二次函数与实际问题：喷水问题(解析版)2021年中考数学二轮复习之难点突破热点解题方法.pdf

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1、专题2 1二次函数与实际问题：喷水问题一、单选题1.如 图，小 明 的 父亲在相距2米的两棵树间拴了-根绳子，给小明做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地 面 都 是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身 高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则 绳 子 的 最 低 点 距 地 面 的 距 离 为（）c.与 米D.0.8 5 米【答 案】A【分 析】根据题意建立直角坐标系，点（0,2.5）、（2,2.5）、（0.5,1）都在抛物线上，设抛物线解析式，列方程组,求解析式，根据解析式很容易就可求出抛物线的顶点坐标，纵坐标的绝对值即为绳子的最低点距地面的距离.【详 解】以A为原点，A

2、C所 在 直 线 为x轴，AB所 在 直 线 为y轴，建立如图所示的直角坐标系.2米米5设抛物线的函数关系式为：y=ax2+bx+c.将(0,2.5)、(2,2.5)、(0.5,1)代 入y=o?+法 +。得:c=2.5V 4Q+2 +C=2.5 ,025。+0.5匕 +。=1a=2解 得：(2=-4,c=2.5.抛物线的表达式为：y=2 d -4 x+2.5；y=2x2-4 x+2.5=2(x-1)2+0.5,二 抛 物 线 的 顶 点 坐 标 为(1,0.5),绳子的最低点距地面的距离为0.5米.故选：A.【点 睛】本题主要考查了二次函数的应用，本题关键在于正确选择原点建立直角坐标系，正确

3、确定有关点的坐标，求出抛物线解析式.2.某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线状，一条水流的高度(加)与水流时间r(s)之间的解析式为=3()/-5/，那 么 水 流 从抛出至落到地面所需要的时间是()A.8s B.6s C.4s D.2s【答 案】B【分 析】求 出 解 析 中h=0时t的值即可得.【详 解】在 h=3 0 t-5 t2 中，令 h=0 可得 3 0 t-5 t2=0,解得：t=0或t=6,所以水流从抛出至落到地面所需要的时间是6 s,故选：B.【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是明确解析式中水流落到地面所对应的函数值为0.3.如图，始终盛满水的圆柱体水桶水面

4、离地面的高度为2 0 c m,如果在离水面竖直距离为人（单位：c m）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s （单位：c m）与 的关系式为s =j 4/7（2 0 /7）.如果想通过垫高水桶，使射出水的最大射程增加1 0 c m,则小孔离水面的距离 是（）A.1 4 c m B.1 5 c m C.1 6 c m D.1 8 c m【答案】B【分析】设垫高的高度为m,写出此时s?关于h的函数关系式，根据二次函数的性质可得答案.【详解】解：设垫高的高度为m,则s =j 4（2 0 +m-）,、2 0 +加,o变形得：s =4 h （2 0+m-h）=-4

5、（h-厂+（2 0+m）,2,20+m当 h=-c m 时,sm a x=2 0+m=2 0+1 0,2,20+m:.m=1 0 c m,止 匕 时 h=-=1 5 c m,2垫 高 的 高 度 为1 0 c m,小 孔 离 水 面 的 竖 直 距离为1 5 c m,故 选B.【点 睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键.4.某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管Q A喷 出，0 A长 为1.5 m.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落 点B到0的 距 离 为3 m.建立平面直角坐标系

6、，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间近似满足函数关系y=o?+x+c (存0),则水流 喷 出 的 最 大 高 度 为()【答 案】cD.叫 米O【分 析】由题意可得，抛 物 线 经 过(0,1.5)和(3,0),把上述两个点坐标代入二次函数表达式，可 求 出a和C的值,则抛物线解析式化为顶点式，即可求出结果；【详 解】由题意可得，抛 物 线 经 过(0,L 5)和(3,0),把上述两个点坐标代入二次函数表达式得:c=1.59a+3+c=01a-解得：23c=2iQ i 2二函数表达式y =-x2+x +-=-(x -1)+2,v o,故函数有最大值，.当x=l时，y取最大值，此时y

7、=2.故答案选C.【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，准确计算是解题的关键.5.如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口 A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型(抛物线所在平面与墙面垂直)，如果抛物线的最高点M离 墙1米，离地面3米，则水流下落点B离墙的距离。8是()A.2.5 米 B.3 米 C.3.5 米 D.4 米【答案】B【分析】由题意可以知道M(1,3),A(0,2.2 5),用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，当y=0时就可以求出x的值，这样就可以求出O B的值.【详解】解：设抛物线的解析式为y=a(x-l)2+3,把 A(0,2.2 5)代入，得2.25=a+3,a=-0.75.，

8、抛物线的解析式为：y=-0.75(x-l)2+3.当 y=0时，0=-0.75(x-l)2+3,解得：xi=-l(舍去)，X2=3.OB=3 米.故选：B.【点睛】本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用待定系数法求函数的解析式的运用，运用抛物线的解析式解决实际问题，解答本题是求出抛物线的解析式.6.某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线y=-x?+4x(单位：米)的一部分，则 水 喷 出 的 最 大 高 度 是()B.3 米C.2 米D.1米【答案】A【解 析】)V y=-x2+4 x=-(x-2)2+4.当x=

9、2时，y有 最 大 值4,二最大高度为4 m7.烟 花 厂 某 种 礼 炮 的 升 空 高 度/?(琦与 飞 行 时 间r (s)的 关 系 式 是/z=-2*+2 0/+1,若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则 从 点 火 升 空 到 引 爆 需 要 的 时 间 为()A.3 s B.4 s C.5s D.1 0 s【答 案】c【分 析】将h关 于l的函数关系式变形为顶点式，即可得出升到最高点的时间，从而得出结论.【详 解】解：V/7=-2 r+2 0 r+l=-2 (r-5)2+5 1,当，=5时，礼炮升到最高点.故选：C.【点 睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是将二次函数的关系

10、式变形为顶点式.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，将函数的关系式进行变换找出顶点坐标即可.8.某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流的高度力(单位：m)与水流运动时间*单位:s)之间的关系式为h=3Qt-5t2那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是()A.6 s B.4 s C.3 s D.2 s【答 案】A【解 析】由于水流从抛出至回落到地面时高度/?为 0,把/?=0 代入/?=3 0，-5/即可求出t,也就求出了水流从抛出至回落到地面所需要的时间.解：水流从抛出至回落到地面时高度人为0，把人=0 代入=3 0 f-5 f 2 得：5/一 3 0 片0,解得:刀=0(舍去)乃=6.

11、故水流从抛出至回落到地面所需要的时间6 s.故选A.9.如图，池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m 处达到最高，高度为3 m,水柱落地处离池中心3 m,水管的长为()A.2.1 m B.2.2 m C.2.3 m D.2.2 5 m【答案】D【分析】设抛物线的解析式为y=a(x-l)2+3(0 M x W 3),将(3,0)代入求得a 值，则 x=0 时得的y 值即为水管的长.【详解】解：由于在距池中心的水平距离为1 m 时达到最高，高度为3 m,则设抛物线的解析式为：y=a(x-1 )2+3(0 X 3),代入(3,0)得,0=a x(3-l )

12、2+3,3求得：a=.4将 a 值代入得到抛物线的解析式为：3 ,y=-(x-l)-+3(0 x 3),49令 x=0,则 y=-=2.2 5.4则水管长为2.2 5 m,故选：D.【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键.二、解答题10.某幢建筑物从10 米高的窗户A 用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(如图)，若抛物线最高点M 离40墙 1米，离 地 面 一 米.问：3(1)求抛物线的解析式；(2)求水流落地点B离墙的距离【答案】（1）y =x2+一 工+10；（2）3米.3 3【分析】（1）先建立平面直角坐标系（图见解析）

13、，从而可得点A、M的坐标，再根据点M的坐标可得抛物线解析式的顶点式，然后将点A的坐标代入即可得；（2）令y =0可得一个关于x的一元二次方程，解方程即可得.【详解】（1）由题意，建立如图所示的平面直角坐标系，40则 4 0（）,（1,石），,40设抛物线解析式的顶点式为y =+不，将点A（0,10）代入得：。+孚=1 0,解得。=一?，3 3则抛物线解析式的顶点式为丁 =-号。-1尸+三，即抛物线的解析式为yn-gr+gx+l O；(2)令y=0得：一与无2+?工+10=0,即 的*一1)2+弓=0,解 得x=3或=-1 0时，抛物线解析式为：y=a (x-4)2+6,把(10,0)代入得 0

14、=a (10-4)2+6解得：a=，6故抛物线解析式为：y-7 (x-4)?+6；6令x=0,解得y=g 故这个装饰物的高度 为 与m；(2).当x 0时，抛物线的对称轴为x=4由题意可得当x=4.5时可达到最高喷射高度，当 x=4.5 时，y=答：直线型喷水头最高喷射高度为三14；3米.24【点 睛】此题主要考查了二次函数的应用，正确得出抛物线解析式是解题关键.12.如 图，一个圆形水池的中央垂直于水面安装了一个柱形喷水装置0 4顶 端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.建立如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（，）与水平距、离x（之间的关系式可以用y=尤2+b

15、x+c表示,且抛物线经过点B(?1)ch(7 7（1）求抛物线的函数关系式，并 确 定 喷 水 装 置0 A的高度;（2）喷出的水流距水面的最大高度是多少米？（3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？米.【答 案】（1）y7 7|-x+lxH,一 米；（2）一 米；（3）至少要4 4 4【分 析】（1）根 据 点B、C的坐标，利用待定系数法即可得抛物线的解析式，再 求 出x=0时y的值即可得O A的高度；（2）将抛物线的解析式化成顶点式，求 出y的最大值即可得；（3）求 出 抛 物 线 与x轴的交点坐标即可得.【详 解】（1）由题意，将点j代入得:1 1,5

16、+/?+(?=4 2 27一4 +2 +c 二一4b=2解 得1 7,C-47则抛物线的函数关系式 为k 7 +2 x+“7当 x=0 时，y=,47故 喷 水 装 置。A的高叼 米;97 9 1 1将k 7 +2 x+a化 成 顶 点 式 为k一(1)2+r则 当 =1时，y取得最大值，最大值为 日,故喷出的水流距水面的最大高度是?米;(3)当y=0时，-(x-i y+=0,4解 得x=l +或x=l-且0 （不符题意，舍 去）,2 2故水池的半径至少要米，才能使喷出的水流不至于落在池外.【点 睛】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键.1 3.广场上喷水

17、池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上的水珠高度y（米）关于水珠与3喷 头 的 水 平 距 离X （米）的函数解析式是：=-：/+6*（0.4）,请求出当水珠的高度达到最大时,水珠与喷头的水平距离是多少？最大高度是多少？【答案】2米；6米.【分析】根据题目所给的函数解析式，用配方法求出当x等于何值时函数有最大值以及最大值是多少.【详解】Q O Q解：由题意得，y=/-+6 x=-4 x)=-e(x 2)+6 ,又因为04尤4 4,所以当x=2时，乂皿=6,答：当水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2米，最大高度是6米.【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是掌握求二

18、次函数最值的方法.1 4.如 图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管A B.水管的顶端安有一个喷水管、使喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1相处达到最高点C.高度为3%水柱落地点D离池中心A处3%建立适当的平面直角坐标系，解答下列问题.(1)求水柱所在抛物线的函数解析式；(2)求水管A B的长.3【答案】(1)=-一(x-1)，3 (0 x答：喷洒的半径为(、历+1)米；(2)由(1)得抛物线的解析式为：y =(x 1)+2 =x+2.x+1 .若水流喷出的水形状与(1)相同，喷水口也为C,.设抛物线的解析式为：y=-+b x+l，.喷洒的半径为3 米，二抛物线经过点(3,0),将 点

19、(3,0)代入得：0 =-32+3 Z +l.Q解得：b=-,抛物线的解析式为：y =-x2+-x+l =-f x-1 +13 L 3J 94 2 5抛物线的顶点坐标为：(,),2 5答:水流达到的最大高度为7米.9【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据实际问题运用二次函数最大值求二次函数解析式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题.1 7.(1)抛物线丫=，+。经过点4(2,3),点 8(1,3)两点，求该抛物线的解析式.(2)如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1，处达到最高，高度为3?，水

20、柱落地处离池中心3 m,水管应多长？【答案】(D y=2x2-5；(2)2.25m.【分析】(I)把点A(2,3),点B(1,-3)代入y=ax2+c,解方程组即可得到结论；(2)先求出顶点坐标，然后设抛物线的解析式为y=a(x-1)?+3(0 x 3),将(3,0)代入求得a值，则x=0时得的y值即为水管的长.【详解】解：(1)把点 4(2,3),点 8(1,一3)代入 y=ax?+c 得，J 4 +c =3Q+c =-3a=2解得：u，c=-5.该抛物线的解析式为：y=2x2-5；(2).在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m,抛物线的顶点坐标为(1，3),设抛物线的解析式为：y

21、=a(x-1)2+3(0 x3),代 入(3,0)求得：a=-.将a值代入得到抛物线的解析式为：y=-(x-1)2+3(0 x3),49令 x=0,则 y=2.25.4故水管长为2.25m；【点 睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键.1 8.如 图，斜 坡A B长1 0米，按图中的直角坐标系可用y =-苴x +5表示，点A,B分 别 在x轴 和y轴上.在31 ,坡 上 的A处有喷灌设备，喷出的水柱呈抛物线形落到B处，抛 线 可 用 了 =-龙2+汝+，表示.(1)求抛物线的表达式及顶点坐标;(2)在 斜 坡 上 距 离A点2米 的

22、C处 有 一 颗3.5米高的树，水柱能否越过这棵树?【答 案】(1)y=-l x?+及x+5,(2 7 3 1 9)；(2)能3 3【分 析】(1)根据直线和抛物线的交点坐标即可求解；(2)根据二次函数的性质即可求解.【详 解】解：(1)令 x=0,得 y=5,所以 B(0,5),令 y=(),得 x=56,所以 A(5 6,0),L1 ,将 A(0,5)、B(5/3 .0)代入 y=-gx-+bx+c 得，c=5,-2 5+5 百 b+5=0,解得 b=I,所以抛物线的表达式为y-L?+生 x+5.3 3y=-g（x-2 V 3）2+9,所以顶点坐标为（26，9）.，抛物线的表达式为y=-v

23、 x2+迪 x+5.3 3顶点坐标为（2 7 3 .9）；（2）V AB=10,O B=5,，ZO AB=3 0,；AC=2,.所以C点纵坐标为1,C点的横坐标为46，所以当x=4 6时，y=5,所以 1+3.5=4 5 =一2+3*+（x 0）.V X/m（1）求水流喷出的最大高度是多少米？此时最高处离喷水装置0 4的水平距离为多少米？（2）现若在音乐喷泉四周摆放花盆，不计其他因素，花盆需至少离喷水装置0 A多少米外，才不会被喷出的水流击中？3【答案】（1）水流喷出的最大高度是4米，此时的水平距离为一米；（2）花盆需至少离喷水装置0A 3.5米2外，才不会被喷出的水流击中.【分析】（1）把二

24、次函数的一般式转化为顶点式，根据顶点坐标即可求出结果.（2）根据题意可令y=0求出x的值，即可得到结论.【详解】7 （3 Y解：（1）y-x2+3%+=-X-+44 I 1）：.该二次函数图象的顶点坐标为（|,4）3水流喷出的最大高度是4米，此时的水平距离为二米2C 3 Y（2）令y=0,则一%-+4 =0I 2）解得x =3.5或x =0.5 花盆需至少离喷水装置04 3.5米外，才不会被喷出的水流击中.【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，准确理解题意,掌握一般式与顶点式之间的转化是解题的关键.2 0.用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观(如图1).科学原理：如图2,始终盛满水的圆体水

25、桶水面离地面的高度为H (单位：m),如果在离水面竖直距离为h(单校：c m)的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程(水流落地点离小孔的水平距离)s (单位：c m)与 h的关系为s?=4h (H 一h).应用思考：现用高度为2 0 c m 的圆柱体望料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距高h c m 处开一个小孔.(1)写出S?与 h的关系式；并求出当h 为何值时，射程s 有最大值，最大射程是多少？(2)在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a,b,要使两孔射出水的射程相同，求 a,b之间的关系式；(3)如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水

26、的最大射程增加1 6 c m,求整高的高度及小孔离水面的竖直距离.【答案】(1)52 =Tg 1 0)2+40 0,当=1()时，=2 0；(2)6或a +=2 0；(3)垫高的高度为 1 6 c m,小孔离水面的竖直距离为1 8 c m【分析】(1)将 s 2=4h(2 0-h)写成顶点式，按照二次函数的性质得出s 2 的最大值，再求s?的算术平方根即可；(2)设存在a,b,使两孔射出水的射程相同，则 4a(2 0-a)=4b(2 0-b),利用因式分解变形即可得出答案;(3)设垫高的高度为m,写出此时s2关于h 的函数关系式，根据二次函数的性质可得答案.【详解】解：(l)V s2=4h(H

27、-h),:.当 H=20 时，s2=4h(20-h)=-4(h-l0)2+400,.当h=10时，s?有最大值400,.,.当h=10时，s 有最大值20cm.当h 为何值时，射程s 有最大值，最大射程是20cm；故答案为：最大射程是20cm.士 2=420-)，设存在。，匕，使两孔射出水的射程相同，则有：4(20-)=4。(20),/.20a-a2=20b-b2,a2-l=20a-20hf(a+b)(a-b)=20(a-b)f(tz-Z?)(+Z?-20)=0,/.a-b=0 或 a+6-20=0,:.a=h 或 a+h=20.故答案为：a-b或a+b=20.20+/?设垫高的高度为m 则5

28、2=4 (20+机 )=4(1+(2 0 +加产.当。=粤”时，S 3 =2 0+机=20+16，?=1 6 时，此时 =-=1 82二垫高的高度为1 6 c m,小孔离水面的竖直距离为1 8 c m.故答案为：垫高的高度为1 6 c m,小孔离水面的竖直距离为1 8 c m.【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，厘清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键.2 1.为庆祝新中国成立70 周年，国庆期间，北京举办“普天同庆共筑中国梦”的游园活动，为此，某公园在中央广场处建了一个人工喷泉，如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB,喷水口 A距地面2m,喷出水流的运动路线是抛物线.如果水

29、流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1 m,且到地面的距离为3.6 m,求水流的落地点C到水枪底部B的距离.P【答案】水流的落地点C到水枪底部B的距离为2.5m.【分析】如图，建立以5 c所在直线为1轴、A8所在立线为丫轴的直角坐标系，根据顶点尸(1,3.6)设其解析式为厅+3.6,把 A(0,2)代入求得a的值，据此可得其函数解析式；求得y =0 时的值可得答案.【详解】如图，以 8 c 所在直线为x 轴、4 8 所在直线为y 轴建立直角坐标系，由题意知，抛物线的顶点尸的坐标为(13 6)、点 A(0,2),设抛物线的解析式为y=a (x-1)2+3.6,将点 A(0,2)代入，得：“+

30、3.6=2,解得：a=-1.6则抛物线的解析式为y=-1.6 （x -1）2+3.6,当 y=0 时，有-L 6 （x-1）2+3.6=0,解得：X-0.5 （舍）或 x=2.5,：.BC=2.5,答：水流的落地点C到水枪底部B的距离为2.5 m.【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是结合题意建立合适的平面直角坐标系，将实际问题转化为二次函数问题求解.2 2.把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为八秒）时该足球距离地面的高度/?（米）适用公式/?=2 0 f-5 尸（1）经过多少秒后足球回到地面？（2）经过多少秒时足球距离地面的高度为10 米？【答案】（1）4 秒后足球回到地面；（2）

31、经过（2 +0）秒或（2-0卜少足球距地面的高度为10 米.【分析】（1）令/=2 01-5/=0,解方程即可得出答案;（2）令=2 0，5/=1 0，解方程即可.【详解】解：（1）令/=2 0/-5=0，解得：6 =0（舍），=4,二4 秒后足球回到地面；（2）令=2 0/5 产=1 0，解得：t=2+&J=2-叵.即经过（2 +J 5）秒或（2-J5）秒，足球距地面的高度为10 米.【点睛】本题考查的知识点是二次函数的实际应用，根据题意分别令7/=2 0/-5/为不同的值解答本题.23.如 图 1,已知水龙头喷水的初始速度V。可以分解为横向初始速度v x 和纵向初始速度v y,9 是水龙头

32、的仰角，且 v 2=v x 2+v y 2.图 2 是一个建在斜坡上的花圃场地的截面示意图，水龙头的喷射点A在山坡的坡顶上（喷射点离地面高度忽略不计），坡顶的铅直高度O A为 15 米，山坡的坡比为;.离开水龙头后的水（看成点）获得初始速度V。米/秒后的运动路径可以看作是抛物线，点 M是运动过程中的某一位置.忽略空气阻力，实验表明：M与 A的高度之差d （米）与喷出时间t （秒）的关系为（1=丫 丫 卜 5 t 2：M与 A的水平距离为V x t米.已知该水流的初始速度V。为 15 米/秒，水龙头的仰角。为 5 3。.yVx图1图2（1）求水流的横向初始速度V、和纵向初始速度V y；（2）用含

33、t 的代数式表示点M 的横坐标X 和纵坐标y,并求y 与 x的关系式（不写x的取值范围）;（3）水流在山坡上的落点C离喷射点A的水平距离是多少米？若要使水流恰好喷射到坡脚B处的小树，在4 3相同仰角下，则需要把喷射点A沿坡面AB方向移动多少米？（参考数据：s i n 5 3-y,c o s 5 3 1,t a n 5 3%4-）35,4【答案】（1）水流的横向初始速度v x 是 9 米/秒，纵向初始速度V,.是 12 米/秒；（2）y=-7r/+15；（3）81 3水流在山坡上的落点C离喷射点A的水平距离是2 7 米，需要把喷射点A沿坡面AB方向移动6 瓦米【分析】（1）根据题意利用9 的正弦

34、和余弦定义可得结论；（2）由（1）的表示出V x 表示出x,OA已知，利用y=d+O A,代入OA的值和d 与 t 的函数关系式，可以得解；（3）先求得点A和点B的坐标，进而写出其直线解析式，再将其与（2）中抛物线解析式联立，从而求得落点C的坐标，再利用平移知识及勾股定理可以求解.【详解】解：（1）为 15 米/秒，水龙头的仰角。为 5 3。，匕 Vy.co s0=,si n G=,%v。3 4，vx=15 co s5 3=15 x y=9,vy=15 si n 5 3=15 x y=12；答：水流的横向初始速度V x是9米/秒，纵 向 初 始 速 度V y是12米/秒;(2)x=Vxt=9t

35、,9又M与A的 高 度 之 差d(米)与 喷 出 时 间t (秒)的 关 系 为d=v),t-5 t 2A y=d+O A=12 t-5 t22+15=-5 x (/X、)2 +12 x X +15=-5 x 2 +y4 x+15 ；5 4；y与x的关系式为：y=-一x，一x+15.81 3(3)坡顶的铅直高度OA为15米，山坡的坡比为:，O B=4 5 米，点 A (0,15)点 B (4 5,0)二 直 线AB的解析式为：y-X +I 5,将其与抛物线解析式联立得:5,4y=-x+x+15-81 31y=-x+15x=21解 得。=6x=0(舍)或，y=15，水流在山坡上的落点C坐 标 为

36、(2 7,6),喷 射 点A沿 坡 面AB方向移动的距离等于BC的距离,而 BC=/(45-27)2+62=6屈米，答:水流在山坡上的落点C离 喷 射 点A的 水 平距离是2 7米,需要把喷射点A沿 坡 面AB方 向 移 动6 J历米.【点 睛】本题考查了二次函数的应用以及坡度问题和解直角三角形的应用等知识，正确构造出直角三角形是解题关键.2 4.如图，斜坡A8长10米，按图中的直角坐标系可用y=-走8+5表示，点A、B分别在X轴 和 轴-31 ,上，在坡上的A处有喷灌设备，喷出的水柱呈抛物线形落到B处，抛物线可用y=-1/+乐+。表示.（1）求抛物线的函数关系式；（2）求水柱离坡岗A8的最大

37、高度.【答案】（1）y=X2+x +5 ;（2）33 3 4【分析】（1）根据直角三角形的性质求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求解可得；（2）水柱离坡面的距离d=-；V+竽x +5-等x +5）,整理成 般式，再配方成顶点式即可得.【详解】解：(1)：A B=10、Z O A B=3 0,A O B=-A B=5.O A=A B co sZO A B=1 O x 2.=5 J 3 ,2 2则 A (5G,0)、B (0,5),1 ,将A、B坐标代入y=-x +x +c,-X75+5A/3/?+C=0得3c=5,_4 7 3b=-解得：3c=5二抛物线的解析式为y=g/+手 工 +5；(2)

38、水柱离坡面的星巨离d=-gd+x +5 -x+5.当x=3叵时，水柱离坡面的距离最大，最大距离为生.2 4【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质等知识点，难度不大.三、填空题2 5.某幢建筑物，从5米高的窗口 A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线，抛物线所在平面与墙面垂直（如_ 2 0 _图所示），如果抛物线的最高点M离 墙1米，离 地 面 一 米，则水流下落点B离墙距离O B是_m.3【答 案】3【分 析】由题意可以知道M (1,y ),A (0,5)用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，当)=0时就可以求出x的值，这 样 就 可

39、以 求 出O B的值.【详 解】解：根据题意建立如图所示的坐标系92 0设抛物线的解析式为y =I 1+不，由题意，得：当x=0时，5=o +g,解 得：ci.3 抛物线的解析式为：y=(x 1)+日 当 y=0 时，0 =g(九一i f ，解 得：汨=-1(舍去)，X2=3.O B=3/w.故答案为：3.【点 睛】此题考查了利用待定系数法求函数的解析式的运用，运用抛物线的解析式解决实际问题.解答本题是时设抛物线的顶点式求解析式是关键.2 6.如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管A B,水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为l i处达到最高点C,高度为3?，

40、水柱落地点。离池中心A处3m，则水管A B的长为 m.9【答案】-4【分析】以喷水池中心A为原点，竖直安装的水管A B所在直线为y轴，与水管垂直的A D所在直线为x轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y=a (x-1)2+3(0 x 3),将(3,0)代入求得a值，则x=0时得的y值即为水管的长.【详解】以喷水池中心A为原点，竖直安装的水管A B所在直线为y轴，与水管垂直的A D所在直线为x轴建立直角坐标系，由于喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1?处达到最高点C,高度为3加,所以设抛物线的解析式为：y=a (x -1)2+3(0 x 3),代 入(3,0),得：0=a (3-1)2+

41、3,3解得：a=一丁.4将a值代入得到抛物线的解析式为:32y=-(x -1)一+3(0 x 0）,那么圆形水池的半径4至少为 米时，才能使喷出的水流不至于落在池外.9【答 案 叱【分 析】求出函数解析式中y=0时.x 的值，结合x 0 可得最终的x 的值，从而得出OB的长.【详解】9 9解：在 y=-x?+4x+(x 0)中，当 y=0时，-x?+4x+(x 0)=0,4 41 9解得X,x2=,2 2*/x 0，9 9:.x=,即 OB=,2 29圆形水池的半径至少为一米时，才能使喷出的水流不至于落在池外，2_ ,9故答案为.2【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是明确函数解析式

42、中两个变量的实际意义.2 9.学校组织学生去南京进行研学实践活动，小王同学发现在宾馆房间的洗手盘台面土有一瓶洗手液(如图)，于是好奇的小王同学进行了实地测量研究.当小王用一定的力按住顶部A 下压如图位置时，洗手液从喷口 B 流出，路线近似呈抛物线状，且 2=.洗手液瓶子的截面图下部分是矩形CG HD.小王同学测得：洗手液瓶子的底面直径GH=12cm,喷嘴位置点B 距台面的距离为16cm,且 B、D、H 三点共线.小王在距离台面15.5cm处接洗手液时，手心Q到直线DH的水平距离为3cm,若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距DH的水平距离是 cm.图图【答案】1 2 7 2【分析】根据题意得出

43、各点坐标，进而利用待定系数法求抛物线解析式进而分析求解.【详解】解：如图，以G H所在的直线为x轴，GH的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，喷口 B为抛物线的顶点，B,D,H所在的直线是抛物线的对称轴，V G H=1 2,喷嘴位置点B距台面的距离为1 6 c m,且B、D、H三点共线.小王在距离台面1 5.5 c m处接洗手液时，手心Q到直线D H的水平距离为3 c m,.点 G (-6,0),点 H (6,0),B H=1 6,.点 B (6,1 6),点 Q (9,1 5.5)1*/a=-1 8设函数解析式为 y =-(x-6)2 +1 6 =L x 2 +：x +1 41 8

44、 1 8 312当 y=0 时，(x -6)+1 6 =0解之：X =6+1 2 0,x2=6-1 2 7 2 (舍去)洗手液落在台面的位置距DH的水平距离为6+12&-6 =1 2 /2 .故答案为：1 2拉.【点 睛】本题考查二次函数的应用，解决本题的关键是明确待定系数法求二次函数的解析式及准确进行汁算.3 0.如图，是某公园一圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管O A =1.2 5 w,A处是喷头，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，水落地后形成一个圆，圆 心 为O,直 径 为 线 段C B.建立如图所示的平面直角坐标 系，若水流路线达到最高处时，到x轴 的 距 离 为2.2 5?，到

45、y轴 的 距 离 为1，则水落地后形成的圆的直径 CB=m.【分 析】设y轴右侧的抛物线解析式为：y=a (x-1)2+2.2 5,将A (0,1.2 5)代 入，求 得a,从而可得抛物线的解析 式，再令函数值为0,解 方 程 可 得 点B坐 标，从 而 可 得CB的长.【详 解】解：设y轴右侧的抛物线解析式为：y=(x -1)2+2.2 5.,点A (0,1.2 5)在抛物线上1.2 5=a (0-1)2+2.2 5解得：a=-1抛物线的解析式为；y=-(x -1)2+2.2 5令 y=0 得：0=-(%-1)2+2.2 5解 得：x=2.5或x=-0.5 (舍去).点3坐 标 为（-2.5

46、,0）；.O8=OC=2.5.CB=5故答案为：5.【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数的相关性质及正确的解方程，是解题的关键.3 1.某广场有一个半径8米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头（喷水头高度忽略不计），各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物。A的顶端A处汇合，水柱离中心。点3米处达最高5米，如图所示建立平面直角坐标系.王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身 高1.8的他站立时必须在离水池中心。点 米以内.【答案】7【分析】先根据“水柱离中心。点3米处达最高5米”可设右侧的抛物线解析式的顶点式为y=a（x-3）2 +5，再将点（8,

47、0）代入可求出a的值，然后求出y=L8时，x的值和点A的坐标，由此即可得.【详解】由题意，设OA右侧的抛物线的解析为y=O（X 3）2+5（x0）,某市民广场有一直径16米的圆形喷水池，,该抛物线过点（8,0）,.,.O=a(8-3)2+5,解得。=-,.O A右侧抛物线解析式为y =-|(x-3)2+5 =-|x2+|x+y,A 的坐标为(0，w,当 y =L 8时，1.8 =-1(x-3)+5,解得X=7,%2=-1 1 3，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心。点7米以内，故答案为：7.【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，依据题意，正确设立二次函数的顶点式是解题关键

48、.3 2.如图，在喷水池的中心A处竖直安装一根水管A8,水管的顶端安有一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1 m处达到最高点C ,高度为3 m,水柱落地点D离池中心A处3 m,以水平方向为X轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线的表达式为y =-(x-l)-+3(O x 3),则选取点。为 坐 标 原 点 时 的 抛 物 线 表 达 式 为,其中自变量的取值范围是，水 管 的 长 为 m.3【答案】y=-二(x+2)2+3-3x0 2.254【分析】直接利用二次函数的平移规律进而得出答案，再由题意可得，x=-3时得到的y值即为水管的长.【详解】以池中心A为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系.抛物线的解析式为y=-1(x l)-+3(0V x43),当选取点D为坐标原点时，相当于将原图象向左平移3个单位，3故平移后的抛物线表达式为：y=-(X+2V9+3(-3x0)；43令 x=-3,则 y=-F3=2.25.4故水管AB的长为2.25m.3故答案为：y=-(x+2)2+3；3x0；2.25.4【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质是解题关键.