华师大版初三数学上册教案.pdf
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1、21.1.二 次 根 式(1)教学内容:二次根式的概念及其运用教学目标:1、理解二次根式的概念,并利用G(a20)的意义解答具体题目.2、提出问题,根据问题给出概念,应用概念解决实际问题.教学重难点关键:1.重点:形如G (a,0)的式子叫做二次根式的概念;2.难点与关键:利 用“&(a0)”解决具体问题.教学过程:一、回顾当 a 是正数时,&表 示 a 的算术平方根,即正数a 的正的平方根.当 a 是零时,、后 等 于 0,它表示零的平方根,也叫做零的算术平方根.当 a 是负数时,&没 有 意 义.二、概 括:&(a20)表示非负数a 的算术平方根,也就是说,8(a0)是一个非负数,它的平方
2、等于a.即有:(1)J Z 2 0(a0);(2)(V)2=a(a0).形如、万(a0)的式子叫做二次根式.注 意:在二次根式而中,字母a 必须满足a 2 0,即被开方数必须是非负数.三、例题讲解例 题:x 是怎样的实数时,二次 根 式 有 意 义?分析要使二次根式有意义,必须且只须被开方数是非负数.解:被开方数x-l2 0,即 x 2 l.所以,当 x 2 l时,二次根式GT有意义.思 考:好 等 于 什 么?我们不妨取a 的一些值,如 2,-2,3,-3,分别计算对应的a2的值,看看有什么规律:概 括:当 a 0 时,=a;当 a 0);yx=-J(x2)2=x2.四、练 习:X取什么实数
3、时,下列各式有意义.()-3 -4x.(2)3x-2.(3)3).(4)J 3 x-4+j4-3 x五、拓展例:当 x 是多少时,J 2-+3+1一在实数范围内有意义?X+1分析:要使J2X +3+一在实数范围内有意义,必须同时满足J2 x +3 中的2 0 和 一中X+1尤+1的 x+l#O.解:依题意,得42x+30 x+lwO3由得:x 2一2由得:xW-l当 X-且 x#-l时,J2X+3+在实数范围内有意义.2x+1例:(1)已知y=J 2 x+J x -2+5,求 一 的 值.(答案y 若 而 1+5 =1=0,求 a24+b204的 值.(答案?)六、归 纳 小 结(学生活动,老
4、师点评)本节课要掌握:1.形如G (a 2 0)的式子叫做二次根式,称为二次根号.2.要使二次根式在实数范围内有意义,必须满足被开方数是非负数.七、布置作业:教材P4:1、2八、反 思 及 感 想:21.1二次根式(2)教学内容:1.y a(a 2 0)是 1 非负数;2.(s a)2=a (a 2 0).教学目标:1、理 解 右(a 2 0)是非负数和(&)2=a (a 0),并利用它们进行计算和化简.2、通过复习二次根式的概念,用逻辑推理的方法推出后(a 2 0)是一个非负数,用具体数据结合算术平方根的意义导出(&)2=a (a 2 0);最后运用结论严谨解题.教学重难点关键:1.重点:G
5、 (a 2 0)是一个非负数;(、回)2=a (a O)及其运用.2.难点、关键:用分类思想的方法导出G (a 2 0)是一个非负数;用探究的方 法 导 出(、5)2=a (a 2 0).教学过程:一、复习引入(学生活动)口答1 .什么叫二次根式?2.当a 2 0 时,G 叫什么?当a0;(2)a2 0;(3)a2+2 a+l=(a+1)2 0:(4)4X2-1 2X+9=(2X)2-2 2 x 3+32=(2 x-3)20.所以上面的4 题都可以运用(G)2=a (a 2 0)的重要结论解题.解:(1)因为 x 2 0,所以 x+l 0,(y/x+1 )2=x+l(2)V a2 O,/.(-
6、J?)2=a2(3)Va2+2 a+l=(a+1)2,又丁(a+l)2 0,/.a2+2 a+1 2 0 ,J/+勿+1 =a2+2 a+1(4)V 4X2-1 2X+9=(2X)2-2 2 x 3+32=(2 x-3)2,X V(2 x-3)20/.4X2-1 2X+9 0,/.(V 4X2-1 2X+9 )2=4X2-1 2X+9例 3 在实数范围内分解下列因式:(1)X2-3(2)x4-4(3)2x2-3六、归 纳 小 结:本节课应掌握:1.a(a 2 0)是一个非负数;2.(4 a )2-a(a 2 0);反之:a=(4 a)2(a 2 0).七、布 置 作 业:教材P 4:3、4八、
7、反 思 及 感 想:21.1 二次根式(3)教学内容,了=a (a 2 0)教学目标:1、理解J/=a (a 2 0)并利用它进行计算和化简.2、通过具体数据的解答,探究J/=a (a 2 0),并利用这个结论解决具体问题.教学重难点关键:1.重点:J/=a(a 2 O).2 .难点:探究结论.3.关键:讲清a 2 0时,?=2才成立.教学过程:一、复习引入:(老师口述并板收上两节课的重要内容)1.形如G (a 2 0)的式子叫做二次根式;2.a(a0)是一个非负数;3.(6)2=a (a 2 0).那么,我们猜想当a 2 0时,/=2是否也成立呢?下面我们就来探究这个问题.二、探究新知:(学
8、生活动)填空:正=_;Vo.oi2=;J()2=_;(老师点评):根据算术平方根的意义,我们可以得到:后=2;而旅=0.0 1;底?木 符 号 病=。;肾4因 此,一般 地:J 7=a (a 0)三、例题讲解:例 1 化简:(1)囱 (2),(-4)2 (3)y/2 5(4)J(-3)2分析:因 为(1)9=-32,(2)(-4)2=42,(3)2 4=5 2,(4)(-3)2=32,所以都可运用J/=a (a 2 0)去化简.解:(1)A/9=5/3 =3(2)J(-4)2 -4(3)V 2 5 -5(4)(-3)2 =3四、巩固练习:(见小黑板)五、应用拓展例 2 填空:当 a 0时,_
9、_ _ _ _;当 a 0 时,一,并根据这一性质回答下列问题.(1)若 病=a,则 a 可以是什么数?(2)若 病=-a,则 a 可以是什么数?(3)后 a,则 a 可以是什么数?分析:J/=a(a 2 0),.要填第一个空格可以根据这个结论,第二空格就不行,应变形,使气)2”中的数是正数,因为,当 a W O 时,后(a?,那么-a 20.(1)根据结论求条件;(2)根据第二个填空的分析,逆向思想;(3)根据(1)、(2)可知=I a|,而|a|要大于a,只有什么时候才能保证呢?a 0.解:(1)因 为=a,所以a 2 0;(2)因为J?=-a,所以a a,即使a a 所以a 不存在;当
10、a a,即使-a a,a 0综上,a 2,化简 7(X-2)2-7(1-2%)2.六、归纳小结:本课掌握:=a (a 0)及运用,同时理解当a 0,b 0),/a b =a b(a 20,b 20),并利用它们进行计算和化简2、由具体数据,发现规律,导出G-4 b=4 b(a O,b 0)并运用它进行计算;利用逆向思维,得 出 而=&4 b(a N O,b 2 0)并运用它进行解题和化简.教学重难点关键1、重点:4 a 4 b y a b(a0,b,0),-J a b=4 a -J h(a 20,b 0)及它们的运用.2、难点:发现规律,导 出 V -J b 4 a b(a 20,b 20).
11、3、关键:要讲清 至(a 0,b 、/4 X V 5 而,(5)V 7 X V 10 屈.(学生活动)让3、4个同学上台总结规律.老师点评:(1)被开方数都是正数;(2)两个二次根式的乘除等于一个二次根式,并且把这两个二次根式中的数相乘,作为等号另一边二次根式中的被开方数.一般地,对二次根式的乘法规定为 a 4 b a b .(a 20,b0)反过来:I =G 亚(a 20,b 20)合探 1.计算:(1)逐 x g,(2)L x 百,(3)/9 X V 27 ,(4)/T x V 6分析:直接利用G 亚=瓢(a 2 0,b0)计算即可.合探 2 化 简(1)7 9 x 1 6 ,(2)5/1
12、 6 x 8 1 ,(3),8 1 x 1 0 0 ,(4)希亨,(5)7 5 4分析:利用J益=6 4 b(a/0,b,0)直接化简即可.二、质疑再探:同学们,通过学习你还有什么问题或疑问?与同伴交流一下!三、应用拓展:判断下列各式是否正确,不正确的请予以改正:(1)J(T)x(-9)=C x(2)J 4 X V 2 5 =4 XV 2 5X 5/2 5=4.义 后=4屈=8百V 2 5四、巩固练习(1)计 算(生练,师评)J i X&3 屈 义 2M 庙 a y(2)化简:病;如;V 2 4;庖;,1 2片一五、归纳小结(师生共同归纳)本节课掌握:(1)-J a y/b =y a b -(
13、a 2 0,b 2 0),a i -y/a 4 b(a)0,b 2 0)及运用.六、作业设计(写在小黑板上)(一)、选择题1 .直角三角形两条直角边的长分别为厉c m和 疵c m,那么此直角三角形斜边长是()A.3 y/2 c m B.3A/3 c m C.9 c m D.2 7 c m2.化简 a J二三的结果是().A.-J-a B.C.-yj-C l D.-J Z3 .等式石=1 =幺一1成立的条件是()A.xl B.x-l C.-1 WX 0),并验证你的结论.七、反思及感想:21.2二次根式的乘除(2)教学内容:近:叵(a 2 0,b 0),反 过 来叵=(a N O,b 0)及利用
14、它们进行计算和化简.Jblb 4b教学目标;1、理 解 至=叵(a 2 0,b 0)和叵=遁(a O,b 0)及利用它们进行运算./b V b V h/b2、利用具体数据,通过学生练习活动,发现规律,归纳出除法规定,并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化筒.教学重难点关键1 .重点:理 解 巫=叵(a0,b 0),叵=返(a 2 0,b 0)及用它们进行计算和化简.4 b N b b Vf o2 .难点关键:发现规律,归纳出二次根式的除法规定.教学过程;一、设疑自探一一解疑合探自探.(学生活动)请同学们完成下列各题:1.填 空(1)亚=V1 6(3)V4 =-,=-;716(2)巫 一
15、y/36(4)x/3 6 =_x T恒:_ _ _ _:7 36_,/3 6 =V8 1x/16规律:V1 6_ 叵;x/36_ V36巫一区;/16 V 167 /36.V 81 V812.利用计算器计算填空:(1 )V3 =,(2)V2 =,(3)V2 =,(4)6屏瓜.V3 3.V2 2.7 2 2./7i V4 6 yh V一名学生上台阐述运算结果.(老师合探:的除法规定:时二次根式的除法规定:5 V5 78 V8点评),根据大家的练习和亨=聆(a 0,b 0),反 过 来b而5b 0)分析:直接利用a _ 4a(a N O,b 0)就可以达到化简之目的.二、应用拓展式 子 与 器分析
16、:且 X 为偶数,求(1+X)/x-5x+4的值.V x2-1只有a 2 0,b 0 时才能成立.因此得到9-x 2 0 且 x-6 0,即 6 Vx 0)和叵=匹 _(a 0,b 0)及其运用.-/h V b V h y/h四、作业:(写在小黑板上)(一)、选择题:1 .计算居 一 房+区 的 结 果 是()A.7 5 ;B.2;C.7 2 ;D.叵7 7 72.阅读下列运算过程:1 :二 6 小,2 二20 20 数学上将这种把分/3 6乂4 3 /5 7 5 X7 5 5母的根号去掉的过程称作“分母有理化”,那么,化简高 的 结 果 是().A.2 B.6 C.-V6 D.5/63(二人
17、填空题 1.分母有理化:(1)1 =;(2)1 =;(3)VTo =.3 2 V52.已知x=3,y=4,z=5,那么+的最后结果是(三)、综 合 提 高 题 计 算V -2a2五、反思及感想:21.2二次根式的乘除(3)教学内容最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算.教学目标:1、理解最简二次根式的概念,并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.2、通过计算或化简的结果来提炼出最筒二次根式的概念,并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求.重难点关键:1.重点:最简二次根式的运用.2.难点关键:会判断这个二次根式是否是最简二次根式.教学过程一、设疑自
18、探一一解疑合探自探1.(学生活动)请同学们完成下列各题(请三位同学上台板书)计 算(1)昱,(2)三 至,(3)/5 42T7 y/2a老师点评:V3=V15,之 巨=匹,瓜 =2右V5 5 V27 3 V2 a自探2.观察上面计算题的最后结果,可以发现这些式子中的二次根式有什么特点?(有如下两个特点:1.被开方数不含分母;2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.)我们把满足上述两个条件的二次根式,叫做最简二次根式.合 探 I.把下面的二次根式化为最简二次根式:(1)3店;(2)ylx2y4+x4y2;(3)ySx2y3合探 2.如图,在 RtZABC 中,NC=90,AC=2.5cm,BC
19、=6cm,A求 A B 的长./AB=J 2 S +62=J(|)2 +36=片=噜=6.5(cm)因此A B 的长为6.5cm.二、质疑再探:同学们,通过学习你还有什么问题或疑问?与同伴交流一下!三、应用拓展观察下列各式,通过分母有理化,把不是最简二次根式的化成最简二次根式:1 I x(-l)V 2-l_ r-x/2+l-(V2+l)(V2-l)-2-1-1 =lx(V3-V2)c /?同理可得:i=瓦-月,从计算结果中找出规律,并利用这一规律计算(!+1 +1 +)(-2 0 0 2+1)的值.V2+1 6 +鼻 V 4+73/2002+/2001分析:由题意可知,本题所给的是一组分母有理
20、化的式子,因此,分母有理化后就可以达到化简的目的.四、归纳小结(师生共同归纳):本节课应掌握:最简二次根式的概念及其运用.五、作业设计(写在小黑板上)(一)、选择题1 .如 果 后 o)是二次根式,那么,化为最简二次根式是().A.正(y 0)B.6(y 0)C.(y 0)D.以上都不对-J y y2 .把(a-1)/1中根号外的(a-1)移入根号内得().V a-1A.-J u B.J l -a C.-J a 1 D.-a3 .在下列各式中,化简正确的是()A.=3 V L 5 B.-V 2 C.J a%=a?/h D.J x2=x,x-14 .化一 一3叵的结果是()A.-V 2 .B.-
21、_ L.;C.;D.-V 2V 2 7 3 /3 3(二)、填空题1 .化简个X,+J?y 2 =.(X,O)2 .a 化 简 二 次 根 式 号 后 的 结 果 是.(三)、综合提高题1 .己知a为实数,化简:V-a F1,阅读下面的解答过程,请判断是否正确?若不正确,请写出正确的解答过程:解:N-a /J _ =ayf-a-a J _ -a =(a-1)/-ay a 72 .若 x、y 为实数,且 y=J*4 +)4 “2 +1 ,求 J九+y J x -y 的值x +2六、反思及感想:2 1.3 二次根式的加减教学内容:二次根式的加减教学目标:理解和掌握二次根式加减的方法.重难点关键:1
22、.重点:二次根式化简为最简根式.2.难点关键:会判定是否是最筒二次根式.教学过程:一、设疑自探解疑合探自 探(学生活动):计算下列各式.(1)2A/2+3y/2,;(2)2-3y/S+5y/s;(3)+2yj l+3 J 9 x7;(4)3y/3-2A/3+V 2因此,二次根式的被开方数相同是可以合并的,如2 a与指表面上看是不相同的,但它们可以合并吗?可 以 的.(板书)3夜+&=3亚+2拒=5拒和36+收=36+36=66所以,二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.合探 1.计算:(1)V 8+V 1 8 (2)46X+4MX分析:第一步,将
23、不是最简二次根式的项化为最简二次根式;第二步,将相同的最简二次根式进行合并.合探2.计算(1)3 7 4 8-9 1+3 7 1 2 (2)(7 4 8+7 2 0 )+(V 1 2-V 5 )二、质疑再探:同学们,通过学习你还有什么问题或疑问?与同伴交流一下!三、应用拓展已知 4x2+y 2-4x-6 y+10=0,求(+y2JV)-(x2产-5x p )的值.分析:本题首先将已知等式进行变形,把它配成完全平方式,得(2 x-l)2+卬 一3)2=0,即x=;,y=3.其次,根据二次根式的加减运算,先把各项化成最简二次根式,再合并同类二次根式,最后代入求值.四、归纳小结(师生共同归纳):本节
24、课应掌握:(1)不是最简二次根式的,应化成最简二次根式;(2)相同的最简二次根式进行合并.五、作业设计(写在小黑板上)(一)、选择题1.以下二次根式:灰;舟 历中,与百是同类二次根式的是().A.和 B.和 C.和 D.和2 .下列各式:3/3+3=6yf i;上 币=1;6:+#=瓜;/2 4-2 y/2 ,其7 7 5中错误的有().A.3个 B.2个 C.1个 D.0个(二)、填空题1-在 瓜、上行、2阮、后、乙而、3 9、-2 3 3 a V根式的有_ _ _ _ _ _ _ _.2.计算二次根式5 6-3 6-7 G+9 孤的最后结果是_ _ _ _ _ _ _.(三)、综合提高题1
25、.已 知 君 心 2.2 2 6,求(痴-旧)-(布)的值.2 .先化简,再求值.4+h J x y 3)-(4乂产 +)3 6 孙),其中 x=2,y=2 7.六、反 思 及 感 想:彳中,与 岛 是 同 类二次(结果精确到0.0 1)2 1.3二次根式的加减(2)教学内容:利用二次根式化简的数学思想解应用题.教学目标:运用二次根式、化简解应用题.重难点关键:讲清如何解答应用题既是本节课的重点,又是本节课的难点、关键点.教学过程:一、设疑自探一一解疑合探上节课,我们已经学习了二次根式如何加减的问题,我们把它归为两个步骤:第一步,先将二次根式化成最简二次根式;第二步,再将被开方数相同的二次根式
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