刚体的转动课后习题答案.pdf

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1、第五章刚体的转动5-1在图5-2 1中，一钢缆绕过半径为0.4 m的定滑轮吊着一个升降机,钢缆不打滑.假设升降机以0.5 m/s 2的加速度向上提升.（1）求滑轮的角加速度.（2）如果滑轮转三周，问从静止开始的加速运动持续了多长时间？（3）求当Z=2 s时，轮缘上一点的瞬时加速度（切向和法向加速度）.解：（1）由于钢缆与滑轮间无相对滑动，轮缘上各点的切向加速度与升降机的加速度相同，即 a=a=0.5 m/s2,B =r a d/s2=1.2 5 r a d/s2R 0.4（2）由于滑轮作匀角加速运动，角位移。一%+已知 0 =2 m =2 x3 =6/rr a d,且g=0,故(3)由69=4

2、+,可知s =4/=1.2 5 t r a d/s ,法向加速度an=心R=仍t?R=(1.2 5 1)2 x 0.4 m/s2=0.6 2 5 Z2m/s2t=2 s 时，an=0.6 2 5 x 22m/s2=2.5 m/s2又 at=0.5 m/s2，,二 总加速度为a=a；=A/2.52+0.52m/s2=2.5 5 m/s2_ a _ a =tg =tga.0.50 2 5=Z g-2 =6 3.4 a为总加速度与法线方向的夹角.5-2轮/半 径r A=1 5 cm,轮8半径L B=3 0 cm,两轮通过一皮带耦合，如图5-2 2所示.轮A从静止开始以恒定的角加速度1.2 r a d

3、/s2转动，问从开始运动3 0 s后轮B的转速（r e v/mi n）是多大？假定皮带不打滑.解：由于皮带与两个轮的轮缘间无相对滑动，所以两轮轮缘上一各点的切向加速度相等,设等于4 ,两 轮 的 角 加 速 度 分 别 为 和BB，由角量与线量的关系有a,=p ArA =BB%BB=S BA=X 1 2 r a d/s2=6 r a d/s2rB 3 0t=3 0 s 时O)B 4=3 0 x 6 r a d/s =1 8 0 r a d/s C C0R 1 8 0X6 0 八 ，.而 coBR=2 如，故 nR=-=1 7 1 9 r e v/mi n8 2%2 5-3 一匀质园盘从静止开始

4、以恒定的角加速度绕过盘心的竖直轴转动，某一时刻的转速 为 1 0 r e v/s.再 转 1 0 0 转后，转速达2 0 r e v/s.试 求（1）园盘的角加速度；（2）从静止到转速 为 1 5 r e v/s 所需的时间；（3）在 第（2）向的过程中园盘转了多少圈？解：（1）由匀角加速运动的规律可知角加速度_ (2 0X2%)2 _(1 0X2 )2-20-2 x 1 0 0 x 2 1=3 r a d/s2=9.4 2 r a d/s2（2）所需时间/=1 5X2 =1（）SB 3兀（3）由 n ,20f3 or 及 w0 02 万1 （o2（1 5X2）2 2 2.5 n=x-=-=-

5、r e v=7 5 r e vIn 2 2TX2X3%35-4 6个质量均为m的粒子与6根长度均为d的轻杆组成一个正6边形的刚体，如图5-2 3 所示.计算该刚体关于如下转轴的转动惯量：（1）转轴通过任意相邻的粒子；（2）转轴通过任意粒子且与6边形的平面垂直.解：这是质量呈分立分布的刚体，由转动惯量的定义/=其中9为公 叫到转轴的垂距，可计算如下：（1）1=2 加（94）2 +2 皿 总 产,3 ,=2 wt/2(-+3)=7.5 m d2(2)/2=2md+2 w(V 3 /)2+w(2(7)2=7 M d2 (2+6 +4)-1 2 m d2解 5-4 图5-5三根长度均为1的细杆组成一个

6、等边三角形刚体ABC如图5-2 4 所示.计算其关于中线的转动惯量.假定杆的单位长度质量为A.解：/=IB C +21AB已知BC关于图中转轴的转动惯量为IB C=ml2=（W2=4-B C 1 2 1 2 1 2而 I短=rA dl,其中 dl-=2 drA B co s 6 0&=卜 2 加/=（丁 尸2”=g3/.I IBBCC+2IAABB=/3+2X/3=-/3 解 5-5 图1 2 1 2 45-6 一个半径为R的匀质半园环的质量为tn,计算其关于如图5-25中所示的轴的转动惯量.解：这是质量连续分布的刚体，取如图质元.m m R md/7 7 =A d/=d/=-d 0=du兀R

7、 T CR 兀与转轴的垂距尸=R s i n6I=jr2d m =/?2s i n2 n2 m R2解 5-6 图兀四/2 co s 2 6 sb -2-d6m R2 m R2-+-2 71*r/.s C O S 2 6b 2 x 2d2 6 =mRF5-7在图5-26中，一匀质园盘安装在固定的水平轴上，园盘半径R=20cm,质量M=3kg.园盘边缘上绕着轻绳，轻绳下端悬挂着一个质量S=1.0kg的物体.（1）求物体下落的加速度，园盘的角加速度以及绳中的张力；（2）物体下落3m所需的时间.解：（1）忽略轴处可能存在的摩擦，盘受的合外力矩M=77?,对园盘用转动定理，对物体用牛顿第二定律，并注意

8、到物体下落的加速及a=，列方程组如下TR=I/3 m g-T =m a a=a,=/3 R()L =M R-联立2解 5-7 图解得a at2 m 八。2 x 1.0=g-=9.8 x-M +2 m 3 +2 x 1m/s2=3.9 2 m/s2角加速度/?=三”=1 9.6 r a d/s2R 0.2张力T=m g -MM +2 m3=1.0 x9.8 x -N =5.8 8 N3 +2 x 11 ,（2）由题意知，物体从静止下落，由于“为恒量，由=一勿2 可得所求时间为25-8唱机的转盘由电机驱动，转 盘 以 恒 定 的 角 加 速 度 在 2.0 秒内从零加速到3 3-r ev/m i

9、n.均质转盘质量为1.5 k g,半 径 1.2 cm.为驱动转盘所需的关于转轴的力矩多3少？如果驱动轮的外缘与转盘相接触，如图5-2 7 所示.求驱动轮必须施予转盘的法向力是多大？假定两轮间的摩擦系数=0.7.解：山题意可知角速度1 2 40=3 3 上x丝=3.4 9 r a d/s3 6 0角加速度/?=1.7 5 r a d/s2 t 2.0转动惯量/=朋 相=X1.5X（0.2）2 =1.0 8 x l 0-2 k gm 2 解 5-8 图2 2由转动定理可得驱动转盘所需的力矩为M =Ip=1.0 8 X1 0-2 x l.7 5 Nm =1.8 9 x 1 O_2k g m2产生这

10、个力矩的力必在切向，如图所示M1.8 9 x 1 0-20.1 2=1 5.7 5X1 0-2N =0.1 5 8 N山切向力与正压力（沿法向指向园心）的关系E=少知驱动轮必须施予转盘的法向力N.=-FL =-0-.-1-5-8-NKT=0.226N4 0.75-9两个质量为m的物体悬挂在-刚性轻杆两端，杆长为/什/2,其 中/2=3 小 如图5-2 8 所示，初始时使杆处于水平位置，杆与物体保持静止，然后释放.求两个物体刚开始运动时的加速度.解：如图设轻杆两端的轻绳中张力分别为方和T2,刚开始运动的瞬间两物体的加速度分别为0和 S，由转动定理和牛顿第二定律，列方程组如下：3-砧=01 mg-

11、T2=ma2I 7-mg-ma1(轻 杆 转 动 惯 量/-0)”=乙=3 6 h从 得L =A =3解 5-9 图将 代入得mg -Ti=ma2,2将 和代入化简得2a(/2/,-l)g2=3,=g=5.88 m/s23+1/3 5a=人0 =1x5.88 m/s2=1.96 m/s21 Z2 2 35-10 一长度为L的匀质细杆最初垂直地立在地板上，如图5-2 9 所示.如果此杆倾倒，试求杆撞击地板时的角速度是多大？假定杆与地板的接触端不发生滑动.解：设杆的质量为?，则 其 对O轴的转动惯量/=1 加片0，重 力 到O轴的垂距为3r =s i n ,故重力对。的力矩为2M=机g gs i

12、n(-e)=mgSinO 沿顺时针方向，由转动定理N =我们有m g s i n 0=1/3=；加7?.尸 (3 -1 s i n e又6=华，(1 勿=凶,即,6 3 g.d e 3 g s i n 闵 eda)=6dt=s i n0 d/=-.2L d e 2L co分离变量积分 空 s i n g l eJ o J o 2L可得co=J 3 g(l-c o s 6)/解 5-1 0 图将杆倒地时的。=9 0 代入上式，得=4 3 g/L5-1 1 图 5-3 0 表示飞轮的制动装置包括一个制动杆和一个制动靴.飞轮质量为5 0 k g,半径为0.5 m,以 1 2 0 0 r e v/m

13、i n 的速率旋转.当给制动杆末端施加1 0 0 N 的制动力时，使飞轮停止转动所需多长时间？设飞轮与制动靴之间的摩擦系数4 =0.5.解：本题涉及两个刚体，一个是飞轮，另一个是制动杆，由题意知，合外力矩使飞轮产生角加速而制动，而作用在杆上的力矩则保持平衡，设杆受到的正压力为N,轮受到的正压力为N,根据转动定理止/,我们有摩擦力对飞轮的定轴。，的力矩对制动杆的定轴4尸和N的力矩平衡-九R =I*m R邛 九=知 Fx(6+4)-N x/|=0 N =N 由得 N =3+4).方=1 X100=250N 解 5-1 1 图/,0.4-2/又由可得 0 =生 m R将 N=2 5 0 N,加=5

14、0 k g 代入及中可得B=-24=_ W =-2 x 0.5 x 2 5 0r a d/s 2 7 5/6mR mR5 0 x 0.2由于为恒量，可山匀角加速运动公式叫一口。=，即(Di-。1其中4=0,3。=2m ,将已知 n-1 2 0 0 r e v/m i n 代入上式可得0-2 x 1 2 0 0 -s =5.0 3 s6 0 x(-2 5)5-12一个倾角为9的光滑斜面上安装着转动惯量为/的定滑轮，斜面上质量为如的物体系在一绕在轮轴上的轻绳的一端，另一质量为W 2的物体则由缠绕在轮缘上的另一轻绳悬挂着，当加2下降时，如则被拉上斜面，如图5-3 1所示.定滑轮的半径为R=0.3 m

15、而其轴的半径为=0 1 m.试计算滑轮的角加速度解：在图中标出了加，加2和滑轮的受力情况，其中Ti、T2分别为两轻绳中的张力，对轮及两质点分别应用转动定理和牛顿第二定律，可列如下方程T；R T】r=ipTx _ 4 g s i n 9 =matn2g-T2=m2a2a、=a2=/3R解5-1 2图T 1=f，心=-T2山及可得I=m、(B r-g s i n(p)山及可得 2 =?2(g 一你)将、代入得整理为m?R(g-R)-1 7 1屋/3 r-g s i n 夕)=I。m2gR-mgr sin(p=/3(I+m2R2+z j 2)解得”叫gR-m；gr-sin Q14-m2R+m广将 R

16、 =0.3/7 7,尸=0.1加及g =9.8 m/s 2 代入上式，得_ 2.9 4 m2-0.9 8 mx s i n （p/+0.0 9/%+0.0 1 加15-1 3计算习题5-8中，力矩在加速过程中所作的功和平均功率.解：由转动动能定理 W =E1 0 1 0k 2-Ek x=-I a）1-IC D ,可得力矩的功为 =-7,/of)1则有当杆的角位置为。时，重力矩的功=w g -s i n 6 U =y wg/(l -c os31 .此时角速度为0 W-Ico2-O2即7Mg/(l -COS)=X w/2 C O2可得G=J 3 g(1 -c os。)/当杆倒地时，6 =90。，代

17、入上式可得 co=J 3 g 由角加速度c d do)d e do)p=-=co=d/(10 d r d。:现 s i n。2/当 6 =90。时B=返.215-1 6 在 图 5-3 2 中，长 为 1.0 m的匀质杆最初静止于竖直位置，然后杆的下端获得一初始线速度外，使得杆绕水平固定轴。开始旋转.试求为使杆至少完成一周的旋转，%的最小值是多大？解：当杆通过。=的 角 位 置 时 角 速 度 即 可 至 少 完 成 一 周 的 旋 转，设这过程中重力作的功为W,即而重力的元功d%-Isiw O mg AOW J d fF -I m g sxOAO-mgl 将及/=g m/2,g=%代入可得v

18、0=16gl-J 6 x9.8xl m/s =7.6 7m/s 解 5-1 6 图5-1 7 明渠中的流水驱动着水车的叶轮，叶轮半径2.0 m,如图5-3 3 所示.水流到达叶轮的速度是6.0 m/s,离开叶轮的速度是3.0 m/s,水流量为每秒3 0 0 k g.(1)水流作用于叶轮的力矩有多大？(2)如果叶轮边缘的速度是3 m/s,传送给叶轮的功率是多大？解：(1)考虑水的一个小质元d m 沿切向速度以冲向水平的叶片，离开时速率减为。2，该质元对水车中心的角动量增量为(d/%)火尺一(d m)0 火=d/w(0 2-0)7?0,这是因为叶片的反作用力矩所致，由合外力矩与角动量对时间变化率的

19、关系，可知.,dL d m /、八M =8-v J Rd/d/2 1其中也是每单位时间流经水车的水质量，即水的流量.(it由作用反作用定律，水作用在水轮机叶片上的力矩为=-M =(u,-vJ/?=3 0 0 x(6.0-3.0)x2 N m=1.8xl 03N md/(2)水流传递给叶轮的功率为八 d w 一(ie,wP =-=M=Meo=M d z1.8X 1 03d/3X 22.7xl O3W=2.7k WR5-18 一个人坐在可绕竖直轴自由转动的转椅上，开始时，人静止地坐在转椅上，用手握住一转盘的中心轴，转盘以4 r e v/s的角速度旋转，其转轴在竖直位置，角动量4的方向向上，如图5-

20、3 4所示.如果此人将转盘的轴倒置会发生什么现象？假定轮盘对其中心轴的转动惯量是I kg.n?.解：由于系统是孤立的，对竖直轴的外力矩为零，所以系统对该轴的总角动量守恒.Z L=L j=常量人将转盘轴倒置后，转盘的角动量变为-4，设在相互作用过程中，系统获得的角动量为L,则后来的总角动量为心心，由于系统总角动量守恒，即L j=L L j 从而 L=2L：设系统对转椅轴共同的角速度为0,则有L Ico即人将转盘轴倒置后，整个系统将绕转椅的竖直轴以角速度。旋转L 2L.2 x 1 x 4 ,a)=-=-=1.6 rev/sI I 5其中转盘的初角动量 4=/西，I=I kgm2,=4 rev/s.

21、5-19 一质量为“，半径为R的匀质园盘以角速度。绕过其中心的竖直轴旋转，如果盘缘质量为根的一小块破裂并飞离园盘，如图5-3 5所示，(1)园盘的角动量在边缘破损后变成多大？(2)小块被抛出多远？假定园盘与地面的距离为.解：在盘缘破损过程中，对轴的合外力矩为零，故总角动量守恒立。=常量设 盘 后 来 的 转 动 惯 量 为,角速度为。，则有Ico-ra)+mRa)即M R2a)(M R2-m R2)co+mR2a)C D =J MX-XmR2)co-=-M R2-A m 7?22国盘的角动量变为L，=，=MR。-m R2)co(2)小块/作平抛运动故 被 抛 出 的 水 平 距 离 为,1 2

22、h=Qgt-，tS=vot=coRt=coR5-2 0 -质量为M,半径为R的匀质园台，可以绕过中心的竖直轴无摩擦地旋转.假定初始时一个人静止地站在台边缘处，然后沿园台边缘行走.(1)如果此人步行一周回到台面的初始位置，园台将转过多大角度？(2)如果此人回到相对于地面的初始位置，园台又将转过多大角度？解：运动过程中对竖直轴的合外力矩 M=0,：.系统总角动量守恒 EL=常量.(1)园舍将沿相反方向相对地面旋转，设任意时刻人、台对地面的角速度分别为。和Q,V 9,=0,；.任意时刻有 mR%-LMR2Q=。2又设人对台的相对角速度为。，由速度合成定理co=0 Q 将代入得 机尺2(&Q)MR2Q

23、 =02 7 7解得。=丁竺一-M+m2设 H为台对地的角坐标，为人对台的角坐标，则将代入，两边积分J o d 9=2mM+2mJ2加得台转过的角度 0 二二 2M+2m(2)设人对地的角坐标为6,则有人对地的角速度 C D =，d/n d。将0)=和Q=，代入式，得d/d/mR2dO-M R2d e2对两边积分得 mR2 2，rd0=-M R2 d eJO 2 J。2m这次台对地转过的角度为 Q=-2TVM显然，第二种情况园台转过的角度大些.5-2 1 两个飞轮A和B可以通过轮轴上的摩擦离合器连接或分离，如图5-36所示.当两轮分离时，B轮静止，而A轮角度速度达600rev/min,然后连接

24、离合器，B轮开始加速而A轮减速，直到两轮具有相同的角速度240rev/min.当连接完成时，离合器片发出的热量是2000J,分别求出两轮的转动惯量.解：在连接过程中，合外力矩M=0(离合器片作用的摩擦力矩为内力矩).系统总角动量守恒ZL,=ZL即/必=(/*+，8)。2 由于相互作用是完全非弹性的，动能不守恒，由能量守恒与转化定律，动能的减少量即为摩擦产生的热量从可得 I式g一2)=2,a),T 240,2 r 公1“A=电-伤-I B=-6-0-0-2-4-0-I B=3T B 把|A /=Q=2000J和代入，得-1 Z X,1-23(1 +1)/X=,2 0 0 0解得 IA-kgm2=1.69 kgm2(2万Xi。1一;X(2X4)2其中用到助 二600rev/min=10rev/s,a)2=4 rev/s.由 得39IB=-IA=2.53 kgm2