湖北某中学高考数学二轮复习考点解析11：平面向量及其运用考点透析.pdf

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1、湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析11:平面向量及其运用考点透析【考点聚焦】考 点 1:向量的概念、向量的加法和减法、实数与向量的积.考点2：向量的坐标运算、平面向量的数量积.考点3：向量的模与角的计算。.【考点小测】(浙 江 卷)设 向 量 满 足 a+Z +c =d,a J L&J a|=l,|b|=2,则 2=(A)l (B)2(C)4(D)52.(2003年天津高考题)。是平面上一定点，4、B、C 是平面上不共线的三个点，动点。满 O P-O A I,1(I H I )2 G0，+O)，则 尸 的 轨 迹 一 定 通 过 欧 的()AB AC/(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心

2、/X3.(广东 卷)如 图 1所示，。是A J B C 的 边 上 的 中 点，则向量丽=BA.-BC+-B A B.-B C-B A C.B C-B A D.B C +-&4 图 2 2 2 24.(湖南卷)已知|卜2 出|0,且关于x 的方程X?+|x+0 有实根，则Z 与否的夹角的取值范围是()A.0,2 B.2,p C.2,型 D.2,p 6 3 3 3 65.(全国卷I)已知向量久 6 满足同=1,网=4,且ab=2,则4 与 b的夹角为.n C 兀 C 兀 C 冗A.B.C.D.6 4 3 26.(山东卷)设向量0=(1,-2)力=(一2,4卜=(一1,一2),若表示向量4/,4

3、2c,2(a-c),d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为(A)(2,6)(B)(-2,6)(C)(2,-6)(D)(-2,-6)7.(上海卷)如图，在平行四边形A B C D 中，下列结论中错误的是()(A)A B =DC；(B)A D+A B =A C；(C)A B -A D=BD-,(D)A D+C B =0 .8.(北京卷)若三点Z(2,2),8(a,0),C(0,b)(a b w 0)共线，则 的 值 等 于 _ _ _ _ _ _ _.-a b 29.(2005年全国卷H)点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量(4,-3)(即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为觇

4、个单位.设开始时点P 的坐标为(-10,10),则 5 秒后点P的坐标为(10,-5)1 0.(湖南卷)已知直线办+b y+c=0 与圆O：f+J=i 相交于人、B两点，且|AB尸 J L 则 CM-OB=.2【典型考例】【考 型 1】向量的有关概念与运算此类题经常出现在选择题与填空题中，在复习中要充分理解平面向量的相关概念，熟练掌握向量的坐标运算、数量积运算，掌握两向量共线、垂直的充要条件.例 1：已知Q是以点4(3,-1)为起点，且与向量5=(-3,4)平行的单位向量，则向量。的终点坐标是.思路分析：与 Q平行的单位向量e=旦方 法,：设向量。的终点坐标是(x,y),则。=(x-3,y+l

5、),则题意可知_ 124(x-3)+3(y+1)=0(X3)2+(y+D解得5 或 y =T18 12 1 18 9X=1 5 5 5 5y1 3 4方法二 与向量6=(-3,4)平行的单位向量是土 g (-3,4),故可得Q=(-g,g),从而向量a的终点坐标是(x,y尸。一 (3,-1),便可得结果.点评：向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念.例 2：已知|a|=l,|=l,与 1 的夹角为60,x=2a一4则x 与y 的夹角的余弦是多少？思路分析：要计算x 与y 的夹角0,需 求 出 的 值.计 算

6、时 要 注 意 计 算 的 准 确 性.解：由已知|a|=|b|=l,a 与 b 的夹角 a 为 6 0 ，得 a Z=|a|步|cosa=g.0要计算x 与y 的夹角仇需求出|r|,y|,的值./1肝=3=(26)=4 24 )+/=4 4 X g+1=3,y 2 2 2 2 2 1 60 yr=y=(3b-a)=9b-6b a+a2=96X-+1=7.产-2 A 8x,y=(2ab),(3Za)=6a,b2a3b+a b la,b2a23b2=7X 23=,223J 2 1X x j=|r|y|co50,即一一=VJ X V7 cos仇 cosO=-.2 14点评：本题利用模的性质 =/，

7、在计算x y 的模时，还可以借助向量加法、减法的几何意义获得:如图所示，设 方=AC=a,AD=2 a,ZBAC=6 0 .由向量减法的几何意义,得 丽=7 万一万=加一尻由余弦定理易得|而|=百，即国=百，同理可得y=J7.【考型2 向量共线与垂直条件的考查例 3.平面直角坐标系中，0为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-l,3),若 点 C 满足0C =a 0 A +p 0 B,其中a,3G R且a +0=l,求点C 的轨迹方程。.解：(法一)设 C(x,y),则 O C =(x,y),由 O C =(x,y)=a(3,l)+伙-1,3)=(3a/,a+3在)二,=3 一 ，(可从中解出

8、a、尸)又.七+夕=1 消去a、夕得x+2y-5=0y=a+3/3(法 二)利用向量的几何运算，考虑定比分点公式的向量形式，结合条件知：A,B,C 三点共线，故点C 的轨迹方程即为直线A B 的方程x+2y5=0,例 4.已知平面向量a=(J L -1),b=(J L,正).(1)若存在实数攵和，便得x=a+(P 3)b,2 2j=-A a+/b,且x_L y,试求函数的关系式k=%t)：(2)根据(1)的结论，确定k=f(t)的单调区间.思路分析：欲求函数关系式k=f(t),只需找到k 与 t 之间的等量关系，k 与 t 之间的等量关系怎么得到？求函数单调区间有哪些方法？(导数法、定义法)导

9、数法是求单调区间的简捷有效的方法？A”，、+产 2后-3 V3Z2-2V 3-2解：(1)法一：由题意知x=(-,-),2 2Iy=(-t k,1+k),又 x _Ly2 2乂 t2-2 V 3-3 z 1 尻、.V3/2-2 7 3-2 6,故力 产-X (t V3 k)+-X(t+k)=0.2 2 2 2.1,3整理得：t 3t4 k=0,即k=t t.4 4法二：=(百，1),b=(,A/3；.同=2,例=1 且 a_Lb1 3V x j,Ax-j=0,即一k k +t(t23)例 2=0,.t33t4 k=0,即k=t313 3 3(2)由(1)知：k=qt)=-t3-t .*=1 0

10、)=-t3-,4 4 4 4令 k VO 得一令 k 0 得 t l.故 k=Rt)的单调递减区间是(一1,1 ),单调递增区间是(-8,-1)和(1,+8).点评：第(D问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的(但运算过程大大简化，值得注意).第(2)问中求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用.例 5：已知平面向量5=(、回，-1),b=(-,),若存在不为零的实数k 和角a,2 2使向量己=万+(si

11、na-3)6,2=-k 5+(sin a 历,且 5，2,试求实数k 的取值范围.1 3 9解：由条件可得：k=(sin a )2，而一iWsinQ W1,4 2 16.当sina=-1 时，k 取最大值1；sina=1 时，k 取最小值一2又：。).k 的取值范围为-p 0)U(0,i.点拨与提示：将例题中的t 略加改动，旧题新掘，出现了意想不到的效果，很好地考查了向量与三角函数、不等式综合运用能力.例 6：已知向量Z=(1,J5)石=(一、历,1),若正数k 和 t 使得向量(=)+(/2+1)加=左)+”垂直，求 k 的最小值.t解：x A.y x-y =0 即 a+(/2+1)/(-k

12、 a +-/)=0*2+1 2 I-)-*o -k a +-b+-。6-%(厂+1)。6=0t t*/a=(1,V 2),b=(V2,l),.a|=V3,b|=V3a，b=-ypl+V2,代入 上 式 一3k+3-=/+2t t当且仅当t=L 即 t=l时，取“=”号，即 k 的最小值是2.t【考型3】向量的坐标运算与三角函数的考查向量与三角函数结合，题目新颖而又精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查.例 7.设函数 f(x)=ab,其中向量a=(2cosx,1),b=(cosx,JJsin2x),xR.(1)若 f(x)=l月/可 一?，y ,求X；若 函 数y=2sin2

13、x的图象按向量c=(m ,n)(|m|y)平移后得到函数卜=)的图象，求实数m、n的值.思路分析：本题主要考查平面向量的概念和计算、平移公式以及三角函数的恒等变换等基本技能，解：(1)依题设，f(x)=(2cosx,1)(cosx,V3 sin2x)=2cos2x+V3 sin2x=1 +2sin(2x+)6由 1 +2sin(2x+)=1 V3,得 sin(2x+工 尸-6 6 271,)兀 乃,、兀 一 57C,7T TC 冗 ,W2x+W,/.2 r+=,H P x=3 3 2 6 6 6 3 4(2)函数歹=2sin2x的图象按向量c=(m,n)平移后得到函数y=2sin2(xm)+n

14、的图象，即函数y=f(x)的图象.由(1)得 f(x)=2 sin 2(x+1 ,.加 V ,m n=l.点评：把函数的图像按向量平移，可以看成是C 上任一点按向量平移，由这些点平移后的对应点所组成的图象是C ,明确了以上点的平移与整体图象平移间的这种关系，也就找到了此问题的解题途径.一般地，函数y=f(X)的图象按向量a=(h,k)平移后的函数解析式为yk=f(xh)例 8：已知。=(cosa,sina),b=(cosfsin/i)(0 afi2=|a|2-|Z|2=0；.(a+b)_L(ab)证 法 三:,：a=Qcosa,sina)J)=(co邓原呻)A|a|=l,记。4=a,O B =

15、b,则1 0 4 1=|0 5 1=1,又，。、A.8三点不共线.由向量加、减法的几何意义，可知以。4 0 3为邻边的平行四边形0 4 c B是菱形，其中O C=a+b,BA=a-b,由菱形对角线互相垂直，知(a+Z )J _(Q-b)(2)解:由已知得阿+与|a-泌I,又ka+b=(kcosa+cos)2+(ksina+sin/i)2=ki+2 kcos(fi(i),ka+b2 (cosa-kcos/3)l+(sina-ksin)2=k1+1 -2 kcos(J3 a),2 kcos(fia)=-2 kcos(fia)又：k丰0 :.cos田一*=07 10 afi7 t 0 0 a0,即

16、1+3 必n?。.(1)设P(XJ 1),Q(T2 j 2)，则Xl,、2 是 方 程(*)的两相异实根，.-XI+x2=2 山一一 口 X1+x)3 k m ,m则P Q 的中点N(x()j o)的坐标是x()=-=-，Vo=E xo+m=-2 l +3 k2 l+3 k2EJN(3 k m m1 +3 1?1 +3 1?)又|AP|=|AQ|,m.-+A A N1P Q,：.k-k=k-1 +登 一=-1,3 k m1 +3 1?l +3 k2/.m=-21 i 网 2 1 .北 2将m=代入(1)式，得 1+3 F (L _ L.)2 O(k WO),2 2即F -*A a A.e B

17、a L(a e)C e A-(a e)D(a+e)(o e)9.P是 ABC所在平面上一点，若 方 丽=丽 正=正 百，则P是aABC的(D)A外心 B内心 C重心 D垂心10.ABC中，a4+b4+c4=2cz(a2+b2),则NC度数是：A 60 B 4 5 或 135 C 120 I)3011.已知向量a=(cos0,sin。)，向量b=(JJ,l),则|2ab|的最大值是12.把函数y=2f4 x+5的图像按向量a平移，得到产2 f的图像，且a，b,c=(l,-1),b-c=4,贝 II b=_13.已 知 平 面 上 三 点Z、B、C满 足|=3,|BC|=4 ,|CA|=5,则AB

18、BC+BCCA+CAAB 的值等于.14 .在中，O为中线AM上一个动点，若AM=2,则O A (OB+O C)的 最 小 值 是.15.已知向量a=(sin。，1),b=(l,cos。)，(I)若a L b,求 6；(II)求 I a+b I 的最大值.16.06年江西卷)如图，已知aABC是边长为1 的正三角形，M、N分别是边 AB、AC上的点，线段MN经过ABC的中心G,兀 2%设 NMGA=a(a -)3 3(1)试将aAGM、AAGN的面积(分别记为，与S?)表示为a 的函数(2)求卜=4 十 I的最大值与最小值S.2 S2217.已知定点F(l,0),动点P 在夕轴上运动，过点P

19、作 PM 交 x 轴于点M,并延长M P至点 N,且 丽 丽=0,丽=丽.(1)求动点N 的轨迹方程；直线/与动点N 的轨迹交于A、B 两点，若万L 砺=-4且 4 后|/8 区 4 廊，求直线/的斜率的取值范围.18.已知两点M(-l,0),N(1,0),且点P 使 丽 丽，1PM P N ,丽而成公差小于零的等差数列.(I)点 P 的轨迹是什么曲线？(H)若点P坐 标 为(X。、为)，记。为 丽 与 乐 的 夹 角，求tan。.答案与提示：一51.C 提示：设3=(x,y),m(5+/)-c=(-1,-2)x,y)=-x-2 y =-9 又1=逐，所以不工=x+2y=|方|万|cosa,得

20、 c o s a=g,a -120,3 36+-x l 2+-x 72.D 提示：设交点M(x y),x=七 一=3,y=、一 =5,代入直线方程可得.1 +-1 +-2 23.B 提示：a?-2 b a=0 且b 2ab=0,相减得I a I =I b I ,代入其中一式即可.4.D 提示：点 C 的轨迹是以(2,2)为圆心，、后 为半径的圆.5.B 提示：设A(x iji)，B(24 2)，OA OB=/2+乃 力=攵 牛 I+%丁？，将直线方程尸k(x0.5)代入抛物线方程消去x可得为力.6.B 提示：=表示N 6 方向上的单位向量，表 示 Z C 方向上的单位向量,ABACAB ACF

21、r +Wr 在/B A C 的平分线上，故 P 点的轨迹过三角形的内心.|AC|AC|7.C 提示：设5秒后点P运动到点A,则 方=所+厉=57=(20,15),.,.04 =(20,-15)4-(-10,10)=(10,-5).8.c 提 示：由|一 八|I 一 I得 I 一 八|一，展 开 并 整理得/一2ae/+2 a e-l 0,由/e 火,得=(-2i/e)2+4 -Sae -2()2,当。4O M取等号.即OA-(OB+OC)的最小值为2.1 5.解：(I)若a J _ b,贝 Ilsin0+cos6=0,由此得 tand=-1(所以 =(II)由a=(sin。，1),b=(l,c

22、os)得 I a+6 I =，(sin6+1/+(1 +cos0)2=.3+2(sin+cos，)=、/3+2&sin(8+,当s in(，+令=1时，口+可取得最大值，即当，=飘，口+例最大值为啦+1.1 6.解：因为G是边长为1的正二角形A B C的中心，x(y 2)-y(4 +x)=02 V 3 V 3 1 nx+2 y =0所以 AG=-x,N M A G=一,3 2 3 6山正弦定理 0L=-，得GM=s in s in (n a )6 s in (a+)6 6 6则S i =L G M*G A s in a=-吧 -1 2 s in(6r+)6Qin(y同理可求得s,=空4 jr1

23、 2 s in(a)6(1)尸 W黑函(呜)+si n2(Y)jr 7 jr jr 7 r r=7 2 (3+co t2a)因为5。0)(2)先证明/与x轴不垂直，再设/的方程为y=k x+b (k#0),A (M,，)，B(x2,/).联立直线与抛物线方程，得ky 4 y+4 b=0,由。/.0 3 =4 ,得再芍+必2=一4.4b又 必=4%,、2 =4工2,故必,2=-8 而 yxy2=/.b=-2 k.k知=竽端+32)e 9 6,48 0,K K解得直线/的斜率的取值范围是1 8 .略 解(I )设点P (x,y),分 别 计 算 出 而 加，P M P N ,N M-N P,由题意，可得点P的轨迹方程是 2+歹2=3(x o)故点P的轨迹是以原点为圆心、百为半径的右半圆.(I I)由(I )知，瘾+式=3(x0 0),可得 cos 0 =_ _ _ _ _=P M P N 74-xoXxoe(O,V3),A cos0 =,1 e(，1,即。w 0,色),2 3