导数及其应用练习题.pdf

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1、温馨提示：高考题库为Word版，请按住C tr l,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。【考点6导数及其应用2 0 0 9 年考题【解析】选 C.可得x =a,x-b为y -(x-a)2(x-b)=0的两个零解.当 x a 时，则 x .-./(x)0当 a x 6 时，则 f(x)b 时，则/(x)0.选 C。2.(2 0 0 9 广东高考)函数/(x)=(x-3)/的单调递增区间是A.(-oo,2)B.(0,3)C.(l,4)D.(2,+)【解析】选 D.尸(x)=(x 3)e*+(x 3乂 )=(x 2)/,令/(x)0，解得 r 2，故选 D3.(2 0

2、0 9 湖 南 高 考)设 函 数 y=/(x)在(-oo,+o o)内有定义。对 于 给 定 的 正 数 K,定义函数取函数/(犬)=2-犬-1。若对任意的x e(oo,+oo),恒有 A(x)=f(x),则K,/(x)KA.K 的最大值为2 B.K 的最小值为2C.K 的最大值为1 D.K 的最小值为1【解析】选 D.由尸(乃 二/一 1 =0,知 x =0 ,所以x e(8,0)时，f x)0,当x e(0,+oo)时，f x)0)MJy=/(x)A在区间d,1),(1,e)内均有零点。eB在 区 间1),(1,e)内均无零点。eC在区间(一,1)内有零点，在区间(l,e)内无零点。eD

3、在区间(一,1)内无零点，在区间(l,e)内有零点。e【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。1 1 x-3【解 析】选D.由 题 得_f(x)=，令/、(x)0得x 3;令/、(x)0得0 x 3 ;3 x 3x/(x)=0得x =3,故知函数/(x)在区间(0,3)上为减函数，在区间(3,+8)为增函数，在点x =3处有极小值l h i 3 0;又/(1)=,，/(e)=-1 o。3 3 e 3e6.(2 0 0 9江苏高考)函 数/(工)=/一1 5/-33%+6的 单 调 减 区 间 为.【解析】考查利用导数判断函数的单调性。/(%)=3x2-30%-3 3 =3(x-l l)(x +

4、1),由(%1 1)(%+1)0),讨论/(x)的单调性.x本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。本小题满分1 2 分。【解析】/(%)的定义域是(0,+o o),r(x)=i+4-T-2.x x x设 g(x)=f-a r +2,二次方程g(x)=0 的判别式 =/-8.当 A =a2-8 0,即0。0都有1(x)0,此时/(x)在(0,+8)上也是增函数.(3)当 =8 0,即 a 2 时，方程g(x)=0有两个不同的实根 -,x2=a+-,0 0,(i)讨 论 的 单 调 性；(I I)设a=3,求 在 区 间 1,炉|上的值

5、域。其中e=2.7 1 82 8是自然对数的底数。【解析】(1)由于/(x)=l +-r-(x 0)X X令 f =得y =2 at +l(f 0)x当 A =a 2-8W0,即 0 0 恒成立.二/(x)在(0,+8)上都是增函数.当 =/8 0,即 a2 5/2 时,a y jc i 8 c i +c i2 8由 2厂 0?+0 得 0 f -4 4a x/c t 8 a +q a2-80 x -或 x-2 2,7 ,o 4 i J q-_ 8 a+8 a -8 c i +y c i -8又由 2厂 a t +0 得-t -x -4 4 2 2综上当0aW 28 时，/(x)在(0,+8)

6、上是增函数.当a2 a时，f(x)在(a-J j-8,a +1 2 8)上是减函数，在(0,及(a+&/Y,上都是增函数.2 2(I I)当a =3时,由知f (x)在 1,2 上是减函数.在 2*2 上是增函数.2又/(1)=0,/(2)=2 3/2 0e 函数/(x)在 1 上的值域为2 31 n2,e 2 2 51 0.(2 0 0 9 福建高考)已知函数/*)=；/+2+以,且/,(一)=()(1)试用含a的代数式表示b,并求/(x)的单调区间；(2)令。=-1,设函数/(x)在玉,(玉 2)处取得极值，记点 M(%,/(X,),N(x,/(x2),P(),X?l 时，-2a 0恒成立

7、，且仅在x =1 处/(x)=0,故函数/(x)的单调增区间为R当。l时,函 数/(x)的单调增区间为(-8,1 2。)和(一1,+0 0),单调减区间为(1 一2%一1);当a =l 时，函数f(x)的单调增区间为R;当。0.g(2)=(?-2 03(-l)2+6-(/n2-4 4-4)03 7 7 12 6m-(m2 4m+4)0m-1 /n 2 或m 1,解得2 m -1又因为-1 用工3,所以m的取值范围为Q,3)从而满足题设条件的t的最小值为2.1 1.(2 0 0 9 福建高考)已知函数/(幻=；/+公 2+以,且/(1)=0(I)试用含。的代数式表示；(I I)求/(X)的单调区

8、间;(山)令。=一1,设函数/(x)在玉/2(王/)处取得极值，记点Ma ja j),),/。),证明:线段MN与曲线/(x)存在异于M、N 的公共点；【解析】解法一：(I)依题意，f x)=x2+2 a x+b由/，(1)=1 2 a+匕=0 得 b =2 a 1(I I )由(I)得/(%)=；/+。/+(2。忒故 f V)=x2+lax+2 q-1 =(x +l)(x +2 a-l)令/(x)=0,则 x =-l 或x =l-2 a当 a 1 时，1 2 a 1当X变化时，/(x)与“X)的变化情况如下表:X(-o o j-2 a)(-2 a,-1)(-1 +0 0)f x)+-4-/(

9、x)单调递增单调递减单调递增由此得，函数“X)的单调增区间为(一0 0,1 -2 a)和(一 1,+。),单调减区间为(1-2氏一1)由a=l时，l-2 a=1,此时，/(x)N 0恒成立，且仅在x =-l处/(x)=0,故函数/(x)的单调增区间为R当。1时，1一2。一1,同理可得函数/(x)的单调增区间为(8,-1)和(l 2 a,+o o),单调减区间为(-1,1-2 a)综上：当al时，函数f(x)的单调增区间为(o o,l 2 a)和(一1,+8),单调减区间为(1一2见一1);当a=l时，函数f(x)的单调增区间为R;当a 0,F(2)=-3 0,而Fx的图像在(0,2)内是一条连

10、续不断的曲线,故F(x)在(0,2)内存在零点5 ,这 表 明 线 段 与 曲 线/(x)有异于M,N的公共点解法二：(I)同解法一(n)同解法一.(III)当 4=1 时，2 d 2 m，+2 m -2 2|m +2mx。777 2i当且仅当2只=丁 时，|P Q/取得最小值，即|P Q|取得最小值及当机 0 时，y j(2 V 2 +2)m =V 2 解得 m =V 2 1当机 0,t nx =-2若2 0,k 1-,函 数y =/(x)-履 有 两 个 零 点mx_-2 1 4-4 m(l-k)即2(1-Q/=；k-l若 机 0,k 1-工(加0),或 k l 一!(m 0)的切线/“，

11、切 点 为 以%).(1)求数列 x“与 为 的通项公式；【解析】（1）设 直 线 小 y=h（x+1）,联立 2 x+丁=o得0+匕）x2+Qk：-2n）x+%=0，则 =（2%-2 n）2-4（1 +k：）k：=0,kn=.（-7-舍去）V 2 +1 V 2 +1 2 2k n c n-F=-F，即 Xn 二-1 +片（+l）2 +1+1n+1 尤=（X”+1）=(2)证 明：由于cos 冗，令/（x）=0,5得cosx=芋，给定区间(0,5),则有fx)0,则函数/(x)在(0,()上 单 调 递 减,/(x)/(0)=0,71 一,4、历sin x在(0,三)恒成立，又4即x 0,即/

12、a,此时方程a-+2bx+1 =0的根为_-2b-V 4/72-4 _-b-y b2-a _-2b+j4b2-4a _-b +y lb2-aX=X2=Z =2a a 2a a所以 f(x)=a(x-x1)(x-x2)当a 0时，所以/（X）在X i,X2处分别取得极大值和极小值.X(,X i)X l(X1,X2)M0,+8)，(x)+0-0+/(X)增函数极大值减函数极小值增函数当a a时，/*）取得极值.（2 便 使/（x）在区间（0,1 上单调递增，需使/（X）=+2 旅+1 2 0在（0,1 上恒成立.即2(0,1 恒成立，所以(-?-；)m a x2 2x 2 2 xaxJ a -U2

13、-)设 g(x)=_ 竺,g =-+-L =-2 2x 2 2x2 2x2令 g(x)=0 得 x =或 x =-(舍去),7a y!a当 a l 时,0 L 0,g(x)=-为单调增函数;a y ja 2 2x时,g(x)取得最大，最大值为g(-y=)=-.y J a当X (J r/时g(x)-4a当0 a W l时,一此时g 综上，当。1 时，b -4 a;当 0 -21 5.(2 0 0 9海南宁夏高考)已知函数/(x)=x 3 3以2(1)设4 =1,求函数/(X)的极值；(2)若a；,且当x e l,4 a时，2 a恒成立，试确定a的取值范围.【解析】(1)当a=l时，对函数/a)求

14、导数，得f x)=3x2-6x-9.令 f(x)=0,解得玉=I,%2 =3.列表讨论/(x)J(x)的变化情况：X(-0 0,-1)-1(-1,3)3(3,+8)r(x)+00+/(x)极大值6极小值-2 6所以，/(X)的极大值是/(1)=6,极小值是/(3)=2 6.(2)f(x)=3/一6ax-9/的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称.若 a 4 1,则/(X)在 1,4 a上是增函数，从而4/(X)在 1,4 a上的最小值是/=3-6。一9。2,最大值是/(4 0)=1 5/.由|/(1)区 1 2。,得一 1 2 3 x2-6 a x-9 a2 -1 2 a,H/(4 )=

15、1 5 a2-1 2 a W-a 1,由f (4。)1 2 a 得 0 al,则|f(a)=1 2 a2 1 2 a.故当xe 1,4 a时|/(x)|6.【解析】(I )当。=6=3时,f(x)=(x3+3x2-3x-3)e-x,故f x)=-(I +3X2-3 x-3)e-x+(3 x2+6 x-3)e-x=-e x(x3-9x)=-x(x -3)(x +3)e x当 x 3或 0 x 0;当一3 x 3时,f(x)0.从而/(x)在(-00,-3),(0,3)单 调 增 加，在(3,0),+8)单调减少.(I I)f(x)=-(x3+3 x2+ax +b)e x+(3x2+6x +a)e

16、 x=-e s xi+(a-()x +b-d.由条件得：/(2)=0,即23+2(a-6)+b a=0,故b=4 -a,从而f x)=-e x x3+(a-6)x+4-2 a.因为尸(a)=/5)=0,所以x3+(a-6)x +4-2 a=(x-2)(x-a)(x-)=(x-2)(x2 (a+B)x +a。).将右边展开，与左边比较系数得，。+夕=一2,幼=。-2.故p-a=J(/?+a)2 -4a/3=J 1 2-4 q.又(尸-2)(-2)0,即 a/?-2(a+/?)+4 0.由此可得。6.1 7 .(2 0 0 9浙 江 高 考)已 知 函 数/(%)=/一(/一 上+)/+5%-2,

17、g(x)=k2x2+k x +19其中左EK.(I)设函数p(x)=/(x)+g(x).若p(x)在区间(0,3)上不单调,求一的取值范围;(I I)设函数q(x)=是否存在k,对任意给定的非零实数玉，存在惟一的非零实数超f(x x Q.(马。/)，使得/()=/(%)成立？若存在，求攵的值；若不存在，请说明理由.【解析】(I)因尸(x)=/(x)+g(x)=d+(攵-l)x2+(Z +5)一1,p(x)=3 x2+2(攵-1)/+(2+5),因p(x)在区间(0,3)上下单那.所以(x)=0在(0,3)恒成立，由 p x)=0#k(2x+1)=-(3 x2-2x+5),:.k =-1*2 2

18、；+5)=_(2X+I)+2 9 一?,令/=2 无+1,有/w(l,7),彳 己 =r+2,则a在(1,3 上单调递减，在3,7)上单调递增，所以有/?(f)e 6,1 0),于是(2 x +l)+六 6,1 0),得k e(5,-2，而当k =-2时有p(x)=0在(0,3)上有两个相等的实根x =1,故舍去，所以k e (-5,-2);(I I)当 x 0 时有，(x)=/(x)=3 x2-2(二一左+0时，q(x)在(0,+o o)上单调递增，所以要使(7()=q(x j成立，只能彳2 0且因此有左2 5,(过)当 事 0且因此k W 5,综 合(i )(i i )k=5;当火=5 时

19、 A=B,则 VX|0,使 得/(乙)=/(玉)成立，因为 q(x)在(0,+)上单调递增，所以的值是唯一的；所以V X )=/+(1 a)？a(a+2)x +/?(a,b R).(I)若函数/(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是-3,求凡6的值；(I I)若函数/(x)在区间(-1,1)上不单调，求。的取值范围.【解析】(I )由题意 得/(x)=3 X 2+2(1 a)x a(a +2)又 严)。f(0)=-a(a+2)=-3解得 b-0,a =3 或。=1(I I)函数/(x)在区间(-1,1)不单调，等价于导 函 数/(x)在(-1,1)既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数

20、即函数尸(x)在(-1,1)上存在零点，根据零点存在定理，有尸(一1)/(1)0，即：3 +2(l-a)-a(+2)3-2(l-)-a(a +2)0整理得：(a +5)(a +l)(a 1产 0,解得5a 阿()=3 e.所以曲线y =/(x)在点(1,/。)处 的 切 线 的 斜 率 为3 e.(n )/(x)=x)+(a+2)x-2a2+4 a e;2=0,解 彳 导x=2 a,=a 2.由a 5t 知,一2 a 工 a 2.以下分两种情况讨论。2(1)若a -,则一 2 a 。一2,当工变化时，/*(%),/(x)的变化情况如下表:X(-c o,a-2)a 2(a -2,-2a)-2。(

21、-2a,+oo)八X)+00+/(X)7极大值极小值7所以/(x)在(-00,。-2),(-2 ,+00)内 是 增 函 数，在2,-2 a)内 是 减 函 数。函数f(x)在x=。一 2处取得极大值f(a -2),月/伍 一 2)=(4 3a)ea-2.函数/(x)在x=-2处取得极小值/(-2 a),且/(-2 a)=3四口.20.(2009天津高考)设函数/(工)=一；/+/+(加2一)儿(&)其中?0(I )当机=1时，求曲线，=/(x)在 点(1,f(1)处的切线斜率(I I )求函数的单调区间与极值；(HI)已知函数/)有三个互不相同的零点0,x,x2,且为2。若对任意的工 七,，

22、/(x)/(l)恒成立，求m的取值范围。【解析】当，=1 时，f(x)=-xi+x2,f(x)=-x2+2x,f(1)=l所以曲线y =/(x)在 点(1,f(1)处的切线斜率为1.(2)解：f(X)=-X2 4-2 x4-/7?2-1,令/(1)=0,得到x=l-m或x=l +m因为机 0,所以1 +根 1 一 2当X变化时，f(x),/(x)的变化情况如下表：X(-oo,l-m)1-m(1 -m,l+m)1 +机(1 +7,+00)fM-0+0-/(x)极小值Z极大值/(X)在(一8,1 -m)和(1 +2,+8)内减函数，在(1一九1 +4)内增函数。2 1函数/*)在x=l +m处取得

23、极大值/(I +m),且/(I +m)=my+m2-2 i函数/(x)在 x=1 一机处取得极小值/(I 一 m),JL/(1 -m)=-y/?23+m1-解:由 题 设，m)=#+X+/_ l)=_$(f )(2)1 4所以方程x?+x+-1 =0 由两个相异的实根X ,9又X +工2 =3，且A 1 +1)0,解得加 2 23因为X v 4，所以2/占+=3,故Z 1若 再 41,贝叶=；(l xJ(l X 2)Z 0,而/但)=0,不合题意若 1 玉 1 2,则对任意的x e 不，有 工 一 0,x-x2 /恒成立的充要条件是/(1)=22-0，解得，机 1 2(1)讨论函数/(x)的单

24、调性；(2)证明：若 a 一1。须-x2【解析】/的 定 义 域 为(0,+8)。/(X)=x-a +-=X-+T=&T)(x +j).2 分X X X(i)若。1 =1 即。=2,则故/(x)在(0,+oo)单调递增。(ii)若一1 1,而a1,故则当 x(a-l,l)时，/(x)0故/*)在(a-1,1)单调递减，在(0,。一 1),(1,+8)单调增加。(iii)若 a -1 1,即a 2,同理可得/*)在(1,a -1)单调递减，在(0,l),(a-l,+oo)单调增加.(H)考虑函数 g(x)=f(x)+x1 .=x-a x 4-(c i -1)I n x 4-x则 g(x)=x-(

25、a-l)+-2 J x 尚-(a-l)=l-(L-l -1)2x由 于la 0,即g(x)在(4,+8)单调增加，从而当%20时有g(xJ-g(X 2)0,即/(%,)-/(x2)+%-x2 0，故*)_,当 0 玉 苫2 时，有&-/(玉)-/()入 1.2 分玉-x2 x2-X 12 2.(2 009辽宁高考)设/(x)=(2+x+l),且曲线y=f (x)在x=1处的切线与x轴平行。(I)求a的值，并讨论f (x)的单调性；(I I)证明：当6 w0,自时,|f(c os 6)-f(s i n创 2【解析】(I )/(x)=(a x2+x+l +2 a x+l)由条件知，/=0,故a +

26、3 +2 a =0 na=-l.2分于 是/(x)=e(Y-x+2)=-e(x+2)(x-l).故当 xw(oo,2)u(l,+oo)时，f x)0.从而/*)在(8,-2),(1,+8)单调递减，在(2,1)单调增加.6分(H )由(I )知/(尤)在 0,1 单调增加,故/(X)在 0,1 的最大值为。(l)=e,最小值为/(0)=1从而对任意玉，x2e 0,l ,有|/(须)区6-1 2.1 0分7 T而当。，万 时，c os s i n0 e 0,1 .从而|/(c os O)-/(s i n )|223.(2009全国高考)设函数)=/+3版2+3 5有两个极值点玉、x2,且王 -1

27、,0,(I)求 氏c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点(仇c)的区域；(I I)证明：1 0 W/(z)W g【解析】(I)这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。大部分考生有思路并能够得分。:(可=3/+6区+3。由题意知方程/(x)=0有两个才 艮X、x2字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标/（）=X：+3笈2,+3 c/中的（如果 消c会较繁琐）再利用的范围，并借助（I）中的约束条件得。-2,0进而求解，有较强的技巧性。证明：由题意有了（尢2）=3 1 2?+6 2+3 c =0.又/（尤 2）=+3 X22+3CX2.1消

28、去匕可得/（）=又X-）G 1,2,且c G 2,0 1 0 0得-；2 2令 r（x）。得*-或 o x 2 2因此，/（*）在区间（-如,0）和（匹,+8）为增函数；在区间（-00,-诬）和（0,诬）为减函数。2 2 2 2（I I ）设点P（x0,f（x0）,由I过原点知，/的方程为y =f（x0）x,因此/（X o）=/（X o）x,即x：-3 x：+6-X o（4 x；-6 x（,）=0,整理得(x：+l)(x；-2)=0,解得 x0=-V2 或=V2 o所以的方程为y=一 J ix或y=41x25.(2009全国H)设函数=+。0(1+x)有两个极值点玉、x2,且玉 _i)l+X

29、14-X令g(x)=2+2x+，其对称轴为x=-；。由题意知王、是方程g(x)=。的两个均大于一1的不相等的实根，其充要条件为 ，得0a0 2当天(一1,网)时，/(X)(),./(X)在 内 为 增 函 数；当工(王，/2)时，r(x)0,:./(X)在(9+8)内为增函数；(II)方法一：由(I)g(0)=a 0,.-g x2 -；),则(x)=2x-2(2x+l)/n(l+x)-2x=-2(2x+l)ln(1+x)当x e(；,0)时，1(力 0,二/1(乃 在 -3,0)内单调递增；当 xe(0,+oo)时，h(x)1?2 方法二：因为无2=-所以设%(。)=f(X2)=则=缶暮一际(

30、aE+1)4,J1 24+1+l n-221 Jl -2 4-1 1 1 +1=In-T l n 24 4c1 N ,9f (x)=x(1+a)x+4ax+24a26.(20 0 9全国H)设函数 3,其中常数a l(I)讨论f(x)的单调性；(H)若当x N O时，f(x)0恒成立，求a的取值范围。【解析】(I)/(x)=x2-2(1 +a)x+4a =(x -2)(x 2a)由。1知，当x Q,故/(x)在区间(8,2)是增函数;当2 x 2 a时，/(x)2 a时，f x)0,故/(x)在区间(2a,+o o)是增函数。综上，当。1时，/(x)在区间(-8,2)和Q a,+Q O)内是增

31、函数，在区间(2,2a)内是减函数。(II)由(I)知，当x?0时，/(x)在x =2。或x =0处取得最小值。/(2a)=(2a)3-(1 +0(2 4 +4a-2a+24a4=a3+4a2+24。3/(0)=24(.a 1,a 14由假设知 0,即 0,解得 la 0.故。的 取 值 范 围 是(1,6 )27.(20 0 9北京高 考)设函数/(x)=x*(A w O)(I )求曲线y =/(x)在点(0,/(0)处的切线方程;(D)求函数/(x)的单调区间；(HI)若函数/(x)在区间(-1,1)内单调递增，求k的取值范围.【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等

32、基础知识，考查综合分析和解决问题的能力.(I)/(力=。+履)/，(0)=1 (0)=0,曲线y =/(x)在点(0,7(0)处的切线方程为y =x.(II)由 f(x)=(l +依)*=0,得 x =-4 H 0),k若%0,则当x e 1-0 0,-：时，/(x)0,函数/(x)单调递增，若左 0,函数/(x)单调递增，当x w(-：,+o o J时，/(x)0,则当且仅当1,k即攵w i时，函数x)在(1,1)内单调递增，若攵o,则当且仅当1之1,k即 心 一1时，函数“X)在(一1,1)内单调递增，综上可知，函数”X)在(-1,1)内单调递增时，攵的取值范围是 1,0)1 1(0.28

33、.(20 0 9 北京高考)设函数/(x)=x 3 3a x +b(a w 0).(I)若曲线y =/(x)在点(2,/(x)处与直线y =8相切，求凡的值；(D)求函数/*)的单调区间与极值点.【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力.(I )/(x)=3x2-3a,V曲线)，=f(x)在点(2,/(幻)处与直线y=8相切,.f(2)=0 13(4-Q)=0 JQ=4,-2)=8 18-6。+6=8 伍=24.(II)/(x)=3(/_ a)(w0),当Q O,函数/(X)在(-8,+8)上单调递增,此时函数/(X)没有极值点.当

34、Q 0 时，由/(X)=0=尤=y a,当了4一8,一五)时，/(X)0,函数/(X)单调递增，当天(一右,五)时，/(%)0,函数/(x)单调递增，此时x -4 a是/(x)的极大值点，x -4 a是/(x)的极小值点.29.(2009湖北高考)已知关于x 的函数f(x)=-；,/+bx?+cx+bc,其导函数为尸(x).令g(x)=I f (x)I ,记函数g(x)在区间-1,1上的最大值为M.4(1)如果函数1)在乂=1 处 有 极 值-,试 确 定 b、c 的值：3(II)若 I b|1,证明对任意的c,都 有 M2:(ID)若 mK 对任意的b、c 恒成立，试 求 k 的最大值。4【

35、解析】(I)解：:f x)=-x2+2bx +c ,由/(x)在工=1处有极值一/=-l+2b+c=0可得|1 4/(l)=-+/?+C +/?C =-yA解 彳_寸 俗=1，或上仿=Tc=-1 c =3若=l,c=-l,则 f x)-x2 4-2x 1 =-(x-1)2 1时，函数y =/(x)的对称轴x =力位于区间-1.1 之外。.-./V)在-1,1 上的最值在两端点处取得故M应是g(-1)和g 中较大的一个2 M g(l)+g(-l)=|-l +2b +c|+|-l-2f e +c|4b|4,即 M2证 法2(反证法)：因为|包1,所以函数y =/(x)的对称轴x =位 于 区 间

36、之 外,.-./(X)在-1,1 上的最值在两端点处取得。故M应是g(-1)和g 中较大的一个假设M 2,则g(-l)=l-l-2b+c l|-l-2 b +c|+|-l+2 b +c|4|Z|4,导致矛盾，.M2(印)解法 1:g(x)=|f(x)|=|-(x-b)2+b2+c(1)当|b|l 时，由(I I )可知M2;(2)当|匕区1时，函数y =/(x )的对称轴x =位于区间 1,1 内，此时 M=m a x g(-l),g(l),g(b)由/,(l)-尸(-1)=4人 有 尸 -f(+l)=(b l)2若1 V b V 0,则/(1)f-)f b g(1)m a x g(l),g(

37、b),于是 M =m a x|/I,|/(A)|2 ；(|/|+/(A)I)N ；|/9)|=；3 g若 0 b W1,则/(1)K /f h),g|(l/(-DI +l/W|)|/(-D-/S)|=+1)2 1综上，对任意的6、c都有M N，2而当b =O,c =g时，g(x)=-x2+l在区间 一1,1 上的最大值M =i故M N k对任意的b、c恒成立的k的最大值为2解法 2：g(x)=|f(%)|=|-(x-b)2+b2+c(1)当|。|1 时，由(I I )可知M2;(2)当区1时，函数y =/(x)的对称轴x =6位于区间 一1,1 内，此时 M =m a x g(l),g(l),

38、g(b)4 M g(-l)+g(l)+2 g(/?)=-1-2b+c +-+2b+c +2 b2+c -l-2b+c +(-+2b+c)-2(h2+c)|=|2h2+2 2,即 M下同解法13 0.(2 0 0 9湖南高考)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距?米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为2 5 6万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2 +J7)x万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万兀。(I )试写出j关于x的函数关系式；n)当机=6 4 0米时，需新建多少个桥墩才能使)，最小？【解

39、析】(I )设需要新建个桥墩，(+l)x =优，即n=1x所以 y=f (x)=2 5 6 n+(n+l)(2+Vx)x=2 5 6(-1)+(2 +Vx)xx x2 5 6 m -_”，=-+my/x +2m-2 5 6.x(I D 由(I)知，/*)=上2 5 6学/?2 +上1 加X-2 =2m -7a2 5 1 2).X 2 2x3令 尸(x)=o,得/=512,所以x=6 4当0 v x 6 4时/(x)0,在 区 间(0,6 4)内为减函数；当6 4 V x 0./*)在 区 间(6 4,6 4 0)内为增函数,所以/(x)在 x =6 4 处取得最小值，此时，n=-1 =-1 =

40、9.x 6 4故需新建9 个桥墩才能使y最小。3 1.(2 0 0 9 湖 南 高 考)已 知 函 数/(外=/+。/+5 的导函数的图象关于直线乂=2 对称.(I )求 b的值；(H)若/(x)在 x =f 处取得最小值，记此极小值为g ),求 g。)的定义域和值域。【解析】(I )/(口=3/+2 必+。.因为函数/0)的图象关于直线乂=2 对称，所以二=2,于是。=6.6(I I)由(I)知，/(x)=d 6/+C X,/V)=3 x2-1 2 x +c =3(x-2)2+c-1 2.(i)当c 2 1 2 时，f(x)0,此时/(x)无极值。(ii)当 c 1 2 时，/(x)=0 有

41、两个互异实根X 1,9.不妨设芭 X 2，则，者 2%2.当 X 0 ,/(x)在区间(一 8,为)内为增函数；当X 1 X X 2 时，f(x)/(x)在区间(须,工2)内为减函数；当了了2 时，f(x)0 ,/(X)在区间(了2,+8)内为增函数.所以/(X)在 X =X 1 处取极大值，在 X =*2 处取极小值.因此，当且仅当c 2 时,g。)=6 产 +1 2/=6/(2-r)0,求不等式/+Ml -x)f(x)0的解集.I 1 r _i【解析】(1)=上/=，由/(x)=0,得 x =l.XXX因 为 当 x0 时,/(x)0;当 0 x l 时,f(x)0,X X得:(;t-l)

42、(fcr-l)0.故：当0(左1时，解集是：x l x：;当 攵=1时，解集是：0；当 攵 1时，解集是：x L x|工2+6%心(1)对于任意实数X,广(幻2加恒成立，求 机 的最大值；(2)若 方 程/(幻=0有且仅有一个实根，求Q的取值范围.解 析 /(工)=3工2_9/+6=3(1_1)(1_2),因为 XE(-8,+8),/(x)2机，即 3-9x+(6-小)N 0 恒成立，3 3所 以=81-12(6-2)0,得加工，即加的最大值为4 4(2)因为 当1 0;当 l x 2时，/(x)2 时，f (x)0;所以 当x=l时,/*)取 极 大 值/(l)=|-a;当x=2时,/(乃

43、初 小 值/(2)=2-a;故当/(2)0或/(1)0时，方程/(x)=0仅有一个实根.解得a g.1 X34.(2009陕西高考)已知函数/(x)=ln(ax+l)+,x 0,其中。01 +x(I)若/(x)在x=l处取得极值，求a的值；(0)求/(x)的单调区间；(皿)若/(x)的最小值为1,求a的取值范围。【解析】(I)/(x)=-=+2,ax+(1+x)(ax+l)(l+x).,/*)在*=1处取得极值，二/(1)=0,即。F+4 2 =0,解得a=L(I I )/(x)=-+*，x20,a0,.皿+l 0.(ax +l)(l+x)当a 2 2时，在区间(0,+o o)上，/(x)0,

44、./(x)的单调增区间为(0,+o o).当0a、因 工 由 八x)0解得x 、任 父V a V a./(X)的单 调 减 区 间 为(0,1巨),单 调 增 区 间 为(.+0 0).V a V a(H I)当a 22时，由(II)/(幻的最小值为/(0)=1；当0a 2时，由(H)知，/(x)在x =三 处 取 得 最 小 值=)/(0)=1,V a V a综上可知，若/(x)得最小值为1,则a的取值范围是 2,+8).3 5.(2 0 0 9陕西高考)已知函数/(x)=x 3 3 ax 1,“工0(I)求/*)的单调区间；(I I)若f(x)在x =-1处取得极值，直线y=m与y =f(

45、x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。【解析】(1)/(x)=3 x2-3 a=3(x2-a),当 a 0 时，对 xe R,有了(x)0,所以当a 0 时，由/(x)0解得x一 或x 由/(%)0解得-&x 0时，/(x)的单调增区间为(-o o,-J 7),(J Z,+o o);/(x)的单调减区间为。(2)因为/(x)在x =-l处取得极大值，所以 1)=3 x(l)2 -3。=0,:.a=1.所以/(x)=x3-3x-l,f x)=3x2-3,由/(x)=0 解得玉=-l,x2=1.由(1)中/(X)的单调性可知，X)在x =1处取得极大值/(-1)=1,在x =l处 取 得 极

46、 小 值/(1)=一3 .因为直线y =m与 函 数y =/(x)的图象有三个不同的交点，又/(-3)=-1 9 1，结合/(x)的单调性可知，加的取值范围是(-3,1)。3 6.(2 0 0 9四川高考)已知a 0,且函数己(x)=lo g,(l-优)。(I)求函数/(x)的定义域，并判断了(x)的单调性；(I I)若 eN*,求 li m-;f”a+a(I I I)当a=e(e为自然对数的底数)时，设/?(x)=一?+1),若函数*)的极值存在，求实数机的取值范围以及函数/2(X)的极值。【解析】(I )由题意知1 优 0当0。1时，/(x)的 定 义 域 是(-0 0,0)a(、-ax

47、I n a axf(x)=工g o g“e=E当0 a l时，X(0,+0 0).因为优一1 0,故？&)0,所 以f(x)是减函数当a1时，x w(-0 0,0),因 为 优-1 0,诡 0,故f (x)0,所以/(x)是 减 函 数.(4分)(n )因为/()=lo g (l-d),所以a )=l-a由 函 数 定 义 域 知 因 为n是正整数，故0 al./(n)1一罐 1所以 h m-=li m-=(H I)h(x)=e x2-m +l)(x 0,即m 0 当m=0时，()=0有实根x =l ,在x =1点左右两侧均有(x)0故无极值 当0 加/m当x变化时，h x)./z(x)的变化

48、情况如下表所示:X(-8,/)玉(占%(工2,0)h x)+0-0+h(x)/极大值X极小值/i(x)的极大值为2 e-i一 厢(1 +J而，(x)的极小值为2/+而Q-金)当?之1时，(x)=0在定义域内有一个实根，x-4 m同上可得力(x)的极大值为2 e+而(1 +赤)综上所述，m (0,+8)时，函数/z(x)有极值；当0?1时h(x)的极大值为2 e+而(1 +诟)，h(x)的极小值为2/+0(1 诟)当时，6(x)的极大值为2 诟(1+诟)3 7.(2 0 0 9四 川 高 考)已 知 函 数 X)=/+2版2+5-2的 图 象 在 与X轴交点处的切线方程是y=5 x-1 0 o(

49、I)求 函 数 的 解 析 式；(I I)设函数g(x)=/(x)+；n u,若g(x)的极值存在，求实数m的取值范围以及函数g(x)取得极值时对应的自变量x的值.【解析】(I)由已知，切点为(2,0),故有/(2)=0,即4 6+c+3 =0f x)=3x2+4bx +c,由已知/(2)=1 2 +8/?+c=5得 8/?+c+7 =0 联立，解得匕=一1,。=1.所以函数的解析式为/()=工3-2/+X一2 .4分(I I)因为 g(x)=/-2/+x-2 +mx gx)=3x2-4 1 +1 +；加=0当函数有极值时，则 (),方程3/-4 x +l +,?=0有实数解，3由A=4(1一

50、m)2 0,#m 0,故函数g(x)无极值当机 o)在 苫=0处取得极值，且曲线y =/(x)在点(1,/(1)处的切线垂直于直线x +2 y +1 =0 .(I )求a,一的值;(H)若函数g(x)=-,讨论g(x)的单调性./(x)【解析】(I )因/(%)=ax?+0 +&(&=2 ar+6又/(x)在x=0处取得极限值，故ff(x)-0,从而b=0由曲线y=/(x)在(1,f(1)处的切线与直线x-2 y+1 =0相互垂直可知该切线斜率为2,即/=2,有2 a=2,从而a=l(n)由(I)知，g(x)=(k o)X+k，/、2 x+k)n g(x)=+*。)令g(x)=0,有x?-2x