常微分方程(第三版)课后习题答案.pdf

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1、常微分方程(第三版)王高雄著课后习题答案习 题 1.21.=2x y,并满足初始条件：x=O,y=l的特解。ax解：=2x dx 两边积分有：ln|y|=x2+cyy=ex2+e=cex2另外y=0 也是原方程的解，c=0 时，y=0原方程的通解为y=cex2,x=0 y=l时 c=l特解为y=e.2.y2 dx+(x+l)dy=O并求满足初始条件：x=0,y=l的特解。解：y2 dx=-(x+l)dy乌 dy=，dx两边积分：-L=T n|x+l|+ln|c|y=-y In I c(x +1)I另外y=0,x=-l也是原方程的解 x=0,y=l时 c=e特解：y=In I c(x+1)Idy

2、 _ 1+y2dx xy+x3y解：原方程为：虫=虫:一Ldx y x+x两边积分：x(l+x2)(l+y2)=cx24.(1+x)y dx+(l-y)x dy=O解：原方程为：匕 d y=-3 d x两边积分：In|x y|+x-y=c另 外 x=0,y=0 也是原方程的解。5.(y+x)dy+(x-y)dx=O解：原方程为：d y _ x-yd x x +y.y ,d y d u 八、4令二二u 则=u+x 一代入有：x d x d x +1,1 i-du=dx+1 xIn (u2+1)x2=c-2a rctg u即 In (y2+x2)=c-2a rctg .x6.x -y+J x2-y

3、2=0d x解：原方程为：-J l-(2)2d x x x xe 人)d y d u贝I I令J=u =u+x x d x d x/1 du=s g n x dx7 1-M2 Xa rcs i n =s g n x ln|x|+cx7.tg y dx-ctg x dy=0解:原方程为:d y _ d xt gy c t gx两边积分：In|s i n y|=-ln|co s x|-In|c|1 cs i n y=-=-另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.cco s x co s x所以原方程的通解为s i n y co s x=c.解：原方程为：二-e d x y2 e3 v-3e-

4、y 2=c.9.x(ln x-ln y)dy-y dx=0解：原方程为：=In d x x x人 y d y d u令二=u，贝I)Q-=u+x x d x d xd u iu+x =uln ud xIn(ln u-1)=-ln|ex|y1+ln -=cy.x10-铝x-y解：原方程为：虫=e ed xe =ce1 1组(x+标d x解：令x+y=u,则 立=也 Td x d xd u 2-l=ud x-du=dxl+2a rctg u=x+ca rctg(x+y)=x+c12的 _ 1d x(x+y)2解：令x+y=u,则 虫 二 色 Td x d xd u y 1一T二 二d x uu-a

5、 rctg u=x+cy-a rctg(x+y)=c.d y _2 x-y +li o.-d x x 2y +1解：原方程为：(x-2y+l)dy=(2x-y+l)dxx dy+y dx-(2y-l)dy-(2x+l)dx=0dx y-d(y2-y)-dx2+x=cx y-y -+y-x -x=c1 4;型=一+5d x x-y-2解：原方程为：(x-y-2)dy=(x-y+5)dxx dy+y dx-(y+2)dy-(x+5)dx=01 0 1 0dx y-d(y2+2y)-d(x2+5x)=02 2y2+4y+x2+10 x-2x y=c.15:=(x+l)2+(4y+l)2+8 x y+

6、ld x解：原方程为：=(x+4y)2+3d x.,.d y d u 1令 x+4y=u 贝!J =-一 一dx 4 dx 41 d u 1 2 c-u-+34 dx 4d u A 2 1 c一=4 u+13d x3.、u=tg(6x+c)-l2tg(6x+c)=(x+4y+l).316:证 明 方 程 土 立=f(x y),经变换x y=u可化为变量分离方程，并由此求下列方程:y a x1)y (1+x2 y2)dx=x dy2)d y _2+x2 y2y d x 2-x2y2证明：令 x y=u,贝!x+y=d x d xn d y 1 d u u -贝一二一二一二,有：d x x d x

7、 xx d u“、-=f(u)+lu d x-du=dxw(/(w)+l)x所以原方程可化为变量分离方程。、人 d y 1 d u u 八、1)令 x y=u 贝 =-(1)d x x d x x原方程可化为：虫=2 l+(x y)2 (2)d x x将1代入2式有：-4 =-(l+u2)x d x x xu=-Ju2+2 +cx17.求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。解：设(x +y )为所求曲线上任意一点，则切线方程为：尸y (x-x )+y则与x轴，y轴交点分别为：x=x 0 -=y=y0-xo y，y贝 ij x=2 x0=x0-所以 x y=cVT T18.求曲

8、线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程，其 中 二 二 土。4v 1 1解：由题意得：y =dy=-dxx y xln|y|=ln|x c|y=cx.a =则 y=tg a x 所以 c=l y=x.419.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。证明：设(x,y)为所求曲线上的任意一点，则 y，二 kx则:y=kx2+c 即为所求。常微分方程习题2.11.=2孙，并求满足初始条件：x=0,y=l的特解.d x解：对原式进行变量分离得12d y=2x d x ,两边同时积分得：In +c,即y =c 夕 把冗=0,y =1代入得yc=1,故 它 的 特 解 为y=o2

9、2.y dx +(x +l)dy =0,并求满足初始条件：x=0,y=l的特解.解：对原式进行变量分离得：-!一力;二 办当下。0 时，两边同时积分得;ln|x +=,+c,即y =-1x +1 y y c+ln|x +l|当y =0 时 显 然 也 是 原 方 程 的 解。当1=0/=1时，代入式子得c=L 故特解是1)1 +ln|l+x 2&d y _ 1 +3 =-5-d x x y +x-y解:原式可化为:?=上 上 一 显 然 上 二丰0,故分离变量 得 上 )，=dx y x+x y i+y x+xj 2 1 2 o o两边积分得上ln l+y=ln|x|-2 ln l+一 +也卜

10、卜w 0),即(1+)(1 +1一)=。工 一故原方程的解为(1+丫2)(1+12)=0%25:(y+x)dy+(y-x)dx=0A7Jdy y-x A y dy dudx y+x x dx dxmti du +1 +日八F zpi +1 .1 ,则 +x =-，变里分离，得：-d u-d xdx u+l +1 x两边积分得：arctgu+J n(l+/)=-1中|+c。解：令2 =“,y=虫=+X，则原方程化为:x dx dxdudx正记Q,分离变量得:r-1du=sgnx-dx*x两边积分得:arcsin”=sgn x ln|x|+c代回原来变量，得 arcsin =sgn x Inlxl

11、+cx另外,y2=也是方程的解。7：tgydx-ctgxdy=0解：变量分离，得：ctgydy=tgxdx两边积分得：1小 缶=-ln|cos x+c.y+3x8也=_ Jdx y解：变量分离，得 上 力=-!/*+cy 3e9:x(ln x-In y)dy-ydx=0解：方程可变为：-In上 dy-2 dx=0 x x令w 二),则有：,4犬二-d In wx x 1 +low代回原变量得：cy=l+In ox10：包=e”d x匕解：变量分离e dy=e dx两边积分c=+c4:(1+x)yd x+(1-y)x d y=0解：由y =0或x =0是方程的解，当孙n 0时，变量分离公=上2办

12、，=0%y两边积分 1中|+1+1力|-丁=c,B|J ln|x y|+x-y-c,故原方程的解为1由=%-y =c;y =0;x =0.dy _ x-y而 二e解：变量分离,e d y=e d x两边积分得：/=e +c噂=0+解：令x +y =f，则 生=包+1d x d x原方程可变为:包=3 +1d x f变量分离得:，一力=d x,两边积分a rcfg f=x +ct+1代回变量得：a r c t g(x +y)=x +c12.空=!_d x(x +y)解令X+y =3则虫=包一1,原方程可变为包=1+1d x d x d x t变量分离V-d t =d x,两边积分f-。*侬=1+

13、c,代回变量t+1x +y-a r c t g(x+y)=x +c13.包=2 x 7-1d x x 2y +1解：方程组2%-y _ 1 =0,x-2y+1 =0;的解为x =g人 V 1 v 1 h i H d Y 2 X-Y,令 x =x ,y=y+,则有=-3 3 d X X-2 Y2令上=u,则方程可化为：X丝=2-2U+2 sX变量分离d X1-2(71/d y _x-y +5d x x-y-2解：令X y=5=f，则 包=1 生，d x d x原方程化为：1 -包=上一,变量分离(f-7)力-Id xd x t 7两边积分=-l x +c、.1 2代回变量(x y+5)-7(x-

14、y+5)=-7 x +c.虫=(x +l/+(4y +l)2+8 x y +115.d x解：方程化为也=/+2x +l +16y2+8 y+1 +8盯+1 =(x +4y+1y +2d x令l +x +4y =”，则关于x求导得1 +4立=包，所以!也=/+?,d x d x 4 d x 4分离变量一 d u =d x,两边积分得c g(2+2x H y)6x +c,z t；4M2+9 3 3 3原方程的解。d y _ y6-2x2d x 2x y5+x2y2d y(y3)2-2x2 d y3 3(/)2-2X2川 华:-=-=-d x y2(2x y3+x2 d x 2x y3+x2令y

15、3=，则原方程化为3M2 _6包=3Q_6f=工 _,这 是 齐 次 方 程d x 2x u+x 2 +x-=z，则 包=z +x玄，所以=z +x立，x =Z Z6,.(1)x d x d x 2z +1 d x d x 2z +1当3 -z-6=0,得z =3或z =-2是 方程的解。即V=3 x或y 3=2x是方程的解。当z z-6 K o时，变量分离j+l_ 火=L d x,两边积分的(z-3)7(z +2)3=x5c,z-z-d x即(y 33x)7(y+2x)3=/c,又因为y 3=3x或y 3=2x包含在通解中当c=0时。故原方程的解为(V 3x)7 (V +2x)3=/5c17

16、 办 _ 2x3+xd x 3x2y+2y3-y令解:原方程化为先慈花邛吟=含1言令则齐黑合一(1)方程组2v 4-3w 4-1 =03v+2w -1 =0的解为(b-1);令Z =v 1,y =+1,则有2+3 2z +=,从而方程 化为=工3 z +2y =0 以 3 +2)z人 y nni-z r d y d t 山 2 d t 2+3/d t 2-2t2令t =，则有=E +z ,，所以f +z =-,，z=-z d z d z d z 3 +2/d z 3 +2r当 2-2 d =0时，即 力=1,是方程(2)的解。得V=/一2或V=一/是原方程的解 当2-2 N0时，分 离 变 量

17、 得 言 力=_1以两边积分的/+/=(/_ 左2+2孔另外/=/-2,或 2=/,包含在其通解中，故原方程的解为 2+/=(2一/+2)5,1 8.土 =半=/(盯)xy=uy axl.y(l+/y 2)d x =xdyxdy _ 2+x2y2？区二三再证明：因为x y =u,关于x求导导得丫+*曳=，所 以*包=生-yd x d x d x d x得:兰J=f(u),d：=P(f(u)+l)=L(uf(u)+u)y d x d x =y(i(u)4-l)x x故此方程为此方程为变程。解(1):当x=0或y =0是原方程的解，当x y w O s时，方程化为 苴=1 +x?/y d x 令x

18、 y =u,则方程化为业=，(2u+u，变量分离得：一=-d xd x x 2u+u x2 2两边同时积分得:一P =c x4,即 =c x 1 y =o也包含在此通解中。U +2 X y+22故原方程的解为原卫一=CX2,X=0.x2y+2(2)x y =ud u 1 /2+-、1 4 =(-f+)=-7d x x 2-u x 2-u-d u=-d x4M x用工cW 4x1 9 .已知f(x)J/(x)力=l,x w 0,试求函数f(x)的一般表达式.o解：设f(x)=y,则原方程化为y(x)d f=；两边求导得)一一了，-y3=%；d x =-S；两边积分得x+/；所以i忌7把y =-j

19、=J=:代入=y/2x+c*y士=dt=J 2x +c;(+c yc)=J 2x +c得c=0,所以y i tc20.求具有性质x(t+s)=A )+X(s)的函数x(t),已知x (0)存在。1 -x(f)x(s)解：令 3。X（0）=*=匚瑞6若 x（”。得 x 2 一 矛 盾。小八，/、，x(t+Ar)-x(t)所以 x(0)=0.x，(t)=l im-tl i mx(Ar)(l+x2(r)Ar l-x(r)x(Ar)=x(O)(l+x2(f)x )=V(0)(1 +/)dx(?_ x(0)小 两边积分得 a r ctg x(t)=x (0)t+c 所以 x(t)=tg x (0)t+c

20、d t l +x2(t)当 t=0时x(0)=0 故 c=0所以x(t)=tg x,(0)t习题2.2求下列方程的解1 d y1.=y+s m xd x解:y=e(j sin x e d x +c)=e -e 7 (sin x +cos x )+c2=c e -(sinx +cosx)是原方程的解。2c d x 八7/2.+3x二e d td x解：原方程可化为：=-3 x+e2/d t所以：x=e J (J e e -力+c)=e 3 (e5,+c)5=c e-3,+-e2/是原方程的解。5c d s 1 .八3.=-scosr +sin 2td t 2解5：s=e J1 cos r d f

21、 (z Jf5 1 s m.2_/e 3 d td t,+c ).=e-s,n/(j sinr cosr es,nf J r+c)=e-sin/(sinres in,-es in/+c)二+sin-1 是原方程的解。4.生土y =,n 为常数.d x n解：原方程可化为：=-y +exdx n口/x r-卜公y=e x(jexxne x dx+c)xn(ex+c)是原方程的解.5.dy t l-2xdx x2y-l=O解：原方程可化为:dy l-2x 十二-y+1ax xy=e x(e x dx+c)(In，+!_)-ln2!-=e 2(e*dx+c)/(1 +c e D是原方程的解.6.dy

22、 x4+x3dx9解:普x4+x32-xy3x y-+2VX令 上 二x则 y-uxdy du 二u+x dxdx因此：xdu xdx M2du 1二 dx u2u2du=dx-u x +c3 3 3x=X+C(*)将 工=带入(*)中 得：y3 3x4=c/是原方程的解.X7.生-=dx x +1解:电=dx x +1(X+1)3+(X+1)3尸(x)=二7,Q(x)=(x +1)3x +1e 3=0寻=(尤+1)2方程的通解为：y=eJ e x(p/Q(x)d x +c)=(x+l)2(!?*(x+l)3d x+c)J(X+1)2=(x+l)J(x+l)d x+c)=(x+l)2(殳 苴+

23、C)2即：2y=c(x+l)2+(x+D,为方程的通解。8.电=，dxx+Vdx x+y3 1 2解：=-=x+yzdy y y则 P(y),Q(y)=y 2y(P(y)d yeJ=(方程的通解为:e%x=e网 p gdQ yW y+c)3即x=4+cy是方程的通解，且y=。也是方程的解。9.生=丝+四 为 常 数dx x x.ar+110.x+y=x3解：p(x)=_,Q(x)=dxXeiPMdx=edx=X:xa解:虫=一-j +x3dx x方程的通解为:y=J (/H 0(x)d x +c)P(x)=,Q(x)=x3X=x(|?x+c)Jpa)dx 1C C x当a=0时，方程的通解为方

24、程的通解为：当 a=y=x+ln/x/+c1时，方程的通解为y=e（。（幻公+c）y=cx+xln/x/-l=(fx*X3Jx4-C)当 a手0,1时，方程的通解为x JA X 1X c=一+一y=cx+-一 一4 xl-a a3方程的通解为：y-4 xdy 3 3ll.+=x ydx解:包=-xy+x3y3dx两边除以/dyy3dxd y d7令如-d-z-dx-2 3-xy+x-2(-xy-2+x3)2()zP(x)=2x,Q(x)=-2x3e d x =e x=e2方程的通解为：Je )dxQ(x)dx+c)=ex(je (-2X3)JX+C)=x2+cex+1故方程的通解为：+c 1+

25、1)=1,且y=0也是方程的解。i c、,c 2 Inx 112.(y In x-2)ydx=xdy x H F 解:电=22 之dx x x两边除以y2dy _ Inx 2y-1y2 dx x xdyx _nx 2ydx x x令 y-=zdz 2 nx=z-dx x xP(x)=-,Q(x)=X X方程的通解为：次(上平(x)dx+c)物（仁 融（一 胆a+C）=%2（J X片（一邛心+,）c 2 In x 1x+-+4 2 4方程的通解为：/+浮+；）=1,且y=0也是解。1 32xydy=(2y2-x)dxdy _ 2y2-x _ y 1dx 2xy x 2y这是n=-l时的伯努利方程

26、。两边同除以L,ydy y2 1y-=-dx x 2呸=鱼 1=幺 _1dx x x由一阶线性方程的求解公式2P（x）=-Q（x）=-1x2-x-X C2 2y=x+x cdy ey+3x14 六dx x.、上v y dy(e)2+3xe，两边同乘以e e =-J-dx x令人 e,，=z dz=e v dydx dx牛/+产=江+马 这是,2时的伯努利方程。dx x x x两 边 同 除 以4 =+4 令，=7z dx xz x zdT i dz(IT-yr 1 -=-P dx z2 dx dx x x2P(x)=Q(X)=-4x x由一阶线性方程的求解公式 dx,一J f-T=e)x(Jd

27、x+c)=x-3(-x2+c)21.1 -3二 X+CX2z(-xl+cx_3)=12ey(-xl 4-cx3)=12-x2ey+cey=x32J-V2 J-V3Z 7-15dy _ 1-=-3 Tdx xy-x ydx3 ，=yx+y xdy,3这是n=3时的伯努利方程。两边同除以/44=+/x ay x人-2 dz、dx令 九=z-=-2x 5 一dy dy=y 2y3=-2yz 2y3 P (y)=_2y Q(y)=-2y?dy x由一阶线性方程的求解公式z=e 卜”“(卜 2y%-卜 +c)二 ey2(-Ry)厂 dy+c)=-y2+1 +ceyx2(-y2+l+ce-v)=1x2er

28、(-y2+1+cer)=eyey2(1-x2+x2y2)=cx21 6 y=e +jy(。力=ev+y(x)电加内而=y+e”P(x)=l Q(x)=/由一阶线性方程的求解公式y=exe(lxdx+c)=ex(x-hc)e(x+c)=ex 4-ex(x+c)dxc=ly=e(x+c)17 设函数0(t)于-8 t 0。（加）一 次）=limA/-0A r=lim4 f o夕（加+0）一夕（0）A z啖t)奴。（夕（4）-1）=。(0)9)于 是 也=9（0）火f）变 量 分 离 得 丝=夕（0）力 积 分e=c e（d t （p由于夕(0)=1,即 t=0 时0 =1 l=c e()=c=l故

29、晒=20.试证:（1）一阶非齐线性方程（2.28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）之解;（2）若y =y（x）是（2.3）的非零解，而y =y（x）是（2.28）的解，则方程（2.28）的通解可表为y =c y（x）+y（x）,其中c为任意常数.（3）方 程（2.3）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是方程（2.3）的解.证 明:电 =P(x)y +Q(x)a x(2.28)3=P(x)yd x(2.3)(1)%是（2.28）的任意两个解(1)-(2)学=尸(x)+Q(x)a x=P(x)y2+2(x)d x得(1)(2)设 ,则心 一%）d x(2)P(x)(%-%)即丁=%一%

30、是 满 足 方 程（2.3）所以，命题成立。由题意得：竽=P(x)y ax粤 =P(x)y(x)+Q(x)ax1)先证y=cy+y是(2.2 8)的一个解。于是“(3)+(4)得尊+字=cP(x)y+尸(x)y+Q(x)ax ax或=P(x)(cy+y)+Q(x)ax故)，二。)+丁是(2.2 8)的一个解。2)现证方程(4)的任一解都可写成cy+y的形式设 乃是 28)的一个解则 也=p(x)y+Q(x)(4)dx于 是(4，)-(4)得勺一)=P(x)(y y)dx.H fp(x)dx从而 y y=c e =cy即 y=y+cy所以，命题成立。(3)设 ,%是(23)的任意两个解则 必=尸

31、。)%(5)dx华=如)”dx于 是(5)xc得 2以 =cP(x)为dx即 四 义=p(x)(c%)其中C为任意常数dx也就是y=c%满足方程(2.3)(5)(6)得dx dxP(x)y3P(x)y4即 4(.%)=2初九兀)a x也就是y =为”满足方程(2-3)所以命题成立。21.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。(5)曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方；(6)曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中项;解：设p(x,y)为曲线上的任一点，则过p点曲线的切线方程为r-y =y (X-x)从而此切线与两坐标轴的交点坐标为(x -2,0),(0,y

32、-x y)y即 横 截 距 为x 上，y，纵 截 距 为y-x y o由题意得：(5)y-x y=x2方程变形为d y 2x=y-xd x .d y 1=-y-xd x x于是 y =d x +c)=J (，(一 +c)=|x|(j(-x)|x|d x +c)=x(|(-x )d x +c)=x(-x +c)2=-x +c x所以，方程的通解为y =-/+c x。，=亨方程变形为d y _ y xx =-d x 2 2于是d yd x1 1-y l x-2y ei 2x/(J(-g X 2)d x 4-c)1 l_=户(一q+c)2=-x +c x2所以，方程的通解为y =x +c/。22.求

33、解下列方程。(x2-l)y-x y+=O5,x y-1 1解：=1卜 y=e x -1(j -e x+c)-/x2-l/5 f-d x +c X 1 9-/x2-I/2=/x2-l/2 j-+C/x2-l/2C V/l -X2/+X(2)y s inx c o sx-y-s in3x =0d y _ y s in2 xd x s in x c o s x c o s xc/、1 、s in2 xP(x)=-Q(x)二-s in x c o s x c o s x由一阶线性方程的求解公式f-!-d x rsin2 X-J-d xy JsinACOSx(I_Jsinxcosx Qx+C)J cos

34、xs n (sin xdx+c)cosx J1、1.2.3.sinxcosx(-cosx+c)=tgxc-sin x习题2.3验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解。(x2+y)dx+(x-2y)dy=0解：改=i,空 口.dy dxn l8M dN则k=kdy dx所以此方程是恰当方程。凑微分，x2dx-2ydy+(ydx+xdy)=0得：-x3+xy-y2=C3(y-3x2)dx 一(4y-x)dy=0解：”dy dxlu.dM dN则=.dy dx所以此方程为恰当方程。凑微分，ydx+xdy 3xdx-4ydy=0 x3-xy+2y 2 =C(x-y)2x y(x y)-dy=0得2yx

35、解:3M 2y(x-y)2-2 y2(x-y)(-l)2xyU-y)4U-y)d N _ 2x(x -y)2-2x2(x -y)_ 2x yd x (x-y)4(x-nld M d N则h=k -d x d y因此此方程是恰当方程。d u _ y2 1d x(x-y)2 xd u _ 1 x2S y y(x-y)?对(1)做x的积分，则 对(3)做y的积分，贝 膜(1)(2)2 日占小?。y2:-l nx +0(y)(3)工 一 丁力-(-l)y2+(x y)2y d(p(y)=-1-%(x-y)2 d y_ -2x y+y(x-y)21 X2 _ _ _ _ _ _ _ _y (x-y)则(

36、)，)J /)，2-2?d y y U-y)2(x-y)2夕(y)=J(y _ l)d y =I n y -yy2)u =:-I n x +I n y -y =I n-x-y A故此方程的通解为I n上+3-=Cx x-y4、2(3 盯 2+2/)d x +3(2x 2y +y 2)d y =1 d(p(y)d y2_ 1 x2-2x y+y2 _ 1 )y (x-y)2 y2 2 厂+x y-y =x y:x-y x x-y二 0dM _ d Nd y d x则此方程为恰当方程。凑微分，6盯2d x +A x3d x +6 x2yd y+3 y2d y=03J(x2y2)+J(x4)+J(x

37、3)=0得：x4+3 x2y2+y3=CI J C V V|5.(s in-y c o s +l)d x+(y y x x xC0S2Xx x!s in +)d y 0y y y 尤 V V解：M=s i n-c o s +1y y x xN=1 c o s -4 sin +%x y ydM 1 ,x x x 1 y y y-7 sm -c o s -c o s +s in d y y y y y x x x xd N 1 ,x x x 1 y y .y-二 一 一 s in 一 一 c o s -c o s +s in 一d x-y y y y x x x x所以，=一,故原方程为恰当方程a

38、 y d xY x y y I y x x I因为一s in d x-c o s d x+d x+c o s d y-s in d y+-d y=0X y 1d(-c o s )+d (s in)+d x+d(-)=0y%y所以，d(s in-c o s +x -)=0 x y y故所求的解为s in上-c o s +x -=C%y y求下列方程的解：6.2x (y ev T)d x+e d y=O解:dM2x e”d N八-=2x ed x所以，丝用,故原方程为恰当方程d y d x又 2xye dx-2xdx+e dy=O所以,d(yex2-x2)=0故所求的解为ye-x2二C7.(eA+

39、3y2)dx+2xydy=0解：eA dx+3y2 dx+2xydy=0e v x2 dx+3x2 y2 dx+2x3 ydy=O所以，d ex(x2-2x+2)+d(x3y2)=0即 d ex(x2-2x+2)+x3y2=0故方程的解为e(x?-2x+2)+x3y2=C8.2xydx+(x2+l)dy=0解:2xydx+x2 dy+dy=0d(x2 y)+dy=0即 d(x2y+y)=0故方程的解为x2y+y=C9、ydx-xdy=(x2 4-y2 lx解：两边同除以l+y 2得I畔二公x+y(x即，d arctg =dxI y)故方程的通解为arg吆(二 =x +c10、ydx-(x+y3

40、)c/y=0 ydx-xdy,解：方程可化为：-一不一-=ydy即，d=ydy故方程的通解为：-=-y2+c即：2x=y(y2+c)y 2同时，y=0也是方程的解。11、(y-1-xy)dx+xdy=0解：方程可化为：ydx+xdy=(1+xydxd(盯)=(1+xydx 即：=dx1 +xy故方程的通解为：ln|l+町|=x+c12(y-x2lx-xdy=05 .1.r._r/.“ydx-xdy.解：方程可化为：-一-=dxx故方程的通解为：2 =c x即：y=xc-x)X13、(x+2y)dx 4-xdy=0解：这里M=x +2y,N=x，也h 丝dy dxdM dN包 =-方程有积分因子

41、=XN x两边乘以得：方程x(x+2y)dx+x2dy=0是恰当方程故方程的通解为：j(x2+2盯 工+|x1-1(x2+2xylx dy=c/3-F x y=c3即：x3+3x2y=c14 xcos(x+y)+sin(x+y)dx+x cos(x+y)dy=0解：这里A/=xcos(x+y)+sin(x+y),N=xcos(x+y)因为 _=-=co s(x +y)x s i n(x +y)d y d x故方程的通解为:j x co s(x +y)+s i n(x +)街+j x co s(x +y)-亍 j x co s(x +y)+s i n(x +)卜 犬 d y 二即：x s i n

42、(x +y)=c1 5、(y co s x +x s i n +(y s i n x +x c o s x)d y=oJW：这里M=j co s x-x s i nx.N=y s i n x +x co s xd M d N-w d y d xd M d N亘空=1方程有积分因子：=e W=e 两边乘以得:-M方程 6 V(y co s x -x s i n x)Jx +ev(y s i n x +x co s x M y =0 为恰当方程故通解为：j e5(y co s x-x s i n x)d x+j N co s x-x s i n x)j xty=c即：ey s i n x(y-1)

43、+e co s x-c1 6、x(4yd x +2x d y)+y3(3yd x +5x d y)-0解：两边同乘以y得：(4x3y2d x +2x4 yd y)+(3x2 y5d x +5x3yd y-0J(x4y2)+d(x3y5)=0故方程的通解为：x4y2+x3y5=c1 7、试导出方程M(X,Y)d x+N(X,Y)dy =0具有形为(盯)和(x +y)的积分因子的充要条件。解：若方程具有(x +y)为积分因子，迎2=迎 竺 (4 x+y)是连续可导)d y d x“M d M 如 d Nd y d y d x d x.dp dp dM dNM-N =(-+)dy dx dy dx(

44、1)令 z=x+yd/j d/.i dz d/j 训 dpi-,-.dx-dz dx.dz-dy.dz.d/J.d/j dN dMM -N=z/(-)，dz dz dx dy.z、dR QN dM(M _N”=4不-)，dz ox dydN dMdpi dx dy.,=-r;，dz=叭x+y)dz M-NdN dM方程有积分因子(x+y)的充要条件是：”是x+y的函数，M-N此时，积分因子为(+)，)=6 .(2)令z=x-ydpi d/i dz d/i 加 d/j dz d/j-=-=y-,-=-=x-dx dz dx dz dy dz dy dzdjLi d/d dN dMM x-N y-

45、=M-)dz dz dx dydp dN dM(M x-Ny)=jU(-)dz dx dydN dMd/2 _ dx dy4 Mx-NydN d M户工此时的积分因子为(“)=e 的18.设f(x,y)及或连续,试证方程dy-f(x,y)dx=0为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x的积分因子.办证:必要性 若该方程为线性方程，则 有 虫=P(x)y+Q(x),此方程有积分因子(x)(x)只与X有 关.充分性 若该方程有只与X有关的积分因子(x).则/j(x)dy-ju(x)f(x,y)dx=0 为恰当方程，从而)，)=，比=_小Sydx dy(x)需y+Q*需 y+Q 3=p y+Q.其中P(

46、x)=-幺0.于是方程可化为dy -(P(x)y +Q(x)dx=0(x)即方程为一阶线性方程.20.设函数 f(u),g(u)连续、可微且 f (u)H g(u),试证方程 y f (x y)dx+x g(x y)dy=0有积分因子 u=(x y f (x y)-g(x y)-l证：在方程y f (x y)dx+x g(x y)dy=0 两边同乘以u得:u y f (x y)dx+u x g(x y)dy=0产则 驷 L u f+u y 更+办dy dy,du+y f x y if-g)x y(f-g)-y fx/g)+福+喑x2y2(f-g)2yf gy3f f dg dxySxy力dxy

47、 dydxy dyfx y(f-g)2x(/g)2dxy dxy(一 产而等=u g+啜du+xg-+&x y(f-g)x y(f-g)，、dfy(f-g)+xy-xydxdxx2y f-g)2刈 迤Jgdxy dxSxy dg dfdxy dx _ dxy S x gx y(f-g)2故 则=包 翌，所以u是方程得一个积分因子dy dx2 1.假设方程(2.4 3)中得函数M (x,y)N(x,y)满足关系dMdNdy dxNf(x)-M g(y),其中f(x),g(y)分别为x和 y 得连续函数，试证方程(2.4 3)有积分因子 u=e x p (J/(x)dx+Jg(y)dy )证明：M

48、 (x,y)dx+N(x,y)dy=OR n、丁 d(u M)d(u N)d M w d u d N X T d ud y d x d y d y d x d xz d M A N d u d u .d M dN.0()+()，)力u(-)=N-M =u(-)=Ne J f (x)d y d x d x d y d y d x-M e J*g (y)O u (跑-辿)=e 仅 如 必(Nf (x)-M g(y)d y d x由已知条件上式恒成立，故原命题得证。22、求出伯努利方程的积分因子.解：已知伯努利方程为：虫=P(x)，+Q(x)y,y H。；a x两边同乘以厂，令 z =y-，丝=(1

49、 -n)P(x)z +(1 -n)g(x),线性方程有积分因子：a x =e()叫 J e(”呼 叫 故原方程的积分因子为：二e#)叫 J e(T皿 叫 证 毕！23、设(x,y)是方程加(,)，)公+%(s)，卜)，=0的积分因子，从而求得可微函数U(x,y),使 得d U =(Md x +Nd y).试证(x,y)也 是 方 程 A/(x,y)d x+N(x,y)d y=0的 积 分 因 子 的 充 要 条 件 是(x,y)=其中加)是.的可微函数。3=返 牧 M=电 切 碗,)+(型证明：若，=碗,)，则/=2)+加，(“)必S y幽=迤迹她=电 必 疝,)+d x d x d x=碗,

50、)+刚 夕，()4M=)d yd y即“为M(x,+N(x,y)d y=0的一个积分因子。24、设(x,y),2(x,y)是方程A/(x,y)Jx+N(x,y”y =0的两个积分因子,且1/2*常 数，求证|/2=c(任意常数)是方程M(x,y)d x+N(x,y)d y=0的通解。证明：因为四,2是方程M(x,+N(x,y M =0的积分因子所以出Mdx+4Ndy=o(z=1,2)为恰当方程即N空-M鬻GM dN、dy dx?,i=1,2下面只需证人的全微分沿方程恒为零 2事实上:d|加,加,|dju,d/a2lydjLidx12dAM%ak dx N dyx N dy-A i即当时，幺L=