概率论基础知识1.pdf

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1、概率论基础知识第一章随机事件及其概率-随机事件 1几个概念1、随机实验:满 足 下 列 三 个 条 件 的 试 验 称 为 座 避(1)试验可在相同条件下重复进行:(2)试验的可能结果不止一个,且所有可能结果是已知的:(3)每次试验哪个结果出现是未知的;随机试验以后简称为试验，并常记为E。例如：E,：掷一骰子，观察出现的总数：E2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况；E3：观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数。2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的 事 情 称 为 幽 事 用:常 记 为A,B,C 例如，在E|中，A表 示“掷出2点”，B表 示“掷出偶数点”均为随机事件。3、必然事

2、件与不可能事件：每次试验必发生的事情称为陷 然 事 件 记为Q。每次试验都不可能发生的事情称为|不可能事件|，记为。例如，在E i中，“掷出不大于6点”的事件便是必然事件，而“掷出大于6点”的事件便是不可能事件,以后，随机事件，必然事件和不可能事件统称为而。4、基本事件：试验中直接观察到的最简单的结果称为|基本事钿。例如，在 匕 中，“掷 出1点”，“掷出2点”，掷出6点”均为此试验的基本事件。由基本事件构成的事件称为|复合事件|，例如，在E 1中“掷出偶数点”便是复合事件。5、样本空间：从集合观点看，称构成基本事件的元素为|样本点|,常 记 为e.例如，在 巳 中，用数字1,2,，6表示掷出

3、的点数，而由它们分别构成的单点集 1,2,6 便 是 当 中的基本事件。在E 2中，用H表示正面，T表示反面，此试验的样本点有(H,H),(H,T),(T,H),(T,T),其基本事件便是 (H,H),(H,T),(T,H),(T,T)显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。例如，在 日 中“掷出偶数点”的事件便可表为 2,4,6。试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。记为Q。例如，在 E|中，0=1,2,3,4,5,6)在 E 2 中,Q=(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)在 E 3 中，Q=0,1,2,例 I,一条新建铁路共10个车站，从它们所有车票中任取一张，观察取得车票的

4、票种。此试验样本空间所有样本点的个数为N 卡p2|0=90.（排列：和顺序有关，如北京至天津、天津至北京）若观察的是取得车票的票价，则 该 试 验 样 本 空 间 中 所 有 样 本 点 的 个 数 为-F）-45（组合）例 2.随 机 地 将 15名新生平均分配到三个班级中去，观 察 15名新生分配的情况。此试验的样本空间所有样本点的个数为第一种方法用组合+乘法原理；第二种方法用排列 2 事件间的关系与运算1、包含：“若事件A 的发生必导致事件B 发生，则称事件B 包含事件A,记 为 A匚B 或 B DA例如，在 E i中，令 A 表 示“掷 出 2 点”的事件，即人=2B 表 示“掷出偶数

5、”的事件，即 8=2,4,6 则A cB2、相等：若 A匚B 且 B，二A,则称事件A 等于事件B,记 为 A=B例如，从一付52张的扑克牌中任取4张，令 A 表 示“取得到少有3 张红桃”的事件；B 表 示“取得至多有一张不是红桃”的事件。显 然 A=B3、和：称事件A 与事件B 至少有一个发生的事件为A 与 B 的和事件简称为和，记 为 A U B,或 A+BA UB例如，甲，乙两人向目标射击，令 A 表 示“甲击中目标”的事件，B 表 示“乙击中目标”的事件，则 A U B 表 示“目标被击中”的事件。推广：L U-4U 4U U4 2强一个发检有 限 个*-*UA-4UA.U-（4.4

6、-“至 一 个 发 密无 穷 可 列 个*14、积：称事件A 与事件B 同时发生的事件为A 与 B 的积事件，简称为积，记 为 A f l B 或 AB。例如，在 E3中，即观察某电话交换台在某时刻接到的呼唤次数中，令人=接到偶数次呼唤,B=接到奇数次呼唤,则 A p|B=接到6的倍数次呼唤HA 4 值./,.汨 时 发 生）任意有限个HA-.同 时 发 生)无穷可列个5、差：称事件A发生但事件B不发生的事件为A减 B的差事件简称为差，记为A-B。1-B例如，测量晶体管的B参数值，令 A=测得。值不超过5 0 ,B=测得B值不超过 1 0 0 ,贝 l j,A-B=4 ,B-A=测得 B 值为

7、 5 0 B W 1 0 0 6、互不相容：若事件A与事件B不能同时发生，即 AB=6,则称A 与B是互不相容的。AB=0例如，观察某定义通路口在某时刻的红绿灯：若人=红灯亮,B=绿灯亮,则 A与 B便是互不相容的。7、对立：称事件A不发生的事件为A的对立事件，记 为 W显然A n例如，从有3个次品，7 个正品的1 0 个产品中任取3 个，若令A=取得的3个产品中至少有一个次品,则 取得的3个产品均为正品。3 事件的运算规律1、交换律 AUB=BUA；A C B=B C A2、结合律(A U B)U C=A U (B U C)；(A A B)D C=A n (B H C)3、分配律 AC (B

8、 U C)=(A A B)U (A CC),AU(BOO=(A U B)A (A U C)4、对偶律 彳砺一彳n无司乐此外，还有一些常用性质，如A U B D A,AUB D B（越求和越大）；AD B CA,AD B C B（越求积越小）。若 A C B,则 A U B=B,A D B=A A-B=A-A B=A 1 等等。例 3,从一批产品中每次取一件进行检验，令人=第 i 次取得合格品,i=l,2,3,试用事件的运算符号表示下列事件。A=三次都取得合格品 B=三次中至少有一次取得合格品 C=三次中恰有两次取得合格品 D=三次中最多有一次取得合格品解：A =A,A2A3 0-U AU A

9、0(非负性)2 P(Q)=1(规范性)3 若A”A2,，An两两互不相容，则 /)宜 式4)(可列可加性，简称可加性)则称P(A)为A的概率4、几何定义定义4：假设Q是Rn(n=l,2,3)中任何一个可度量的区域，从Q中随机地选择一点，即Q中任何一点都有同样的机会被选到，则相应随机试验的样本空间就是。，假设事件A是Q中任何一个可度量的子集，则P(A)=u(A)/U(Q)2概率的性质性 质1：若A C B,则P(B-A)=P(B)-P(A)差的概率等于概率之差所以：B=A U (B-A)且A A (B-A)=。，山概率可加性得 P (B)=P A U (B-A)=P (A)+P (B-A)即 P

10、 (B-A)=P (B)-P (A)性质2：若A CB,则P (A)W P (B)概率的单调性证：由性质1及概率的非负性得O W P (B-A)=P (B)-P (A),即P (A)W P (B)性质3：P (A)京1 证明：由于A匚Q,由性质2及概率的规范性可得P (A)W 1性质4：对任意事件A,P (Z)=1-P (A)证明：在性质 1 中令 B=Q 便有 P (Z)=P (Q-A)=P (Q )-P (A)=1-P (A)性质 5：P (4)=0 证：在性质 4 中，令人=。，便有 P ()=P (I I )=1-P (Q)=1-1=0性质6 (加法公式)对任意事件A,B,有P (A

11、U B)=P (A)+P (B)-P (A B)证：由于 A U B=A U (B-A B)且 A n (B-A B)=6 (见图)由概率的可加性及性质1便得P (A U B)=P A U (B-A B)=P (A)+P (B-A B)=P (A)+P (B)-P (A B)推广：P (A U B U C)=P (A)+P (B)+P (C)-P (A B)-P (A C)-P (B C)+P (A B C)例6设1 0个产品中有3个是次品，今从中任取3个，试求取出产品中至少有一个是次品的概率。解：令C=取出产品中至少有一个是次品,则 二=取出产品中皆为正品,于 是 由 性 质4得7例7,甲，

12、乙两城市在某季节内下雨的概率分别为0.4和0.3 5,而同时下雨的概率为0.1 5,问在此季节内甲、乙两城市中至少有一个城市下雨的概率。解：令人=甲城下雨,B=乙城下雨,按题意所要求的是P (A U B)=P (A)+P (B)P (A B)=0.4+0.3 5-0.1 5=0.6例 8.设 A,B,C 为三个事件，已知 P(A尸P(B尸P(C)=0.2 5,P(A B)=0,P(A C)=0,P(B C)=0.1 2 5,求 A,B,C 至少有一个发生的概率。由于ABC u A B故0 P（ABC）P（AB）-O 从而P（ABC）O于是所求的概率为P（AU 6UCD 代内+冷编*AC）-软

13、砌-式 何-RfiC）*一1 上1 +I oc。c 一一I）。c,54 4 4 8 8三条件概率 1条件概率的概念及计算在已知事件B发生条件下，事件A发生的概率称为事件A的条件概率，记为P（A/B）。条件概率P（A/B）与无条件概率P（A）通常是不相等的。例 1：某一工厂有职工5 0 0 人，男女各一半，男女职工中非熟练工人分别为4 0 人 和 1 0 人，即该工厂职工人员结构如下：人数男女总和非熟练工人4 01 05 0其他职工2 1 02 4 04 5 0总和2 5 02 5 05 0 0现从该厂中任选一职工，令 人=选出的职工为非熟练工人,B=选出的职工为女职工显 然,心）+向）需WM-

14、枭而依 噎%o.RM啰丽%.PW定 义 1设 A、B为两事件，如果P （B）0,则 称 的4丝 里 为 在事件B发生的条件下，事件AP（B）的|条件概率|。同样，如果P（A）0,则称，%）警?为在事件A发生条件下，事件B的|条件概率条件概率的计算通常有两种办法:山条件概率的重义计算(通常适用于古典概型)，(2)由条件概率的定义计算。例 2：盒子内有10只晶体管，其中4 只是坏的，6 只是好的，从中无放回地取二次晶管，每次取一只,当发现第一次取得的是好的晶体管时，向第二次取的也是好的晶体管的概率为多少？解：令 A=第一次取的是好的晶体管,B=第二次取的是好的晶体管按条件概率的含义立即可得：按条件

15、概率的定义需先计算：&史巨于 是 心 4).翌2 省 20 1。5 10X9 3%9例 3：某种集成电路使用到2000小时还能正常工作的概率为0.94,使用到3000小时还能正常工作的概率为0.8 7.有一块集成电路已工作了 2000小时，向它还能再工作1000小时的概率为多大？解：令 A=集成电路能正常工作到2000小时,B=集成电路能正常工作到3000小时已知:：P(A尸0.94,P(B尸0.8 7 且3 u A ,既有 AB=B 于是 P(AB)=P(B)=0.8 7按题意所要求的概率为：丝 图 阻-0.926咐 0.94 2 关于条件概率的三个重要公式1.乘法公式定 理 1 如 果 网

16、 8)a 期有网幽,如果剜靛U 切例 4:已知某产品的不合格品率为4%,而合格品中有75%的一级品，今从这批产品中任取一件，求取得的为一 一 级的概率.解：令 A=任取一件产品为一级品,B=任取一件产品为合格品,显 然A C B,即 有 AB=A故 P(AB)=P(A),于是，所要求的概率便为如 H 孙昭双)96%75%.72H例 5:为了防止意外，在矿内安装两个报警系统a 和 b,每个报警系统单独使用时，系统a 有效的概率为0.92,系统b 的有效概率为0.93,而在系统a 失灵情况下，系统b 有效的概率为0.8 5,试求：(1)当发生意外时，两个报警系统至少有一个有效的概率；(2)在系统b

17、 失灵情况下，系统a 有效的概率.解：令 A=系统a 有效 B=系统b 有效已知&1)-Q 9 2,F(J)-0.9 3.尸%)-0.85对问题(1),所要求的概率为F(J(U fi)-P(Jt)+F(fl)-F(JW)-l.8 5-F(JW),其中 孔 3)尸3-瓦)(见图)=则-心耳)=网 8)网 初%)=0.93-D.08X 085 0L862于是 U )-1-85-0.862-0.988“，r由八、山诙力4 用画 中砌 0.92-0.862-8 c对问题，所要求的概率为：X-=-I_L=-0.829/尹 网。)1-式8)1-0.93 OLO 7推广：如果证油于 4 n 4 4 nz 4

18、舄&.故 H 4)2H4)2 2 H 4 4 乐、0所以上面等式右边的诸条件概率均存在，且山乘法公式可得(4 4)X4.乜乂%”1)二,依此类推1H(%1y)例6：i o个考签中有4个难签，三个人参加抽签(无放回)甲先，乙次，丙最后，试问(1)甲、乙、丙均抽得难签的概率为多少？(2)甲、乙、丙抽得难签的概率各为多少？解：令A,B,C分别表示甲、乙、丙抽得难签的事件，对问题(1),所求的概率为：3)i-0 0 3 3对问题（2）,甲抽得难签的概率为：尸RS）风WU AB）-+率A）&）噌。+点）H%）乙抽得难签的概率为 4 3 6 4 x 十 x 一,0.410 9 10 9R 4 a 7）+雄

19、7）+/（4（7）+今 可。）丙抽得难签的概率为其 中 3）吟3 c MM班啕哈铝/中到也也扬）哈+汽T U 7 4 I.I.1.1 4 2.全概率公式潴 事 侔 画:如果一组事件g 1.第媪”.制在每次试验中必发生且仅发生一个,即 0%-Qf i f f i Qf f y#*/）.则称此事件组为该试验的一个完备事件组1-1例如，在掷颗骰子的试验中，以下事件组均为完备事件组：1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ；1,2,3 ,4,5 ,6 ；A,W（A 为试验中任意一事件）定 理 2：设 为一完备事件组，且 尸（冏。）-12.超），则对于任意事件A有喑加M%）M证：由 于 U兄=Q且对于任意“j

20、./n勺-,TJ tA =AQ =UI M且对于任意j*J.M-，于是由概率的可加性及乘法公式便得:不）眼 卜之 喇）-苫（必%）例 7,某届世界女排锦标赛半决赛的对阵如下:4 1 根据以往资料可知，中国胜美国的概率为0.4 ,中国胜日本的概率为 0.9,而日本胜美国的概率为0.5,求中国得冠军的概率。解：H=日本胜美国,二=美国胜日本,A=中国得冠军由全概率公式便得所求的概率为0.5x0.9+0.5x0.4-0.65例 8,盒中放有1 2 个乒乓球，其中9个是新的，第一次比赛时，从盒中任取3个使用，用后放会盒中,第二次比赛时，再取3 个使用，求第二次取出都是新球的概率解：令 H 第一次比赛时

21、取出的3 个球中有i 个新球 i=0,1,2,3,A =第二次比赛取出的3 个球均为新球于是而 以 )=山全概率公式便可得所求的概率.料M%)船=0.1 4 63贝叶斯公式定理3：设 H 1 ,H a.H 为 一 完 备 事 件 组，且砚又设A为任意事件，且P(A)0,则有1勾豺研为证:由乘法公式和全概率公式即可得到4%卜啜我喇%.）热研%）例 9：某种诊断癌症的实验有如下效果：患有癌症者做此实验反映为阳性的概率为0.9 5,不患有癌症者做此实验反映为阴的概率也为0.9 5,并假定就诊者中有0.005的人患有癌症。已知某人做此实验反应为阳性,问他是一个癌症患者的概率是多少?解：令 H=做实验的

22、人为癌症患者，=做实验的人不为癌症患者,A=实验结果反应为阳性,实验结果反应为阴性,由贝叶斯公式可求得所要求的概率:例 必同%）+而 用 ）0.005x0.950.005x0.95*0.995x0.050L087例 10：两信息分别编码为X 和 Y 传送出去，接收站接收时，X 被误收作为Y 的概率0.02,而 Y 被误作为X 的概率为0.01.信息X 与 Y 传送的频繁程度之比为2:1,若接收站收到的信息为X,问原发信息也是X的概率为多少？解：设 H=原发信息为X而 再（发信息为X）又设A 做到借息为X A 假到信息为打由题意可知由贝叶斯公式便可求得所要求的概率为2 1-1-0.0 2-0.9

23、 8式 率）汽幻+汽彳而汽瓦）3 8 x 2_30.9 8 x-4-0.01x13 3196197例 11：设有一箱产品是由三家工厂生产的，已知其中%的产品是由甲厂生产的，乙、丙两厂的产品各占%,已知甲，乙两厂的次品率为2%,丙厂的次品率为4%,现从箱中任取一产品（1）求所取得产品是甲厂生产的次品的概率；（2）求所取得产品是次品的概率；（3）已知所取得产品是次品，问他是由甲厂生产的概率是多少？解：令 月；.也.以,分别表示所取得的产品是属于甲、乙、丙厂的事件，A=所取得的产品为次品显然，对 问 题（1）,山乘法公式可得所要求的概率:H月将2%.对 问 题（2）,由全概率公式可得所要求的概率 0

24、 网 用 M%卜%X2%+/2%23%对 问 题（3）,由贝叶斯公式可得所要求的概率馆/料 荔”四 独 立 性 1 事件的独立性如果事件B的发生不影响事件A的概率，即 咆 0 尸（力（尸（一）0）则称事件A对事件B 独立。如果事件A的发生不影响事件B的概率，即 产%）尸（3），（风。0）则称事件B对事件A独立。不难证明，当 H，）O,F 0）O时，上述两个式子是等价的。事实上，如果 咆6）=R，），则有网如0 =照畴4=网/*（8）反之，如果 网 3）&4*（6）,则有3鬻鬻小即 4%）期）0式 明 玉X s）同样可证 式 =网8）C RM =总 之，%）始4-1*（6）冷 敌 力 网6）可见

25、事件独立性是相互的。定义1设 4 8为两个事件，如果网 盟）-网 啊 B），则称事件A与事件8 相互独立。例 I,袋中有3 个白球2 个黑球，现从袋中(1)有放回；(2)无放回的取两次球，每次取一球，令A=第一次取出的是白球 B=第二次取出的是白球 问 A,B 是否独立?解：(1)有放回取球情况，则有网%.出)%.心(2)无放回取球情况,可见，网 )始。H&),可见 A,B 独立。I 2*3则有也)%.知).年警二%密唱可见，叩幽)*风4*(8),故A,B不独立。(实际上就是抓阉模型)例 2,设有两元件，按串联和并联方式构成两个系统I,n(见图)每个元件的可靠性(即元件正常工作的概率)为KO

26、rvl).假定两元件工作彼此独立,求两系统的可靠性.解：令A=元件a 正常工作 ,B=元件b 正常工作，且 A,B独H b 立。Cl=系统I 正常工作,C2=系统I I 正常工作.I I 一 i T系籁 于是系统I 的可靠性为NG)网加)总射刃)-Cz z i-I 系 统 n的 可 靠 性 为RG).H4U6)-R O*0)-旧翅)康厂 中)+用)-4眄3)”/显然 RG)-2 r-，研-一 胆J(Or 就 立 就 立=工 间I立(2)如果人人 4 相互独立，则伽卜妙)如果4 4 “A相互独立，则 市4卜 力 市I)证:小4卜1-也4卜-也 可T-Q甸例 3：三人独立地破译一个密码，他 们 能

27、 译 出 的 概 率 分 别 为 求 密 码 能 被 译 出 的 概 率5 3 4解：令 A=第 1 个人能译出密码,1=1,2,3 ；A=密码能被译出,所要求的概率为R N 4 M U 4)I7 -渭x“6例 4：设每支步枪击中飞机的概率为P-“004,(1)现有2 50支步枪同时射击，求飞机被击中的概率;(2)若 要 以 9 9%概率击中飞机，问需多少支步枪同时射击？解：令 A j=第 i 支步枪击中飞机 =1,2,.,n；A=飞机被击中对 问 题(1),n=2 50,所要求的概率为4 4)乂 U 4)-I-市脏胃卜1-(1-歹-1-0.996-0.63对 问 题(2),n为所需的步数，按

28、题意41)-10.第,即(1一e0。1,即o.9%-0.01于 是 得HhO.01h 0.9961150 2独立重复试验独立重复试验|在相同条件下，将某试验重复进行n次，且每次试验中任何一事件的概率不受其它次试验结果的影响，此种试验称为n次独立重复试验。国理族 如果实5 fc只有网个可能结果且叩0-p(p 称此试验为|贝努里试圜|n重贝努里试黝将贝努里试验独立重得n次所构成n次独立重得试验称为n重贝努里试验。例如，(1)将 一 一 骰子掷10次观察出现6点的次数10重贝努里试验(2)在装有8个正品，2个次品的箱子中，有放回地取5次产品，每次取一个，观察取得次品的次数5重贝努里试验(3)向目标独

29、立地射击n次，每次击中目标的概率为P,观察击中目标的次数一n重贝努里试验等等一个重要的结果：在n重贝努里实验中，假定每次实验事件A出现的概率为p(0 p 500B=测得灯泡寿命不超过5 0 0 0（小时）=X W 5 0 0 0 。不具明显数量性质的试验也可以定义随机变量表示试验中每个事件。例4将一枚硬币上抛一次，观察正，反面出现的情况。试验的样本空间。=H,T,H-正面，T一反面。可定义随机变量X表示上抛1次硬币正面出现的次数，即y于是，47-TA=出 现 正I以-二 面 =X=1。用随机变量表示事件常见形式有 *勺 2 时，F(x )=PX W x =l性质 1。F(x )是单调不减的，即

30、对任意x,.I-R*-I 一 v卜）%-PX -心-黑 嗝等等。例 3 在前面打靶的例子中，已知X表示弹着点到靶心距离，并求得其分布函数为fo,X2,b于是便可以利用此分布函数，求出击中靶上环形区域(见图)的概率的4 1=1-PX 1 =1-PX=O=1-0.78 65=0.2135(3)由分布函数定义不难求得X 的分布函数为“7865.附 0.9887.0.9999,x00 x l1 *22 *2*2 3f-小q-一离散型随机变量其分布函数的图形有如下特点：(1)阶梯形；(2)仅在其可能取值处有跳跃；(3)其跃度为此随机变量在该处取值的概率。一 般,若 X 的分布律为PX=x；=pi,i=l

31、,2,则 X 落在区间I 内的概率便为 4工3从而，X 的分布函数与分布律的关系便为 2 几个重要分布1 .两点分布如果随机变量X的分布律为X0iPqp其中0p 1,q=1-p 则称X服从参数为p的(01)两点分布,简称为两点分布,记为X-B(1,p)实际背景:在贝努里实验中，设事件A 的概率为p(0pl)如果所定义的随机变量X 表示A 发生的次X-B(l,p)为 5%,从中任取一个进行检查，若令X 表示抽得废a hhffiEA则 X B(l,5%)即 X 的分布律为X01p95%5%2.二项分布如果随机变量X的分布律为上(M 2“E其中 O P1,q=1 P,则称X服从参数为(n,p)的二项

32、分布，记为X B (n.p)实际背景：由第一章，独立重复实验一段中可知，在 n 重贝努里实验中，如果每次实验事件A 出现的概率为p(0p 0,则称X服从参数为人的泊松分布，记为X-（A）或者X2（A）实际背景：满足下列条件的随机质点流（一串重复出现的事件）称为泊松流。（1）在时间+&）内流过质点数的概率仅与拉 有 关，与 t 无关；（2）不相交的时间间隔内流过的质点数彼此独立；（3）在充分短的一瞬间只能流过 个或没有质点流过，要流过2 个或2 个以上质点几乎是不可能的。可以证明泊松流在单位时间内流过质点数便服从泊松分布。例如：单位时间内放射性物质放射出的粒子数：单位时间内某电话交换台接到的呼唤

33、次数；单位时间内走进商店的顾客数等等；均可认为它们服从泊松分布。例 1 0：设 例 人4 且已知 P X=1 =P X=2 ,求 P X=4 14解：由 于 ，即X 的 分 布 律 为 尸（*打-士-/&12“于 是 有AI-与*7 .占*Y 仪/.2）：7 弓 Y”由条件 P X=1 =P X=2 可得方程94/_ 厂 即 2/-显 即*3-2）-0 解 得 入=2,0（弃去）第 页kaiziliu27概率论基础知识2*吉表所以 于是 亍 0 4 1 0 9 0 2例 1 1：设电话交换台每分钟接到的呼唤次数X服从参数入=3 的泊松分布。（1）求在一分钟内接到超7次呼唤的概率；（2）若一分钟

34、内一次呼唤需要占用一条线路。求该交换台至少要设置多少条线路才能以不低于9 0%的概率使用户得到及时服务。解：,其分布律为P X*）在一分钟内接到超过7次呼唤的概率为于是,P(X?（2）设所需设备的线路为K条，按题意应有P X W K 与9 0%即 P X K =1-P X K =1-P X K+1 0.9 即 P X 2 K+1 W O.1查表得 P X 2 6 =0.08 3 9 而 P X 2 5 =0.1 8 4 7 ,故 应 取 K+l=6,即 K=5 所以，至少要设置5条线路才能符合要求。三连续型随机变量及其概率密度1连续型随机变量及其概率密度的概念所谓|连续型随机歪 列 是指此随机

35、变量的可能取值至少应充满某个区间且其分布函数应当是连续的,连续型随机变量X有以下特点:对 任 意 实 数 x,-0j 1-0事头上，-趴 由-a（才 一/（才。；F 面建立连续型随机变量X在实数x处的概率 密 度（概念的引入）首先，考虑X落在区间（耳拭+&内的概率下（才又 X 闻 尸（1+&）-尸（1）其次，求出X落在区间&X +&内的平均概率密度Mx 4X+3 +&）-0）Ax&最后，令&T 0 便得到X 在x 处的概率密度f a n+丝.&）-幽 一（*）令/（x）-Fz（x）2 0 ,从而便有 网力二心第 页kaiziliu28概率论基础知识1 .定 义 设 产(*)为随机变量X的分布函

36、数，如果存在非负函数/G)使得对任意实数X,有网X)二 人)*,则称X为连续型随机变量，/G)为 X的 避 诞性质 r/t a z a一切 x；2 口事实上由于巩*)=I-n+)二/(0*2 .一个重要结果 仄。x A-j事实上，p(a x A)-p(a K /(*)与 X 轴所夹图形的面积为1:(3)尸 。表明X 落在区间(a,b)内的概率等于以区间(a,b)为底，以密度曲线/(x)为顶的曲边梯形面积。4关系：|巾)上、地 V G A 6 G)画(X讷 坦 蛾 处)例 1：已知连续型随机变量X 的概率密度并计算概率P 1.5 x 2.5 /wrk x+1,0 x 2 时，夙 工/&法 （卜

37、3+1卜rox 0总之，F（x）-2 乂1.5/，2 10 某仪器内装有三个这0.x100样电子管，试求使用150小时内只有一个电子管需要换的概率。解：首先计算一个电子管使用寿命不超过150小时的概率，此概率为从*4150)以理【一吧x X 150 3令Y表示工作150小时内损坏的电子管数，贝II 3J y服从二项分布于是，此仪器工作150小时内仅需要更换一个电子管的概 率 承-1 2几个重要分布第 页kaiziliu30概率论基础知识1.I均匀分切 如果随机变量X的 概 率 密 度 为 二 则称X在区间 a,b 上服从0.其它0.x 0,则称X服从参数为人的(0.100；(2)若要使PX 4

38、 100-0(讪-jo.0-e-13-0.223(0.J0第 页kaiziliu31概率论基础知识（2）要使 pX即-J70-0 1 5*-*1*4_”3】丁 0.1取对数，便得-0.015xln0.1 于是便解得、-10 0.10.015153.53.正 态 分 布（高斯分布）.0津如果随机变量x 的概率密度为J 2 e-b l+其中为常数,则 称 X 服从参数 Jj）的正态分布，记 为 XN（A 力。实际背景：在实践中，如果随机变量X 表示许许多多均匀微小随机因素的总效应，则它通常将近似地正态分布。正态密度曲线:当-二不变右平移。（.服从正态分布，如：测量产生的误差；弹着点的位置；噪声电压

39、；产品的尺寸等等均可认为近似地服从 当 H不 变/改 变 时，.二变大，曲线变平坦；.二变小，曲线变尖窄分布函数:（积分是存在的，但是不能用初等函数表示）|标 准 正 态 分 布:称,-0./-I的 正 态 分 布 N（0,1）为 标 准 正 态 分 布，其 概 率 密 度 为分布函数为 F*（其值有表可查）例 5.设XN(0,l)求第 页kaiziliu32概率论基础知识解：p -l x 2)-42)-(-1)-例2 H I-*K 01-4)+0.97725+0.8413-1-0.81855TW 1-0-4K0 *(0-*0)1-24)(1)-1-2x0.8413-1-0.6826例6.设x

40、N(0,1),要使 MW 2 1 -0E5.问入应为何值？解：由于 川 2 1一 川 I-黄-J*-I-t-t(1-1-2-2t-0.05 B|1 (才-0.575 反查表，便得 A l.966.一般正态分布与标准分布的关系：若X N C x/),其分布函数为F(X),则有证：始）可山7.正态变量落在区间内的概率:如果*心,）则H a x M .同事实上，由 内立即可得?卜*-砌-f 力（?-力（三 子）例7.设X棚2&4）试求 尺2/4 解：乂2 4）哈卢卜4彳+K085)-吒0.均岭 85)-1-(0-15)0.8023*0.5596-1-0.3619例8从某地乘车前往火车站搭火车，有 两

41、 条 路 可 走（1）走市区路程短，但交通拥挤，所需时间第 页kaiziliu33概率论基础知识 M 5 M g)，(2)走郊区路程长，但意外阻塞少，所 需 时 间 居M&U 6)。问若有7 0 分钟可用，应走哪条路线？解：走市区及时赶上火车的概率为施4天4河-瞽+詈卜喇力0时当 自 0时,/FW-FF W-Zr于是（注意复合函数求导3，.X-/尸 卜 2 餐-华卜F钥kaiziliu35概率论基础知识于是，戒”理（年）以 上（#!i-*a）a即 抬+.用力此结果证明：正态分布的随机变量经线性变换后，仍是服从正态分布的随机变量特别，取？.七N5时，w代入上面结果便得Y的Q o I刁分布为 PM

42、4fci 彳 弓+4冏/吨.1）即丫N（O,I）称r-七 N为除准化变换tr例 3 证 XN（0#,求？炉 的概率密度为G）（非线性）解：Y的分布函数 弊（y）-R=）巾 户当 y0时，.94 “卜小万*万 卜 七5）-4-6）于是f M =Fy(y)=A 壶+以一初泰=/上+&(一、)当八网国0)电，小04W=I q sn总之/G)y0.Ao从 而第 页kaiziliu36概率论基础知识例 5 设电流I 为随机变量，它在9（安培）1 1 （安培）之间均匀分布，若此电流通过2 欧姆电阻,在此电阻上消耗功率，-2的概率密度解：W 的分布函数为 年 而 了 6）”/唱I J 两边求导，便得w 的概

43、率密度3倜闿Y闾闱破岛可-卷岛当,4时.跟 机6*）0因为Iu 9/i,即其概率密度。.其它所 以 故A S U废岛 卜闾症 闿睡0.其它 0,其它第三章二维随机变量及其分布一、二维随机变量及其联合分布设。为某实验的样本空间，X和 Y是定义在C 上的两个随机变量，则称有序随机变量对（X,Y）为二维随机变量,比如，研究某地区人口的健康状况可能取身高和体重两个参数作为随机变量；打靶弹着点选取横纵坐标。3.1.1 联合分布函数定 义 1：设（X,Y）为二维随机变量，对任意实数X,代表二者同时发生V，称二元函薮F （x ,y）=浓 云 Y W y 为（X,Y）的分布函数或称为X与 Y的|联合分布函数|

44、。几何上,中 以（X,y）为顶点左下方的无穷矩形内的概率（见图）F（X,y）表 示（X,Y）落在平面直角坐标系y f （x,y）二维随机变量（X,Y）的分布函数F （x,y）具有以下四条基本性质:1 F（x,y）对每个自变量是单调不减的，即若x 1 0事实上，由图可见(见右图)F(x2,y2)-F(xl,y2)-F(x2,yl)+F(xl,yl)-R-B *叼.ry公+R-e *。,-/j例1设（X,Y）的分布函数为解：由性质4 可得1-W*3-8-3一89-1 62 Xp（o 1 =1-P X 1 且 Y).0 其它(1)求常数A；(2)求概率P X+YN 1 解：(1)由于I-口 3/(二

45、 加 tr *(/+3)时/(r+3 用4 2/+以 白 卜.j(21+沙时蹄日即 得(X,Y)的概率密度为、.仔 0 xU)2/(“)30 其它(2)R*”加 M(X D e 嫁其中。(7#+八 DOLtffl)小，旁卜竹色讣 卦 ：T，I L女#(i+咱4-(1-才 卜 寸 伊+#*卜 嗤-边缘分布 3.2.1 边缘分布函数设(X,Y)的分布函数为F (x,y),X和 Y的分布函数分别为F X (x ),F Y (y ),于是G 0 =6 =网*12 JF-t l a r t x同理可得关于Y 的边缘分布函数今9 .网+J)-fca 网x j).+antgy 3.2.2边缘分布律第 页ka

46、iziliu40概率论基础知识设（X,Y）的分布律为P X=x i,Y=y j =p i j,i,j=l,2,，可以证明X的分布律可以由X 和 Y 的联合分布律求得：取强卬1,2f事实上，由于Y+8 为 熊 事件，于是-4,u)/.*4,？力 同样，Y 的分布律也可以由联合分布律求得:嘀二）为 机变量（其P）关于A的 边 物 布 律啊,内：.）为 5 n关于rft边绛分布体IT用表格求边缘分布律只要在联合分布律表上加行一列，然后分别按行按列相加即可y 1y 2.y j.X 1PHp l 2.p i j.x 2p 2 1p 2 2.P2 j.P2.1111111x ip i lp i 2.p i

47、 j.月i11111r.p.1p.2.r.1例 5：袋中有2个白球3个黑球，从 袋 中（1）有放回地；（2）无放回地取二次球，每次取一个，令儿 笫 一 炳 睛 白 联 JL第二 靖 白 电|a 第一SflElWW,（a 第riWMWWL解：（1）有放回的取球求（X,Y）的分布律及边缘分布律。0109/2 56,253/516/2 54/2 52/5F.3/52/51于是得关于 X的边缘分布律为X01p3/52/5（2）无放回取球0106/2 06/2 03/516/2 02/2 02/5J=.3/52/51于是得关于 X的边缘分布律为X01p3/52/5关于Y 的边缘分布律01p3/52/5关

48、于Y 的边缘分布律Y01P3/52/5 由 联 合 可 以 求 边 缘，但是由边缘能否求出联合呢？不能！!3.2.3 边缘概率密度设（X,Y）的概率密度为/（X,y）,可以证明X的概率密度/X（x）可 以 由/（x,y）确定,事实上，由于x的分布函数/（*）-Mm）（匚 如 让 卜故岫州 率由GA 口（3/第页4概率论基础知识同样，Y 的概率密度也可由/（x,y ）确定4 8 =。”】小称，X （x）为二维随机变量（X,Y）关注 K的边缘概率密阐。称/Y （y）为二维随机变量（X,Y）关于M的边缘概率密度|。例 6 设区域D 是由直线y =x和 曲 线 y =x?所 围 成（见图）。设（X,Y

49、）在 D 上服从均匀分布，即其概率密度为解：e D其中S D为 D 的面积，试 求（X,Y）的边缘概率密度。0,其 它丁 如（”）-Q,其它卦 x 时,A W 冲4-6(x-6印-K)；当 x W0或 左 1 时/X (%)=0总之，关于X的边缘概率密度为r ftx a-x）.0 x l/x W Jo.其它孰。时，4 G A 口-川当 产0或 y N 2 时，/Y(y)=0总之，关于Y 的边缘概率密度为/心）4e一办0.0。0）,&（。2 0）,p （-l p l）为常数。试求边缘概率密度。解：益6）=二/（耳）如2-叼 力 一/南:电 总)%-jF=1-=/1)同样，关于Y 的边缘概率密度为

50、新晟*人.即丫4.1）三随机变量的独立性3.3.1 独立性的概念第 页kaiziliu 42概率论基础知识定 义 1：设（X,Y）的分布函数为F（X,Y）,边缘分布函数为取”）/（g回 则 称 X与 Y是相互独立的。理G）和 玛 ，如果对一切X,Y有,3.3.2独立性的充要条件1.离散型随机变量的情况定 理 1：设（X,Y）的 分 布 律 为 中 7,丁 川区J T 2边 缘 分 布 律 分 别 为J，及 ，则 X 与Y 相互独立的充分必要条件为坨区,。一切尤J.证略。例8.袋中有2个白球，3个黑球，从 袋 中（1）有放回地；（2）无放回地取二次球，每次取一个，令1rfl 笫一次财白球，h 第