初中数学知识点总结人教新课标版.pdf

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1、初中数学知识点总结新1、相反数：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数，也称为这两个数互为相反数。的相反数是0。用数学语言表述为：若a、b互为相反数，则a+b=0即。=-匕，反之也成立。数a的相反数是-a。2、倒数：若a、b（a、b均不为0）互为倒数，则26=1即。=,，反之也成立。a的倒数是工。0没有b a倒数，1和-1的倒数是它们本身。3、有理数和无理数统称为实数。实数分为有理数和无理数，也可分为正实数、0、负实数。实数与数轴上的点一一对应。4、有理数分为正有理数、0、负有理数，它们均是有限小数或无限循环小数；也可分为整数和分数，整数又分为正整数、0、负整数；分数又分为正分数

2、、负分数。无理数分为正无理数和负无理数，它们都是无限不循环小数。225、是无理数，一是分数是小数是有理数，0是自然数。76、绝对值的几何定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值，数a的绝对值记 为“|a|。代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是 0。于是，|a|=a 0；I a|-aaW0。任何一个实数的绝对值都是非负数，即瓜|2 0。a(a 0)0(a=0)或=-aa 0)-a(a 0)或 同=0)-a(a 0)8、9、若1x|=a（a 2 0）,则x=a,即绝对值的原数的双值性。数轴上两点A（4）、B（xB）之间的距离为|A B|

3、=|XA-X/，其中点所表示的数为；切。坐标平面内两点A（乙，力）、B（/，为）的距离为：1AB|=，（乙 一Xp）2+（九 一%）2，中点C的坐标 为（4+%,以+*），点A到x轴的距离为|以|,到y轴的距离为|X,|,到原点的距离为2 2也，+力2,如 果 巧 且 为 六 力，则直线AB平行于y轴；如 果 力=%且 与2/，则直线AB平行于x轴。10、科学记数法：把个数写成土aX 10的 形 式（其 中lWa n)3 4、零次募、负整数次第的意义：a=l(a#0)；小 三 二(a#0,p是正整数)a13 5、单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数基分别相除，作为商的因式，对于只在被除

4、式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。3 6、多项式除以单项式：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。3 7、应该注意整式乘法与除法中的符号运算。3 8、把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式，多项式的因式分解常用的方法有：提取公因式法、公式法。3 9、分解因式的公式：平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；完全平方公式：a22 a b+b2=(a b)24 0、分解因式的般步骤：提公因式；二项考虑平方差公式，三项的考虑完全平方公式或十字相乘法；四项及以上考虑分组分解法。有时得用换元法(整体考虑)或者比较

5、系数法。4 1、儿个整式相乘，所有最高次项相乘得最高次项，最低次项相乘得最低次项。A4 2、分式：如果除式B中含有字母，那么称一为分式。当 B=0 时，分式无意义；当A=0且 BW0时，B分式的值为0;当 B#0时，分式有意义。4 3、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同 个不等于零的整式，分式的值不变，即A _ A-MB B M=*0）。B+M4 4、分式的乘除法：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的枳作为积的分母；两个 分 式 相 除，把 除 式 的 分 子 与 分 母 颠 倒 位 置 后 现 与 被 除 式 相 乘。即_a _c_ _ _a_c*a c_

6、_ a_d _ _ a_d _ _ _ _b d b d b d b e be4 5、约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形叫做分式的约分。4 6、分子、分母和分式三个符号的同时改变两个，其结果不变，分数线有时起着括号的作用，即-A _-A _ A 4一了一 1一 一1一 万 4 7、分式的加减法：同分母的加减，分母不变，把分子相加加减；异分母的分式相加减，先通分，化为同 分 母 的 分 式，然 后 再 按 同 分 母 分 式 的 加 减 法 法 则 进 行 计 算。即a,h ah a,c ad,be ad bc =-；=-oc c c b d hd bd bd4 8、分式的乘方:

7、4 9、混合运算：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的。5 0、解分式方程的一般步骤：去分母，将分式方程化为整式方程；解这个整式方程；验根，把整式方程的根代入最简公分母，若值不为0,则是原方程的根，若值为0,则是原方程的增根，舍去。5 1、分式方程的应用：分式方程应用题与元方程应用题类似，不同的是注意双检验：（1）检验所求的解是不是原方程的解；（2）检验所求的解是否符合题意。注意已知增根，求待定字母的取值。5 2、分式方程有解的条件为：去分母后的整式方程有解；去分母后的整式方程的解不能都为增根。5 3、当结果中含有根式时，一定要化成最简根式。5 4、二次根式的相关概念：（1）平方根

8、和算术平方根。一般地，如果一个正数x的平方等于a,即 x a,那么这个正数x就叫做a 的算术平方根，记为8,我们规定0的算术平方根是0,即、历=0。如果一个数x的平方等于a,即 x a,那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫二次方根），记 为&。一个正数有两个平方根；0 只有一个平方根，它是0 本身；负数没有平方根。求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。（2）立方根。如果一个数x的立方等于a,即 x J a,那么这个数x 就叫做a 的立方根。正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。5 5、一个正数正的平方根叫做它的算术平方根。5 6、最简二次根式：被开方数的因数都是整数，因式

9、都是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。5 7、二次根式的化简：=h|=0,b 0）a（a 0）；4 a-4h=4 a b；95 9、二次根式的加减法主要是把根式化成最简二次根式后合并同类二次根式。几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不再含有二次根式，称这两个二次根式互为有理化因式。把分母中的根号化去,叫做分母有理化。6 0、两个式子比较大小的方法有：直接比较法、求差比较法、求商比较法、中间量传递；另外还有指数形式往往把底数或指数化为相同；二次根式还有分母有理化或分子有理化；6 1、方 程（组）及

10、解的概念：含有未知数的等式叫做方程。在一个方程中，只含有一个未知数x （元）,并且未知数的指数是1 （次），这样的方程叫做一元一次方程，其标准形式为ax+b =0（40）。使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。含有两个未知数，并且所含未知数的的项的次数 都 是 1的方程叫做二元一次方程。含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。只含有一个未知数的整式方程，并且未知数最高次数是2的方程叫做一元二次方程，其一般形式为ax2+bx+c=0（。工0）。6 2、方程或方程组的解法：（1）等式的性质：等式的两边同时加上（或减去）同一个代数式（或除以同一个不为0的数），所得

11、结果仍是等式。（2）一元一次方程的解：,般要通过去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1,把一个一元一次方程“转化”成 x=a的形式。（3）二元一次方程组的解法：解方程组的基本思路是“消元”把“二元”变 为“一元”。主要方法有代入消元法和加减消元法。其中代入消元法常用步骤是：要消哪个字母，就用含其它字母的代数式表示出这个字母，然后用表示这个字母的代数式代替另外的方程中的这个字母即可。（4）一元二次方程的解法有配方法、公式法、分解因式法。（5）一元二次方程ax2+bx+c=0（a 0）的判别式=-4 a c。当时 ax 2+b x +c =o（qH（）有两个不相等的实数根；当 =/4

12、 a c=0 时 ax2+bx+c=Q（a 7 0）有 两 个 相 等 的 实 数 根；当A =4 ac 0 时 ax?+b x +c =O （a*0）没有实数根。（6）若为、是ax?+b x +c =0 （a H 0）的两实数根，h c c则 有 玉+=，xx2=（7）对 于 一 元 二 次 方 程+/?x +c =0 （。W 0）,c =0 方程a a有一个根为0;Q+b +c =O 方程有一个根为1；a-h-c=O 方程有一个根为T；6 3、关 于 方 程=（1）当时，方程有唯一解 =2；（2）当 a=0,bwO时，方程无解；（3）a当 a=0,b=0 时，方程的解为全体实数。6 4、关

13、 于 方 程 组+=G ,（1）当工2时方程组有唯一解；（2）当幺=与中之时方程组无a2x+b2y=c2 a,b）a2 b2 c2解；（3）当 幺=时 方 程 组 有 无 数 组 实 数 解。a2 b2 c26 5、用公式法解一元二次方程时，首先要将一元二次方程化为一般形式，找出a,b,c 的值，即先计算判别式 =/4 a c,再用求根公式x=（62-4 a c 0）；用配方法解一元二次方程时,2a先将方程二次项系数化为1,然后两边同时加上“一次项系数一半的平方”。特别注意别漏掉一个根。注意换元法的使用。6 6、一元二次方程的近似解的求法，实质是利用夹逼方法进行求解的。6 7、列方程、方程组解

14、应用题的般步骤是：审题；设未知数；列方程或方程组；解方程或方程组；检验并写出答案。审题是基础，找出等量关系，建立方程（组）模型是关键。6 8、利 润 率=粤=售 喧 价；打 a 折，即降价为原来的三。进价 进价 106 9、降次的常用方法是：直接开方降次、分解因式降次，代入降次。7 0、不等式的性质：（1）基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变;（2）基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同个正数，不等号的方向不变；（3）基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变。7 1、不等式和不等式组的解法：（1）能使不等式成立的未知数的值，叫做

15、不等式的解，求不等式的解集的过程叫做解不等式；（2）一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。记住多画画数轴。7 2、求一元一次不等式（组）的整数解的步骤：（1）求出一元一次不等式（组）的解集；（2）找出合适解集范围的整数解、非负数解、正整数解或负整数解。7 3、已知不等式组的解集，确定不等式中的字母的取值范围，有以下四种方法：（1）逆用不等式组解；（2）分类讨论确定；（3）从反而求解确定；（4）借助数轴确定。7 4、一次函数了=H+优人*0）,当函数值y 0 或 y 0）个单位长度(x,y+n)或(x,y-n)图形向

16、上（或向下）平移了n个单位长度纵坐标不变，横坐标加上（或减去）n （n 0）个单位长度(x+n,y)或(x-n,y)图形 向 右（或向左）平移了 n 个单位长度伸长横坐标不变，纵坐标扩大n（n l）倍(x,n y)图形被纵向拉长为原来的n倍纵坐标不变，横坐标扩大n（n l）倍(n x,y)图形被横向拉长为原来的n倍压缩横坐标不变，纵坐标缩小n（n l）倍(x,2)n图形被纵向缩短为原来的,n纵坐标不变，横坐标缩小n（n l）倍(-,y)n图形被横向缩短为原来的Ln放大横纵坐标同时扩大n （n l）倍(n x,n y)图形变为原来的n?倍缩小横纵坐标同时缩小n （n l）倍)n n图形变为原来的

17、n7 8、求与几何图形联系的特殊点的坐标，往往是向x 轴或y 轴引垂线，转化为求线段的长，再根据点所在的象限，醒上相应的符号。求坐标分两种情况：（1）求交点，如直线与直线的交点；（2）求距离,再将距离换算成坐标，通常作x 轴或y 轴的垂线，再解直角三角形。7 9、一般地，在某一个变化过程中，有两个变量x 和 y,如果给定一个x 值，相应夺就确定了一个y 值,那么我们称y 是 x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变量。函数的表示法有三种：解析法、图象法、列表法。80、把一个函数关系式的自变量x 与对应的因变量y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标,在平面坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形

18、叫做该函数的图象。即：若 点 P（x,y）的坐标满足函数关系式，则点P在函数图象上；反之，若点P在函数图象上，则 P（x,y）的坐标满足函数关系式。描点法画函数图象的步骤：列表、描点、连线。81、要使函数关系式有意义：函数关系式形式自变量取值范围整式函数全体实数分式函数使分母不为零根式函数偶次根式使被开方数非负奇次根式全体实数零指数、负指数形式函数使底数不为零82、正比例函数与一次函数的概念：（1）一次函数：形如 =依+6（k W O,k,b 是常数）的函数叫做一次函数。（2）正比例函数：形如，k是常数）的函数叫做正比例函数。（3）正比例函数与次函数的关系：正比例函数是一次函数的特殊情形。83

19、、一次函数的图象和性质：（1）图象：一次 函 数 的 图 象 是 过 点 0）,（0,b）的一条直线，正k比例函数的图象是过点（0,0）,（1,k）的直线；I k!越大，（1,k）就越远离X轴，直线与X轴的夹角越大；|k|越小，（1,k）就离x 轴越近，直线与x 轴的夹角越小；（2）性质：k 0时，y 随 x 增大而增大;k 0,b 0经过一、二、三象限;k 0经过一、二、四象限；k 0,b0经过一、三、四象限；k 0,b 0,一三；k 0,一二；b/,12；女尸女2 2 2=2/1和4相交于y 轴上；女|.女 2=-1（-b 0b=0b 0增减性85、86、求函数的解析式往往运用待定系数法，

20、待定系数法的步骤：（1）设出含待定系数的函数解析式；（2）由已知条件得出关于待定系数的方程（组），解这个方程（组）；（3）把系数代回解析式。仔细体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系：（1）一元一次方程k x+b=y0（yo是已知数）的解就是直线y=履+上，y=y。这点的横坐标；（2 ）-元一次不等式yi W k x+b W yz（yi,y2 是己知数，且 yK y。的解集就是直线y=丘+6上 满 足 那 条 线 段 所 对 应的自变量的取值范围。（3）一元一次不等式k x+b 0时，双曲线的两个分支在第一、三象限；当 k 0时，在每一象限内，y 随 x的增大而减小；当 k

21、0k 0y=kx(k W O)图象J%?J0 X1性质90、（1）利润最大、费用最低等一类问题，往往可通过建立函数模型进行解决；（2）运输等问题可采用列表或画图的方法来分析其数据间的关系，这样易于理清错综复杂的数据，对解题有极大的帮助；（3）方案设计问题，往往先建立不等式，转化为求不等式的整数解的问题。91、二次函数的定义和解析式求法：（1）形如y=a x 2+b x +c （a、b、c为常数，a#0）的函数叫二次函数；（2）用待定系数法求二次函数解析式，其解析式有三种形式。一般式：y=ax2+bx+c,主要用于已知抛物线上任意三点的坐标；交点式：y=a（x-x,）（x-x2）,其 中（占，0

22、）与（，。）是抛物线与x 轴的两点交点的坐标，主要用于已知与x轴两个交点的坐标或两点间的距离及对称轴;顶点式：y a（x-h）2+k ,其 中（h,k）是抛物线的顶点坐标，主要用于已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大（小）值。9b92、二次函数的图象是一条抛物线,它具有以下性质：（1）抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是（一 或,4cic /?2 h），对称轴是直线x =-；当 a、b同号时，对称轴在y 轴的左侧；当 a、b异号时，对4a 2a称轴在y 轴的右侧；当 b=0时，对称轴为y 轴。（2）当 a 0 时，开口向上；当 a 0,x =2a4 a c h 4QC 时，y 有最小值-；当

23、a 0,当时，y随 x的增大而减小；当 B l,y随 x的增2a 2a1）h大而增大；若a 0,当x 二 时、y随 x的增大而减小。2a 2a（5）抛物线与y轴交点为（0,c）,当 c 0 时，交点在y轴的正半轴；当 c 0时，交点在y 轴的负半轴；当 c=0 时，经过原点。9 3、对于抛物线，a的符号由开口方向确定，b由对称轴确定，c由抛物线与y轴的交点确定，2a 土b由对称轴确定,a-b+c 由x=-l 时 y的符号确定,4 a-2b+c 由 x=-2时 y的值确定。即抛物线经过（1,a+b+c）、（-1,a-b+c）、（-2,4 a-2b+c）等点。求两个函数图象的交点坐标，就是把两个函

24、数的解析式联立成方程组，求出的解就是交点坐标。直线与抛物线的交点有三种情况：当方程组有两解时，有两个交点（）；当有一个解时，即有一个 交 点（=（）；当没有解时，即不存在交点（0）。9 4、构造二次函数模型，求 最 大（小）值。9 5、选择题的解题办法：数形结合的观察法、特殊值法、验证法、排除法、直解法。r-9 6、对于抛物线 y =ax2+bx+c,与 x 轴交点 A（占，0）、B（，0）则（1）A B|=|x2xt =%上,a I对称轴x =29 7、函数关系式点坐标C线段长3 几何知识的应用。9 8、在统计中，我们把所要考察对象的全体叫做总体。总体中每一个考察对象叫做个体。当总体中个体数

25、目较多时，般从总体中抽取一部分个体，这一部分个体叫做总体的一个样本。样本中个体的数目叫做样本容量。一 一 9 9、平 均 数：（1）x =（X j +x2 H-F xz/）；（2）x=x+a,其 中 乙=七 一 ；（3 ）n-x =产.土,其中x是数据七的权。总体中所有个体的平均数叫做总体平均数。样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。1 0 0、众数、中位数与平均数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势。众数：在一组数据中，出现次数最大的数据叫做这组数据的众数（众数不唯一）。中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，处在最中间位置上的一个数据（或是最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。1

26、0 1、方 差 是 反 映 一 组 数 据 波 动 大 小 的 特 征 数，方 差 越 大，这 组 数 据 的 波 动 越 大。I _ _ _=一（%一 x）2+（2-X）2+（X“-X）2 叫做样本/,工2,的方差，它可衡量样本波动大小n（离散程度）；S =G 叫做样本的标准差，也是用来衡量样本波动大小，样本标准差与原始数据的*2 1 1 7*2度量单位一致。另：=（j 1 +%2 +,+Xf -nx s（X|+x2 +,+nx n n1 0 2、扇形统计图及应用：（1）扇形统计图是表示部分在总体中所占的百分比，它不能直接得到具体的数量，是用圆代表总体，扇形代表部分。（2）圆心角定义：顶点在

27、圆心的角叫圆心角，圆心角的大小等于该部分百分比乘以3 6 0。（3）画扇形统计图的步骤：计算百分比，圆心角，画上扇形，标上百分比。（4）两个扇形统计图中，在整体数量相等的情况下，根据扇形的大小也可判断部分数量是多还是少。（5）在一个扇形统计图中，可以得到两个部分之间的比例。1 03、条形统计图能清晰地表示出每个项目的具体数量，扇形统计图能清晰地表示出各个部分点总体的百分比。频数：将组数据按照统一的标准分成若干组，每个小组内的数据的个数。频率：每个小频数组的频数与数据总数的比值叫这一小组的频率。频率=等。直方图中小长方形的高与频率成正比,总数因此其高的比即是各小组频率之比，或各小组频数之比。10

28、4、求-,个样本的频率分布情况的步骤：（1）计算最大值与最小值的差：（2）决定组距与组数；（3）决定分点；（4）列频率分布表；（5）绘制频率分布直方图、扇形统计图、折线统计图。105、一些性质和规律：106、一般地，我们把一组数据中其值过大（或过小）的数据看作异常值，有异常值的一组数据其平均数会受到此数据的影响，这时用中位或众数来描述一组数据的一般水平比较合适。数据平均数方差标准差Xs?sX j a,x2 土a,，x ax+a悭skX1,kx2,he”kxk-S2kSkx a,kx2 Q,&土。kx+ak2S2kS107、不确定事件发生的概率不确定事件概率的计算 理 实验估算概率的应用确定事件

29、不可能事件必然事件108、在一定条件下，可能出现不同的结果，究竟出现哪一种结果，随机遇而定，带有偶然性的现象叫做随机现象。在随机试验中，如果一件事情可能发生，也可能不发生，则称它们为随机事件。在一定的条件下，必然会发生的事情叫做必然事件。在一定的条件下，一定不会发生的事件叫做不可能事件。必然事件与不可能事件都是确定的，这些事件称为确定事件。109、一个事件发生的可能性大小叫做该事件发生的概率，一个事件发生的概率取值范围为01。=出 少：号 男 誉 上 *，求概率有树状图和列表法两种列出所有可能结果的方法。概率是可所有可能出现的结果数以在直线上表示出来的。110、在丰富的图形世界中，我们常见的几

30、何体分类为：棱柱体、圆柱体、圆锥体、棱锥体、台体与球体。111、常见的立体图形特征：球体是由曲面围成的，圆锥的底面是圆，侧面是曲面；棱锥的底面是多边形，侧面是三角形；圆柱的底面是圆，侧面是曲面；棱柱的底面是多边形，侧面是正方形或长方形。112、点、线、面的关系：面面相交形成线，线线相交形成点，点动成线，线动成面，面动成体。113、正方体的展开图是六个正方形；棱柱的展开图是两多边形与一个长方形；圆锥的展开图是一个圆与一个扇形；圆柱的展开图是两个圆与一个长方形。114、截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面。截面的形状：用一个平面去截一个几何体，截出的截面形状一般有正方形、长方形、三角形

31、、梯形与圆等。115、我们从不同方向看同一个物体时，可看到不同的图形，把从正面看到的图形叫做主视图，从左边看到的图形叫做左视图，从上面看到的图形叫做俯视图。画在视图时，主、俯视图要求长对正，主、左视图要高平齐，左、俯视图要宽相等。116、物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象。太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影；当投射线与投影面垂直时，这样形成的投影叫做正投影。在平行投影中，物体是互相平行的，影子也是互相平行的，常把四边形的问题转化为直角三角形问题来解。117、探照灯、手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点发出的，像这样的光线所形成的投影

32、称为中心投影。我们看物体，眼睛的位置称为视点，由视点发出的线称为视线，眼睛看不到的地方称为盲区。118、直线上两点间的部分叫做线段；在直线上某一点和这一点一旁的部分叫做射线；这一点叫做端点。经过两点有且只有条直线，即两点确定条直线；两点之间，线段最短；连结两点的线段的长度叫做两点间的距离。应该注意用字母表示它们的方法。119、二线之间的关系:类型端点的个数延伸性延长线和反向延长线直线0向两端无限延伸无射线1向一端无限延伸有反向延长线线段2无既有延长线，也有反向延长线。120、直角：90的角；平角：180的角；周角：360的角。设一个角为a,若 0a90,贝 a 叫锐角;若 90%a 180,则

33、 a 叫钝角；121、1度=60分；1 分=60秒；1 周角=2平角=4直角。122、如图，N 1 和N 5 是同位角；N 2 和N 8 是内错角；N 2 和N 5 是同旁内角；N 4 和N 2 是对顶角；/5 和/8 是邻补角。”.一 n(n-l)123、1 +2+3+=-2124、把一条线段分为两条相等的线段的点，叫做线段的中点。125、若 a+13=90,则 a 与 B 互余。若 a+0=180,贝 a 与 0 互补。余角和补角是对两个角之间的数量关系而言的，与两个角的位置没有多大的关系，互为邻补角的两个角与两个角的位置有关。126、从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角

34、，这条射线叫做这个角的平分线。角平分线上的点到角两边距离相等。到角两边距离相等的点在角的平分线上。三角形三内角平分线的交点叫做三角形的内心。在求三角形内部所形成的角时应想到三角形内心定理。127、一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。对顶角相等是常用的性质。128、两直线相交所构成的四个角中有一个角是直角时:我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。经过一点有一条而且只有一条直线垂直于已知直线；直线外一点与直线上各点连结的线段中，垂线段最短。从直线外一点向已知直线作垂线，这一点和垂足之间的线段的长度叫做点到直线的距离。129、

35、过线段的中点且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线(中垂线)。线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。和线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上。130、在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一直线的两条直线平行；垂直于同一直线的两条直线平行。1 3 1、两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补；两平行线间的距离处处相等；夹在两平行线间的平行线段相等：过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行。不 等 边 三 角 形（任 何 两 边 都 不 相 等）1 3 2、三角形按边分类：三 角 形

36、 等 腰 三 角 形 只有两边相等的等腰三角形;等边三角形三角形按角分类:直角三角形三 角 形4斜三角形锐角三角形钝角三角形1 3 3、三角形任意两边的和大于第三边：三角形任意两边的差小于第三边。三角形的内角和等于1 8 0 度;三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；在直角三角形中，两个锐角互余；同（等）角 的 余（补）角相等。一般来说，较大线段大于另两线段之和时，就能构成三角形。1 3 4、全等三角形的判定：S A S.A S A、A A S、S S S、H L。全等三角形的性质：对应角相等，对应线段（边,高，中线，角平分线）相等、周长相

37、等、面积相等。1 3 5、判定两个三角形全等的基本思路：（1）有两个角对应相等时，找夹边对应相等或任对应边相等;（2）有两边对应相等时，找夹角对应相等或第三边相等；（3）有一边和一角对应时，找等角的另一边对应相等或另一角对应相等。1 3 6、等腰三角形的性质：两个底角相等；顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。等腰三角形的判定：如 果 一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边相等。等边对等角；等角对等边；大角对大边；大边对大角。1 3 7、任何一个图形的对称轴都是直线。等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴只有一条：底边上的高所在直线。等边三角形的对称轴有三条。等边三角形的内心、外心、

38、重心、垂心重合。1 3 8、等边三角形的性质：三边都相等，三个角都相等，每一个角都等于6 0。等边三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个 角 是 6 0的等腰三角形是等边三角形。1 3 9、三角形的主要线段：1 40、直角三角形的性质：两锐角互余；3 0 角所对的直角边等于斜边的一半；斜边上的中线长等于斜边名称定义交点交点的性质中线连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段重心重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍角平分线三角形一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段内心内心到三角形三边的距离相等，f./J三角形的一个顶点

39、到它对边所在直线的垂线段垂心的一半。直角三角形的判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一边的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形。1 41、涉及与三角形的高有关的问题时，要注意分类讨论，主要是分直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。1 42、勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。勾股定理的逆定理：若一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形。1 43、已知直角三角形的两边长，要求第三边时，有两种情况：第三边是斜边或已知两边中较大边为斜边。对于含特殊角的三角形，通常作高构造直角三角形，然后利用勾股定理和三角形函数解答。1 44、射影定理，如图：A

40、 D2=B D C D；A B2=B D B C ；AA C2=C D B C 1 45、在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这 样 B D c 的图形运动称为平移。平移不改变图形的形状和大小。经过 平移，对应线段、对应角分别相等；对应点所连的线段平行且相等。确定一个图形平移后的位置，除需知道原来的位置外，关键条件是平移的方向和平移的距离。1 46、在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。旋转的性质：旋转后的图形与原图形的大小和形状不改变；旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等；对应点到旋转中心的连

41、线所成的角彼此相等，都等于旋转角。作简单的平面图形绕定点旋转一定角度后的图形，只要把平面图形上的关键点都绕定点旋转一定角度，然后按原来的式样连结这些点而成。旋转需要知道旋转方向和旋转角度。常用对应点和旋转中心的连线所夹角确定旋转角，常用两组对应点连线的中垂线交点确定旋转中心。旋 转 3 6 0度的整数倍时，图形位置不改变。注意区别对应线段和对应点的连线是不同的。1 47、多边形的任何一边向两方向延长，如果其他各边都在延长所得直线的同旁，这样的多边形叫做凸多边形，它的每一个内角均小于1 80。n边形的内角和为(n-2)1 8 0%任意多边形的外角和均为3 6 0%1 48、平行四边形的性质：对边

42、平行；对边相等；对角相等；对角线互相平分。平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。平行四边形是中心对称图形，但不一定是轴对称图形。1 49、一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形的四条边都相等，两条对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形：四条边都相等的四边形是平行四边形。菱形的两条对角线把菱形分成全等的等腰三角形或直角三角形。菱形是中心对称图形，也是轴对称图形

43、，它的对称就是它的两条对角线所在直线。1 5 0、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。矩形的对边平行且相等；矩形的四个角都是直角；矩形的两条对角线互相平分且相等。有三个角都是直角的四边形是矩形：对角线相等的平行四边形是矩形。矩形的两条对角线把矩形分成全等的直角三角形和等腰三角形。矩形是中心对称图形也是轴对称图形，它的对称轴是过对角线交点，平行于边的两条直线。1 5 1、正方形的判定：有一个角是直角，一组邻边相等的平行四边形是正方形：一组邻边相等的矩形是正方形；个角是直角的菱形是正方形；对角线相等且垂直平分的四边形。正方形的性质：除具有平行四边形、矩形、菱形的性质外，还具有：对角线与边夹角为45

44、 ；S=a?(a 是边长)。正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形，它的对称轴有四条：两条对角线所在直线和两条过对角线交点的平行于边的直线。正方形旋转9 0度不变。1 5 2、梯形的性质：一组对边平行，另一组对边不平行；中位线平行于底边，且等于两底和的半；S=；（a+6）/z。等腰梯形另具有：两腰相等；同一底上的两底角相等；对角互补；对角线相等:以两底的中点连线为对称轴的对称图形。直角梯形另具有：一个底角是直角。153、梯形的判定：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形；两对角线相等的梯形是等腰梯形；两腰相等的梯形是等腰梯形。有一个角是直角的梯形是

45、直角梯形。154、当梯形的两条对角线互相垂直时，常常平移对角线创造直角三角形。作高构造直角三角形，是梯形中常用的辅助线。梯形有问题常常平移一对角线把梯形转化为三角形。梯形中常见的辅助作法:（虚线表示辅助线）平移腰过一腰中点延交上底中点155、三角形两边中点的连线叫做三角形的中位线；三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。连结梯形的两腰中点的连线叫做梯形的中位线；梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。梯形中位线与梯形两对角线的交点间的距离等于两底差的一半。156、尺规作图。要求掌握下列基本作图的作法：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知角的平分线；作已知线段的点垂线（

46、即垂直平分线）157、尺规作图。已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形。158、尺规作图。会过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆。159、对于尺规作图题，会写已知、求作、和作法。有时还需要证明。160、如果沿着一条直线对折，两个图形能够互相重合，那么这两个图形叫做以这条直线为对称轴的对称图形；如果沿着条直线对折，一个图形在这条直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。轴对称的两个图形全等；对称轴垂直平分对称点的连线；两个图形关于某一条直线对称，它们的对应线段或其延长线的交点在对称轴上；两个图形的对称点连线被同条直线

47、垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。轴对称指的是两个图形的关系，而轴对称图形是指 个图形。当两个图形关于某直线成轴对称时，如果把这两个图形看成一个整体（即个图形）,则它也是轴对称图形。常见的轴对称图形有：直线、射线、线段、角、等腰三角形、等腰梯形、矩形、菱形、正方形等。镜子里的图象与物体之间成轴对称关系，此时，我们称之为镜面对称，它和轴对称及轴对称图形是有区别的。物体翻折形成轴对称。161、把 个图形绕着某点点旋转180后，如果它与另个图形重合，就说这两个图形关于这个点对称,这个点叫做对称中心。如果一个图形绕着中心旋转180后，能够与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形。关于中心对称的

48、两个图形是全等的；关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，这个性质的逆命题也成立。162、用相同的正多边形密铺的条件是：周角360为正多边形的一个内角度数的整数倍时，用这样的正多边形进行密铺。儿种正多边形的组成，各取其中一个内角相加恰好为一个周角3 6 0 时，这样的正多边形的组合能进行平面图形的密铺。（当围绕一点拼在一起的几外多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，即能进行密铺。）1 6 3、四条线段a,b,c,d中，如果3=,那么a,b,c,d叫做成比例线段,简称比例线段。在比例式=-b d b c（或 a:b=b:c）中，b叫做a 和 c的比例中项。1 6

49、4、比例的基本性质：=a d=b c；b d“L 人-UH a c ab cd1 6 5、合比性质：一 =一-=-；b cl b d1 6 6 等比性质：=二一S+d d-=b d n b+d-n b1 6 7、若线段A B 上一点C把线段A B 分成两条线段A C 和 B C（A O B C）,且使A C 是 A B 和 B C 的比例中项（即A C2=A B -B C）,则 称 线 段 AB被 C 黄 金 分 割，点 C 叫 做 线 段 AB的 黄 金 分 割 点，其中AC=2211 ABx 0.6184821 6 8、两条线段的比与单位的选择无关，但在求线段的比时一定要用同一长度单位。1

50、 6 9、两角对应相等，两三角形相似：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；三边对应成比例，两三角形相似；如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。全等三角形是相似三角形的特例，位似图形也是特殊的相似图形。证明线段等积或比例式的常用方法是：设法找出比例式（或转化后）所蕴含的几个字母，看是否存在可由“三点”确定的两个相似三角形。相似应该注意对应点、对应线段。1 7 0、相似三角形的对应角相等；相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。1 7 1、利用相似三角形面积