=0,单根；l =0 二重根;12=-1。(2)对应齐次方程通解为P=q +(q .(3)因/(x)=-&6,-2不是特征方程的根，故设特解为尸=四-船而y*=-2 ae-2x,y =4点/2x =-2x,代入方程并比较方程两边同类项的系数，得-2 a=-2,a=1.y*=2-2x,通解为 V=y +y*=q+r Q +与 彳)+然(4)因 y，=_%_ c3x)-2-2xy*=g f (c?-2C3+C3X)+