函数概念与基本初等函数.pdf

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1、函数概念与基本初等函数考纲导读1.了解构成函数的要素，了解映射的概念，会求一些简单函数的定义域和值域.2.理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法，能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数。3.了解分段函数，能用分段函数来解决一些简单的数学问题。4.理解函数的单调性，会讨论和证明一些简单的函数的单调性；理解函数奇偶性的含义，会判断简单的函数奇偶性。5.理解函数的最大（小）值及其几何意义，并能求出一些简单的函数的最大（小）值.6.会运用函数图像理解和研究函数的性质.（二）指数函数1.了解指数函数模型的实际背景。2.理解有理指数幕的含义，了解实数指数幕的意义，掌握幕的运算。3.理解指数函数

2、的概念，会求与指数函数性质有关的问题。4.知道指数函数是类重要的函数模型。（三）对数函数1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。2.理解对数函数的概念；会求与对数函数性质有关的问题.3.知道对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数与对数函数互为反函数（）。（四）塞函数1.了解幕函数的概念。2.结合函数的图像，了解它们的变化情况。（五）函数与方程1.了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。2.理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数.（六）

3、函数模型及其应用1.了解指数函数、对数函数以及某函数的增长特征。知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。2.了解函数模型（如指数函数、对数函数、幕函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。3.能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。知识网络一 定 义 域 一 区 间 元二次函数函数定义映射性质反函数对应法则值域奇偶性单调性周期性互为反函数的函数图像关系一元二次不等式指数函数根 式 一 分 数 指 数指数函数的图像和性质指数方程对数方程对数的性质积、商、暴与根的对数对数对数函数对数恒等式和不等式常用对数自然对数对数函数的图像和性质高考导航根据考试大纲的要求，结

4、合2010年高考的命题情况，我们可以预测2011年集合部分在选择、填空和解答题中都有涉及，高考命题热点有以下两个方面：是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现.函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新

5、趋势.考试热点：考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象.函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.第 1 课时函数及其表示基础过关、叨:敬1.映射：设 A、B是两个集合，如果按照某种对应关系对于集合A中的 元素，在集合B 中都有元素和它对应，这样的对应叫做 到 的映射，记作.2.象与原象：如果f A-B 是一个A到 B 的映射，那么和A中的元素a 对应的 叫做象，叫做原象。二、函数1.定义：设 A、B是,f

6、 A fB 是从A到 B 的一个映射，则映射F:AfB叫做A到 B的,记作.2.函数的三要素为、，两个函数当且仅当 分别相同时，二者才能称为同一函数。3.函 数 的 表 示 法 有、。典型例题例 1.下列各组函数中，表示同一函数的是().A.y =1,y =V B.y=J x-1 yjx+1,y=A/J C2-1xC.y=x,y=x D.y =|x|,y =(V x)2解：C变式训练L 下列函数中，与函数产x 相同的函数是()A.y=B.y=(V x )2 C.y=l g l Ox D.y=2l o g 2 Jx解：c例 2.给出下列两个条件：(1)f(4+l)=x+2 4 ;(2)f(x)为

7、二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4 x+2.试分别求出f(x)的解析式.解：令 t=4+l,x=(t-1)2.则 f (t)=(t-l)2+2(t l)=t 2 l,即 f (x)=x 2 l,x 1,+8).(2)设 f (x)=a x +b x+c (a W O),f (x+2)=a (x+2)2+b (x+2)+c,则 f (x+2)-f (x)=4 a x+4 a+2 b=4 x+2.尸”-4 ,工卜 一 1 ,又 f (0)=3 =c=3,f (x)=X2-X+3.4 a +2 b=2 /?=1变式训练2：已 知 f d +1)=l g x,求 f (x)；X(2)已

8、知 f (x)是一次函数，且满足 3 f (x+1)-2 f (x-1)=2 x+1 7,求 f (x)；(3)已知 f (x)满足 2 f (x)+f ()=3 x,求 f (x).X解：(D 令2+i=t,则 x=3，A f (t)=l g -,A f (x)=l g ,x0(1,+8).t-1 x-l(2)设 f (x)=a x+b,则3 f (x+1)-2 f (x-1)=3 a x+3 a+3 b-2 a x+2 a-2 b=a x+b+5 a=2 x+1 7,.a=2,b=7,故 f (x)=2 x+7.(3)2 f (x)+f ()=3 x,x把中的X 换成_ L,得 2 f (

9、)+f (x)=2 X X X X2-得 3 f (x)=6 x-,f (x)=2 x-.XX例 3.等腰梯形A BC D 的两底分别为A D=2 a,BC=a,Z BA D=4 5 ,作直线M N L A D 交 A D 于 M,交折线A BC D 于 N,记A M=x,试将梯形A BC D 位于直线M N 左侧的面积y 表示为x的函数,解:作 BH J _ A D,H为垂足,C G A D,G为垂足，依题意,则有A H=4,A G=-a.2 2并写出函数的定义域.(1)当 M位于点H的左侧时，N e A B,由于 A M 二 x,Z BA D=4 5 .*.N f N=x./.Y=SAAM

10、 N=-X2(O X ).22(2)当 M 位于 H G 之间时，由于 A M 二 x,.*.M N=,BN=x-.2 2/.y=S A M S B=-x+(x-)=-ax-(-x-a).2 2 2 2 8 2 2(3)当 M 位于点G的右侧时，由于A M=x,M N=M D=2 a-x.*y-S A B C D-SAM DN=y-y (2 t z +a)-(2 a-x)2=-y(4 *-4ax+x2)=-x2+2 ax x 2 a).综上：y=0,变式训练3：已知函数f(x)x =0,x 0,x=0,x V 0 段上的图象，如图所示,(2)f(l)-l2=l,f(-l)=!-=l,f /(-

11、l)=f(l)=l.-1 1小结归纳1 .了解映射的概念，应紧扣定义，抓住任意性和唯一性.2 .函数的解析式常用求法有：待定系数法、换 元 法(或 凑 配 法)、作法略.解方程组法.使用换元法时;要注意研究定义域的变化.3 .在简单实际问题中建立函数式，首先要选定变量，然后寻找等量关系，求得函数的解析式，还要注意定义域.若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用分段函数来表示.第2课时 函数的定义域和值域基础过关一、定义域：1 .函数的定义域就是使函数式 的集合.2 .常见的三种题型确定定义域：已知函数的解析式，就是.复 合 函 数f g(x)的有关定义域，就要保证内函数g(x)的 域是外

12、函数f(x)的 域.实际应用问题的定义域，就是要使得 有意义的自变量的取值集合.二、值域：1 .函 数 尸/（X）中，与自变量X的值 的集合.2 .常见函数的值域求法，就是优先考虑,取决于,常用的方法有：观察法；配方法；反函数法；不等式法；单调性法；数形法；判别式法；有界性法；换元法（又分为 法和 法）例如：形 如/=，可采用 法；可采用 法或 法；ya.f（A）2+W （%）+C,可采用 法；yxy/1-x,可采用 法；yx-五二7,可采用_ _ _ _ _ _ _ _ 法；尸可采用_ _ _ _ _ _ _ _ 法等.2 -c o s x典型例题例 1.求下列函数的定义域：丫=辛 雪；（2

13、）y=-=J=+V 5 7;yx-X Vx；-3解：（1）由题意得I：”*、,化简得I：?|x I-x 0（I x|x即 故 函 数 的 定 义 域 为 x x 0 且 X#-1 .x0(3)y-+.(2)山 题 意 可 得 解 得X*-45X 0 x 0,得一3 c x 12 5-x2+l g c o s x;故所求函数的定义域为（-3,1）U（l,2）.（2）由4x+304x+3 H 1,得 0-5 x 52 攵 一 g x 2 k兀 +/(k G Z y借助于数轴，解这个不等式组，得函数的定义域为卜5,-三 2（-全91）（三,5例 2.设函数y=f（x）的定义域为 0,1 ,求下列函数

14、的定义域.(1)y=f(3x);尸 f U );(3)y=f(x+g)+-；)；(4)y=f(x+a)+f(x-a).解：0W 3xW l,故 OW xW，y=f(3x)的定义域为0,.3 3(2)仿(1)解得定义域为1,+8).(3)由条件，y 的定义域是f(x+；)与(x-g)定义域的交集.列出不等式组Ox+-J-13 nOx-132 x 3 31X-,x-x+1 2 4 4 0V-r-,.,.-y 0,即 山 0,解得T V y V l.e+1 1-y 1-y函数的值域为 y|T y l),求 a、b 的值.解：V f(x)=-(x-l)2+a-.2 2 其对称轴为x=l,即 1,b为

15、f(x)的单调递增区间.A f(X)min=f(1)=a-=l 2f(x)皿=f(b)=b2-b+a=b 2_ 3由解得5,b=3.变式训练4：已知函数f(x)=x-4ax+2a+6(xR).(1)求函数的值域为 0,+8)时的a 的值；(2)若函数的值均为非负值，求函数f(a)=2-函a+3 的值域.解：(1),函数的值域为 0,+8),A=16a2-4(2a+6)=0=2a2-a-3=0/.a=-l 或 a=3.2 对 一 切 x G R,函数值均非负，.=8(2a2e3)W nT W aW N.a+3。,f (a)=2_a (a+3)=_a_ _3 a+2=_(a+)+(a s 1,).

16、2 4 _ 2_,二次函数 f(a)在 上 单 调 递 减，(a)M n=f (g)=-9 ,f (a)x f(-1)=4,.1)的值域为-3,4.4小结归纳1 .求函数的定义域一般有三类问题：一是给出解释式(如例1),应抓住使整个解式有意义的自变量的集合；二是未给出解析式(如例2),就应抓住内函数的值域就是外函数的定义域；三是实际问题，此时函数的定义域除使解析式有意义外，还应使实际问题或几何问题有意义.2 .求函数的值域没有通用方法和固定模式，除了掌握常用方法(如直接法、单调性法、有界性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图象法)外，应根据问题的不同特点，综合而灵活地选择方法.第 3 课

17、时 函数的单调性基础过关一、单调性1 .定义：如果函数产=/(入)对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值几、生，当见 (X)在整个定义域1内只有唯一的一个单调区间，则 H x)称为.2 .判断单调性的方法：(1)定义法，其步骤为：;.(2)导数法，若 函 数 尸/(x)在定义域内的某个区间上可导，若,则/(在这个区间上是增函数；若，则 f (x)在这个区间上是减函数.二、单调性的有关结论1 .若 f (x),g(x)均为增(减)函数，则/(x)+g(x)函数；2 .若/1(*)为增。咸)函数，则一F(x)为；3 .互为反函数的两个函数有 的单调性；4.复合函数尸/g(M 是定义在M

18、上的函数，若 f (x)与 g(x)的单调相同，则/g(x)为,若 f (x),g 5)的单调性相反，则f g(x)为.5 .奇 函 数 在 其 对 称 区 间 上 的 单 调 性,偶 函 数 在 其 对 称 区 间 上 的 单 调 性.典型例题例 1.已知函数f (x)=a+土 心(a l),证 明:函 数 f (x)在(T,+8)上为增函数.X+1证明 方法一 任 取 Xi,X2 (T,+8),不妨设X1 0,优 1且 a 0,4 一 优 1)0 ,X V x i+l 0,x2+l 0,.-2 _ .-2 _ (苍 2)(*+D -(2)(占 +1)_ 3(-斗)Q工 +1 x,+l(x,

19、+l)(x,+l)(x,+l)(x2+1)于是 f(x j-f(x)=a”+匕-=0,X2+1 X,+1故函数f(x)在(T,+8)上为增函数.方法二 f(x)=a*+l-(a l),x +1求导数得 ff(x)=axl n a+-,.当 x -l 时，axl n a 0,-一 0,(x +1)2(x+1)2(C x)0 在(T,+)上恒成立，则 f(x)在(-1,+8)上为增函数.方法三 尸a 为增函数，又丫=七三=1+三，在(T,+8)上也是增函数.X+X+1.y=a+4(-1,+8)上为增函数.x+变式训练1：讨论函数f(x)=x+2 (a 0)的单调性.X解：方 法 一 显 然 f(X

20、)为奇函数，所以先讨论函数f(x)在(0,+8)上的单调性，设 x i x2 0,则f(X|)-f(x2)=(X 1+)-(x2+)=(X|-X2),(1-).x,x2 x,x,.当 0 X 2 1,x,x2则 f(X l)-f(x2)X 2 时，0 -2-0,即 f(X)f(X 2),故 f(x)在 后，+8)上是增函数.：f(X)是奇函数，(x)分 别 在(-8,-后、后，+8)上为增函数；f(X)分 别 在 -布，0)、(0,后 上为减函数.方法二 由r(x)=l-4=0 可得x=后X当 X 7 或 x V-后 时，/,(x)0.f(x)分 别 在(V 7 ,+8)、(-O O,-7 7

21、 上是增函数.同理 0Vx。或-后 x V 0 时，fx)0,得函数的定义域是(0,4).令 t=4 x-x)则 y=logj.Vt=4x-x2=-(x-2)2+4,t=4x-x2的单调减区间是2,4),增区间是(0,2 .又 y=log|t在(0,+8)上是减函数，2.函数y=log1(4x-x2)的单调减区间是(0,2 ,单调增区间是2,4).2例 3.求下列函数的最值与值域：(1)y=4-y/3+2x x;(2)y=x+；(3)y=J-+1 +J(2-x)，+4.x解：(1)由 3+2x-x220 得函数定义域为-1,3 ,又 t=3+2X-X?=4-(XT)2.A te 0,4,0,2

22、 ,从而，当 X=1时，ymin=2,当 X=T或 X=3时，ym ax=4.故值域为2,4.(2)方法一 函数y=x+是定义域为 x|xW0 上的奇函数,故其图象关于原点对称,故只讨论Xx 0 时，即可知x 0 时，y二 x+3 2 2 士=4,等号当且仅当x=2时取得.当x 0 时，yW-4,等号当且仅当x=-2 时取得.综上函数的值域为(-8,-4 U 4,+8),无最值.方法二 任取Xi,X2,且 X1X2,因为 f(Xl)-f(xz)=Xi+-(X 2+-)=()(*4),X,X X,X2所以当xW-2或 x 2 2 时，f(x)递增，当-2 V x 0 或 0 x V 2 时，f(

23、x)递减.故 x=-2 时,f(x)RA=f(-2)=-4,x=2 时，f(x)(2)=4,所以所求函数的值域为(-8,-4 U 4,+8),无最大(小)值.(3)将函数式变形为 y=yl(x-Qy+(0-iy+V(x-2):+(0+2)!,可视为动点M (x,0)与定点A (0,1)、B(2,-2)距离之和，连 结 A B,则直线AB与 x 轴的交点(横坐标)即为所求的最小值点.ym in=I AB I =,/(0-2):+(1+2)3=713)可求得 x=|时，yin=0)台的收入函数为R(x)=3 000 x-20 x2(单位：元)，其成本函数为C(x)=500 x+4000(单位：元)

24、，利润是收入与成本之差.(1)求利润函数P(x)及边际利润函数M P(x)；(2)利润函数P(x)与边际利润函数M P(x)是否具有相同的最大值？解：(1)P(x)=R(x)-C(x)=(3 000 x-20 x2)-(500 x+4 000)=-20 x?+2 500 x-4 000(x 1,100且 xGN,)M P(x)=P(x+1)-P(x)=-20(x+1)2+2 500(x+1)-4 000-(-20 x2+2 500 x-4 000)=2 4 80-4 0 x (x e 1,1 0 0 且 x G N).(2)P (x)=-2 0(x-)2+7 4 1 2 5,当 x=6 2 或

25、 6 3 时，P(x)皿=7 4 1 2 0 (元).因为M P (x)=2 4 80-4 0 x 是减函数,所以当x=l 时,M P(x)*=2 4 4 0(元).因此，利润函数P (x)与边际利润函数M P (x)不具有相同的最大值.例 4.(2 0 0 9 广西河池模拟)已知定义在区间(0,+8)上的函数f(x)满 足 f(3)=f(x j-f(x 2),且当xl时,占f(x)0.(1)求 f的值；(2)判 断 f(x)的单调性;(3)若 f(3)=-l,解不等式 f(|x|)O,代入得 f(D=f(Xi)-f(X1)=O,故 f(1)=0.(2)任取 X i,X 2 G(0,+8),且

26、 X i X 2,则五 1,由于当 x l 时，f(x)0,三所以 f()0,即 f(X i)-f(x2)0,因此 f(X 1)f (x2),所以函数f(x)在区间(0,+8)上是单调递减函数.(3)由 f(-i-)=f(x i)-f(x2)f (-)=f(9)-f(3),i f f f f(3)=-l,所以 f(9)=-2.x2 3由于函数f(x)在 区 间(0,+8)上是单调递减函数，由 f(|x|)9,，x 9 或 x 9 或 x 0时，f(x)l.(1)求证：f(x)是 R 上的增函数；若 f (4)=5,解不等式 f(3m2-m-2)3.解：(1)设 x i,x z W R,且 x

27、i 0,.*.f (x2-x i)1.f(x2)-f(Xi)=f(X2-X1)+Xi)-f(Xi)=f(X2-X1)+f(Xi)-l-f(Xi)=f(X2-X1)-1O.f(X 2)f(X l).即f(x)是R上的增函数.(2)V f (4)=f (2+2)=f (2)+f (2)T=5,Af (2)=3,.原不等式可化为f(3m2-m-2)f(2),；f(x)是 R 上的增函数，.3m;i-m-20),都可以得出f(x)的周期为；y =/(x)的图象关于点5,0),(仇0)中心对称或y =f(x)的图象关于直线x=a,x=b轴对称，均可以得到/(%)周期_ _ _ _ _ _ _ _ _ _

28、 _ _ _ _ _ _ _ _典型例题例 L 判断下列函数的奇偶性.(1)f(X)=ylx2-V l-r ;(2)f (x)=l o g2(x+-J j T T T)(x G R);(3)f(x)=l g|x-2|.解：(1)：x 2-l 20 且 l-x?2。，；.x=l,即 f(x)的定义域是-1,1.V f (1)=0,f(-l)=o,，f(l)=f(T),f(T)=-f(l),故 f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)方法一 易知f(x)的定义域为R,X V f(-x)=l o g 2 -x+J(-x)*+l =l o g 2-=-l o g 2(x+V x;+1)=-f(x),X+y

29、JX2+1.f (x)是奇函数.方法二 易知f(x)的定义域为R,又(-X)+f (x)=l o g 2 -X+J(-x)+1 +l o g 2(x+J x*+1 )=l o g 21=0,B P f (-X)=-f (x),；.f(x)为奇函数.(3)由|x-2|0,得 x#2.A f (x)的定义域 x|x W 2 关于原点不对称，故 f(x)为非奇非偶函数.变式训练1：判断下列各函数的奇偶性：f (x)=(x-2)2-x(2)f (x)=lg(T)K-2 1-2x+2(x-l),(3)f (x)(|x|1).解：(1)由 言2 0,得定义域为2,2),关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶

30、函数.2-x(2)由 c 得定义域为(T,0)U(0,1).|丁_2|-2Ho.这 时f(X)=_ 二 Q 迪二口.-(x*-2)-2 xVf(-X)=-域 二 印=_ 吗 立=)：.f(x)为偶函数.(-X)X*(3)xl,/.f(一x)=-(-x)+2=x+2=f(x).xl.时，f(x)=一x+2,-x-l,f(-x)=x+2=f(x).一lWxWl 时,f(x)=0,一(-x)=0=f(x).对定义域内的每个x都有f(-x)=f(x).因此f(x)是偶函数.例2已知函数f(x),当x,yR时，恒 有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求证：f(x)是奇函数；(2)如果x6R-,f(

31、x)0,并且f(l)=-L试 求f(x)在 区 间-2,6 上的最值.2(1)证明：.函数定义域为R,其定义域关于原点对称.Vf(x+y)=f(x)+f(y),令丫=r，；.1(0)=&)+(-乂).令乂=丫=0,Af(0)=f(0)+f(0),f(0)=0./.f(x)+f(-x)=0,得 f(-x)=-f(x),：.f(x)为奇函数.(2)解：方 法 一 设 x,yGR,*.f(x+y)=f(x)+f(y),f(x+y)-f(x)=f(y).xGR,f(x)0,:.f(x+y)-f(x)0,:.f(x+y)x,；.f(x)在(0,+8)上是减函数.又F f(x)为奇函数，f(0)=0,/.

32、f(x)在(-8,+8)上是减函数.；.f(-2)为最大值，f(6)为最小值.Vf(1)=-1,Af(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2 f(1)+f(2)=-3.2 所求f(x)在 区 间-2,6 上的最大值为L最小值为-3.方 法 二 设 xi0,Af(x2-xi)0.Af(x2)-f(xi)0 时,-xVO,由已知 f(-x)=xlg(2+x),，一f(x)=xlg(2+x),即 f(x)=-xlg(2+x)(x0).,.f(x)=|-x lg(2-x)(X 0).即 f(x)=-xlg(2+|x)(xGR).例3已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x+2

33、)=-f(x).(1)求证：f(x)是周期函数；(2)若f(x)为奇函数,且当OWxWl时，f(x)x,求 使 )=在 0,2 009上的所有x的个数.2 2(1)证明：Vf(x+2)=-f(x),：.f(x+4)=-f(x+2)=-L-f(x)=f(x),Af(x)是以4为周期的周期函数.(2)解：当 OWxWl 时，f(x)=x,2设T W x W O,贝(J OW-xWl,.f(-x)=(-x)=-x.2 2f(x)是奇函数，f(-x)=-f(x),A-f(x)=-x,即 f(x)=-x.2 2故 f(x)=Ix(-l x l)2又设 l x 3,则-Ix-21,f(x-2)(x-2),

34、2又(x-2)=-f(2-x)=-f(-x)+2)=-一f(-x)=-f(x),A-f(x)=-(x-2),2 f(x)=-(x-2)(l x 3).2Af(x)1x2(-1X1)-7(-2)(1 x-1,故函数f(x)在 a,+8)上单调递增，从而函数f(x)在 a,+8)上的2最小值为f(a)=a?+L综上得，当-L waW忖，函数f(x)的最小值为才+1.2 2小结归纳1 .奇偶性是某些函数具有的一种重要性质，对一个函数首先应判断它是否具有这种性质.判断函数的奇偶性应首先检验函数的定义域是否关于原点对称，然后根据奇偶性的定义判断(或证明)函数是否具有奇偶性.如果要证明一个函数不具有奇偶性

35、，可以在定义域内找到一对非零实数a 与一a,验 证 f(a)土/(一a)W O.2 .对于具有奇偶性的函数的性质的研究，我们可以重点研究y 轴一侧的性质，再根据其对称性得到整个定义域上的性质.3 .函数的周期性：第一应从定义入手，第二应结合图象理解.第5课时 指数函数基础过关1.根式：-(1)定义：若 炉=，贝心称为。的 次方根 当 为 奇 数 时，”的次方根记作；当 为 偶 数 时，负数。没有 次方根，而正数。有两个次方根且互为相反数，记作(。0).(2)性质：(标=a.当”为奇数时，a=。；当”为偶数时，如=_ _ _ _ _ _ _=fa(a-0)-a(a 0,r、s e Q)(M)=(

36、a O,r、s e Q)(“6)=(a 0,r s e Q)注：上述性质对r、s e R 均适用.3.指数函数：定义：函数 称为指数函数，1）函 数 的 定 义 域 为;2）函 数 的 值 域 为；3）当_ _ _ _ _ _ _ _ 时函数为减函数，当_ _ _ _ _ _ _ 时为增函数.函数图像：1）过点,图象在;2）指数函数以 为渐近线（当0 “1 时，图象向无限接近x 轴）；3）函 数.丫 =/与=小 的图象关于 对称.函数值的变化特征:0 6t 1x 0时 _ _ _ _ _ _ _ _x=0时 _ _ _ _ _ _ _ _x 0时 _ _ _ _ _ _ _ _x=0时_ _

37、_ _ _ _ _ _x V。加2-435-6行(-%)+(必必解：(1)原式=,炉 山=4 f(cx)C.f(bx)f(cx)D.大小关系随x的不同而不同解：A变式训练2：已知实数a、b 满足等式(夕=(，下列五个关系式：0 b a;(2)a b 0;0 a b：(4)b 1,由复合函数的单调性可知，f (x)=3-5 X +4 在(-8,1 上是减函数，在 4,+8)上是增函数.故 f (X)的增区间是 4,+8),减区间是(-8,1.(2)由 g(x)=-(-/+4(-)*+5 =广+4&+5,.函数的定义域为 R，令 t=(；)”(t 0),；.g =-/+5=-(5 2 尸+9,V

38、t 0,.,.g(t)=-(t-2)2+9 9,等号成立的条件是 t=2,即 g(x)0),而 t=(；)，是减函数，.要求晨x)的增区间实际上是求g(t)的减区间，求 g(x)的减区间实际上是求g(t)的增区间.V g (t)在(0,2 上递增，在 2,+8)上递减，由 0 0,f(x)=+2 是 R上的偶函数.a e1(1)求 a 的值；(2)求证：f(x)在(0,+8)上是增函数.(1)解：V f (x)是 R 上的偶函数，.f (-x)=f (x),A +=a cx a ex:.(a-_ 9)=0 对一切x 均成立，/.a =0,而 a 0,A a=l.a(2)证明 在(0,+8)上任

39、取x i、X 2,且 X 1 V X 2,则 f (x i)-f (x2)=eA,+-e -eA,e,?=(e -e )(-1).7x X 2,/.e 0.V x i 0,X 2 0,.*.X i+x2 0,e 网 1,-l 0./.f (x i)-f(X 2)0,即 f (x i)f(X 2),己 故 f(x)在(0,+8)上是增函数.变式训练4：已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2,且当x G (0,1)时，f(x)=二一4 +1(1)求 f(X)在 -1,1 上的解析式；(2)证明：f(x)在(0,1)上是减函数.(1)解：当 x W(-l,O)时，-x (0,1).*/f (x

40、)是奇函数，(x)=-f (-x)=-=-.4 1 +1 4+1由 f(O)=f(-O)=-f(O),且 f(l)=-f(-l)=-f(-l+2)=-f(l),T得 f(o)=f(i)=f(-i)=o.在 区 间 L-i,i 1 上，有f (x)=4l+l2XX(o,l)41 +l0 xe(-l,O)X 6 -1,0,1)证 明 当 X G(O，D时，f(x)=总设 0 X I X 2 1,则 f(xM f(X/2”(2-2)(2*-l)4，!+l-(4+1)(4*,+1)V 0 XIX2 0,2 V|+X 2-l 0,/.f(x i)-f(x2)0,即 f(X 1)f(x2),故 f(x)在

41、(0,1)上单调递减.小结归纳1 .丽=a,J=N,l o g N=/?(其 中 N 0,t f 0,存 1)是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同底.2 .处理指数函数的有关问题，要紧密联系函数图象，运用数形结合的思想进行求解.3 .含有参数的指数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题最基本的分类方案是以“底”大 于 1或小于 1 分类.4 .含有指数的较复杂的函数问题大多数都以综合形式出现，与其它函数(特别是二次函数)形成的函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的

42、各类综合问题等等，因此要注意知识的相互渗透或综合.第 6 课时 对数函数基础过关1 .对 数：-(1)定义：如果(a0,月.”1),那么称 为,记作,其中。称为对数的底，N 称为真数.以 1 0 为底的对数称为常用对数，记作.以无理数e(e =2.7 1 8 2 8)为底的对数称为自然对数，l o g,N 记作.(2)基本性质：真数N为(负 数 和 零 无 对 数)；l o g“l=;l o g“a=;对数恒等式：小g“N=.(3)运算性质：l o g,(M N)=；l o g =；N l o g；M=(R).换底公式：l o g 视=(a0,ni 0,7#1,N 0)bg=.2.对数函数：定

43、 义：函数 称为对数函数，1）函数的定义域为（;2）函 数 的 值 域 为；3）当_ _ _ _ _ _ 时，函数为减函数，当_ _ _ _ _ _ 时为增函数；4）函数，=l g，x与函数（。，且。1）互为反函数.1）图象经过点（）,图象在;2）对数函数以 为渐近线（当时，图象向上无限接近y轴；当。1时，图象向下无限接近y轴）；4）函 数 尸l o g“x与 的图象关于x轴对称.函数值的变化特征：06t X 1时_ _ _ _ _ _ _ _ X=1时_ _ _ _ _ _ _ _ 0 x 1时 X=1时 0 x 1时典型例题例1计算：（1）l o g,-石）(2)2(l g V 2 )2+

44、l g V 2 l g 5+(l g V 2)2-l g 2 +l ;(3)1 g -I g-+l g V 2 4 5 .2 4 9 3解：（1）方法一利用对数定义求值设*(2-5=x,则（2+石尸=2-后=2 +6=(2+石)方 法 二 利用对数的运算性质求解-1 0 g2(2+V 3 )=-1.(2)原式=l g 6 (2 1 g V 2 +l g 5)+J(l g后-2 1 g V I +l=l g 7 I (I g 2+l g 5)+|l g V 2-1|=l g V 2 +(l-l g V 2 )=1.(3)原式=(I g 3 2-l g 4 9)-9 1g8ng2 4 52 3 2

45、=1 (5 1 g 2-2 1 g 7)-1 x|lg2+l (2 1 g 7+l g 5)=-l g 2-l g 7-2 1 g 2+l g 7+l l g 5=l I g 2+-l g 52 2 2 2=l l g(2 X 5)=M g l O=l.2 2 2变式训练L化简求值.(1)l o g2+l o g21 2-i l o g24 2-l;(2)(I g 2)2+l g 2 l g 5 0+l g 2 5;(3)(I o g 3 2+l o g g 2),(I o g i 3+l o g 8 3).解：(1)原式=log2+log212Tog2 A/42-Iog22=log2 N 之

46、=log,=log,2-1J48V48XV42X2 2V2 2(2)原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=21g2+lg25=lgl00=2.(3)原式二(段+上!)(里+里)=涅.维 J.lg3 21g3八21g2 31g2，21g3 61g2 4例 2比较下列各组数的大小.(1)logsZ与 log5&；(2)logi.Q.7 与 logiM.7;3 5(3)已知 log,b lo galog51=。，log32 Vlog5g.3 5 3 5(2)方法一,0V 0.7V l,L 1VL2,A 0 log0_7l.llog071.2,1 1 -,log,1.1 log,1,2即由换底公

47、式可得logiuO.7 log120.7.方法二 作出 y=logux 与 y=logi.2X 的图象.y iogl lA如图所示两图象与x=0.7相交可知lo g iO 7 lo g“0.7.y=logA x 为减函数，且 log*log,a a c,而 y=2*是增函数，.222.变式训练2：已知0 a l,a b l,则 log,log lo g J 的大小关系是()b hA.1 Oga!log/log B.logu b lo g,logh b 0 bC.log)log,：log;D.logh-J-log,-J-b b h b解：C例 3 已知函数f(x)=logaX(a 0,a W l

48、),如果对于任意xW 3,+)都有|f(x)I 成立,试求a 的取值范围.解：当 a l 时，对于任意xG 3,+8),都有f(x)0.所以，|f(x)|=f(x),而 f(x)=log,x 在 3,+8)上为增函数，.,.对于任意 xW 3,+8),有 f(x)log“3.因此，要使l f(x)e l对于任意xG 3,+8)都成立.只要 10gli32l=log“a 即可，；.laW 3.当 OVaVl 时，对于 xG 3,+8),有 f(x)V 0,I f(x)|=-f(x).,.*f(X)=10gaX 在 3,+8)上为减函数,.,.-f(x)在 3,+8)上为增函数.对于任意XG 3,

49、+8)都有I f(x)|=-f(x)Tog,3.因此，要使lf(x)|l 对于任意xG 3,+8)都成立，只要-10ga32l成立即可，log3-l=logn,即3,-a 1,在 区 间(-8,1-石 上是减函数，所以g(x)=x?-a x-a 在 区 间(-8,1-石 上也是单调减函数,且g(x)0.1-f 即,0 2 2-2 后g(l-8 0 1(l-V3):-(l-V 3)-a 0解得2-2 石 W a V 2.故 a的取值范围是 a 1 2-2 Q W a 1,X 2 1,则点A、B的纵坐标分别为l o g g X i、l o g s X z.因为A、B在过点0的直线上，所以g经=史&

50、王 苍点 C、D 的坐标分别为(X 1,l o g 2 X i)(x2,l o g2x2),由于 1 0 g 2 X l=等=3 1 0 g 8X l,1 0 g 2 X2=3 1 0 g 8X 2,logs 20 C 的斜率为k 尸也土=辿区土，X%0 D 的斜率为鼠=3 殳玉=辿2,由此可知k i=k 2,即 0、C、D 在同一直线上.X2(2)解：由于 B C 平行于 x 轴，知 l o g 2 X i=l o g 8X2,即得 l o g 2 X i=;l o g2x2,X2=X3I,代入 X 2 1 o g 8X i=X il o g 8X 2 得 X3il o g 8X i=3 X