公务员考试基础积累计算基础知识二.pdf

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1、时钟问题钟面时间的计尊时针、分针成直线问题时钟问题时针、分针成直线问题时针、分针垂直的问题1、钟面时1间的计尊时间单位换算：1 日=2 4 小时 1 小时=6 0 分1 分=6 0 秒 1 小时=3 6 0 0 秒【例】现在是上午8点整，请问过1 5 0 0 分钟后是几点？（）A.上午8点 B.下午8点 C.上午9点 D.下午9点【解题关键点】答案:C1 5 0 0 分钟相当于1 5 0 0+6 0=2 5 小时，故应为第二天上午9点。【例】2 0 0 5 年 1 0 月 1 2 日上午9时,我国自行研制的“神舟六号”载人飞船顺利升空,2 0 0 5年 1 0 月 1 7 日凌晨4时 3 3

2、分成功着陆。“神舟六号”飞行的总时间是几小时几分钟？【解题关键点】4 天X 2 4 小时+2 4 小时-（9-4 小时3 3 分）=1 1 5 小时3 3 分.1 2 日9时 到 1 7 日9时才足够5 天，所以4天*2 4 小时，加上第5 天飞行的时间，最后等于1 1 5 小时3 3 分2、时针、分针成直线问题一丽针转速为3 0 /小时，分针转速为3 6 0 /小时，设。时开始经过x 小时后时针和分针成平角，3 6 0 x-3 0 x=k 1 8 0（k=l,3,5,4 3,），（注意：如果k是偶数，那么就包含了重合的情况；所以k只能是奇数）.其 中 k=4 4 时,x=2 4 小时，因此2

3、 4 小时内时分针2 2 次成平角.具体时间，可以分别令k=1,2,.4 4,求出对应的x.【例】从 5时整开始，经过多长时间后，时针与分针第一次成了直线？【解题关键点】5时整时，分针指向正上方，时针指向右下方，此时两者之间间隔为2 5 个小 格（表面上每个数字之间为5个小格），如果要成直线，则分针要超过时针30个小格,所以在此时间段内，分针一共比时针多走了 55个小格。山每分钟分针比时针都走黄个小格可知，此段时间为55+1|=60分钟，也就是经过60分钟时针与分针第一次成了直线。【例】时钟的分针和时针现在恰好重合，那么经过多少分钟可以成条直线？【解题关键点】时针和分针重合，也就是两者间隔为0

4、个小格，如果要成一条直线，也就是两者间隔变为30个小格，那么分针要比时针多走30个小格，此段时间为30/（11/12）=360/11分钟3、时针、分针重合问题时针转速为30/小时，分针转速为360/小时，设0时开始经过x小时后时针和分针成周角，360 x-30 x=k 360（k=l,2,22,），其中k=22时,x=24小时,即24小时内分针比时针多转22圈,分针比时针每多转一圈便与时针重合一次，因此24小时内时分针重合22次.具体时间，可以分别令k=1,2,.2 2,求出对应的x.解决时钟问题可用上述一般的推理方法，当遇到较复杂的此类的问题时，可参考以下公式.据此时钟上时针与分针之间的关系

5、问题，可转化为时针与分针的追赶问题，这样问题就变成较为蔺单的一元一次方程问题了.公式：n=U（5 t士 a）.t为经过几小时，n为经过几分钟，a为此时时针与分针相差的格子数.当时针在分针前面（形成的角度小于180）时，取负号；当时针在分针的后面（形成的角度大于180小于360）时，取正号.公式推导过程：大家都知道，钟表上均匀地分布着60个小格，分针每小时转一圈，即分针一分钟走一格；而时针每小时走5格，因此它每分钟走海.由于时针与分针在0时重合，那么经过t小时n分钟后，时针走过的格子数为5t电 1,分针则走过了 t圈后又转过了n格，故此时时针与分针相差的格子数a分为下述两种情况：当时针在分针前面

6、（形成的角度小于180）时，有5t+三n-n=a,则n=5 （5t-a）.当时针在分针的后面（形成的角度大于180小于360）时，有n-（5 t+3）=a,则n=yr（5t+a）.将上述两式合并，就可以得到求解时钟问题的简明公式：n=,（5t 士 a）.当时针在分针前面（形成的角度小于180）时，取负号；当时针在分针的后面（形成的角度大于180小于360）时，取正号.【例】九点整时，钟的分针追上时针最少需要多少分钟？【解题关键点】解法：9 时整时，分针指向正上方，时针指向正右方，两者之间间隔为45个小格。如果要分针追上时针，也就是两者之间间隔变为0 个小格，那么分针要比时针多走45个小格，此段

7、时间为45 11竿 分 钟。解法：也可以套用公式=空母x5x9=等 分钟。22 22 11【例】在 34 点之间，时针与分针几点几分重合？【解题关键点】本题以“起跑线”的选择不同，可以有两种基本解法。解法选12点处为起跑线，两针在34 点之间重合，是时针与分针第三次重合。3（1 /）=3X=3专点=3点 162 分解法选3 点整看成时针与分针的起跑线，此时，分针落后时针:（圈）或 15（小格）（每格代表1分钟），所以分针要赶上时针，必须追上15（小格）。154-（1*=15义*161（分）注意这里单位的变化与统一。这里追及路程用钟面的小格表示，每一小格表示1 分钟。分针的速度是每分钟一小格。时

8、钟的速度是每分钟5小格，与前面提及的速度相同，只是单位不同而已。当然也可以按如下公式列示：（1（点）=1 6 5 （分）1 3Z 4.11 3 2 11所以时针与分针在3点 1 6 F分重合。解法：选 3点整看成时针与分针的起跑线，套用公式：。=芋（5ta）t=3,n为经过儿分钟，a=0 o 则 n W 1 x 5 X =l 哈（分）。所以时针与分针在3点 1 6 a分重合。4、时针、分针垂直的问题此类问题还是可以运用公式：n=装（5 t 1 5）.t 为经过几小时，n 为经过几分钟.当时针在分针前面（形成的角度为9 0 ）时，取负号;当时针在分针的后面（形成的角度为2 7 0。）时，取正号.

9、作答此类问题时要考虑到一个小时内时针与分针垂直两次等情况.推导过程：运用公式：n=等（5 t 士 a）.t 为经过几小时，n 为经过几分钟，a 为此时时针与分针相差的格子数.当时针在分针前面（形成的角度小于1 8 0 ）时，取负号；当时针在分针的后面（形成的角度大于1 8 0 小于3 6 0 ）时，取正号.a 为此时时针与分针相差的格子数，当时针与分针垂直时，a=1 5.【例】在 8时多少分，时针与分针垂直？【解题关键点】解法：8时整时，分针指向正上方，时针指向左下方，两者之间间隔为4 0个小格。如果要两者垂直，有两种情况。第一次垂直时，时针与分针间隔为1 5 个 小 格（分针落后时针），也就

10、是分针比时针多走了 2 5 个小格，此段时间为2 5 4 等整分钟。第二次垂直时，时针与分针间隔仍为1 5 个 小 格（但分针超过时针），也就是分针比时针多走了 5 5 个小格，此段时间为5 5+台 6 0 分钟，时间变为9时，超过了题意的8时多少分要求。所以在8时曙分时，分针与时针垂直。解法：运用公式：n=g （St15）第一次垂直时，忖针在分针前面（形成的角度为90），!）=,（5t-15）=落X（5 x 3-15）=署 分钟。第二次垂直时，时针在分针的后面（形成的角度为270），n=:（5t+15）=第X（5X 8+T5）=6O分钟，时间变为9时，超过了题意的8 时多少分要求。所以在8

11、时瞿分时，分针与时针垂直。【例】在 7 点与8 点之间，时针与分针在什么时刻相互垂直？【解题关键点】解法：7 点时分针指向12,时针指向7,分针在时针后面5x7=35（格）。时针与分针垂直，即时针与分针相差15格，在 7 点与8 点之间，有两种情况：第一次垂直时，分针在时针后面15格。从 7 点开始，分针要比时针多走35-15=20（格），需 20+（1-）=21*分钟。此时是7 点 21高分。第二次垂直时，分针在时针前面15格。从7点开始,分针要比时针多走35+15=50（格）,需 50米 （1-7：）=54（分 此 时 是 7 点 54日分。3 2 22 33所以所求时刻是7 点 2 1?

12、分和7点 543分。1U 11解法：运用公式：n=g （5t15）o第一次垂直时，时针在分针前面（形成的角度为90。），=：（5 t-1 5）=2|X（SX7-1 5）=2*分钟。此时是7 点 2舄 分。第二次垂直时，时针在分针的后面（形成的角度为270）,n=H （5t+15）=|1 x（5 x 7+1 5）=54分钟。此时是7 点 5哈 分。所以所求时刻是7 点 2分和7 点 5 4?分。年龄问题基础学习一、解答题1、年龄问题基本知识【答案】年龄问题是日常生活中一种十分常见的问题，也是公务员考试数学运算部分中的常见题型。它的主要特点是：时间发生变化，年龄在增长，但是年龄差始终不变。年龄问题

13、往往是“和差”“差倍”等问题的综合应用。几年后的年龄=大小年龄差+倍数差一小年龄；几年前的年龄=小年龄一大小年龄差+倍数差；下面，此类问题做一个总结，以备广大考生在复习时作为参考。解年龄问题，要掌握以下规律：第一，无论年份怎么变，两个人的年龄差总是不变的；第二，随年份的变化，两个人的年龄的变化量是相同的；第三，两个人的年龄倍数关系随着时间推移而变小。解年龄问题的基本方法：第一，列方程求解；第二，代入法。【结束】2、年龄问题例1：全 家 4 口人，父亲比母亲大3岁，姐姐比弟弟大2岁。四年前他们全家的年龄和为5 8 岁，而现在是7 3 岁。问：现在父亲、母亲的年龄是多少？()A.3 2,2 9 B

14、.3 4,3 1 C.3 5,3 2 D.3 6,3 3【答案】B【解题关键点】7 3-5 8=1 5 W 4 X 4,一般四个人四年应该增长了 4 X 4=1 6 岁，但实际上只增长了 1 5 岁，这是因为在4年前，弟弟还没出生。父亲、母亲、姐姐三个人4年增长了 1 2岁，1 5-1 2=3,则现在在弟弟3岁。那么，姐姐3+2=5 岁，父母今年的年龄和是7 3-3-5=6 5岁，则父亲是(6 5+3)+2=3 4 岁，母亲是6 5-3 4=3 1 岁。【结束】3、年龄问题例2：哥哥5 年后的年龄和弟弟3 年前的年龄和是2 9 岁，弟弟现在的年龄是两人年龄差的4 倍。哥哥今年几岁？()A.1

15、0 B.1 2 C.1 5 I).1 8【答案】C【解析】方 法 1，设今年哥哥x 岁，弟弟y 岁，则(x+5)+(y-3)=2 9,y=4 (x y),解得 x=1 5.方 法 2,由第二个条件弟弟现在的年龄是两人年龄差的4倍，y=4 (x-y),即可知4 x=5 y,即哥哥的年龄应是5的倍数，在 A、C 中选择，代入A 项，哥哥5 年 后 1 5 岁，弟弟3年 前1 4岁，可 知A不符合题意。直 接 可 以 推 出C项正确。【结 束】4、年 龄 问 题 例3：爸 爸 在 过5 0岁生日时，弟弟说：“等我长到哥哥现在的年龄时，那时我和哥哥的年龄之和正好等于那时爸爸的年龄。”问：哥哥现在多少岁

16、？()A.2 4 B.2 5 C.3 4 D.3 6【答 案】B【解 析】本题注意分析题干的关系。当弟弟长到哥哥现在的年龄时，如果哥哥与爸爸的年龄都同时减少到现在的年龄，那么弟弟与哥哥年龄和仍然等于爸爸的年龄，即爸爸现在的年 龄 是 哥 哥 的2倍，所以哥哥现在 的年龄是5 0 +2=2 5 (岁)。或直接列方程求解：设 弟 弟 今 年 为a岁，经 过k年和哥哥现在的年龄一样大，那时的哥哥为(a+k+k)岁，爸 爸 为5 0+k岁，则可得关系式：(a+k)+(a+k+k)=5 0+k,即 2 (a+k)=5 0,a+k=2 5 岁。【结 束】5、年 龄 问 题 例4：今年父亲的 年 龄 是儿子

17、年龄的1 0倍，6年后父亲的年龄是儿子年龄的4倍，则今年父亲、儿 子 的 年 内 分 别 是()A.6 0,6 B.5 0,5 C.4 0,4 D.3 0,3【答 案】D【解 析】法 一：设 今 年 父 亲 的 年 龄 为X,儿 子 的 年 龄 为Y,则X=1 0 Y,X+6=4(Y+6)从而可 以 计 算 出 答 案X=3 0,Y=3.法 二：此种类型题在考试的时候完全可以使用带入法，将 四 个 选 项 都 加 上6,看看是 否 成4倍的关系很快就能够得出答案。此 种 方 法 很 快！【结 束】方阵问题基础学习实心方阵I空心方阵 II综合 I一.解答题1、实心方阵基础知识【答案】总数=每边数

18、X 每边数每边数=每层数+4+1每边数=（每横排与每竖排之和-1）+2每层数=（每边数-1）X 4 方阵的基本特点是：1:不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同。每向里一层，每边上的人数就少2。2:（或物）数和四周人（或物）数的关系：四周人（或物）数=每边人（或物）数-1 X4;每边人（或物）数=四周人（或物）数+4+1。3:实方阵总人（或物）数=每边人（或物）数 X每边人（或物）数。【结束】2、实心方阵例1：30人一排的方阵，求最外层有多少人？【答案】116人。【解题关键点】利用公式四周人（或物）数=每边人（或物）数T X 4,（30-1）X 4=116（人）【结束】3、实心方阵例2：2

19、0人一排的方阵共有多少人?【答案】400（人）。【解题关键点】利用公式：实方阵总人（或物）数=每边人（或物）数X 每边人（或物）数,2 0 X 2 0=4 0 0 （人）。【结束】4、空心方阵基础知识【答案】空心方阵外边每变人数=方阵总人数+4+层数+层数，方阵每边上的人或物的数量都相同，每向里一层，每边上的人数就少2 人；所以四周人数=（每边人数 1 ）X 4,也即每边人数=四周人数+（4 +1 ）,而方阵总数是最外层每边人数的平方。总数=大实心方阵数-小实心方阵数；总数=（最外层每边数一层数）X层数X 4;总数=（最外层数+最内层数）X层数+2;最外层每边数=总数+4 +层数+层数；空心方

20、阵外边人数=总人数+4+层数+层数；总人数+4=每一层一边的人数总和-层数*1,而且每一边人数都是成等差数列的.总人数+4+层数=中位数-1;中位数+层数-1=最外边的人数；【结束】5、空心方阵例1：小华用围棋摆了一个六层的空心方阵，共 用 2 6 4 颗棋子，问最里层有多少个棋子？（）A 3 6 B 2 4 C 3 0 D 2 2【答案】B【解题关键点】法 一:对于空心方阵，最外层每边数=总数+4+层 数+层数最外层每边数=（2 6 4+4+6）+6=1 7 人；共六层，最外一层与最里一层相差5 层。每层每边数差两个，所以最里层每边数=1 7-5 X 2=7 个那么最里层个数是4 X 7-4

21、=2 4 个。法二：方阵每层相差8 个。那么从里向外数，第二层比第一层多8 个，第三比第一层多1 6 个，第四层比第 层多2 4 个，第五层比第一层多3 2 个，第六层比第一层多4 0 个；那么最里一层就是（2 6 4-8-1 6-2 4-3 2-4 0）+6=2 4 个【结束】6、空心方阵例2：一个两层空心方阵最外层有1 6 人，一共多少人？()A.1 6 B.2 4 C.1 0 D.2 2【答案】B【解题关键点】最外层1 6 人-四个角4人=1 2 人1 2+4=3,即每个边3人内层每个边应该比外层少2人以占角拐弯，故每个边仅1 人，加上4个角，内层共8 人综上，内外两层共2 4 人总而言

22、之，就是外层每排5人，内层每排3人，最中间空出一个人位置的两层空心方阵。【结束】7、方阵综合例1：方阵外一层总人数比内一层的总人数多8每边人数与该层人数关系是：最外层总人数=(边 人 数-1)X 4方阵总人数=最外层每边人数的平方空心方阵的总人(或物)数=(最外层每边人(或物)数一空心方阵的层数)X空心方阵的层数X 4去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数X2-1【例 1】某校的学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是9 6 人，问这个学校共有学生？【答案】6 2 5【解题关键点】解答：最外层每边的人数是9 6+4+1=2 5,刚共有学生2 5 X 2 5=6 2 5【结束】8、方阵综合例2：五年

23、级学生分成两队参加学校广播操比赛，他们排成甲乙两个方阵，其中甲方阵每边的人数等于8,如果两队合并，可以另排成一个空心的丙方阵，丙方阵每边的人数比乙方阵每边的人数多4 人，甲方阵的人数正好填满丙方阵的空心。五年级参加广播操比赛的一共有多少人？()A 1 60 B 2 0 4 C 1 0 0 D 2 60【答案】D【解题关键点】设乙最外边每人数为Y,则丙为Y+4.8 X8+YXY+8X8=(Y+4)(Y+4),求出 Y=1 4,则共有人数：1 4 X 1 4+8X 8=2 60。【结束】9、方阵综合例3：明明用围棋子摆成一个三层空心方阵，如果最外层每边有围棋子1 5个,明明摆这个方阵最里层一周共有

24、多少棋子？摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子？【答案】56个，1 4 4 个。【解题关键点】最外层有（1 5-1）X 4=56个。则里二层为56-8X 2=4 0 ,应用公式，用棋子（1 53）X 3 X 4=1 4 4 o【结束】1 0、方阵综合例4：学校运动会上，晨光小学组成一个大型方阵队，方阵队最外层每边2 5人，共 8 层；中间部分是1 5名同学组成的运动会会徽，这个方阵共有多少名同学？【答案】【解题关键点】空心方阵问题总数的公式是：总数=（最外层每边数-层数）*层数*4【结束】1 1、方阵综合例5：1 0 8人排成空心方阵，如果最外层每边1 2 人，那么共有几层？【答案】3 （层）。

25、【解题关键点】可以把相邻两层每边人数想成是一个等差数列，公差是2 （方阵问题中有这样一个知识点，就是相邻两边每边人数相差2）。通 过“1 2 X 1 2-1 0 8=3 6”计算我们知道了此方阵是中间去掉了 6 X6 的空心方阵，那么从每边 1 2 人排到每边6 人，通过等差数列求项数 公式是：项数=（末项-首项）+（公差+1）的计算我们能求出（1 2-6）+2+1=4 （层），应该是有4层,还因为我们已经知道要去掉的是每边6 人那一层，所以刚才的算式就不用加1 了，结果就是“（1 2-6）4-2=3 （层）【结束】1 1、方阵综合例6：国庆阅兵大典，参演学生组成一个方阵，已知方阵由外到内第二

26、层有1 2 0人，则该方阵共有学生多少人？（）A.62 5 B.84 1 C.1 0 2 4 D.1 0 89【答案】D【解题关键点】方阵由外到内第二层有1 2 0 人，那么最外层有1 2 0+8=1 2 8人，那么每边有（1 2 8+4）+4=3 3 人，则整个方阵有3 3 X 3 3=1 0 89人。【结束】1 2、方阵综合例7：某校的学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是9 6 人，问这个学校共有 学 生（A.60 0 人B.61 5 人 C.62 5 人D.64 0 人【答案】C【解题关键点】根据方阵问题的基本公式，可知学校共有学生=方阵总人数=(96+4+1)2=62 5。【结束】1

27、3、方阵综合例8：某校参加军训队列表演比赛，组织一个方阵队伍。如果每班6 0 人，这个方阵至少要有4个班的同学参加，如果每班70 人，这个方阵至少要有3个班的同学参加。那么组成这个方阵的人数应该为几人？()A.1 69 B.1 96 C.2 2 5 D.2 56【答案】B【解题关键点】依题意知道方阵数大于1 80 小于2 1 0,考虑到方阵人数必须是一个平方数因此只能是1 96人成一个1 4 X 1 4 的方阵。【结束】植树问题基础学习最筒单、最基本的植树问题不封闭路线的植树问题封闭路线的植树问题一、解答题1、不封闭路线的植树问题:如果题目中要求在植树的线路两端都植树，则棵数比段数多1。即:棵

28、数=段数+1=全长+株 距+1.例1：每3 0 0米设一根电线杆，则3 0 0 0米，要设几根电线杆？【答案】1 1 （根）【解题关键点】利用公式，3 0 0 0 4-3 0 0+1=1 1 （根）【结束】2、不封闭路线的植树问题:如果题目中要求在路线的一端植树，则棵数与段数相等。即：棵数=段数=全长一株距（属于封闭式植树问题）。例2：一农场的湖边种树，湖 长1 0 0米，要求每4米中一棵树，一共要种多少棵树？【答案】2 5（棵）【标题关键点】利用公式，1 0 0+4=2 5（棵）【结束】3、不封闭路线的植树问题:如果植树路线的两端都不植树，则棵数=段 数1。即：棵数=段数-1=全长+株距-1

29、。（注:株距为相邻两棵树之间的距离.）例3：两栋楼之间2 0 0 0米，要求没4 0米种一棵树，则需要种多少棵树？【答案】4 9（棵）【解题关键点】利用公式，2 0 0 0+4 0-1=4 9（棵）【结束】4、封闭路线的植树问题:如，在圆、正方形、闭合曲线等上面植树，因为头尾两端重合在一起，所以种树的棵树等于分成的段数，棵数=段数=周长一株距。例1：为 了 把2 0 0 8两北京奥运会办成绿色奥运，全国各地都在加强环保，植树造林。某单位计划在通往两个比赛馆的两条路的（不相交）两旁栽上树，现运回一批树苗，已知一条路的长度是另一条路的长度的两倍还要多6 0 0 0米，若每隔4米栽一棵，则 少2 7

30、 5 4棵；若每 隔5米 栽 棵 则 多3 9 6棵，则共有树苗多少棵？（）A.8 5 0 0 棵 B.1 2 5 0 0 棵 C.1 2 5 9 6 棵 D.1 3 0 0 0 棵 答案D【0题关键点】设两条路共有树苗x棵，根据栽树原理，路的总长度是不变的，所以可以根据路程相等列方程：（x+2 7 5 3-4）X 4=（x-3 9 6-4）X 5 （因为2条路共栽4排，所以要减4）,解 得x=1 3 0 0 0棵。【结束】例 2：甲单位义务植树一公里，乙单位紧靠甲单位又植树一公里，如果按1 0 米植一棵树的话，两单位共植树多少棵？（）A.1 9 9 B.2 0 0 C.2 0 1 D.2 0

31、 2【答案】C【解题关键点】甲在一公里内植树1 0 0 0+1 0+1=1 0 1 棵树，乙植树1 0 0 0+1 0=1 0 0 棵，所以甲乙共植树2 0 1 棵。【结束】5、四类最简单、最基本的植树问题基础知识。【答案】“点数”=“段数”+1。（2）非封闭线只有一端有“点”时,“点数”=“段数”。-最简单、最基本的植树问题只有这四类情形。【结束】6、四类最简单、最基本的植树例1：一条河堤长4 2 0 米，从头到尾每隔3米栽一棵树，要栽多少棵树？（）A 1 2 2 B 1 4 1 C 1 4 2 D 1 4 5【答案】B【解题关键点】这是第（1）种情形，所以要栽树4 2 0+3+1 =1 4

32、 1（棵）。【结束】7、四类最简单、最基本的植树例2：在一段路边每隔5 0 米埋设一根路灯杆，包括这段路两端埋设的路灯杆，共埋设了 1 0 根。这段路长多少米？（）A 5 2 2 B 4 4 1 C 4 4 2 D 4 5 0 答案D【旋题关键点】这是第种情形，所以，“段数”=1 0-1=9。这段路长为5 0 X（1 0-1）=4 5 0（米）。【结束】8、四类最简单、最基本的植树例3：肖林家门口到公路边有一条小路，长 4 0 米。肖林要在小路一旁每隔2 米栽一棵树，一共要栽多少棵树？（）A 2 2 B 4 1 C 4 2 D 2 0 答案D【标题关键点】由于门的一端不能栽树，公路边要栽树，所

33、以，属于第（2）种情形，要栽树 4 0 +2=2 0（棵）。【结束】1 0、四类最简单、最基本的植树例4:两座楼房之间相距3 0 米，每隔2 米栽一棵树，一直行能栽多少棵树？（）A 1 2 B 1 1 C 1 8 D 1 4【答案】D【解题关键点】因紧挨楼房的墙根不能栽树，所以，属于第（3）种情形，能栽树3 0+2 T=1 4（棵）。【结束】1 1、四类最简单、最基本的植树例5:一个圆形水池的围台圈长6 0 米。如果在此台圈匕每隔3 米放一盆花，那么一共能放多少盆花？A 5 2 B 2 0 C 1 2 D 4 5 答案B【荒瓦关键点】这属于第种情形，共能放花6 0 +3 =2 0（盆）。【结束

34、】【例】甲单位义务植树一公里，乙单位紧靠甲单位又植树-公里，如果按1 0 米植一棵树的话，两单位共植树多少棵？（）A.1 9 9 B.2 0 0 C.2 0 1 D.2 0 2【答案】C【小题关键点】甲单位在一公里内植树，则两端都可以种一棵树，则一共可以中1 0 0 0 4-1 0+1=1 0 1 棵树；乙单位紧靠着甲单位植树，则有一端不需要植树，一共可以中1 0 0 0 4-1 0=1 0 0棵树。甲、乙共植树1 0 1+1 0 0=2 0 1 棵树。【例】李大爷在马路边散步，路边均匀地栽着一行树，李大爷从1 棵树走到第1 5 棵树共用了 7 分钟，李大爷又向前走了几棵树后就往回走，当他回到

35、第5 棵树时共用了 3 0 分钟。李大爷步行到第几棵树时就开始往回走？A.第 3 2 棵 B.第 3 3 棵 C.第 3 7 棵 D.第 3 8 棵【答案】B【解题关键点】利用两棵数的间距相等的性质进行计算，实质还是植树问题。第一次李大爷走了 1 5-1=1 4 个间距，速度为每分钟1 4 +7=2 个间距，剩下的23 分钟李大爷可以走23 X 2=4 6个间距，以第5棵树为基准，往回走到第5 棵树比从第15 棵树走到回头的地方要多走15-5=10个间距,即还能再向前走（4 6-10）+2=18 个间距,即走到第15+18=3 3 棵树时回头。【例】在一条公路的两边植树，每隔3米种一棵树，从公

36、路的东头种到西头还剩5 棵树苗,如果改为每隔2.5 米 种 1棵，还缺树苗115 棵，则这条公路长多少米？A.7 00 B.8 00 C.9 00 D.6 00 答案c【品题关键点】注意，本题说明是在“一条公路的两边植树”。设公路长为a米，列方程2(a +3+l)+5=2 (a-?2.5+1)-1 1 5,解得 a=9 00。【例】为了把2008 年北京奥运会办成绿色奥运，全国各地都在加强环保，植树造林。某单位计划在通往两个比赛场馆的两条路的(不相交)两旁栽上树，现运回批树苗，已知一条路的长度是另一条路长度的两倍还多6 000米，若每隔4米栽一棵，则 少 27 5 4 棵：若每隔5米栽一棵，则

37、多3 9 6 棵，则共有树苗多少棵？A.8 5 00 棵 B.125 00 棵 C.125 9 6 棵 D.13 000 棵【答案】D【解题关键点】设两条路共有树苗x 棵，由植树的数量关系根据路程相等列方程(x+27 5 4-4)X 4=(x-3 9 6-4)X 5,解得X=13 000。(因为在2 条路两边植树，则棵树要比段数增加2X 2=4)2、封闭型的情况(多为圆周形)，如下图所示，那么:棵 数=段 数=路长小间距【例】一块三角地带，在三个边上植树，三个边的长度分别为15 6 米、18 6 米、23 4 米，树与树之间的距离均为6米，三个角上都必须栽一棵树，问共需植树多少棵？A.9 3

38、B.9 5 C.9 6 D.9 9【答案】C【解题关键点1三角地带的三边组成一个三角形，构成一条闭合线，则一共植树(15 6+18 6+23 4)4-6=9 6 棵。从植树问题中可以衍生出一些其他问题，如锯木、锯钢管等，其运算实质同植树问题是一致的。【例】把一根钢管锯成5 段需要8分钟，如果把同样的钢管锯成20段需要多少分钟？A.3 2分 钟 B.3 8 分 钟 C.4 0分 钟 D.15 2分钟【答案】B【解题关键点】把钢管锯成5 段相当于种五棵树，它们的间距有5-1=4 个，则需要锯4次,每次需要8+4=2分钟，那么，把钢管锯成20段需要锯19 次，共需要19 X 2=3 8 分钟。【例】

39、用 10张同样长的纸条,粘接成一条长6 1厘米的纸条，如果每个接头处都重叠1 厘米，那么每条纸条长多少厘米？A.6 B.6.5 C.7 D.7.5【答案】C【解题关键点】粘结时10张个纸条相当于种10棵树，它们的间距有10-1=9 个，共 有 10-1=9个接头，则如果设每张纸条为x 厘米，可以列方程：10 x TX 9=6 1,x=7 厘米。日期问题基本日期问题日期间题日期中的平、闰年问题日期中的公倍数问题一、解答题1、日期基本慨念【答案】1世纪=10详大月（3 1天）有：小月（3 0天）的有:平 年 2月28 天，平年全年3 6 5 天,【结束】1年=12月15 7 8 10 12 月4

40、6 9 11月闰 年 2 月2 9天闰年全年3 6 6 天2、基本日期问题例1：2 0 0 5 年 7月 1 I I 为星期五，那么2 0 0 8 年 7月 1 I I 是星期几？（:）A.星期三B.星期四 C.星期五D.星期六【答案】D【解题关键点】两个日期相差3 X 3 6 5+1 =1 0 96 天，也就是1 5 6 个星期零4天，所以2 0 0 8两 7月 1日是星期二。【结束】3、基本日期问题例3：某年2月有五个星期日，请问这年的6月A.星期一B.星期三C.星期二D.星期日【答案】C【解题关键点】2月的天数是2 8 天或2 9天，由于有五个星期日,日都是星期日。从 3月 1日算起至6

41、月 1日共有3 1+3 0+3 1+1=93以 6月 1日刚好是星期日过2天.为星期二。【结束】1日是星期几?说明2月 1日和2月 2 9（天），93=7 x 1 3 十 2,所4、日期中的平、闰年问题【答案】关于闰年的核算：非100的倍数的年份：能被4整除的是闰年（例如2008年是闰年）。是100的倍数的年份：能被400整除的是闰年（例如2000年是闰年，1900年不是闰年）。特例：能被400整除的年份中3200年不是闰年。平年是52周余1天，即365天;闰年是52周余2夭即366天。在计算同月同日不同年的情况下，要 清 楚“平年过1年，星期过1天；闰年过1年，星期过2天”的口诀。这个很容易

42、论证的，365,7=521;366 7=522。所以有平年过1年，星期过1天，闰年过1年，星期过2天的说法。【结束】5、日期中的平、闰年例1：2006年 8 月 1 号星期二，问 2008年 8 月 I 号星期儿？【答案】星期五【解题关键点】0 7 年平年加1,08年闰年加2 就很容易地计算出是星期五。注意：以“00”结尾的年份，能 被 4 0 0 整除的才是闰年，其余能被4 整除的是闰年；星期：星期7 天一循环，一年约52个 星 期（所以有“幸运52”），还要注意是平年的2 月还是闰年的2 月，若是闰年的，还要注意该2 月是否包含在计算期间内。【结束】6、日期中的公倍数问题【答案】1：关键提

43、示：最小公倍数与最大公约数的题一般不难，但一定要细致审题，千万不要粗心。另外这类题往往和日期（星期几问题联系在一起，考生也要学会求余。2:核心定义：最大公约数：如果一个自然数a能被自然数b整除，则称a为b的倍数，b为a的约数。几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。公约数中最大的一个公约数，称为这几个自然数的最大公约数。最小公倍数：如果一个自然数a能被自然数b整除，则称a为b的倍数，b为a的约数。几个自然数公有的倍数，叫做这几个自然数的公倍数.公倍数中最小的一个大于零的公倍数，叫这几个数的最小公倍数。【结束】7、日期中的公倍数例1：三位采购员定期去某商店，小王每隔9 天去一次，大刘每隔

44、11天去一次，老杨每隔7 天去一次，三人星期二第一次在商店相会，下次相会是星期几？A.星期一 B.星 期 二 C.星 期 三 D.星期四【答案】选择C。【解题关键点】此题乍看上去是求9,1 1,7的最小公倍数的问题，但这里有一个关键词，即“每隔”，每隔9 天”也 即“每 1 0 天”,所以此题实际上是求1 0,12,8的最小公倍数。1 0,1 2,8 的最小公倍数为 5 X 2 X 2 X 3 X 2=1 2 0。1 2 0+7=1 7 余 1,所以，下一次相会则是在星期三，选择C。【结束】8、日期中的公倍数例2：甲每5天进城一次，乙每9 天进城一次，丙 每 1 2 天进城一次，某天三人在城里

45、相遇，那么下次相遇至少要：A.6 0 天 B.1 8 0 天 C.5 4 0 天 D.1 6 2 0 天【答案】选择B。【解题关键点】下次相遇要多少天，也即求5,9,1 2 的最小公倍数，可用代入法，也可直接求。显然5,9,1 2 的最小公倍数为5 X 3 X 3 X 4=1 8 0。所以，答案为B。【结束】9、日期中的公倍数例3：甲、乙、丙、丁四个人去图书馆借书，甲每隔5天去一次，乙每隔 1 1 天去一次，丙每隔1 7 天去一次，丁每隔2 9天去一次。5月 1 8 日，四个人恰好在图书馆相遇，则下一次相遇的时间为()。A.1 0 月 1 8 日B.1 0 月 1 4 日C.1 1 月 1 8

46、 日D.1 1 月 1 4 日 答案答案：D。【薛题关就点】这道题搞清楚两点就容易求解：第，所谓每隔几天去一次的含义是，每(n+1)天去一次，因此题目的条件可以变为“甲每6天去一次，乙 每 1 2 天去一次，丙每1 8 天去一次，丁萄3 0 天去一次。”第二，需要考虑5、7、8、1 0 四个月有3 1 天。6、1 2、1 8、3 0 四个数的最小公倍数为1 8 0,因此再过1 8 0 天，四个人才能够再在图书馆相遇。5月1 8 日之后1 8 0 天 是 1 1 月 1 4 日。【结束】过河问题基础学习最值问题 过河问题解题思路解答题1、过河问题解题思路【答案】1：每次过河后，需要返回一人将船划

47、回出发地；2:最后一次过河的，不需要返回。3:常用公式：M个人过河，船能载N 个人。需要A 个人划船，共需过河苗出N-A次。4:如遇到数量较少的，可以自己列出，来检验一下：【结束】2、过河问题例1：有 3个土匪和3个警察要划船过河，每次最多只能在两个人过河，并且当土匪人数多于警察人数时，警察就会有生命危险，则所有人都过河需要划船来回共多少回?（来回算2 趟）【答案】1 3 趟。【解题关键点】回警11去回回匪警匪11IX警去去1警匪222 警 去 1 警 1 匪回2 警 去 1 匪回2匪 去 1 匪回2匪去在这里警察是弱者需要保护，一共需要1 3 趟【结束】3、过河问题例2：有 3 7 名红军战

48、士渡河，现仅有一只小船，每次只能载5人，需要几次才能渡完？（）A.7 次 B.8 次 C.9 次 D.1 0 次【答案】9 次。M-A 37-1【解题关键点】，根据公式：=9 次。N-A 5-1【结束】牛吃草问题基础学习标准的牛吃草问题草地不同的牛吃草问题牛吃草-问题 吃草动物不同的牛吃草问题草量持续减少的牛吃草问题牧草吃不完的牛吃草问题一、解答题1、牛吃草基翩D识【答案】牛吃草问题通常给出不同头数的牛吃同一片草，这块地既有原有的草，又有每美新长出的草。吃草的牛数量不同，求若干头牛吃这片地的草可以吃多少天。解答牛吃草问题通常设每头牛每日吃掉的草量为单位“1”，解题关键在于逋过对题中条件的分析比

49、较，求出牧场上原有的草量，单位时间生长的草量。解答牛吃草问题的常用步骤：1:求出两个总量；2:总量的差+时间差=每天长草量=安排去吃新草的牛数；3:每天长草量X天数=新长出来的草；4：草的总量=新长出来的草+原有的草；5:原有的草一吃原有草的牛=能吃多少天（或原有的草+能吃多少天一吃原有草的牛）。方程法解牛吃草问题：一般设出原有量、单位时间的增加量、单位时间消耗量来解题。方法指导：通常思路把 每 头 牛 每 天 周）的 吃 草 量 看 作 是“1 ；求 出 每 天（周 的新生长的草量是多少；求出原来的草量是多少；假设几头牛专门去吃新生长的草，剩下的牛吃原 来 的 草 所 用 几 天（周）数即为

50、所求。要点提示:牛吃草问题的核心等式：牛吃草总葬草场原有草量+新长草量这两种关系，在实际题目中，一般会出现两种方案，对这两种方案进行的比较，是获得解题思路的捷径。这种比较主要有两种方案“总草量”之差，这对应着两种方案的“时间差”。具体的关系为：牛的头数X吃 的 粉=草场原有的草量诲天长草量X吃的天数由此可知，一般牛吃草问题，首先要把两个关键的量求出来：每天长草量和草场原有草量。1：草的生长速度=对应的牛头数X吃的较多天数一相应的牛头数X吃的较少天数+（吃的较多天数一吃的较少天数）;2:原有草量=牛头数X吃的天数一草的生长速度X吃的天数；3:吃 的 天 数=原 有 草 量+（牛头数一草的生长速度