关于历届高考试题中数列问题的研究.pdf

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1、关于历届高考试题中数列问题的研究上海市市西中学杨安澜第一部分怎样理解和解决数列中的基本问题1、怎样理解数列概念，解等差、等比数列的问题？一、正确掌握数列的函数定义数列实际上是一类特殊的函数，定义在自然数N上或N的真子集(1,2,3,上的函数。如数列%,有%=2 3,此数列是一次函数(x)=2 x-l,当xcN时的一列有序函数值。二、能 利 用%与 用 的关系解有关问题根 据 数 列 的 前 同 项 和 用 的 定 义 松=%+-+%,有M=的，号+%(2)例 1、已知数列同 的前眼项和号=1+3抬缶6加，求数列%的通项公式。解：的=S =4,ax=S*-S*_ i =/+3%-(%-1 尸-3

2、(-1)=2(w +1)(阀 2 2),当=1 时,2(+1)=2 x 2 =4,an=2(+1)(e 2 V)o注意：1、即=凡-工-1只有在之2时才成立。2、已知数列%的通项公式，求前附项和用的问题难度较大，除等差、等比数列求和或能归结为等差、等比数列的数列求和外，其他数列的求和一般不作会考、高考的考查要求。3、这类问题中，对于变形技巧较高，综合性较强的将在综合专题篇中作详细叙述。三、掌握等差、等比数列的概念及有关公式1、正确掌握等差、等比数列的定义(1)等差数列：%+1 一%=d(%e N,d 为常数)。注意，d是与项数间无关的常数。=!?(N.q(2)等比数列：即 为非零常数)。注意，

3、1是与项数弱无关的非零常数。2、正确掌握等差、等比数列的递推形式(1)等差数列：即+1 一%=n一/一 1 5 2 。也=马 一 伽 2 2,阀 eN)(2)等比数列：叫%-13、熟练掌握等差、等比数列的通项公式(1)等差数列：斯=%+5-1/3由,d为公差。(2)等比数列：外=%/酌，乡为公比。4、熟练掌握等差、等比数列的前间项和公式(1)等差数列:c n(a.n(n -1)./W=、J=吟 +,伊 的,注意S*看作间的二次函数d为公差,式，neN。rn ax(7 =1s*=a l-/)K (n e N)(2)等比数列：-I ,4为公比。特别注意：在没有明确公比自的取值范围时，求等比数列前阀

4、项和用时要对g 的取值作分类讨论。5、掌握等差(比)中项Aa +B,A =-,(1)等 差 中 项：&，力的等差中项 2 ,即a田 的 算 术 平 均 数。(2)等 比 中 项：。，力的等比中项G =士 疝，注 意 当 成 工。时，在实数范围内,。田 没 有 等 比 中 项。四、会 熟 练 掌 握 等 差、等 比 数 列 中 的“知 三 求 二”问题等 差、等 比 数 列 中，围绕外，工，分 别 有 两 套 公 式，均 含 有 五 个 量：的,附,乐.，以,)。已 知 其中三个量，可 以 求 其 余 两 个 量。,a-,=-,d =-,S=-5例1、已知等差数列 6 6 。求:阀 与 即。S*

5、=n a,+解：由等差数列前附项和公式5 2-,1、a3 =-=一=4解法2：.%，%，%成等比数列，的 9 02、灵活应用等比数列前项和公式解题例 2、已知等比数列的前4 次和为1,且公比为2,求此数列前8 项的和。解：5=(%+町 +&+4)+(%+%+%+%)=&+%+g +4)=&+/$4 =(1+/居=1 73、解有关等差、等比数列计算题时，如给定等差数列中连续三项之和，可以设这三项分别为x-y，x，x+y ；如给定等比数列连续三项之积，可以设这三项分别X-,x,xy为犷，这样设未知数，可减少运算量。例 3、已知等差数列连续三项的和为2 1,这三项的平方和为1 7 9,求这三项。解：

6、设此数列的三项依次为x-y，x，x+L则有x-y +x+x +y=2 L .x=7.（x-y）、/+（x+y）2=1 7 9,即（7 _ 丁尸+49+（7+乃2=179,解 得/=16,：7=4,所求数列的三项为3,7,i i 或 ii,7,3o六、会证明有关数列的问题有关数列证明题，除了要遵循证明代数问题的一般方法与规律外，在分析问题时要注意运用等差、等比数列的有关概念，性质与公式。例 1、求证：正数数列%为等比数列的充要条件是数列他 为等差数列。证明：设正数数列 怎 为等比数列，公比为4，则%=5 2 2,%e 劝,1g%=1g 怎_ 汉=1g%1+1g/（附 2 2,%e 加，故但%是以

7、也即为首项，1g q 为公差的等差数列。反之，设限4 为等差数列，公差为d ,屹 斯=lg%-i+d，（%2 2,%eM,.Iga 噱%=即_ 1.1 0 5 5 2 2,公 酌,所 以（%是以即为首项，10”为公比的等比数列。例 2、已知正数数列 怎 与 值 ,首 项 为=4 瓦=力，对任意自然数阀，都有4 血，%+i成等差数列；A,*如 成 等 比 数 列。求证：数 列 点）是等差数列证 明:因 即 也，%+i成等差数列，1%“=%+4+1,又&%+1也+i成等比数歹U,即+i W+i,%o也 0,伽e 的，；劭+1 =痣 A _ 即=瓦代入得2 b x=J 可牝+i+新也,两 边 同 除

8、 以（J ）得2、瓦=、h _i +、h+i ,又,另(,2b-a)2i=&=r-眄-匹=*三 正 一 盛=如 半 心 =.（小v b、必 也,所 以 数 列 是 以/为 首b-a项，否 为 公 差 的 等 差 数 列。说明：证明数列是等差或等比数列的解题最后步骤要明确写出此数列的首项与公差或公比。七、会解与等差、等比数列有关的生产与生活实际中的应用题生产与生活实际中大量的涉及到增长（或降低）问题，其数学模型为等差、等比数列，可用等差，等比数列的知识解决。例 1、已知某厂第一个月的产值为。，第十个月的产值为3,（1）如果每个月比前一个月增加的产值数相同，求这十个月的总产值。（2）如果每个月比前

9、一个月的产值数增加的百分比相同，求这十个月的总产值。解：（1）由题意知，十个月的产值组成等差数列%（=1 2,1 0）,其中%=,为=”由等差数列前万项%和公式得乙 11+i1n。x l.O八 =a+b x l O=c5(.a +b,)s（2）由题意知，十个月的产值数组成等比数列%（%=1 2，1 ）,其中上,=9 日%=%为=,公比为7,则有 二 应 忐,由等比数列前同项和公式得,_ 以（1 -8）_ a 私 -b/b1=二=乐-讹例 2、某城市1 9 9 0 年底人口为50 0 万，人均住房面积为6 平方米，如该市每年人口平均增长率为1%,每年平均新增住房面积数为30 万平方米，试求2 0

10、 0 0 年底该市的人均住房面积数。解：该市1 9 9 0 年底住房面积数为6x 50 0 =30 0 0 万(平 方 米)，自 1 9 9 0 年起，每年年底的住房面积数是一个公差为d为 30 万的等差数列，设 1 9 9 0,1 9 9 1,2 0 0 0 年底的住房面积数分别为即，。2,阳,则 阳=的+1 0 d =330 0 万(平方米)。自1 9 9 0 年起，每年年底人口数是一个公比4为 1.0 1 的等比数列，设 1 9 9 0,1 9 9 1,，2 0 0 0 年底的人口数分别为灰，与，%，则%=却严如552.31(万)，2 0 0 0 年底的人均住房面积为330 0 +552

11、.31 a 5.9 7(平方米)。易错题例析示例1、命 题(1)：若数列 怎 的前项和芯则数列是等比数列；命 题(2)：若 数 列 的 前 耳 项 和 用=/+初+c(0),则 数 列 是 等 差数列；命 题(3)：若数列 4 的前岸项和名=加-%,则%既是等差数列，又是等比数列。上述三个命题中，真命题的个数是()。(A)0；(B)1；(C)2；(D)3。失误辨析 错误地选择(B)、(C)、(D)o上述三个命题均涉及到用与%的关系：%=用，即 一 凡-1 伽2 2),对于赧(1),1 =&+/=2-S i =(a-l)a*T 5 2 2),在(a-l 中,当%=i时，所以只有当B =-1 且a

12、 w。时 数 列 才 是 等 比 数 列。对于命题(2),a i=a+5+c，%=S x-S*-i =2 a&-a，5 2 2),所以只有当。=()时，W才是等差数列。对于命题（3）,%=点7，%=SS i=0-1,5 2 2）,显然是一个常数列，只有a T#0时才既是等差数列，又是等比数列。因此应选择（A）o注意：非常数列的数列成等差数列的充要条件是它的前项和S x=aM+物，当 怎 是常数列时，。=0。还要注意等比数列概念中的外 0，自=0的两个规定。示例2、设首项为1,公比为,似 ）的等比数列，如果E是 的 前 阀 项 和，又设%,求i s *（1 985年全国高考题）。失误辨析 错误解

13、答：”$2 1-/+1 5 0*1-0。错误的原因：（1）,（1寸）*况 1 八*1 lim a-0忽视等比数列前盟项和 1-0的使用条件0 H i。（2）忽视极限i s”的条件|1。看=工=1正 确 解 法 是 当q=i时，加 1 。当，1时,z =上 鼻 位=i1 -q i s 1 -01-*（与 I 1=：。，丽 =4=一；二1 1mq1 -0 XT 9/1 x _ q XT 9当Q 1时，q1 （当。q 4 1）-gDA组练习1、已知 怎 是等比数列，月+2%+%。6=2 5,那么的+。5的值等于()(A)5；(B)1 0；(C)1 5；(D)2 0 o1 _ 5_2、等差数列的第一、

14、二、三项依次是不元 菽 提，则这个数列的第1 0 1 项是()1 2 25 0-1 3-8-(A)3 ；(B)3 .(C)2 4 ；(D)3。3、公差为1 的等差数列(J 的前9 8 项和为1 4 7,则 知+劭+。6 +%5+%8 的值 是()(A)9 8；(B)9 3；(C)5 9；(D)4 9 04、三个数成等比数列，它们的和与积分别为1 4 与 6 4,求这三个数。5、四个数中，前三个成等差数列，后三个成等比数列，且第一个与第四个数的和为1 6,第二个与第三个数的和为1 2,求这四个数。B 组1、命 题(1)：巴瓦c 成等差数列的充要条件是a +c=2 5；命 题(2)：。，九,成等比

15、数列的充要条件是=川；命 题(3)：数列%成等比数列的充要条件是数列缶外+1 成等比数列。以上命题正确的是()(A)命题 1、2、3；(B)命题 1、3；(C)命题 1；(D)命题 1、2 o2、已知丁=/(x)是一次函数，八?),/。),/)成等比数列，且1/(=1 5,求：/0)+/(2)+/()叽3、设”+方+；-*+。-8,4+占 一，成等比数列，且 公 比 为 求 证：/+/+=4、设5 是等差数列，一 弓，已知4+%+“一 至&也 的 一 百，求等差数列的通项公式。5、设 1 9 8 0 年底我国人口以1 0 亿计算。(1)如果我国人口每年比上年平均递增2%,那么到2 0 0 0

16、年底将达到多少？(2)要使2 0 0 0 年底我国人口不超过1 2 亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？2、怎样求数列的极限？一、理解数列极限的意义在间无限增大的变化过程中，如果数列%中的项%无限趋近于某个常数C,那么称C 为 数 列 的 极 限。记作蚣久二,或当浮-8时，有%7C。例如2n 2n.%=-lim -=2数列一中，有 1,当与无限增大时，见无限趋近于2,所以 12n 3%=-/或当的8时，+1 。二、掌握几个常用的重要的数列极限lim =01、一阀；h m C =C2、(C 为常数)；0 0 1 或 0%J8T(o 2注意：有些数列不能直接应用数列极限的四则运算法则求极限，需

17、设法将它们变形，化为能应用法则的形式。例2、求下列数列的极限+2%+3(1)lim -19 3n+1 .1ml(W护+(-2严.(3)lim(1-1)(1-1)(1-1)-(I-X T 9 3 4 51n+2)(4)lim 6 (J 8 +1 -6)XT 9解:（1）将分子分母同除以/,则有,li mX T 2/+2%+31 +-2 +3 li m 1+li m 2+li m 3 1n n _ XT9 XT”XT9 n _ 13n2+13+1 +2n n1.1 3li m 3+li m +li m n/T9 n（2）将分子分母同除以3】，则有,1 1,2r3*+(-2.3+3(_?1lu n

18、：-r =li m 0 J-=3i+(-2 产 i +(二 产 3li m 说明:类似求 9以ax+bxx+1+F”，（1以网切），要对卬力的取值作讨论。li m-eg aaK+bx+F7 T =l unX T 9当1。1 1卬时,当|a|l列时,li m-xtb aaK+bs+1+*1X+l+Jb1 r /.111+求极限 3 91+-2”1+-3*4、.pri1+2n+3 1lim *-=设 船-%+4 q,求，4的值。B组1、已知等比数列%的公比4 1，且的=白9了。），2、求 极 限 蚓 0 一 舞 修)卜，ax-hxlim-(a 0,5 0)3、求极限a*a*4、若升1lim9、(%

19、*+45*x)，=8，lim小(6a*-Z晨)=l,求lx Ilim/(3a*x +Z)*,)5、对于数列a ,马胃胃”坳 小 处 求 亶”3、怎样正确运用数学归纳法？数学归纳法是论证关于自然数命题的一种重要的推理方法。数学归纳法有它固有的理论基础，运用起来有确定的程式与步骤，有灵活多变的技巧，又和数学各个部分有广泛紧密的联系。一、理解数学归纳法的原理一个与自然数有关的命题。，若：1、(%为某个自然数)真。2、假设色)(葡加2 勺)真,那 么 3+1)真。则命题对于所有 2%。的自然数为真。二、掌握数学归纳法的主要步骤根据上述原理，可见数学归纳法的主要步骤是：1、验证尹伽。)成立，5。仁 加。

20、2、假设（上2%）成立，证明（先+1）也成立。说明：步骤1是推理的基础与根据，起着奠基作用，如缺了第一步，即使证明了第二步，命题也不一定成立。步骤2建立了推理链的关系，起着递推作用，在尹侬。）成立的前提下，保证了命题序列中递推关系的成立，使推理链一环扣一环，直至对不小于小的所有自然数次，P（%）都成立。步骤2的推理过程中，必须用到?（均成立这个归纳假设，直接证明P役+1）成立，不是用数学归纳法证明。三、能用数学归纳法证明恒等式12+32+52+-+（2 -1）2=1 （42-1）例1、设%求证：3=-（4-1）=1证明：（1）当力=1时，左边=1,右 边3,等式成立。（2）假设当融=匕EeN）

21、时等式成立，即12+32+5?+（2发 一1）2 =1 左（4/一1）3,则仔 +32 +5 2 +Q上 一 +Q上+1 =；上（4/-1）+（2化+19一 4斤3+12发2 +11先 +3 _ 4k+2无 +1）+4（无2 +2 +1）（+1）3 31 1,=耳 依 +1）4堆 +1）+4（上 +1）-1=l（无 +1）4痣+I）2-1所以，当然=兀+1时，等式也成立。根 据（1）和（2）,可 知 等 式 对 任 何 都 成 立。例2、设6曾，求证：1-(2-l)+21(2-22)+-+(2-/)=小 二 以 竺24证明：(1)当为=1时，左=0,右=0,二花=1时等式成立。(2)假设川=七

22、(七2 1，上6加 时，等式成立，即1 (/-1)+2,-2?)+嗯-=,二 I4当然=上+1时，左边=K上+1)2-1 +2.佐+1)2 _ 2 +/+1)依+l)2 _ g +l)2=1-2-l+2.2-22 +-+.A;2-+(2?t+l)l+2+.-+(k+1)体+*-3+1力=2屿 二 以 1)+她业辿4 2_ 冷+1)无(左 一1)+2(2k+1)_ 冷+1)2 也+2)4 4_痣 +1)2 g +1)-邛(发 +1)+1 .i+i4”时等式成立。根 据（1）、（2）可得，时等式成立。说明：用数学归纳法证明恒等式时，在递推过程中应注意等式左右的项数的变化,由=无至脾=氏+1时项数的

23、增加量可能多于一项，各项也因同值的变化而变化，因此要仔细分析项数及各项的情况。四、能用数学归纳法证明数与式的整除问题例1、求证：三个连续自然数立方和可以被9整除。证 明:F +2?+33=36 =4 x 9,则能被9整除。(2)设有自然数兄3 2 1)满足.+(11)3+(12)3=9/(Me孙3 +1)3+伏+2)3+/+3)3 好 伉+1)3-3+2)3=(上 +m3 _ 妙=9尚+业+3)是9的倍数。二.(上 +以+(左+2)3+(上 +3)3=伉3+/+1)3+3 +2)3 +K Y +3)3-炉 为两个 g的倍数的和。能被9整除。由(1)、(2)知命题成立。说明：本例的证明过程中采用

24、了相减法，运用了整数整除的性质：若aW，a|c,则a 19 士c)(其中凡及ceZ),a伊表示能被5整除。例2、求证：当浮为正奇数时，工+沙能被工+y整除。证明：(1)当=i时，*+川命题成立。（2）假设力=2k-1,依e N）命题成立，即一 修+/1能被x+y整除。当%=2 k+1,依e切 时，/M+y 2 i =产I?+产I =/（产-I +/-I）+产-匕+r）由归纳假设知：（川（产1+产），；（X+刈/（产+产），又S+丁）|-y）（x+#,.（x+y）|炽加+*），即双=2尢 +1 时，命题成立。由（1）、（2）知对全体正奇数命题成立。说明：本题推理过程中采用了补项法，充分利用%=2

25、无 T 成立的归纳假设条件。要注意步骤（2）中不能假设%=2上+1,依e 成立，再推证”=2无+3,R e N）成立。易错题例析示例1、用数学归纳法证明等式n w+1sin.cos rcos a+cos 2 c?+cos n e r=-（0 -(2k+2)(2无 +3)a =-(k+1)(上 +1)+l4(i+1)+3所以，=攵+1时也成立。步 骤(2)的证明过程中，省去了关键性的推理过程，事实上，当=兑+1时，应写完整步骤，左边=-依X+1)(4发+3)+(2k+1)(2巾+2尸-(2发+2)(2出+3)2=-k(k+1)(4k+3)+2(k+1)(2+l)(2i+2)-(2k+3)2=-k

26、(k+1)(4 左 +3)+2a+1)(-6 无-7)=-(左 +T)4k2+3左 +1 2上 +1 4=(k+1)(4 无 +7)&+2)=-(k+1)3+1)+l 4(Jt+1)+3阀=上+1时也成立。正确解答(略)。练习A组1、用数学归纳法证下列等式1 o (+1)n(n+1)(+2)/I+3+6+-=-A T)(l)2 6I2 22 2 n(n+1)/g+-+-n e(2)I 3 3,5(2%-1)(2 +1)2(2+1).nx(n+l)xsin cos-cos x+cos2x+cosx=-xsin(3)22、用数学归纳法证明下列数与式的整除问题(1)叱+吐】能 被133整除;(2)一

27、(3+X)能被2 整除。B组1 二+2=+.+(_i)i=ioq,(“小1、求证：2 4 8 2*4 9,2*T2、设 S=巴$2 =12+22+12,3=12+22+32+22+12,-S*=俨+2?+3?+/+毛+2?+F,用数学归纳法证明公式S _%(2/+1)一3,对所有自然数咒都成立。3、求证：/一.1+伽-1)/能被q _。)2整除。第二部分怎样解有关数列和数学归纳法的综合问题数列与极限、数学归纳法是初等数学与高等数学密切衔接的内容，是中学数学教材的重要组成部分，而且是对学生进行计算和推理训练的重要题材。由于它们涉及的知识面较广，综合性、灵活性、技巧性都较强，是考查学生能力的重要手

28、段，因此几乎每年都有数列与极限、数学归纳法，作为综合题目出现在高考试卷中。1.利用明与%的关系解有关数列问题例 1.设数列 的前n 项的和为凡=步+2%+4,册 物，(1)写出这个数列的前三项1-2，。3；(2)证明：数列 怎 除去首项后所成数列叼，。3，。3,是等差数列。(19 86 年上海高考试题)分析由条件给出数列(%中j的表达式，因此与与斯之间有如下关系：=$1%=$*-s*%=2,3,4 利用这个关系解数列的通项公式，然后再证明(2)%=5 =12+2 xl +4=7,劭=$2 =22+2 X 2 +4-7 =5,a3=s3-s2=32+2X3+4-(22+2X2+4)=7(2)当%

29、2 时,a*=sx-sxA=n2+2 n+4-(-1)2+2(-1)+4=2 w+1解：从 而 限 一%=2(%+1)+1 伽 +1)=2,(2)数列 W从第二项起，即知，&，4构成公差是2的等差数列。说明：本题不能误认为1 J的通项公式就是4 =2 抬+1 77 不满足上式，。实际上本题数列 外 的通项公式是：P(=l)龙 2 +1 (2)例 2.设数列勺百金，.%前%项的和s*与即的关系是s*=-+1(其中K是与n 无关的实数，且 K-l)（1）试写出由n、K表示的外的表达式;（2）若11ms*=L,求K的取值范围。（1987年全国高考文科试题）,1八.a.=ka.+1,a,=-分析由条件

30、给出了与=总x+l，可求出 1-0由由即+1 =S/1-S 她+1 -3!,即得到*+1 左-1 再求即的表达式。解(1)V4+1=%+i-s*=(K i+1)-伏%+1)=包+kax,(we A T)即k1包，.解得%+1 _ 卜若 0,则由题设知的R ,由 易 知 即=（n l）,所以，4 化-1。故k该数列是公比为E的等比数列，其首项为劭=邑=为+1,即 =二，二,即k-当A=0时，由知a*=0（n l）,即在nl时，*伏一般成立，所以即的aK=-（1,AQ.表达式为 依-D*1）n 2,e 拉）其中由总等于1,1(2 )右龙T 9 凡=1：即 XlTi9m (以 +1)=1,贝|J X

31、 T 9kan_ 妙-1=n l i m k-=0,即依7 7即l i m-kF710lr 1,-1 -1,k-10上-1Jo凌-1k s3 a=1 (0 0声1 3 0,品3 0 孙+78八 0用分别代入、，得(42 d -1 4 4 2 4：.-3 d -52 d -1 56 7 n n -1 VS=n a,+-二*i 2%(1 2 -2 d)+g n n-l)dd _25-212:d d -亍,6。3 a1 2 以 1 3 ,若 1 0,且劭0,使得一一,）+尼4，一。）=:）2 成立，并证明你的结论。（1 995年全国高考试题）分析要证明（1）,只要证明s J S x+2（S x+/即

32、可，作差比较。证 明（1）设 的 公 比 为 q,由题设知的0,q0o当 q=1 时,s*+2=$*+：=n a （+2）a l -仇 +I）%：=-a/0,都有s j S/2 sM+12根据对数函数的单调性，知l g （s J S z ）1 g 2 .1,即1gs*+）耳+2 0,使 2sK-c 0%+i -c 0 SK+2-C 0 (%-C-c)=(s*+c)2 则有由得，S z -S a 。卜+S*+2 2$*+）,根据平均值不等式知 0 0,故式右端非负，而 由（1）中证明知，式左端小于零，矛盾。尼卜-）+尼（耳+2-。）川s _ C）故不存在常数c 0,使 2，+1说明：对于“是否存

33、在”这类讨论性问题，通常的解法首先是假设“存在”然后通过推理、计算，可能得出两种结果：1.若求出了所问的对象，且每步推理是可逆的，则结论是“存在”2。若得出各类矛盾的结果，这恰是反证法思想，则结论是“不存在”。6.用待定系数法与数学归纳法解某些数列综合题例 9.是否存在常数a、b、c 使得等式1-22+2-32+.+n n+1）2=如+：胡?+b n+c）1 2 对一切自然数n 都成立？并证明你的结论。（1 989年全国高考试题）分析首先假设存在a、b、c,由于等式对一切自然数成立，因此对特殊的自然数等式一定成立。需待定三个字母a、b、c,的值，所以令n=l,2,3,得出关于 a、b、c的三元

34、方程组，求出a、b、c 再用数学归纳法证明，对一切自然数n邯成立。解假设存在a、b、c 使等式成立。a +b +c =24 4 +23+c =4 49a +%+c =70令 n=l,2,3,得解方程组，得a=3,b=l l,c=1 0o于是，对n=l,2,3下面等式成立:1 22+2 ,3MH-H n (n+1)2当*-Ii)记=1-22+21 32+.+(+1)2设n=k时上式成立，即%恢2+1 1先+1 0)当附=归+1时,s“i =%+生+1)优+2)2=(31 +1 收+1 0)+伍+1北+2)2=当/伉+2)(3上+5)+仇+1)依+2)2二优+1工+2)战+5如9+2 4)=+1工

35、+2)3 优+邛+n伏 +)+I。，n=k+l时，等式也成立。综上所述，当a=3,b=l l,c=1 0时，等式对一切自然数n成立。说明：先由特殊值法得出a、b、c,再用数学归纳法证明一般情况都成立，这是很重要的归纳思维方法。本题也可用拆项的方法，n n+1)2=力，+2力。+n/.s3tt=(l3+23+.+3)+2(12+22+.+%2)+(1+2+.+力)+I?+1)(2+1)n n+1)=-+-+-4 6 2=啥闲+1110)即存在 a=3,b=l l,c=10o但对于F +2?+7J2+2?+/这两个数列求和在教学与高考、会考中是不作要求的。所以拆项法不是高考命题者的本意。7.用无穷

36、递缩等比数列求综合问题例 1 0 如图，已知a A O B 中，OA=b,0B=a,Z A 0B =0（a b,是锐角），作工瓦_L OB,为A B A；再作AB2,0 B,BA;如此继续作下去。设*仍1、4为8，的面积为S i，$2,，求无穷数列S i，$2的和。（19 8 2年全国高考题）分析由相似三角形的性质得出数列,再求和。ABI=5sin=a-bcos Sabsi=ABBB=s i n 而-3cos 同OABsOAVydOA)B a 4冬.解OA cos g b叱J-=-cosOBa（对一切n l 成立，此时视4稣为A B）,/XABB四4J1 4-i 为-i j5 I cos 外即

37、无穷数列%)q=(co s 协2是等比数列，公比 以o f-co s a b,I。J.数列 s J是无穷递缩等比数列。,v、S1 以%s i n 分.s =l i m S +s，+=-=7-r、】2 n t -q 2(”Mos团说明：在解决有关无穷递缩等比数列几何问题时，应利用图形寻求数量间的关系,使问题得到转化，同时要找到公比团1的无穷等比数列。练习考查1.已知数列卜J的前几项和%=3 2 -/,求数列MJ 的前n项 和 上)。2.已知数列U的首项劭=帅 内)，它的前n项和s*=%+盯+的+即 卜21)并且为,如S 3,鸟,是一个等比数列，其公比为。仿 h 0),(且 同 也,其中%=P，4

38、 =*a*=啊-1 +血-击 2 2,，g,r 是 已 知 常 数 且 0,p /0)(1)用 p、q、r、n 表 示/，并用数学归纳法证明。(2)求4 .已知数列LJ满足条件：即=1，叼=厂(r0),且%是公比为q (q 0)的等比数列。设&=町1+%/=1，2)(1)求出使不等式许即+1+即+向+2 4+2%+3 (x eN)成立的q的取值范围。11H 1(2)求切和19 s*,其中s*=4+%+&。.1 1尸=2-1,(7=-y ,(3)设 2,求数歹“J最大项与最小项的值。5 .已知，4,”是直线1上的点,线段|44+2 1 _ I4+2 4+1I L 3 r1441=1，W 是 线

39、配 4+i 上的一点且|4+2 4+1|44+i|(1)求证：I44IJ44I，N 4+11，组成一个无穷递缩等比数列。(2)求加 144+116 .已知数列 n，%伍亡刈，它的前n项的和记为区(1)如果*是一个首项为a,公比为q(O V q D的等比数列，且2 2 Q i、l i t n5=%+。2 +,.，+%,eN),求G*。2 2 2(2)如果用 马，S ,是一个首项为3,公差为I的等差数列，试比较国与3nan(e凶)的大小。7.设实数a K O,数列 W是首项为a,公比为(-a)的等比数列，记以=怎回勺|2=1，2,s*=瓦+%+&,%=1,2,(1)求证：当a#T时，对任意自然数n

40、,都有s*=:1 g 1 +(-1片,(1+万 +W)/(1 +。)(2)南 当O V a V l 时，是否存在自然数M,使得对任意自然数n,第 九证明你的结论。3 31 1 1 1C*小 仿1 I的=诉 口即行电一右的，。3 一启。2,%+1 即8 .已知数列1%)中 5 10 0,且数列 10 10 10是公比为万14a2，迪卜3,以外+2%)的等比数列,而数列I 2 J I 2 J I 2 J是公比为T 的等差数列，求数列W中的公差为一 1 的等差数列，求 数 列 的通项公式。9 .设直角 R3C自直角顶点B向斜边A C作垂线，垂足是为马自马向边A B 作垂线，垂足为功,自2 再向斜边A

41、 C作垂线，垂足为鼻，这样无限地作下去(如图)，若 N B A C=。为定角，且 B C=%班=%,*2 MA A =%h r.+A,+我2 +/?+1=求证：(1)1-C0 S炉(2)%+%+%+勾+A B +A C略解与答案：1.劭=S 1=31,当？2 2 村有aK=sK _*_=32%-2-132(%-l)2 =33-2 =31+(-1)(-2)数列L J是首项为3 1,公差为-2的等差数列。八33-2 0,0,即 2。当n 1 6时,外 邛J+LI+|%6|+鬲7|+人|=%+&+须一(如+%8 +即)=$16 一卜 一$16)=2%-s*=512-32 +2.=(32 -2(16)

42、2 .(1)建=%=brsK=S i p =b pnl ne 2 V)当 n 2 时，s*=为+%+即=$1+外，二4 =s*-S-i =7)也=与曰=/(2).即 b p(p -1)是一个公比为p的等比数列。%+岛+1 _ b p-】(p -l)b p _ 2-P 当R 2时，%s*如i-l沏产1 由已知条件知/r 0,0 0(当/8 时)*=,q4.(1)由题意得rq*-+rq a.,.!(),q 0，/-1 0,解得1-艮,1+、6 即 n/,1+后-a -即 0 (7 -2 2 2(2)二%+1%+2 =即+2 =q +1 _ 白 丁+1 +2/2 =町 龙-僧 +%0=0瓦=+即 +

43、1%b j t“叙-1+a2 K a2 x-l+是以1+r为首项，q为公比的等比数列，从而4 =(1+为”(阀*曾)sn=胃+=0,当q=l时，-8 队当0 1 sK 1+r当q l时，%(1 +少 一 ),砒!二0,-q Ni g sK,r I 詈 0?0,即2 1 (n N)时，展随n增大而减小,.1 c*4 c 21 =1+121-20.22.25当 n-20.2 c.2c 2。=1+120-20.2-4综上所述，对任自然数n,有o q Sc z i上J的最大项为C 21=2.25,最小项，=75.(1)设144+1卜外内 曾，则的=|44|=L|44+2|=-|4+M w+21=明 一

44、 久+i因此，数列W,即 口4 4+.是以1为首项,比数例。与为公比的无穷递缩等 二|44|=的，|4闯=|上 闯-/匈=曲-&2|A A I=|4阕-|金3闻 +I=-。2+。3凶4+1卜的 1 1 ml w-a2+a3-4 +,+-的 _ 1 一、6-11-(F)1右 T 226.(1)当 q=l 时,sK=natGn=na1 a 0l i m =1GK a0 g 1时,l i m s*=/1-g%.卜 丁）是首项为1,公比为/的等比数列。l i m G=仪.l i mJ U T O O 0 X T 9t 加 1+4l i m aM T 8(2)S1 =a=出 s j =3 +(%-1)=

45、甩 +2 n e 27)Sn 0；，%=及+2，久=s*-SKA=J/+2-痴 +1(22)当 n=1时,S 2时,j -3%=+2 一%(j?+2-+1)=3,+1-(3 w -1)+2由回八+1 (%+2=一%？+11-2,.当 加 =2,尹t s 3 8%;当%2 4伍 H对 s*为即综上所述：当n=l及 胆4(n N)时，当n=2,3时，$*痛7.二 许=白，(-以广 1 =(一 1广 次，/血=(-1)*-7*f i g同 7、MSn=尼同(-1)/+(-1卜 2d +(-1)，,3 a3+,+(-1 严修口“双=尼|司卜1)%2+(7户2 d+(-1尸 加 叫 ，+,得(1+a)S

46、n=1g 同卜 1)。储 +(-1)1,a1+(-1?a，+(-1 广，+(，+1 j(1 +a瓦=1g同 a ,+(-l)K-1 as+1：(l +a瓦=1g#&一)+卜广”产S J+(-1片(l +a)a*0+a)（2）存在这样的自然数M。0 a L 人 l g lal=l g a0当 n 为奇数时，&=（7）*-，l g a 0%+2-%=2a2E g a（l-a 无一占7 任eN）:如+2-与上-4 方异号或同时为零1-（2记 P 是不大于1-/的最大整数，则有 0 当上 pJ+2-a-2 0 当上=,即有 pd d 乐+6 11而对任左e葡,又有玩j 0 b2 M：.取胫=2尸+2,

47、则对任%e拷有b*b1%+i-a8.由题意知，10,由此得1 I 1 I-=吆%-5%+(-1)(-1)=-(+1)呆+岗+l9.由题意知/CAD】=/刀1 4 乌=/班 C=丸i=%。cos 员 h2=hx cos g=h0 cos2 次 坛=%2 cos 炉=4 cos2 次 ,於 0,-0 cos 01 -cos ff sin 1-cos为+4+%+4+AB+AC8.关于求某些交数列的通项公式由 数 列 与 九)的所有公共项，按它们在原数列中的次序排列成的数列L J,可称为 J,低 的交数列。一般地，设数列W、0J的交数列是tJ,若%、都是等差数列（或等比）数列，则 c j 也是等差（或

48、等比）数列，且公差是W、幺 公差的最小公倍数，考察公差的绝对值大的数列可简便地找到g,便于写出分；若W、0 J分别是等差、等比数列，则 是 等 比 数 列，它的通项公式可从切入手来探索求得，总之，求交数列的通项公式，应遵循交数列的一般规律，掌握猜测-证明这一基本策略，把交数列的通项公式问题化归为整除性问题。例 1 （1 9 9 6 年上海高考压轴题）设凡为数列 W 的前n 项和，4-5（即 7）数列仇 的通项公式为久=43伽6阴。（1）求数列11的通项公式；（2）若deMd也/3 也，）则称d 为数列 W与仅 的公共项，将数列W与0J的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列,证明数

49、列&的通项公式为虑=3 叙“（阀 e N）。（1）解略，即=3”附 e N,下面只证明，证法1具体考察数列tJ：3,9,27,8 1,24 3,7 29,21 8 7,；GJ：7,1 1,，27,，7 9,8 3,，24 3,，7 27,7 3 1,，21 8 7,。可知数列的前三项依次是：27,24 3,21 8 7,从而猜测虑=3 触，显然北=3 叙+1=%+,只需证明或=3 2川已收），这里用数学归纳法。（1）当 n=l 时，必=27 4 6+3=6 仁 伯 J（2）假设当n=k时，盘=3?i=4.+3=久那么当=上+1时,“3叫=9,33U1=9（4也 +3）=4阮 +6）+3=%e

50、a 根 据（1）和（2）可知对任何nN都有点仁伍证法2由计算可知，力也住低。,.%=27=4x6+3=,设 公=修=/优,也6 ）设3*=4切+3,/.ak+1=3卬=3。3*=3（4 那 +3）=4（3附 +2）+1 先仅,而 用,=3 2=9.3-9（47+3）=4（9掰+6）+3=%祀由此可知：由=。3 4 =。5，四=5,&=。2 2，故数列的通项公式是心=町Z=3叙+（6凶）.证法3设八=&鼠（k e N、,则3犬=40+3.得加=3k-34-3（1-3心1）1-（-3）e N而逆用等比数列的前2n项和公式，得-3（1-3：）=-妈 一 3口 ）=（-3）+（-3）2+,+（-3产