公公务员考试数学运算题.pdf

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1、【粤版帮帮团】2010.10.13数学运算第1 期一数学运算之比例问题专题响应版主号召，争做发帖第一人。本主题有二十讲，包括公考能考到的类型，每 23 天更新一次。如果还有时间的话，再 做 期 秒杀系列！现在开始【例1】b 比a 增加了 2 0%,则 b 是 a 的多少？a 又是b 的多少呢？【例2】养鱼塘里养了一批鱼，第一次捕上来200尾，做好标记后放回鱼塘，数日后再捕上 100尾，发现有标记的鱼为5 尾，问鱼塘里大约有多少尾鱼？A.200 B.4000 C.5000 D.6000（2004 年中央 B 类真题）【例3】2001年，某公司所销售的计算机台数比上一年度上升了 20%,而每台的价

2、格比上一年度下降了 20%。如果2001年该公司的计算机销售额为3000万元，那么2000年的计算机销售额大约是多少？A.2900万 元 B.3000万 元 C.3100万 元 D.3300万 元（2003年中央A 类真题）【例4】生产出来的一批衬衫中大号和小号各占一半。其中25%是白色的，75%是蓝色的。如果这批衬衫总共有100件，其中大号白色衬衫有10件，问小号蓝色衬衫有多少件？A.15 B.25 C.35 D.40（2003 年中央 A 类真题）【例5 1 某企业发奖金是根据利润提成的，利润低于或等于10万元时可提成10%：低于或等于20万元时，高于10万元的部分按7.5%提成；高于20

3、万元时，高于20万元的部分按 5%提成。当利润为40 万元时，应发放奖金多少万元？A.2 B.2.75 C.3 D.4.5（2003 年中央 A 类真题）【例6】某校在原有基础（学生700人，教师300人）上扩大规模，现新增加教师75人。为使学生和教师比例低于2：1,问学生人数最多能增加百分之儿？A.7%B.8%C.10.3%D.115%（2003 年中央 A 类真题）【例7】某企业去年的俏售收入为1000万元，成本分生产成本500万元和广告费200万元两个部分。若年利润必须按P%纳税，年广告费超出年销售收入2%的部分也必须按P%纳税，其它不纳税，且已知该企业去年共纳税120万元，则税率P%为

4、A.40%B.25%C.12%D.10%（2004 年江苏真题）【例8】甲、乙两盒共有棋子108颗，先从甲盒中取出放人乙盒，再从乙盒取出放回甲盒，这时两盒的棋子数相等，问甲盒原有棋子多少颗？A.40 颗 B.48 颗C.52颗 D.60颗（2004年浙江真题）【例9甲乙两名工人8 小时共加736个零件，甲加工的速度比乙加工的速度快3 0%,问乙每小时加工多少个零件？A.30个 B.35个 C.40个 D.45 个(2002年 A 类真题)【例 10】已知甲的12%为 1 3,乙的13%为 1 4,丙 的 14%为 15,丁的15%为 1 6,则甲、乙、丙、丁 4 个数中最大的数是：A.甲 B.

5、乙 C.丙 D.丁(2001年中央真题)解析：【例 1】【解析】可根据方程的思想列式得ax(1+20%)=b,所以b 是 a 的 1.2倍。【例 2】解析：方程法：可设鱼塘有X 尾鱼，则可列方程，100/5=X/200,解得X=4000,选 择 B。【例 3】【解析】方程法：可设2000年时，销售的计算机台数为X,每台的价格为Y,显然由题意可知，2001年的计算机的销售额=X(1+20%)Y(1-20%),也即3000万=0.96XY,显然XY3100。答案为C。【例 4】【解析】这是一道涉及容斥关系(本书后面会有专题讲解)的比例问题。根据已知大号白=10件，因为大号共50件，所以，大号蓝=4

6、0件；大号蓝=40件，因为蓝色共75件,所以，小号蓝=35件。例 5【解析】这是一个种需要读懂内容的题型。根据要求进行列式即可。奖 金 应 为 10X1O%+(20-10)X7.5%+(40-20)X5%=2.75【例 6】【解析】根据题意，新增加教师75 人，则学生最多可达到(300+75)X2=750人,学生人数增加的比列则为(750-700)4-7007.1%【例 7】【解析】选用方程法。根据题意列式如下：(1000-500-200)XP%+(200-1000X2%)XP%=120 P%=25%【例 8】【解析】此题可用方程法，设甲盒有X 颗，乙盒有丫颗，则列方程组如下，参见辅助资料。此

7、题运用直接代入法或逆推法更快捷。【例 9】【解析】选用方程法。设乙每小时加工X 个零件，则甲每小时加工1.3X个零件，并可列方程如下：(1+1.3X)X 8=736 X=40所以，选择C【例 10【解析】显然甲=13/12%；乙=14/13%：丙=15/14%：丁=16/15%,显然最大与最小就在甲、乙之间，所以比较甲和乙的大小即可，甲/乙=13/12%/16/15%1,所以，甲乙丙丁，选择A【粤版帮帮团】2010.10.14数学运算第2 期数学运算之算式问题多讲两句，对于行测备考，笔者认为平时可多做难度较大的国考、外省省考真题练习。有句俗话“平时挑100斤的担子，省考时要你挑70斤，还觉得重

8、吗？”【例一】0.63x2.5+0.063x75=()A.0.063 B,0.63 C.6.3 D.63(2003 山东真题)【例二】5884x84-5885x83=()A.5801 B.5811 C.5821 D.5791(2003 山东真题)【例三】2004x(2.3x47+2.4)+(2.4x47-2.3)的 值 为()。A.2003 B.2004 C.2005 D.2006【例四】173x173x173-162x162x162=()。A.926183 B.936185 C.926187 D.926189【例五】(101+103+.+199)-(90+92+.,+188)=()A.100

9、 B.199C.550 D.990(2005 北京真题)【例六】两个数的差是2345,两数相除的商是8,求这两个数之和。()A.2353 B.2896 C.3015 D.3456(2005 北京真题)【例七】(1.1)2+(1.2)2+(1.3)2+(1.4)2 的值是()。A.4.98 B.5.49 C.6.06 D,6.30【例八】直线2xy+4=0 与 x 轴的哪一点相交()。A.4 B.2 C.O D.-2【例九】22x32x42x52的 值 为()。A.1440 B,5640 C.14400 D.16200【例十】已知ab=46,a+b+c=2,a+bc=12,问 a+b 的值是：A

10、.50 B.60 C.70 D.80(浙江 2009)解析：【例 1【解析】原式=0.063x10 x2.5+0.063x75=0.063x25+0.063x75=0.063x(25+75)=0.063x100=6.3【例二】【解析】原式=5884*84 (5884+1)x83=5884x84(5884x83+83)=5884x(84 83)83=5884 83=5801【例三】【解析】原式=2004x(2.4-0.1)X47+2.4+(2.4X47-2.3)=2004x(2.4x47-4.7+2.4)+(2.4、47-2.3)=2004x(2.4x47-2.3)+(2.4x47-2.3)=2

11、004【例四】【解析】利用简单的猜测法。173的尾数是3,3的立方为27；162的尾数是2,2立方为8。两者相减尾数为9,所以判断173和162的立方之差的尾数为9。所以答案为D项。【例五】【解析】C提取公因式法。101 90=11,103-92=11,，199-188=11,总计有50个这样的算式，所以50 x11=550,选择C。【例六】【解析】根据题意，两数相除商是8,则说明被除数是除数的8倍，两数相减结果2345应为除数的7倍，从而求得除数2345+7=335,被除数为335*8=2680,两数和为2680+335=3015,答案为 C。【例七】【解析】尾数法。(1.1)2尾数为1；(

12、1.2)2尾数为4；(1.3)2尾数为9；(1.4)2尾数为6。且它们的尾数均为小数点后第二位，尾数之和为20,故选D。【例八】【解析】这题是初中数学了，与x轴相交则把y=0代入，得x=-2,故选D【例九】【解析】这是一道典型的乘法运算题，解此题时，并不需要作具体的运算。首先，由22x52=100可排除选项A、B,再由32、42cb)A a c-bcB b a-c其中c 为平均值十字相乘法使用时要注意几点：第一点：用来解决两者之间的比例关系问题。第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。常用方法为：方程法 利用溶质相等或者浓度相等来构造

13、等量关系十字交叉法 混合问题的简便计算方法分析猜答案法深刻理解混合木质，分析题目猜出答案【例 1】甲杯中有浓度17%的溶液400克，乙杯中有浓度为23%的同种溶液600克，现在从甲，乙取出相同质量的溶液，把甲杯取出的倒入乙杯中，把乙杯取出的倒入甲杯中，使甲，乙两杯溶液的浓度相同，问现在两杯溶液浓度是多少？【例 2】现有一种预防禽流感药物配置成的甲、乙两种不同浓度的消毒溶液。若从甲中取2100克，乙中取700克混合而成的消毒溶液的浓度为3%；若从甲中取900克，乙中取2700克，则混合而成的消毒溶液的浓度为5%。则甲、乙两种消毒溶液的浓度分别为：A.3%6%B.3%4%C.2%6%D.4%6%例

14、 3甲，乙两种含金样品熔成合金，如甲的重量是乙的一半，得到含金68%的合金；如甲的重量是乙的3.5倍，得到含金（62）%的合金。则乙的含金百分数为多少？A.72%B.64%C.60%D.56%【例 4】有甲乙两种糖水，甲含糖270克，含水30克。乙含糖400克，含 水 100克，现要得到浓度为82.5%的糖水100克，问每种应取多少克？A 30 70 B25 75 C 20 80 D 35 65【例 5】（浙江2007年二类-19）浓度为70%的酒精浓液100克与浓度为20%的酒精浓液400克混合后得到的浓液的浓度是多少？（）A、30%B、32%C、40%D、45%【例 6（浙 江 2005-

15、19）甲容器中有浓度为4%的盐水250克，乙容器中某种浓度的盐水若干克，现从乙中取250克盐水，放入甲容器中混合成浓度为8%的盐水，问乙容器中的盐水浓度是多少？（）A、9.87%B、10。14%C、9.33%D、11.27%【例 7】（江 苏 2006C-15）把浓度为20%、30%和 50%的某溶液混合在一起，得到浓度为36%的浓液50 升，已知浓度为30%的溶液用量是浓度为20%的浓液用量的2 倍，浓度为30%的溶液用量是多少升（）A、18 B、8 C、10 D、20【例 8（浙 江 2004-24）从装有100克浓度为10%的盐水瓶中倒出10克盐水后，再向瓶中倒入10克清水。这样算一次操

16、作，照这样进行下去，第三次操作完成后，瓶中盐水的浓度 为（）A7%B7.12%C7.22%D7.29%解析:【例 1】【解析】十字交叉法：17%2.4 400 2X：23%3.6 600 3左面列纵向做差,23-17=6,把 6 按照2：3 来 分,分 成 1.4和 4.4,则求出x=20.6%.如果我们对混合本质理解的深刻，可以用分析法：题中说从甲乙杯中取出相同的溶液，交叉导入另一杯中，则甲乙杯的溶液质量不变。而且最后两杯溶液浓度相等。所以题干的过程我们可以转化为：把甲乙杯中的溶液先倒入一个大杯中，混合均匀后，再倒入甲杯400克，乙杯600克。则最后两杯的浓度为可见，对题目和方法理解的不同，

17、则计算的速度也会不同。【例 2】【解析】首先可以根据溶质相等，构造方程。方程法：设甲、乙溶液的浓度分别为x、y。则，2100 x+700y=3%*(2100+700)900 x+2700y=5%*(900+700)解二元一次方程组可以得到答案。但是可以看出解方程组比较麻烦，会用很多的时间。所以我们应该寻找更为简便的做法。分析猜答案法：题目中说-定量的甲溶液和-定量的乙溶液混合，得到3%的溶液，则可以说明，甲乙溶液浓度一种大于3%,一种小于3%,同理可得，甲乙溶液浓度一种大于5%,一种小于5%o综合得出甲乙溶液，一种大于5%,一种小于3%。从选项看出，答案为C。通过对题目的简单分析，我们不需要计

18、算便可以快速得到答案，这就是我们所追求的，也是命题专家想让我们运用的方法。【例 3】【解析】我们采用分析猜答案法：据题中“如甲的重量是乙的一半，得到含金68%的合金；如甲的重量是乙的3.5倍，得到含金(62)%的合金。”可以看出，乙的重量所占比例要是高，则合金的含金量高，乙的重量所占比例低，则合金的含金量低，由此可以判断出，乙的含金量大于甲的含金量。又因为，有一块合金的含金量为6 8%,所以必定甲乙一个大于68%,一个小于68%。根据上一段的结论，则推出，乙的含金量一定大于6 8%,则只有A 答案。【例 4】【解析】甲含糖9 0%,乙含糖80%90 2.5-1 -2582.580 7.5-3-

19、75选 B【例 5】答案：A【解 析 1】100克 70%的酒精浓液中含有酒精：100*70%=70克400克20%的酒精浓液中含有酒精：400*20%=80克混合合后酒精浓液中含有的酒精量：70+80=150克混合后酒精浓液的总重量为：100+400=500克混合后酒精浓液的浓度为：150/500*100%=30%【解析2】用十字相乘法解决：设混合后浓液的浓度为：X%溶液 1：70 X-20 100X浓液 2：20 70-X 400因 止 匕：X-20/70-X=100/400 推出 X=30【例 6】答案：A【解 析 1】甲容器中盐水浓度中含盐量=250*4%=10克混合后的盐水浓液的总重

20、量=250+750=1000克混合后的盐水浓液中含盐量=1000*8%=80克乙容器中盐水浓液的含盐量=80-10=70克乙容器中盐水溶液的浓度为=70/750*100=9.33%【解析2】用十字相乘法做，假设乙容器中盐水的浓度为：X%甲：4 X-8 2508乙：X 4 750因此：X-8/4=250/750 X=9.33【例 7】答案：D【解 析 1】假设20%浓度的浓液X 升，50%浓度的浓液丫升，则 30%浓度的浓液2X升X+2X+Y=5020%X+30%*2X+50%丫=36%*50推出 X=10,Y=20 所以 2X=20【解析2】用十字相乘法计算，假设2%的溶液为L 升，则 30%

21、的溶液为2L升，先将20%和 30%的酒精混合，混合后的浓度为20%*L+30%*2L/L+2L=4/15设 50%浓度的溶液为丫升溶液 1：4/15 7/50 50-Y36%溶液 2：50%7/75 Y因 止 匕 7/50/7/75=3/2=50-Y/Y,推出 Y=20【例 8】答案：D【解析】每次操作从100克盐水中倒出10克盐水，剩余90克即剩余9 0%,每次操作后浓液中剩余溶质为原来的90%,乂都稀释到100克，浓度为操作前浓度的90%,三次操作后浓度为 10%*90%*90%*90%=7.29%【粤版帮帮团】2010.10.30数学运算第9 期数学运算之排列组合问题专题数学运算之排列

22、组合专题基本知识点回顾：1、排列：从 N 不同元素中，任 取 M 个元素(被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从N 个不同元素中取出M 个元素的个排列。2、组合：从 N 个不同元素中取出M 个元素并成一组，叫做从N 个不同元素中取出M 个元素的一个组合(不考虑元素顺序)3、分步计数原理(也称乘法原理)：完成一件事，需要分成n 个步骤，做 第 1 步 有 m l种不同的方法，做第2 步有m 2种不同的方法做第n 步有mn种不同的方法。那么完成这件事共有N=m1xm2x.xmn种不同的方法。4、分类计数原理：完成一件事有n 类办法，在第一类办法中有m l种不同的方法，在第二类办法中有m2

23、种不同的方法在第n 类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m1+m2+.+m n种不同的方法。-、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于(1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力；(2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解：(3)计算手段简单.，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；(4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。二、两个基本计数原理及应用(1)加法原理和分类计数法1.加法原理2.加法原理的集合形式3.分类的

24、要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)(2)乘法原理和分步计数法1.乘法原理2.合理分步的要求任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n 步才能完成此任务：各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同【例题分析】排列组合思维方法选讲1.首先明确任务的意义例 1.从 1、2、3.20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有 个。2.注意加法原理与乘法原理的特点，分析是分类还是分步，是排列还是组合例 2.在一块并排的1

25、0垄田地中，选择二垄分别种植A,B 两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A,B 两种作物的间隔不少于6 垄，不同的选法共有 种。例 3.从 6 双不同颜色的手套中任取4 只，其 中 恰 好 有 一 双 同 色 的 取 法 有。(A)240(B)180(C)120(D)60例 4.身高互不相同的6 个人排成2 横行3 纵列，在第一行的每一个人都比他同列的身后的人个子矮，则所有不同的排法种数为 o例 5.在 11名工人中，有 5 人只能当钳工，4 人只能当车工，另外2 人能当钳工也能当车工。现 从 11人中选出4 人当钳工，4 人当车工，问共有多少种不同的选法？例 6.现有印着0,I,3

26、,5,7,9 的六张卡片，如果允许9 可以作6 用，那么从中任意抽出三张可以组成多少个不同的三位数？例 7.停车场划一排12个停车位置，今有8 辆车需要停放，要求空车位连在一起，不同的停车方法是 种。3.特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑例 8.六人站成一排，求(1)甲不在排头，乙不在排尾的排列数(2)甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数例 9.对某件产品的6 件不同正品和4 件不同次品进行一一测试，至区分出所有次品为止。若所有次品恰好在第五次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能？例 10.8 人排成一队(1)甲乙必须相邻(2)甲乙不相邻(3)甲乙必须相邻且与丙不相邻(4

27、)甲乙必须相邻，丙丁必须相邻(5)甲乙不相邻，丙丁不相邻例 11.某人射击8 枪，命中4 枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的情况？例 1 2.马路上有编号为I,2,3,，1 0 十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有多少种？例 1 3.三个相同的红球和两个不同的白球排成一行，共有多少种不同的方法？4.间接计数法.(1)排除法例 1 4.三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成多少个三角形？例 1 5.正方体8 个顶点中取出4 个，可组成多少个四面体？例 16.I,2,3.9 中取出两个分别

28、作为对数的底数和真数，可组成多少个不同数值的对数？例 1 7.六人排成一排，要求甲在乙的前面，(不一定相邻)，共有多少种不同的方法？如果要求甲乙丙按从左到右依次排列呢？例 18.5 男4 女排成一排，要求男生必须按从高到矮的顺序，共有多少种不同的方法？5.挡板的使用例 19.10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法？6.注意排列组合的区别与联系：所有的排列都可以看作是先取组合，再做全排列；同样，组 合 如 补 充 一 个 阶段(排序)可转化为排列问题。例 2 0.从 0,I,2,，9 中取出2 个偶数数字，3 个奇数数字，可组成多少个无重复数字的五位数？例 2 1.电

29、梯有7 位乘客，在 10层楼房的每一层停留，如果三位乘客从同一层出去，另外两位在同一层出去，最后两人各从不同的楼层出去，有多少种不同的下楼方法？例 2 2.用数字0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的四位数，(1)可组成多少个不同的四位数？(2)可组成多少个不同的四位偶数？(3)可组成多少个能被3 整除的四位数？(4)将(1)中的四位数按从小到大的顺序排成数列，问第85项是什么？7.分组问题例 23.6 本不同的书(1)分给甲乙丙三人，每人两本，有多少种不同的分法？(2)分成三堆，每堆两本，有多少种不同的分法？(3)分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本，有多少种不同的分法？(4)甲 本，

30、乙两本，丙三本，有多少种不同的分法？(5)分给甲乙丙三人，其中一人一本，一人两本，第三人三本，有多少种不同的分法？例 24.6 人分乘两辆不同的车，每车最多乘4 人，则 不 同 的 乘 车 方 法 为。例 25.5 名学生分配到4 个不同的科技小组参加活动，每个科技小组至少有一名学生参加,则分配方法共有 种.解析：例 1.分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。设 a,b,c成等差，2b=a+c,可知b 由a,c决定，又2b是偶数，.a,c同奇或同偶，即：从 1,3,5,，19或 2,4,6,8,，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，因而本题

31、为C(10,2)*2*2=180例 2.分析：条件中“要求A、B 两种作物的间隔不少于6 垄”这个条件不容易用一个包含排列数，组合数的式子表示，因而采取分类的方法。第一类：A 在第一垄，B 有 3 种选择；第二类：A 在第二垄，B 有 2 种选择；第三类：A 在第三垄，B 有 1 种选择，同理A、B 位 置 互 换，共 12种。例 3.分析：显然本题应分步解决。(-)从 6 双中选出一双同色的手套，有 6 种方法；(二)从剩下的十只手套中任选-只，有 10种方法。(三)从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有 8 种方法；(四)由于选取与顺序无关，因 而(二)(三)中的选法重复一次，

32、因而共240种。例 4.分析：每一纵列中的两人只要选定，则他们只有一种站位方法，因而每一纵列的排队方法只与人的选法有关系，共有三纵列，从而有C(6.2)*C(4.2)*C(2.2)=90种。例 5.分析:采用加法原理首先要做到分类不重不漏，如何做到这一点？分类的标准必须前后统一。以两个全能的工人为分类的对象，考虑以他们当中有几个去当钳工为分类标准。第一类：这两个人都去当钳工，C(5.2)*C(4.4)=10第二类：这两人有一个去当钳工，C(2.1)*C(5.3)*C(5.4)=100第三类：这两人都不去当钳工，C(5.4)*C(6.4)=75因而共有185种。例 6.分析：有同学认为只要把0,

33、I,3,5,7,9 的排法数乘以2 即为所求，但实际上抽出的三个数中有9 的话才可能用6 替换，因而必须分类。有 0 无 9 6*4=24有 9 无 0 6*6*2=72有 9 有 0 4*4*2=32无 9 无 0 4x6=24因此共有152种方法。5*5*4*2-4*4*3=152。例 7.分析：把空车位看成一个元素，和 8 辆车共九个元素排列，因而共有P(9.8)种停车方法。例 8.分析：(1)先考虑排头，排尾，但这两个要求相互有影响，因而考虑分类。第一类：乙在排头，有 P(5.5)种站法。第二类：乙不在排头，当然他也不能在排尾，有 C(4.1)C(4.1)P(4.4)种站法，法 2:P

34、(6.6)-P(5.5)*2+P(4.4)(2)第一类：甲在排尾，乙在排头，有种方法。第二类：甲在排尾，乙不在排头，有种方法。第三类：乙在排头，甲不在排头，有种方法。第四类：甲不在排尾，乙不在排头，有种方法。共 312种。法 2:甲乙相邻的排法数C(4,1)*C(3,1)*2*P(3,3)+P(4,4)+P(4,4)=192头尾取非甲乙，乙头，甲尾。504-192=312例 9.分析：本题意指第五次测试的产品一定是次品，并且是最后一个次品，因而第五次测试应算是特殊位置了，分步完成。第一步：第五次测试的有C(4.1)种可能；第二步：前四次有一件正品有C(6.1)种可能。第三步：前四次有P(4.4

35、)种可能。C(4.1)*C(6.1)*P(4.4)例 10.分析：(1)甲乙必须相邻,就是把甲乙捆绑(甲乙可交换)和7 人 排 列 P(7.7)*2(2)甲乙不相邻 P(8.8)-P(7.7)*2(3)甲乙必须相邻且与内不相邻先求甲乙必须相邻且与丙相邻P(6.6)*2*2甲乙必须相邻且与丙不相邻P(7.7)*2-P(6.6)*2*2(4)甲乙必须相邻，丙丁必须相邻P(6.6)*2*2(5)甲乙不相邻，丙丁不相邻P(8.8)-P(7.7)*2*2+P(6.6)*2*2例 11.分析：连续命中的三枪与单独命中的一枪不能相邻，因而这是一个插空问题。另外没有命中的之间没有区别，不必计数。即在四发空枪之

36、间形成的5 个空中选出2 个的排列，即P(5.2).例 12.分析：即关掉的灯不能相邻，也不能在两端。又因为灯与灯之间没有区别，因而问题为在7盏亮着的灯形成的不包含两端的6 个空中选出3 个空放置熄灭的灯。/.共 C(6.3)=20种方法。例 13.分析：三个相同的红球，有 4(I司空，两个不同的白球，可以一倜一仰I插，也可以2 倜一起插、P(4.2)+P(4.1)*2=20例 14.分析：有些问题正面求解有一定困难，可以采用间接法。所求问题的方法数=任意三个点的组合数-共线三点的方法数，C(9.3)-8例 15.分析：所求问题的方法数=任意选四点的组合数-共面四点的方法数，共 C(8.4)-

37、12=70-12=58 个。例 16.分析：由于底数不能为1。(1)当 1 选上时，1 必为真数，有一种情况。(2)当不选1 时，从 2-9 中任取两个分别作为底数,真数，共 P(8.2)其中Iog2 4=log3 9,Iog4 2=log9 3,Iog2 3=log4 9,Iog3 2=log9 4.因而一共有P(8.2)+1-4=53个。例 亿分析：1.实际上，甲在乙的前面和甲在乙的后面两种情况对称,具有相同的排法数。因而有P(6.6)/2=360 种。2.先考虑六人全排列；其次甲乙丙三人实际上只能按照一种顺序站位，因而前面的排法数重复了 P(3.3)种,共 P(6.6)/P(3.3)=1

38、20 种。例 18.分析：首先不考虑男生的站位要求，共 P(9.9)种；男生从左至右按从高到矮的顺序，只有一种站法，因而上述站法重复了 P(5.5)次。因而有P(9.9)/P(5.5)=9x8x6=3024种。若男生从右至左按从高到矮的顺序，只有一种站法，同理也有3024种，综上，有 6048种。例 19.分析：把 10个名额看成十个元素，在这十个元素之间形成的九个空中，选出七个位置放置档板，则每一种放置方式就相当于一种分配方式。因而共C(9.7)=36种。例 20.分析：先选后排。另外还要考虑特殊元素0 的选取。(-)两个选出的偶数含 0,C(4.1)*C(5.3)*4*P(4.4)(二)两

39、个选出的偶数字不含0,C(4,2)C(5.3)P(5.5)例 21.分析：(-)先把7 位乘客分成3 人，2 人，一 人,一人四组，有 C(7.3)C(4.2)种。(-)选 择 10层中的四层下楼有C(7.3)C(4.2)种。C(7.3)C(4.2)*C(7.3)C(4.2)例 22.分析：(1)有 P(6,4)-P(5,3)个。(2)分为两类：0 在末位，则有p(5,3)种0 不在末位,则有c(2,1)c(4,1)p(4,2)种。共 p(5,3)+c(2,1)c(4,1)p(4,2)种。(3)先把四个相加能被3 整除的四个数从小到大列举出来，即先选0,1,2,30,1,3,50,2,3,40

40、,3,4,51,2,4,5它们排列出来的数一定可以被3 整除，再排列，有：4xc(3,1)p(3,3)+p(4,4)=96种。(4)将(1)中的四位数按从小到大的顺序排成一数列，问第85项是什么？首位为1 的有p(5,3)=60个。前两位为2 0 的有p(4,2)=12个。前两位为2 1 的有p(4,2)=12个。因而第85项是前两位为23的最小数，即为2301。例 23.分析(1)分给甲乙丙三人，每人两本，有多少种不同的分法？C(6.2)C(4.2)(2)分成三堆，每堆两本，有多少种不同的分法？C(6.2)C(4.2)/P(3.3)(3)分成三堆，-堆一本，一堆两本，一堆三本，有多少种不同的

41、分法？C(6.3)C(3.2)(4)甲一本，乙两本，丙三本，有多少种不同的分法？C(6.3)C(3.2)(5)分给甲乙丙三人，其中一人一本，一人两本，第三人三本，有多少种不同的分法？C(6.3)C(3.2)P(3.3)(每堆两本),(一堆一本，一堆两本，一堆三本，)区别在哪里清楚不。例 24.分析：(-)考虑先把6 人分成2 人和4 人，3 人和3 人各两组。第一类：平均分成3 人一组，有 c(6.3)种方法。第二类：分成2 人，4 人各一组，有 c(6.2)种方法。(二)再考虑分别上两辆不同的车。综 合(一)(二)，c(6.3)*p(2.2)+c(6.2)*p(2.2)例 25.分析：(一)

42、先把5 个学生分成二人，一人，人，一人各一组。其中涉及到平均分成四组，有=种分组方法。(二)再考虑分配到四个不同的科技小组，有种，由(-)(二)可知，共 240种。【粤版帮帮团】2010.10.30数学运算第10期数学运算之剩余定理专题数学运算之剩余定理专题【例 1】一个数被3 除 余 1,被 4 除余2,被 5 除余4,这个数最小是几?【例 2】一个数被3 除余2,被 7 除余4,被 8 除余5,这个数最小是几？在 1000内符合这样条件的数有儿个.？【例 3】一个数除以5 余 4,除以8 余 3,除以11余 2,求满足条件的最小的自然数。【例 4】有 个年级的同学，每 9 人一排多5 人，

43、每 7 人一排多1 人，每 5 人一排多2 人,问这个年级至少有多少人？解析：【例 1】【解析】题中3、4、5 三个数两两互质。则(4,5)=20：(3,5)=15；(3,4)=12：(3,4,5)=60。为了使20被 3 除 余 1,用 20 x2=40；使 15被 4 除余1,用 15x3=45；使 12被 5 除余1,用 12x3=36。然后，40 x1+45x2+36x4=274,因为，27460,所以，27460 x4=34,就是所求的数。【例 2】【解析】题中3、7、8 三个数两两互质。贝 I(7,8)=56；(3,8)=24；(3,7)=21；(3,7,8)=168。为了使56被

44、3除 余1,用56 x 2=1 1 2；使2 4被7除余1,用2 4 x 5=1 2 0。使2 1被8除余1,用2 1 x 5=1 0 5；然后，1 1 2 x 2+1 2 0 x 4+1 0 5x 5=1 2 2 9,因为，1 2 2 9 1 6 8,所以，1 2 2 9-1 6 8 x 7=53,就是所求的数。再用(1 0 0 0-53)/1 6 8得5,所以在1 0 0 0内符合条件的数有6个.【例3】【解析】题中5、8、1 1三个数两两互质。则(8,1 1)=8 8；5,1 1)=55；(5,8)=4 0；(5,8,1 1 =4 4 0(.为了使8 8被5除 余1,用8 8 2=1 7

45、 6；使55被8除余1,用55x 7=3 8 5；使4 0被1 1除 余1,用4 0 x 8=3 2 0。然后，1 7 6 x 4 +3 8 5x 3+3 2 0 x 2=2 4 9 9,因为，2 4 9 9 4 4 0,所以，2 4 9 9-4 4 0 x 5=2 9 9,就是所求的数。【例4】【解析】题中9、7、5三个数两两互质。则(7,5)=3 5：(9,5)=4 5：(9,7)=6 3：(9,7,5)=3 1 5。为了使3 5被9除 余1,用3 5x 8=2 8 0；使4 5被7除余1,用4 5x 5=2 2 5；使6 3被5除余1,用6 3 x 2=1 2 6 0然后，2 8 0 x

46、 5+2 2 5x 1 +1 2 6 x 2=1 8 7 7,因为，1 8 7 7 3 1 5,所以，1 8 7 7-3 1 5x 5=3 0 2,就是所求的数。关于“中国剩余定理”类型题目的另外解法 中国剩余定理”解的题目其实就是“余数问题”，这种题目，也可以用倍数和余数的方法解决。【例一】一个数被5除余2,被6除少2,被7除少3,这个数最小是多少？【例二】一个班学生分组做游戏，如果每组三人就多两人，每组五人就多三人，每组七人就多四人，问这个班有多少学生？【例 3】在国庆50周年仪仗队的训练营地，某连队百多个战士在练习不同队形的转换。如果他们排成五列人数相等的横队，只剩下连长在队伍前面喊口令

47、。如果他们排成七列这样的横队，只有连长仍然可以在前面领队，如果他们排成八列，就可以有两个作为领队了。在全营排练时，营长要求他们排成三列横队。以一哪项是最可以出现的情况？A该连队官兵正好排成三列横队。B除了连长外，正好排成三列横队。C排成了整齐的三列横队，加有两人作为全营的领队。D排成了整齐的三列横队，其中有人是其他连队的解析:【例 1】解法：题目可以看成，被 5 除余2,被 6 除余4,被 7 除余4。看到那个 被 6 除余4,被 7除余4”了么，有同余数的话，只要求出6 和 7 的最小公倍数，再加上4,就是满足后面条件的数了，6X7+4=46。下面一步试下46 能不能满足第一个条件“一个数被

48、5 除余2”。不行的话，只要再46加上6 和 7 的最小公倍数42,一直加到能满足“一个数被5 除余2”。这步的原因是，42是 6 和 7 的最小公倍数，再怎么加都会满足“被 6 除余4,被 7 除余4”的条件。46+42=8846+42+42=13046+42+42+42=172【例 2】解法：题目可以看成，除 3 余 2,除 5 余 3,除 7 余 4。没有同余的情况，用的方法是逐步约束法”，就是从“除 7 余 4 的数”中找出符合“除 5 余 3 的数”，就是再7 上一直加4,直到所得的数除5 余 3。得出数为1 8,下面只要在18上一直加7 和 5 得最小公倍数3 5,直到满足“除 3

49、 余 2,4+7=1111+7=1818+35=53【例 3】【解析】这个数符合除以5 余 1,除以7 余 1,除以8 余 2；符合除以5 余 1,除以7 余 1 的最小数为3 6,那么易知符合除以5 余 1,除以7 余 1,除以8 余 2 为 106,106+3=35余 1,所以选B。【习题】1 到 500这 500个数字，最多可取出多少个数字，保证其取出的任意三个数字之和不是7 的倍数。【解析】每 7 个数字1 组，余数都是1,2,3,4,5,6,0,要使得三个数字之和不是7 的倍数，那么其余数之和就不是7 的倍数。我们应该挑选0,1,2,或者0,5,6因为7/3=2也就是说最大的数字不能

50、超过2,例 如 如 果 是 1,2,3 那 么 我们可以取3,3,1 这样的余数，其和就是7500/7=71余数是3,且剩下的3 个数字余数是1,2,3要得去得最多，那么我们取0,1,2 比较合适因为最后剩下的是1,2,3 所以这样就多取了 2 个但是还需注意0 不能取超过2 个 如 果 超 过 2 个 是 3 个以上的话3 个 0 就可以构成7 的倍 数 0 也能被7 整除所以答案是71个 1,2 和剩下的一组1,2 外加2 个 071x2+2+2=146【粤版帮帮团】2010.10.30数学运算第11期数学运算之容斥定理专题数学运算之容斥原理专题核心公式：（1）两个集合的容斥关系公式：A+