函数概念与基本初等函数5.pdf

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1、函数概念与基本初等函数考纲导读（-）函数1 .了解构成函数的要素，了解映射的概念，会求一些简单函数的定义域和值域.2 .理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法，能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数。3 .了解分段函数，能用分段函数来解决一些简单的数学问题。4 .理解函数的单调性，会讨论和证明一些简单的函数的单调性；理解函数奇偶性的含义，会判断简单的函数奇偶性。5 .理解函数的最大（小）值及其几何意义，并能求出一些简单的函数的最大（小）值.6 .会运用函数图像理解和研究函数的性质.（二）指数函数1.了解指数函数模型的实际背景。2 .理解有理指数塞的含义，了解实数指数塞的意义，掌握塞

2、的运算。3 .理解指数函数的概念，会求与指数函数性质有关的问题。4 .知道指数函数是一类重要的函数模型。（三）对数函数1 .理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用。2 .理解对数函数的概念：会求与对数函数性质有关的问题.3 .知道对数函数是一类重要的函数模型.4 .了解指数函数与对数函数互为反函数（）。（四）塞函数1 .了解塞函数的概念。2 .结合函数的图像，了解它们的变化情况。（五）函数与方程1 .了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。2 .理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。能

3、利用函数的图象和性质判别函数零点的个数.（六）函数模型及其应用1.了解指数函数、对数函数以及基函数的增长特征。知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。2.了解函数模型（如指数函数、对数函数、某函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。3.能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。知识网络函数定义映射性质反1-函数对应法则值域奇偶性单调性周期性互为反函数的函数图像关系（-定 义 域 一 区 间 指数函数对数对数函数指数方程对数方程积、商、金与根的对数常用对数自然对数对数函数的图像和性质高考导航根据考试大纲的要求，结合2009年高考的命题情况，我们可以预测2010

4、年集合部分在选择、填空和解答题中都有涉及，高考命题热点有以下两个方面：一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现.函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势.考试热点：考查函数的表示法、定义域、值域

5、、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象.函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.第1课时 函数及其表示基础过关一、映射1 .映射：设 A、B是两个集合，如果按照某种对应关系 对于集合A中的 元素，在集合 B中都有 元素和它对应，这样的对应叫做 到 的映射，记作.2 .象与原象：如 果 f:A-B 是一个A到 B的映射，那么和A中的元素a对应的 叫做象，叫做原象。二、函数1 .定义：设 A、B是,F:A f B 是 从 A到 B的一个映

6、射，则 映射/:A-B 叫 做 A到 B的，记作.2 .函 数 的 三 要 素 为、,两个函数当且仅当 分别相同时，二者才能称为同一函数。3 .函 数 的 表 示 法 有、o典型例题例 1.下列各组函数中，表示同一函数的是().A.y =l,y=B.y=J x-1 x+1,y=Jx2-1xC.y=x,y=V?D.y=l xl,y=(Vx)2解：C变式训练1：下列函数中，与函数y=x相同的函数是()A.y=B.y=(4)2 C.y=l g l Ox D.y=2 卬x解：C例 2.给出下列两个条件：(1)f(W+l)=x+2 4;(2)f(x)为二次函数且 f (0)=3,f(x+2)-f(x)=

7、4 x+2.试分别求出f（x）的解析式.解：（1）令 t=4+i,x=（t-i）则 f (t)=(t-l)2+2(t-D=t2-l,即 f(x)=x2-l,xc 1,+o o).(2)设 f(x)=a x?+b x+c (a#0),f (x+2)=a(x+2)2+b (x+2)+c,则 f (x+2)-f (x)=4 a x+4 a+2 b=4 x+2.J 4 a =44a+2h=2a,又 f (0)=3=c=3,f(x)=x?-x+3.b=-1变式训练2：(1)已知f (2+1 )=l g x,求 f (x)；X(2)已知 f (x)是一次函数，且满足 3 f (x+1)-2 f (x-1)

8、=2 x+1 7,求 f (x)；(3)已知 f (x)满足 2 f (x)+f ()=3 x,求 f (x).解：令则x*.,.f (t)=l g ,-.f (x)=l g-2 _,xe(l,+o o)./-1 x-1(2)设 f (x)=a x+b,则3 f (x+1)-2 f (x-l)=3 a x+3 a+3 b-2 a x+2 a-2 b=a x+b+5 a=2 x+1 7,a=2,b=7,故 f (x)=2 x+7.(3)2 f (x)+f (1 )=3 x,X把中的X 换成L,得 2f(!)+f (x)=3 X X X X 2-得 3 f (x)=6 x-,f (x)=2 x.X

9、 X例 3.等腰梯形A B C D 的两底分别为A D=2 a,B C=a,N B A D=4 5 ,作直线M N 1 A D 交 A D 于 M,交折线A B C D于 N,记 A M 二 x,试将梯形A B C D 位于直线M N 左侧的面积y表示为x 的函数，并写出函数的定义域.解：作 B H L A D,H为垂足，C G 1 A D,G为垂足,依题意,则有A H=g,A G=3 a.22(1)当 M位于点H的左侧时,N e A B,由于 A M=x,Z B A D=4 5 .A M N=x.：.y=S=-x2(Ox-).22(2)当 M 位于H G 之间时，由于A M=x,.M N=巴

10、，B N=x-.22必 x+(x g)2 2*河5豹2(3)当M位于点G的右侧时,由于 A M=x,M N=M D=2 a-x.；y二S ABCD-SAMDN=(2a+)-(2a-x)2=-(4a*-4ax+x2)=-x2+2 a x-(a x 0,1 V=H变式训练3：已知函数f(x)=,x 0,x=0,xV0 段上的图象，如图所示，作法略.(2)f(l)=l2=l,f(-l)=-f /(-l)=f (1)=1.-小结归纳1 .了解映射的概念，应紧扣定义，抓住任意性和唯一性.2 .函数的解析式常用求法有：待定系数法、换元法(或凑配法)、解方程组法.使用换元法时，要注意研究定义域的变化.3 .

11、在简单实际问题中建立函数式，首先要选定变量，然后寻找等量关系，求得函数的解析式,还要注意定义域.若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用分段函数来表示.第 2 课时 函数的定义域和值域基础过关一、定义域：1 .函数的定义域就是使函数式 的集合.2 .常见的三种题型确定定义域：已知函数的解析式，就是.复 合 函 数 f g(x)的有关定义域，就要保证内函数g(x)的 域是外函数f (x)的一域.实际应用问题的定义域，就是要使得 有意义的自变量的取值集合.二、值域：1 .函数y=f (x)中，与自变量x的值 的集合.2 .常见函数的值域求法，就是优先考虑,取决于,常用的方法有：观察法；配方法

12、；反函数法；不等式法；单调性法；数形法；判别式法；有界性法；换元法(又分为 法和 法)例如：形如y=L=，可采用 法；尸=旦 1 1*=_ 2),可采用 法或2+x2-3X+2 3-法(x)t+”(x)+c,可采用 法 y=x J l-x，可采用 法;y=x-n下,可采用_ _ _ _ _ _ _ _ 法；尸 可采用_ _ _ _ _ _ _ _法等.2-cos x典型例题例 1.求下列函数的定义域:丫 二 审 工;y l x l-x(2)y=/1+(5-;正-3(3)y=J x +l-J x-l .解：(1)由 题 意 得 化 简 得：二I X I-X 0 xx即尸丁.故函数的定义域为 x|

13、x 0 且 x#-l .x 0 x l变式训练1:求下列函数的定义域：(1)丫 二 一 7 联2 二 +(x T)；(2)y=二+(5 x-4);712+X-X2 l g(4 x+3)2-x 0 x 2解：(1)由 0,得 -3 4 x +3 0(2 )由 4 x +3 工 1,得 0-5 x 52k7r-x2k7U+(k e Z)?2 2借助于数轴，解这个不等式组，得函数的定义域为-5 号)U(ggu仔,5例 2.设 函 数 y=f(x)的定义域为 0,1 ,求下列函数的定义域.(l)y=f(3 x);(2)y=f(l);X(3)y=f (x +1)+/(x-1)；(4)y=f (x+a)+

14、f (x-a).解：0 W 3 x l,故 OWxWL 尸f(3 x)的定义域为 0,1.3 3(2)仿(1)解得定义域为 1,+8).(3)由条件,y 的 定 义 域 是 与 a-定义域的交集2列出不等式组Ox+-13 nOx-13 x x,3 3233故 y=f(x+g)+x _ g 的定义域为1 1 .(4)由条件得+=卜讨论：0X-6f 1 Xl+t?当f I-a,即 OWaW，时，定义域为a,1-a ;1-6?1 +tJ,2当卜-a 即_ 2.忘0 时，定义域为R a,1+a.-a +a,2综上所述：当时，定义域为a,l-a；当-WaWO时，定义域为-a,1+a.2 2变式训练2：若

15、函数f(x)的定义域是 0,1 ,则 f(x+a)-f(x-a)(0 a -,x*-x+1 2 4 4 A j 1 /4 1 .U V-4,y 1.x2-x +3 3:.值域为方 法 二(判别式法)由 y=7,W(y_l)0,即上上 0,解得 IV yV l.e+1 1 -y 1-y二函数的值域为y 1 T y 2a2-a-3=0/.a=-l 或 a=2.2、b 的值.(2)对一切 x d R,函数值均非负，.A=8(2a2-a-3)W0=TW aW，.a+30,2f(a)=2-a(a+3)=a2_3a+2=-(a+)2+(ae-1,-1).2 4 _ 2二次函数 f(a)在-1,-上单调递减

16、，.f(a)in=f,f(a)max=f(-1)=4,_ 2j 2 4f(a)的值域为口电,4.4小结归纳1.求函数的定义域一般有三类问题：-是 给 出解释式(如例1),应抓住使整个解式有意义的自变量的集合；二是未给出解析式(如例2),就应抓住内函数的值域就是外函数的定义域；三是实际问题，此时函数的定义域除使解析式有意义外，还应使实际问题或几何问题有意义.2.求函数的值域没有通用方法和固定模式，除了掌握常用方法(如直接法、单调性法、有界性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图 象 法)外，应根据问题的不同特点，综合而灵活地选择方法.第 3 课时 函数的单调性基础过关一、单调性1.定义：如果

17、函数y=f (x)对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值M.、如当 汨“范时.，都有，则 称 f(X)在这个区间上是增函数，而这个区间称函数的一个；都有，则称/(X)在这个区间上是减函数，而这个区间称函数的一个.若函数f(x)在整个定义域1 内只有唯一的一个单调区间，则 f(x)称为.2.判断单调性的方法：(1)定义法，其步骤为：;.(2)导数法，若函数y=f(x)在定义域内的某个区间上可导，若,则/1(X)在这个区间上是增函数；若，则/(X)在这个区间上是减函数.二、单调性的有关结论1.若/(x),g(x)均为增(减)函数，则/(x)+g(x)函数；2.若/(x)为增(减)函数，

18、则一/(力为；3.互为反函数的两个函数有 的单调性；4.复合函数y=f g(x)是定义在M上的函数，若 f (x)与 g(x)的单调相同，则 f g(x)为，若/(x),g(x)的单调性相反，则/1 g(x)为.5.奇函数在其对称区间上的单调性，偶函数在其对称区间上的单调性.典型例题例 L已知函数f(x)=a*+匕(a l),证明：函数f(x)在(-1,+8)上为增函数.X +1证明 方法一 任取Xi,X2(T,+8),不妨设 xi 0,优 E 1 且 a 0,X V xi+lo,x2+i0,又 一 2 X j 2 _(玉-2)($+1)-a -2)(占 +1)_ 3(-2-)Q占+1 x,+

19、1(x,+l)(x,+1)(x,+l)(x2+1)于是 f(X 2)-f(x I)=a*-a+上心-土心 0,x2 4-1 X1 4-1故函数f(x)在(-1,+8)上为增函数.方法二 f(x)=as+l-(a l),x+1求导数得 f(x)=aslna+-,；a l,.,.当 x -l 时，axlna0,-一 0,(x+l);(x+l):;(x)0 在(-1,+8)上恒成立,则f(x)在(T,+8)上为增函数.方法三.y=a”为增函数，又丫=土e=1+=在(-1,+o o)上也是增函数.x+1 x+.y=a“g在(-1,+8)上为增函数.X +1变式训练1：讨论函数f(x)=x+g(a 0)

20、的单调性.x解：方 法 一 显 然 f(X)为奇函数，所以先讨论函数f(x)在(0,+8)上的单调性,设 Xix2 0,则f(Xi)-f(X 2)=(X1+)-(x2+-)=(X1-X2)(1-).X 玉 中2 当 O V xzV xW 时，1,中2则 f(Xi)-f(X2)0,即 f(Xi)X2“时，OV 2 V I,则 f(xi)-f(x2)0,EP f(X1)f(x2),故 f（x）在 石，+8）上是增函数.,f（X）是奇函数,（X）分 别 在（-8,-而 人 4a,+8）上为增函数;f（x）分 别 在 -6,0）、（0,行 上为减函数.方法二 由r（x）=l-1=0可得x=4a当X&或

21、x V-石 时，fx)0.,.f(x)分 别 在(4 a，+2、(-8,-石 上是增函数.同理O V x后 或-后V x 0时，fx)0,得函数的定义域是(0,4).令t=4 x-x)则y=log,t.2Vt=4x-x2=-(x-2)-4,.t=4x-x2的单调减区间是2,4),增区间是(0,2 .又y=kgt在(0,+8)上是减函数，.函数y=1og2(4x-x2)的单调减区间是(0,2 ,单调增区间是2,4).2例 工 求下列函数的最值与值域：(1)y=4-V3+2 x-r；(2)y=x+;(3)y=1 +J(2-幻。+4.x解：(1)由 3+2x-x?由0 得函数定义域为-1,3,又 t

22、=3+2x-x2=4-(x-l)2.A te 0,4,V7 e 0,2,从而，当x=l时，yni=2,当x=T或x=3时，丫 码*=4.故值域为2,4 .(2)方法一 函数y=x+3是定义域为x 1x0上的奇函数,故其图象关于原点对称，故只讨论Xx 0时，即可知x 0时,y=x+3 3 2 jra=4,等号当且仅当x=2时取得.当x 0时，yW-4,X V X等号当且仅当x=-2时取得,综上函数的值域为(-8,-4 U 4,+8),无最值.方法二 任取Xl,X2,且Xi ,可视为动点M (x.O)与定点A(0,1)、B(2,-2)距离之和，连结A B,则直线AB与 x 轴的交点(横坐标)即为所

23、求的最小值点.Y m i l l-AB I-J(0-2)。+(I +2 =-i/n,可求得 X-y 时，y m i n=.显然无最大值.故值域为 而，+8).变式训练3：在经济学中，函数f(x)的边际函数M f(x)定义为M f (x)=f (x+1)-f (x).某公司每月最多生产1 0 0 台报警系统装置，生 产 x (x 0)台的收入函数为R (x)=3 0 0 0 x-2 0 x 2 (单位：元)，其成本函数为C (x)=5 0 0 x+4 0 0 0 (单位：元)，利润是收入与成本之差.(1)求利润函数P (x)及边际利润函数MP(X)；(2)利润函数P (x)与边际利润函数M P

24、(x)是否具有相同的最大值？解：(1)P (x)=R (x)-C (x)=(3 0 0 0 x-2 0 x2)-(5 0 0 x+4 0 0 0)=-2 0 x?+2 5 0 0 x-4 0 0 0(x e 1,1 0 0 且 x d N,)M P (x)=P (x+1)-P (x)=-2 0 (x+1)2+2 5 0 0 (x+1)-4 0 0 0-(-2 0 x 0 2 5 0 0 x-4 0 0 0)=2 4 80-4 0 x (x E 1,1 0 0 且 x e N).(2)P (x)=-2 0(x-号)、74 1 2 5,当 x=6 2 或 6 3 时，P(x)=74 1 2 0 (

25、元).因为M P (x)=2 4 80-4 0 x 是减函数，所以当x=l 时,M P(x)皿=2 4 4 0(元).因此，利润函数P (x)与边际利润函数M P (x)不具有相同的最大值.例 4.(2 0 0 9 广西河池模拟)已知定义在区间(0,+8)上的函数f(x)满足f (土)=f(x j-f(x 2),且X2当 x l 时，f(x)0,代入得 f =f(x)-f (x J=O,故 f (1)=0.(2)任取 x i,x2 (0,+8),且 x i x2,则上 1,由于当 x l 时,f (x)0,X2所以 f (五)VO,BP f (x i)-f (x2)0,因此 f (x i)9,

26、；.x 9 或 XV-9.因此不等式的解集为 x|x 9 或 x 0 时,f(x)l.(1)求证：f(x)是 R 上的增函数；(2)若 f(4)=5,解不等式 f(3 m 2-m-2)V3.解：(1)设 Xi,Xz G R,且 x Vx?,则 x2-Xi 0,.*.f(x2-x i)1.f (x2)-f(Xi)=f (x2-x i)+x t)-f(Xi)=f(X2-X1)+f (x i)-l-f(Xi)=f (x2-x i)-l 0.*.f(X2)f(X l).即 f(x)是 R 上的增函数.(2)Vf (4)=f (2+2)=f (2)+f (2)T=5,.,.f (2)=3,原不等式可化为

27、f(3 m2-m-2)f(2),；f(x)是 R上的增函数，3 m 2-m-2 2,解得TV mV 土 故 解 集 为(-1,1).-3 3小结归纳1-证明一个函数在区间D上是增(减)函数的方法有：(1)定义法.其过程是：作差变形一判断符号，而最常用的变形是将和、差形式的结构变为积的形式的结构；(2)求导法.其过程是：求导判断导函数的符号下结论.2 .确定函数单调区间的常用方法有：(1)观察法；(2)图象法(即通过画出函数图象，观察图象，确定单调区间)；(3)定义法；(4)求导法.注意：单调区间一定要在定义域内.3 .含有参量的函数的单调性问题，可分为两类：一类是由参数的范围判定其单调性；一类

28、是给定单调性求参数范围，其解法是由定义或导数法得到恒成立的不等式，结合定义域求出参数的取值范围.第 4 课时 函数的奇偶性基础过关1.奇偶性：定 义：如果对于函数f(X)定义域内的任意X都有,则 称f(X)为奇函数；若，则 称f(X)为 偶 函 数.如 果 函 数f(x)不具有上述性质，则f(X)不具有,如果函数同时具有上述两条性质，则f(X).简单性质:1)图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于 对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 对称.2)函数F(x)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于 对称.2.与函数周期有关的结论：已知条件中如果出现f(x+a)=-/(x)

29、、或f(x+a)f(x)=机(a、m均为非零常数，a0 ),都可以得出/(x)的周期为；y=/(x)的图象关于点(a,0),伯,0)中心对称或y=/(x)的图象关于直线x=a,x=b轴对称，均可以得到/(x)周期典型例题例1.判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=-I -；(2)f(x)=l o g2(x+Vx2+1)(xG R);(3)f(x)0,得 xW 2.：.f(x)的定义域 x|xW 2关于原点不对称,故f(x)为非奇非偶函数.变式训练1:判断下列各函数的奇偶性:(1)f(x)=(X-2)，言；(3)f(x)=x+20 x+2(x 1).解：(1)由 出 o,得定义域为-2,2),关

30、于原点不对称，故 f(x)为非奇非偶函数.2-x(2)由七厂 得定义域为(T,0)U(0,1).(lr-2 l-2*0.这时f(X)=皿 )=_ 幽二项.-(r-2)-2 丁Vf(-X)=-巫3=_ 吗虫=/*),.f(x)为偶函数.(-X)-X(3)x l,：.f(-x)=-(-x)+2=x+2=f(x).x l 时，f(x)=-x+2,-x-l,f(-x)=x+2=f(x).TWx Wl 时，f(x)=0,T W-x W l,f (-x)=0=f(x).对定义域内的每个x 都有f(-x)=f(x).因此f(x)是偶函数.例 2 已知函数 f(x),当 x,yG R 时，恒有 f(x+y)=

31、f(x)+f(y).(1)求证：f(x)是奇函数：(2)如果xW R ,f(x)V0,并且f(l)=-L 试求f(x)在 区 间 -2,6 上的最值.2(1)证明：函数定义域为R,其定义域关于原点对称.Vf(x+y)=f(x)+f(y),令 y=-x,(0)=f(x)+f(-x).令 x=y=O,/.f(0)=f(0)+f(0),f(0)=0./.f(x)+f(-x)=0,得 f(-x)=-f(x),；.f(x)为奇函数.(2)解：方法一 设 x,yC R.,Vf(x+y)=f(x)+f(y),：.f(x+y)-f(x)=f(y).V x e R f(x)0,A f(x+y)-f(x)0,.f

32、(x+y)x,；.f(x)在(0,+8)上是减函数.又f(x)为奇函数，f(0)=0,：.f(x)在(-8,+8)上 是 减 函 数.(-2)为最大值,f(6)为最小值.V f(1)=-1,A f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2 f(1)+f =-3.2 所求f(x)在 区 间 -2,6 上的最大值为1,最小值为-3.方法二 设 xi 0,.f(x2-xi)0.A f(x2)-f(xi)0 时，-x 0).A f(x)=Hlg(2-x)U 0).即 f (x)=-xlg(2+|x|)(xR).例3已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x+2)=-f(x).(1

33、)求证：f(x)是周期函数；(2)若f(x)为奇函数，且当O W xW l时，f (x)=x,求 使f (x)=-,在0,2 0 0 9 上的所有x的个2 2数.(1)证明：V f(x+2)=-f(x),A f(x+4)=-f(x+2)=-f (x)=f(x),f (x)是以4为周期的周期函数.(2)解：当 OWxWl 时，f (x)=-x,2设 一 1 WxWO,贝IOW-xWl,.;f (-x)=(-x)=-x.2 2；f(x)是奇函数，1.f(-x)=-f(x),A-f(x)=-x,B P f (x)=-x.2 2故 f(x)=x(-l x l)2又设 1 V x V 3,则-IV x-

34、2 V 1,A f(x-2)=i(x-2),2又f (x-2)=-f(2-x)=-f(-x)+2)=-L-f(-x)=-f(x),A-f(x)=(x-2),2A f (x)=-(x-2)(l x 3).(-1X1)(1 x 0).(2)性质：幅;当 为 奇 数 时，如=&;当 为 偶 数 时，如=_=.320)0,r s w Q)(2)(r)s=(a 0,r、s eQ)(3=(a 0,r,s eQ)注：上述性质对r、S W R均适用.3 .指数函数：定 义：函数 称为指数函数，1)函 数 的 定 义 域 为:2)函数的值域为：3)当 时函数为减函数，当 时为增函数.函数图像：1)过点，图象在：

35、2)指数函数以 为 渐 近 线(当 时，图象向无限接近了 轴，当。1 时，图象向 无限接近x轴)；3)函 数 与 的图象关于 对称.函数值的变化特征：0。X out _ x 0时_ x =0 M _ x =0时_ X 0时_ x 5-1-(2a-/2)=-a 6b -e-(a/!)=a-b-=2 4 4 4 而 4ab2例 2.函数 f(x)=xM)x+c 满足 f(l+x)=f(l-x)且 f(0)=3,则 f(b 与 f(c)的大小关系是()A.f(b*)Wf(c)B.f(b)f(cx)C.f(bx)f(cx)D.大小关系随x 的不同而不同解：A变式训练2：已知实数a、b 满足等式(夕=(

36、,下列五个关系式：0 b a;0 a b 0;(3)0 a b;b a 1,由复合函数的单调性可知，f(x)=3 6 _ 5 x +4 在(-8,1 上是减函数，在 4,+8)上是增函数.故 f(x)的增区间是 4,+8),减区间是(-8,1.(2)由 g(x)=-(：)*+4(：)*+5=-(g)+4(g)+5,，函数的定义域为 R，令 t=(f *(t 0),.*.g(t)=-t：!+4t+5=-(t-2)2+9,.飞0,.g(t)=-(t-2)z+9W 9,等号成立的条件是 t=2,即 8 a)辽9,等号成立的条件是(，=2,即 x=T,.g(x)的值域是(-8,9 1.由g(t)=-(

37、t-2)2+9(t 0),而 t=(；)，是减函数，.要求g(x)的增区间实际上是求g(t)的减区间，求 g(x)的减区间实际上是求g(t)的增区间.Vg(t)在(0,2 3 上递增，在 2,+8)上递减,由 0 +)上是增函数.故 y=(_L)，“单调递增区间为 1,+8).(2)令 u=x,-x-6,则 y=2 ,.二次函数U=X2-X-6的对称轴是x=l,2在 区 间+)上 u=x -x-6 是增函数.2又函数y=2”为增函数，函数y=2,”在 区 间 1,+8)上是增函数.2故函数y=2的单调递增区间是 工，+8).2例 4.设 a O,f(x)=J+巴 是 R上的偶函数.a e(1)

38、求 a的值；(2)求证：f(x)在(0,+8)上是增函数.(1)解：Yf (x)是 R 上的偶函数，f (-x)=f (x),.鼠+幺=+巴,a e a e:.(a-l xe1-)=0 对一切 x 均成立，a e,*a*-=0 j 而 a 0,*a.=1.a(2)证明 在(0,+8)上任取X】、x2,且 X i X 2,则 f (xi)-f(X 2)=er,+-ex,-e1 e?V xi x2,/.er,0.V xi 0,X 2 0,/.X i+x?0,/.e E i,-l 0./.f (xi)-f(X 2)0,即 f (xi)f(X 2),故 f(x)在(0,+o o)上是增函数.变式训练4

39、：已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2,且当xe(0,1)时，f(x)=工.(1)求 f (x)在 T,口上的解析式;(2)证明：f(x)在(0,1)上是减函数.(1)解：当 xe(-l,o)时，-xe(o,D.V f (x)是奇函数，(x)=-f (-X)=-414-1 4,+1由 f (0)=f (-0)=-f (0),且 f =f (-l)=-f (-l+2)=-f(l),得 f(0)=f(l)=f(-l)=0.在区间-1,1上，有f (x)=4_ 2_4 +12*xe(O,l)证明 当 xe(0,1)时，f(x)=2*4 +10 xe(-l,0)xe-1,0,1)设 0V x1

40、V x2 l,则 f(xAf(x2)=，-上 9 2“)(2 )4 +1 4”+I(4*+1)(4 -+1)V 0 x1 x2 0,2*计打-1 0,；.f(xi)-f(x2)0,即 f(x,)f (x2),故 f（x）在（0,1）上单调递减.小结归纳1.阪=a,a =N,l o g0N=b（其 中 N 0,a0,是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同底.2.处理指数函数的有关问题，要紧密联系函数图象，运用数形结合的思想进行求解.3.含有参数的指数函数的讨论问题是重点题

41、型，解决这类问题最基本的分类方案是以“底”大 于 1或小于1 分类.4.含有指数的较复杂的函数问题大多数都以综合形式出现，与其它函数（特别是二次函数）形成的函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要注意知识的相互渗透或综合.第6课时 对数函数基础过关1.对数：（1）定义：如 果/=N（a 0,且a）,那么称 为，记作，其中。称为对数的底，N称为真数.以 10为底的对数称为常用对数，叫1。2 记作.以无理数“e=2.7 l 828）为底的对数称为自然对数，10g,N 记作.（2）基本性质:真数N为（负数和零无对数）；l o g/二；10即4=;对数恒等式：a N=.（3）

42、运算性质：l o g“（M N）=；l o g,=；N l o g.,M，=（W R）.换底公式：l o g“N=（a 0,a W l,ni 0,mWl,N 0）噪,=.2.对数函数：定 义：函数 称为对数函数，1）函数的定义域为（；2）函数的值域为；3）当_ _ _ _ _ _ 时，函数为减函数，当_ _ _ _ _时为增函数；4）函数丫=1 8/与函数（。，且。*1）互为反函数.1）图象经过点（）,图象在 1 2）对数函数以 为渐近线（当时，图象向上无限接近y轴；当时，图象向下无限接近y 轴）；4）函数y=l og“x与 的图象关于x 轴对称函数值的变化特征：_ _ _ _ _ _ _ _

43、 _ _ _ _ _ _ _ _0 6?X 1 时_ _ _ _ _ _ _ _ X=1 时_ _ _ _ _ _ _ _0 c XV1时_ _ _ _ _ _ _X1时_ _ _ _ _ _ _ _ X=时_ _ _ _ _ _ _ _()x 75（2+V3）=-1.(2)原式=l g VI(2 1 g V2+l g 5)+7(l g V2):-2 1 g V2+l=l g V2 (Ig 2+l g 5)+|l g V2-1 1=lgV 2+(l-lg72)=l.(3)原式=(Ig32-lg49)-Ilg 8 +llg 2 4 52 3 2=-(51g2-21g7)-lx2ig2+l (21

44、g7+lg5)23 2 2=-Ig2-lg7-21g2+lg7+l lg5=l lg2+l lg52 2 2 2=lg(2X5)=lglO=.2 2 2变式训练1:化简求值.(1)log2-+log212-log-42-1;(2)(Ig2)2+lg2 lg50+lg25;(3)(log32+log92)(log43+log83).解：(1)B=log2=.+log212-log2742-Iog22=log2-=Z2 =k)g,i=iog,2/V48 V48xV42x2 272 2(2)原式二lg2(lg2+lg50)+lg25=21g2+lg25=lgl00=2.(3)原 式 二(蚂+里).(

45、里+里)二 些.皿 二 21g3 21g3 21g2 31g2 21g3 61g2 4例 2比较下列各组数的大小.(1)log3-f log5-;(2)logi.O 7 与 log-0.7;35(3)已知1 0 8 1 0 8&1 0 8/,比较2:2,2的大小关系.T T T解：(1)V log3 lo g5l=0,/.log3 log5.3 5 3 5(2)方法一 V00.71,1.1log07l.llog071.2,1 1 -，log1)71.2即由换底公式可得logi.I0.7 logI,20.7.方法二 作出y=logi,ix与 y=logi.2x 的图象.,啰 如图所示两图象与x=

46、0.7 相交可知logi iO.7logi,20.7.10 7yy=log：x 为减函数，且 logA b log,a a c,而 y=2、是增函数，A2b 2a 2c.变式训练2：已知O V a V l,b l,a b l,则 log,loglogJ的大小关系是()b a bA.logJogj?logD.log.log.,-b b b b解：C例 3 已知函数f (x)=l og”x(a 0,a#l),如果对于任意x 3,+)都有|f (x)|21成立,试求a的取值范围.解：当 a l时，对于任意x 3,+8),都有f(x)0.所 以,|f (x)|二 f (x),而 f (x)=l og

47、a x 在 3,+8)上为增函数,对于任意x 3,+B ,有 f(x)2 1 og a 3.因此，要使|f(x)|2 1 对于任意x 3,+8)都成立.只要 l o g O l 二 l og a d 即可，/.l 1,在 区 间(-8,1 一 6上是减函数，所以g(x)=x 2-a x-a 在 区 间(-,1-73 上也是单调减函数，且 g(x)0.J-白 4 a2-2y/3g(l-扬 0 (1-V3)-a(l-V3)-a 0解得 2-2 W a 2.故 a的取值范围是 a|2-2 6W a 1,X2 1,则点A、B的纵坐标分别为l og s Xi l og8X2.因为A、B在过点。的直线上，

48、所 以 幽 土=1 2 L 土%演点 C、D 的坐标分别为(X1,l og 2 Xi)(x2,l og2x2),由于 1 0 g 2 Xl-1 O g x X|=31 0 g 8XI,1 0 g 2 X2=31 0 g 8X2,l ogK2oc 的斜率为k k-3，4 X、O D 的斜率为0 =1 2 区三=,由此可知k 产 k z,即 0、C、I)在同一直线上.x2 x2(2)解：由于 B C 平行于 x 轴，知 l og 2 Xi=l og 8X2,即得 l og2x i=-!-l og2x2,X2=X3I,3代 入 代 0 g 8Xi=Xil 0 g 8X2,得 X3il 0 g8Xi=

49、3Xil 0 g 8Xi,由于 Xil,知 l og8x i 0,故 X3I=3XI,又因XI 1,解得x i=VL 于是点A的 坐 标 为(声，l og 8石).变式训练 4：已知函数 f (x)=l og 2 ii+l og 2(x-l)+l og2(p-x).x-1(1)求 f(x)的定义域；(2)求 f(x)的值域.0 ，X 1解：(1)f(x)有意义时，有 卜 1 0 ，p-x 0(3),由、得x l,由得x Vp,因为函数的定义域为非空数集，故pl,f(x)的定义域是(1,P).(2)f (x)=l og2 (x+1)(p-x)=l og 2 -(x-上)+(+一 (l x 3时，

50、20-(x-R，+(P +i)：v(P +】),2 4 41 O g J-(x -0 y+W 2 l o g z (p+1)-2._ 2 4当立1 1 W 1,即 l V p W 3 时，2V 0 ,+文 也 2(”1),2 4l o g j 3 时,f(x)的值域是2 1 o g 2(p+l)-2 ;，当 1 V p W 3 时,函数 f (x)的值域是(-8,i+i o g M p-i).小结归纳1 .处理对数函数的有关问题，要紧密联系函数图象，运用数形结合的思想进行求解.2 .对数函数值的变化特点是解决含对数式问题时使用频繁的关键知识，要达到熟练、运用自如的水平，使用时常常要结合对数的特