初三数学复习资料1资料.pdf

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1、1、实数.22、整式.53 分式.104、二次根式.145、不等式与不等式组.196、方程与方程组.247、分式方程.308、列方程解应用题.349、函数与图形.3810、一次函数与反比例函数的图形和性质.431 1,二次函数的图形和性质.5312、函数的应用.5913、统计与概率.6714、三角形.7415、多边形与平行四边形.8016、特殊的平行四边形.8617、相似三角形与解直角三角形.9418、圆的性质及计算.10219、圆的位置关系.1091、实数一、知识要点概述2、数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴，数轴上的点与实数是一一对应关系.里3、有理数都可以表示为，的形式（p、

2、q为整数旦p、q 互质）；任何一个分数都可以化成有限小数或循环小数.4、实数运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方和开方运算，其中除数不能为0;开偶次方时被开方数不能是负数；混合运算时，先算乘方、开方，再算乘、除，最后算加、减，有括号时，按括号指明的运算顺序进行.5、实数的大小比较有三种方法：数轴比较法：数轴上表示的两实数，右边的数大于左边的数.差值比较法：对于实数a,b,当a b 0 时a b；当a b=0 时，a=b；当a b 0时 a b；当方 时 a b；当否 时，a=b.6、近似数与有效数字：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位,这时，从左边第一个不是0

3、的数字起到精确到的数位止，所有的数字都叫这个数的有效数字.7、科学记数法：把一个数记成a x 1 0”的形式，叫做科学记数法，其中l S|a|Ob,|a|b|得 b a0,a+b：(用+(-夕-向 庄-CT1(2)-40：x6+需)+0.5a一尸据 2 1-1 -2+1 -小;+.一 石点评;(DK电吼吟处-0,解 田 号 x+龄x2x(-如；-TxT sx 2 x(4xrlx 0-289点评：在知他算中宜化虚做分第幽m i痛.令洒疑 Y f0 不可将-2领认为a例3、(1)如果I尸 3 W卜I g,求2xy+z的值.(2)若|x+2y+3|+x2+y2=2xy,求 乂 丫 的值.W：A|j*

4、-3|-|2 x-4|+a-3 -0/-3-0由苓般的性9藩2 x-4-0j-3-0$3:x-2z-3二 2 x-y+-2x2-34-3-4(渊幽1力：*+2/3|4。*蝴 的0呵=：鲁。十 二；:.(-1尸 一1点评：算术平方根、绝对值、平方等具有非负性，在解题时应注意运用，同时注意几个非负数的和为零时，可得绝对值内代数式为0,算术平方根的被开方数为0,平方的底数为0.例 4、填空题：(1)近似数3.20 x10,精确到 位，有 个有效数字.(2)将 908070万保留两个有效数字，用 科 学 记 数 法 表 示 为.(3)光的速度约为3x10s千米/秒，太阳光射到地球上需要的时间约为5x1

5、(?秒，则地球与太阳的距离是 千米.解:(1)十 万,3(2)9.1 xio9(3)3xl0sx5xl0=1.5xl0千米点评：科学记数法是中考中常考的题目.应根据指定的精确度或有效数字的个数用四舍五入法求实数的近似值，并会用科学记数法.例 5、已知a、b 是有理数，且*争*4一 例“K蓊”求 a、b的值.2；当一3 W x 2 时，y=x 1 x 2+x+3=x,此时无最小值；当 x+(b-cy+(ca的最大值.分析：条件等式和待求代数式都涉及数的平方关系，由此联想到利用完全平方公式求其最大值.据 由 日m i?+朋+/陋3二.9*2d2 4-262 4-2c-2ab-2ibc-2oa 3(

6、+y +J)_ d+y +J +2te+2ai).3x 等-g+A+-2005-r+A+e)2 W 2005二g-与5所 了 +g-a齐卿大f f i 是2005.点评：适 当 期，的方是帆质遭问的关幢例 6、若 2x kxz+3被 2 x+l除后余2,求 k 的值.分析：要求k 的值，需找到关于k 的方程，由2xkx：+3 被 2x+l 除后余2,可知2x，一kx：+1 能被2x+1整除，由此可得关于k 的一次方程.解：2，-二+#群 加 屹二 2/-a i t t f t 2 x+l M b令2*+1-0WK-L222 x(-，-*(-3+l=Q-i +l-04 4MWfcT点评：关键是利

7、用余数定理找出关于k 的方程，当f(x)能被x-a 整除时，f(a)R.例 7、分解因式 a 4+4；x 3-3 x 2+4；(3)x 2+x y-6 y 2+x+1 3 y 6；(4)(x+y)(K+y+2 x y)+(X Y+l)(x y-1)解：a 4+4=a 4+4 a 2+4-4 a 2=(a 2+2)2-(2 a)2=(a 2+2 a+2)(a 2-2 a+2)点评：本题不可分组，又无法直接运用公式，但这两项都是完全平方数，因此可通过添项利用公式去分解.(2)解法一：x3 3 x2+4=x3+x2-4 x2+4=x2(x+1)4(x+l)(x 1)=(x+l)(x 2)2解法 2：

8、x33 x2+4=x3+1 3 x2+3=(x+l)(x2x+1)3(x+l)(x 1)=(x+1 )(x24 x+4)=(x +l)(x 2)2解法 3：x33 x2+4=x3+x2-4 x24 x+4 x+4=x2(x +1)4 x(x +l)+4(x+1)=(x +l)(x24 x+4)=(x+l)(x 2)2点评：这是一个关于x的三次式，直接运用分组分解法是难以完成的，可以先将二次项或常数项进行拆项，再进行恰当的分组分解.设 x 2+x y-6 y 2 +x +1 3 y-6=(x+3 y+m)(x 2 y+n)=x 2-2 x y+n x+3 x y-6 y 2+3 n y+m x-

9、2 m y+m y=x 2 +x y-6 y 2+(n+m)x+(3 n -2 m)y+m i i-13底 仁;2比较左、右两边对应项系数得：回.x 2 +x y -6 y 2 +x +l 3 y-6=(x+3 y -2)(x 2 y+3).点评：这是一个二次六项式，运用分组分解法有困难，根据整式乘法可知，这个二次六项式可分解为两个一次三项式，且前三项二次式x 2+x y 6 y 2=(x+3 y)(x 2 y),由此可知，这两个一次式的常数项待定，因此可用待定系数法分解.(4)设 x+y=a,x y=b则原式=a(a+2 b)+(b+l)(b-l)=T+2 a b+b 1=(a+b)2 l=

10、(a+b+l)(a+b 1)=(x+y+xy+l)(x+y+xy 1)=(x+l)(y+l)(x+y+xy1)点评：整体思想，换元思想是常用的数学思想方法，此题设x+y=a,x尸b 进行代换后，再运用公式法和提公因式法来分解.3分式一、知识要点概述1、分式的概念和性质A(1)定义：若用A、B 表示两个整式，A+B可以写成药的形式，若 B 中含有字母，式子京叫做分式.(加；AO说明:1。分式的值为0 的条件是：分子为零且分母不为0;2。当分母为零时，分式无意义；3分式的基本性质是分式运算的重要依据，分式的运算方法和顺序与分数的运算类似.2、分式的运算法则c c c b d oa.一 a c as

11、 a c a d ad除 您Arf-M 尸牙FL不说明：分式的符号变化法则是指整个分子分母和分数线前的符号，切忌只变分子或分母中第一项符号.3、约分：根据分式的基本性质，把分式的分子和分母中的公因式约去，叫做约分.4、通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化成和原来的分式分别相等的同分母分式,叫做通分.二、典例剖析例 1、若 分 式 x-3 的 值 是 绝 对 值 最 小 的 实 数.则*=.分析：绝对值最小的实数是0,从而得出分式的值为0,则分子为零且分母不为0,故可求出X.*一6 0 J C 6。MM C山网 阳*-0 二 I 1HVK-2解：=3 L*dD说明：分式的值为0,分子为零都

12、知道，但往往忽略分母不为0,这是此类题目的考察重点./+3TQ例 2、如果n 为正整数，是既约分数,那么/+M T 6 -分析：n2+3n-10=(n+5)(n 2),i)2+6n16=(n+8)(n2)分式，分母有公因式 n2,但此分数为既约分数，从而有n2=L 易可求H,进而求出此分式值.：曲B珈空生以”沪孚M晚Hfc二二71 +“16(+)(-2)二层式=丝2=9是 一 个 喇 分 政8 II说明：解答此题的关键在于：巧妙运用既约分数的概念确定n 的取值，注意化简分式时先要分别将分子、分母分解因式，再约分.匕-即-小他-典-a)Q-a X f分析：先找出原式中的最简公分母，再对原式进行通

13、分，然后将原式进行因式分解，以便约分化简.y*-*-6如+.+*-G-冷3/S+施+-2oO+c)y-浙*-6如。斯一树-Sm-*-C)6x+3例 4、若 x 取整数，则使分式五二T 的值为整数的x 有()A.3 个 B.4 个C.6 个 D.8 个分析：6x+3将分式 京 工 进行分析，即将它变形为一个整数部分与一个分子为整数的分式之和的形式，然后再讨论其整数的个数.解：.6*+3_3(2*-9+6_3.6-2 x-l-2x-l 2x-l.当 2x1=1 或3 时，x 为整数，0,1,2,-1；当2x-l=6或2时，x 都不是整数.所以符合题意的x 的取值只有4 个，应选B 项.说明：将分式

14、进行分拆，关键是在于把分子中含字母的部分凑成与分母相同的公因式.制5、改a+*5.乃+C T +2.z求a+.+%-2t t t t。占 *2 3fr+2c-8 2c+a-A 4a-3i+C+7分析：由已知可得到关于a、b、c 的值，然后代入求值.解：由 3a+2b 5=2(ab+2)得 a+4b 9=0 由 2 b+c-l=2(3b+2c-8)得 4 b+3 c-17=0 由 c-3a+2=2(2c+a-b)得 3c+5a 14=0 解联立组成的方程组得a=l,b=2,c=3.-。-+-加-%-2-U-4-+-9-2-1-2-I.,S c，。一第+:+7 4-64-34-7 8说明：对于含条

15、件等式的分式求值问题，除考虑对欲求的分式化简外，还要对条件进行分析适当变形，并根据需要加以转化.9 一.切+电1 T.A.G.+,.1 -+.1.(p-djfp-K)a-b b-c c-a分析:从等式的左边人第先将三个分5cttM W曜 赫 糊 汁 分 式 分 为 两 个 分式 腌 曜 期 期 川 胆 曲 E证M,._ g C)Q 0 _ 1 _ I 一3)(。一 6一 5(。一。)a-b a-c.e w g-g.0-b-c A Jf-5 I I心 一 明 仁 一 切 C P c-ba-b i-c h-c A-i c-a e-b2 2 2 4-+-石XB-A b-e e-a说明：添项、拆项是分

16、式计算与证明的常用方法.此题可抓住左边分式的分子与分母的特点进行突破，如 b c=(ac)(ab)就可以进行分拆.即 已 如 工a-A+u P+A+U*“+摘+姓 同 好 值abcb分 析 已知条件以连比的瘠式出现可弓1 m#s t栽 示 连 叱 从 瞰 分 式 化 为一 二a-b+e rar+A+e,r -*至 血 一 耐 的u mu n m-iAftttlt fl 4-6-2c.a+,*b+c 力断-8.至+5*c =暄 可 帆 *5 =-riftr*c =也此式(-k-i点评:应用等比性成？-生=翌字二不检蜿哄成立的b d A+0)(如久布卜。(-(0坐(b 妾 0.o4a5、二次根式的

17、运算(1)因式的外移和内移如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外；如果被开方数是多项式的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外.反之，也可以将根号外的正因式平方后移到根号里面去.(2)有理化因式与分母有理化两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式，将分母中的根号化去，叫做分母有理化.(3)二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式.(4)二次根式的乘除法二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)所得的积(商)仍作积(商)的被开方数，并将运算结果化为最简二次根式.(5)有理数的

18、加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律、乘法对加法的分配律，以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算.二、典例剖析制卜已如-分析：因一个等式中含有两个未知量，初看似乎条件不足，仔细观察两被开方数互为相反数,不妨从二次根式定义入手.私加.2U-5 x:.，*丁-2+22&他、的品rJWffi硕（）-B-1 -4-JV d d分标徜国X不再含悔左队丽Jg开加邮墀方逋访必为完全平方式龌曲例3、已知x y 0,化 简 二 次 根 式1 U 的正确结果是()A.与 B.-6 C.9 D.-日分析：解题的关键是首先确定被开方式中字母的符号，既可以化简被开方式，又可把根号外的因式移入根号内.龌 选D新成

19、版式-说明：运用二次根式性质解题时，既要注意每一性质成立的条件，又要学会性质的“正用”与“逆用”特别地字母因式由根号内（外）移到根号（外）内时必须考虑字母因式隐含的符号.伸、计算:画#(小刖()弧+超+%+赤+2+动+邛+咕+4%f714749,、加 一 桐-2#+坤 一6 1 8W 下；邛+1分析：若T F懒 也 分 面 毗 嗯 使 巾 愎 杂 化 期 一 中 分 子 与 分 母 的 冲特点遢过公拆、分nTtt化、配 方 等 方 法 等 押 函 的 联 族。阳 的 免*口.耳婀.第十如 0 舄+而mff#+6一5(而+6*+6 S-4 点一-C s3一 方 幡+而 及 我+而.幡+M右+拘

20、氏片加一C X|f#JE MtKB-R 11Al新 维 式2 0-1 曲+1-i(*-*.)2 7T=9 w)城沙外令5方*)-挤卜吟9法 师 一 扬+26的-际+附 囱下+2万+10fj-&X逐+2 耳+D岳2日+1帏、+3 4-00,粒分析因为只有同类二次援式才脸法Ifm+邛 师,故6方 都 与 阿 为 二：因 为 廊 io因 故只好以下三冷情M点+邛-/+*邛+64 用+邛1邙-27a1 -4-2 3e-3 5例6 已知 2,求a+b+c的值.分析：已知条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式怎样才能确定未知量的值呢？考虑从配方的角度试一试.斛I Q4-(fe-2-2)?+3-

21、3)?.Q/a-l-1 。懈 网R雌 脚*J 2-2-0二a-4 b0&C12故 a+3+c-2D.点评：应用非负数概念和性质是初中代数解题的常用方法之一，同，肝，石 是 三种重要的非负数表现形式.判断一个数是否为非负数，最关键的是看它能否通过配方得到完全平方式,如：。士 中(演上4)2在解多变元二次根式，复合二次根式等问题时，常用到配方法，如化简如S+2了-J o+咏 了“1 /8+啦,+再2-4 疝5、不等式与不等式组一、知识要点概述1、不等式的基本性质（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同-个整式不等号的方向不变.（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.（

22、3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.2、不等式（组）的解法（1）解一元一次不等式和解一元一次方程相类似，但要特别注意不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变.（2）解不等式组一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集，再求出它们的公共部分,就得到不等式组的解集.（3）设a a 不 等 式 组 的 解 集 是 x b（大大取大）；ixca不等式组b Cb的解集是x a（小小取小）；卜”不 等 式 组 的 解 集 是 a x 0（D5 T Q T 无解，则 a 的 取 值 范 围 是.分析：对于(1)，由题意知不等式的解在x 4 的范围内；对于(2),

23、从数轴上看，原不等式组中两个不等式的解集无公共部分.解：(1)由题意得 3,.9a a,由(2)得烂3,因不等式组无解，aW3.说明：确定不等式(组)中参数的取值或范围常用的方法有：(1)逆用不等式(组)解集确定;(2)分类讨论确定；(3)借助数轴确定.例 2、解 F列关于x 的不等式(组).(l)|x-2|2x-10；(2)(2mx+3)-n2和 x 2,去掉绝对值后求出不等式的解集；对于Q),化为axV b 的形式，再就a 的正负性讨论.*侬 仝 曲 麻 网 部 理 发l T产2 8 血 芸4面以此用1丽等式无,和环等的 桃为x妾8.-33 T M M O 别 繇 咖 喏 三痴，-3 3-

24、5 1 1；22M-3密.如 且 封不型的螂量为制实St2生 二 厮 系 有 所 就 加2说明：涉及未知系数或绝对值式子的题目，均可用零点分段讨论法解答.例 3、已知3a+2b 6=ac+4b 8=0且 ab 0求 c 的取值范围.分析：消去a,b 得到关于c 的不等式组，解不等式组得c 的取值范围.幄 解 好a、的 耀1ft广+司.三4-46-8-0 L 12-3cL 6cja 沁&航 班 12-&褥 。1硝 怀 的 闻 3 AM膜 加 乂 禽 的xa分析：已知不等式组的解集，求某些字母的值(或范围)是不等式组解集确定方法的逆向应用,处理这类问题时，可先求出原不等式组含有字母的解集，然后对照

25、已知“对号入座”，应取有针对性的方法.*y(-5d+6fr)又碗收虾3 2 2扣 s 砌-22砌5(由松可 化*K富 皿 2二，W2 狂这虾能叫闻 a 3Vl-t分析：M成 已 知 败 解 美 丘 洌 方 程 统 砌 由 结 果 代 入x+”O jtt例 _个关于，的 不 答 式*这 个 不 电 式 岸 可 以 求 也 的 瞥 值,/*+y V O L 二：Q+SK)+加-3)Q,MffiR -I.AR 10)；yi=(25xl0+5x)x90%=4.5x+225(x10)(2)由(1)有 y,y,.=0.5x25当y y 0 时，解得x=50；当 y,-y,0 时，解得 x50；当 y一y

26、VO 时:解得 x 5 0,由(2)知不考虑单独选用优惠办法甲购买.若只用优惠办法乙购买10支毛笔和60本书法练习本需付款(25x10+560)x90%=495(元)若用优惠办法乙购买m 支毛笔，则须用优惠办法甲购买(10 m)支毛笔，用优惠办法乙购买60(10m)=m+50本书法练习本，设付款总金额为P,贝 U：P=25(10-m)+25m+5(m+50)x 90%=2m+475(0m 10)所以，当m=0即用优惠办法甲购买10支毛笔，再用优惠办法乙购买50本书法练习本时，P 取得最小值为：2x0+475=475(元)故选用优惠办法甲购买10支毛笔，再用优惠办法乙购买50本书法练习本的方案最

27、省钱.例 7、我市某化工厂现有甲种原料290kg,乙种原料212kg,计划利用这两种原料生产A、B 两种产品共80件，生产一件A 产品需要甲种原料5kg,乙种原料1.5kg,生产成本是120元；生产一件B 产品，需要甲种原料2.5kg,乙种原料3.5kg,生产成本是200元.(1)该化工厂现有的原料能否保证生产？若能的话，有几种生产方案？请你设计出来.(2)设生产A、B 两种产品的总成本为y 元，其中一种生产的件数为x,试写出y 与x之间的关系式，并利用关系式说明(1)中哪种生产方案总成本最低？最低生产总成本是多少？分析：若设安排生产A 种产品x 件，根据题意可建立关于x 的不等式组，解出不等

28、式组得x的取值范围.由x 为整数在取值范围内确定x 的取值，从而得出生产方案，然后由成本的已知条件求出x 与y 之间的关系式，根据此关系式求出最低生产总成本.解：(1)设安排生产A 种产品x 件，则生产B 种产品(80 x)件，依题意，可得：解得：34x()时，方程有两个不相等的实数根.-4 f?七 2a当=()时，方程有两个相等的实数根，即 2a.当 时，方程没有实根，反之成立.b6、若一兀二次方程a x 3+b x+c=0(a#0)的两根为X”x,则“7、以两数a、|3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是片一(a+(3)x+a0=O.8、解一次方程组的基本思想是消元，常用的消元方法是加减

29、消元法和代入消元法.9、解简单的二元二次方程组的基本思想是“消元”与“降次”.若方程组中有一个是一次方程，则一般用代入消元法求解；若方程组中有能分解成两个一次方程的方程，则一般用“分解降次”的方法将原方程组化为两个或四个方程组求解.10、简单的分式方程组的解法，-般是用去分母或换元法将其转化为整式方程组求解，并要验解.11、方程组的解的存在性问题，一般转化为方程的解的存在性问题来研究.二、典例剖析方祗-系x-是_ _ _ _ _ _ _ _分析:按I*应*显 物 除 奥a-沙 雌 先4m 哂*.：*-彳 吃 尸 全q(*T：.x-n点评：灵活解一元一次方程时常用到以下方法技巧.(1)若括号内有

30、分数时，则由外向内先去括号，再去分母；(2)若有多重括号，则去括号与合并同类项交替进行；(3)恰当用整体思想.例2、解下列关于x的方程.(1)4x+b=ax8(a#4)(2)mx-l=nx产3卢+2)分析：把方程化为一般形式后，再对每个方程中字母系数可能取值的情况进行讨论.ff:(QS询窿蚓肉田.-8-A,”4.二 4一“QA l*8+8:.ZWBW AFX -.tf-4斗 耐加脚t，-U当 时 同 昉 闺M(3)0闲 触 柒(-加 4.+J44,7为沁-齐函丽翔t K q飙 期 程 珈.b、JTF列方程廷(023x4-177-63l7x Q,二一 1电、3皿弓二的双1 Mo WjR 5.(2

31、).a-i-1.*AER+?.5.力 如 g -2&-3c O)-6 。2蚂2 x*3-m-.-Aj-4-12。.二 幅J t例7、解下列方程皿7*-1.l-O J x _ 5K IWa(Q 4-0.018 0.012(2)3xJ+x-7=0分析：对于(1)首先应回避复杂的小数运算，注意此时只运用分数的基本性质而未用到等式有关性质.对于(2)此方程用分解因式法难以行通，故考虑用求根公式.35x-5 _ 5-X_25JC+5解：原方程化简得F 3 2方程两边都乘以12(即去分母)得3(35x-5)=4(5-x)-6(25x+5)去括号得：105x-15=204x150 x-30移项及合并同类项得

32、：259x=5例 8、如果关于x 的一元二次方程kx2-2(k+2)x+k+5=0没有实根，试说明关于x 的方程(k5)x22(k+2)x+k=0 必有实数根.分析：由一元二次方程kx，-2(k+2)x+k+5=0没有实数根，可以得出k#),b:-4 a c 0,从而求出k 的取值范围，再由k 的取值范围来说明(k5)xz-2(k+2)x+k=0必有实数根.解：,关于kx。-2(k+2)x+k+5=0没有实数根，户。&.-2役+球 t娥 +$)4当k=5时，方程(k5)x 2(k+2)x+k=0为一元一次方程，-14x+5=0,此时方程的根为当k却 时，方程(k-5)x2-2(k+2)x+k=

33、0为一元二次方程/.=-2(k+2)2-4(k-5)-k=4(9k+4)：k4 且 k 5,.,.A=4(9 k+4)0.此时方程必有两不等实数根，综上可知方程(k5)x2 2(k+2)x+k=0 必有实数根.点评：(1)方程“有实数根”与“有两个实数根”有着质的区别.方程“有实数根”表示方程可能为一元一次方程，此时方程有一实数根，方程也可能为元二次方程，此时方程有两个实数根，而方程“有两个实数根”，则表示此时方程一定为一 元 二 次方程.5】-(3/+板+：/+*+9 0 ()we n：八 A-H 3户2)尸-4 x 5 /,心-0?0痴中I炳T点评：构 造“元二次方程是解题的常用技巧，构造

34、的主要方法有：(1)当已知等式具有相同的结构，就可以把两个变元看成关于某个字母的一元二次方程；(2)对于含有多个变元的等式,可以将等式整理为关于某个字母的一元二次方程.7、分式方程一、知识要点概述1、分式方程：分母中含有未知数的有理方程叫分式方程.2、解分式方程的基本思想方法是：分劝矍3、解分式方程必须验根.二、典型例题剖析10 2-j-+-1例 1、解方程+*-6 *+3.分析：根据解分式方程的一般步骤来解此题.解：方程两边同乘以(x+3)(x-2)得：1 0+2(x-2)=(x+3)(x-2)化简，整理得：X2X 1 2=0解之得X i=-3 或X2=4经检验可知：xi=-3 是原方程的增

35、根，制=4是原方程的根.，原方程的根是x=4.施、好下列方程：6 3 -x-4 0JT-X(2)，+宁3(*+3+40O)2 x-1-3-3K 2?-L分析：用换元法解这些分式方程.-4-0解：(1)设Tx=y,则原方程变为,解这个方程得丫尸一2,y2=6,当y1=2时，X2x=-2,此方程无解；当 y2=6 时，X2x=6,；X i=-2,x2=3.经检验可知：x尸一2,x?=3 都是原方程的根.，原方程的解为X i=-2,X2=3.x jr理 9 t M _.0网p-3y+2-0*K*XL 2-iM+g -l，-x+-ix-2,x*-2x-l-0二.I蛭IMft可 蛔.、曲 勒F，L:金

36、方 碰 栩 j.*y去分4 W :/-3Z-4-0解3 5-1力，iBfej?*-x 1-0Kiff右/-ly4fi9 -4fex 4x I-0潭.”i g a经 枪 躯m.；.7 ql-如 提 朦 方 酗 猴航01朦 方 源 的*力.；.T两1+乎必”李*Vi_ K-JR i I例3、当m为何值时，关 于x的方程丁有 7:1无实根?分析:先将分式方程化为整式方程，如果整式方程有实根，那么这些根均是原方程的增根，这样x=0 或 x=l 是所得整式方程的根，如果整式方程无实根，那么原方程也无实根.解：原方程去分母，整理得：X2x+2 m=0 (1)若方程有实根，根据题意知，方程的根为x=0 或

37、x=l.把 x=0 或 x=l 代入方程得m=2.而 x=0 或 x=l 是原方程的增根.，当m=2 时原方程无实根.(2)若方程(1)无实根，则=(-1)2 4(2 m)07M X,出售价(优惠价)为x-(l+40%80%解：设原价为每x 元/台，根据题意得：x-(l+40%)-80%-x=270解之得x=2250元.答：原价每台2250元.点评：对这种明优惠、暗提价的经销问题关键是区分清楚标价、优惠价及原价之间的关系.例4、某公司存入银行甲、乙两种不同年利率的存款共20万元，甲种存款的年利率为1.4%,乙种存款的年利率为3.7%,该公司一年共得利息6250元，求甲、乙两种存款各为多少万元？

38、解：设甲、乙两种存款分别为x、y 万元，1注 锦+8.7 -(1%515答：甲、乙两种存款分别为5 万元，15万元.点评：利率问题是中考命题的热点问题，应弄清存款本金、利率、存期及利息之间的关系：利息=本金X利率X期数.例5、A、B两汽车站，每隔相同的时间相向发出一辆汽车，A、B之间有一骑自行车的人,发现每隔4分钟迎面开过来一辆汽车，而每隔12分钟有一辆汽车从后面开来并超过他，若人与汽车的速度始终是匀速的，问A、B两站每隔几分钟各发一次车？分析：行程问题也是一类重要的应用题，解题时，一定要透彻理解题意，本题中“每隔4分钟迎面开过来-辆汽车”相当于“骑车人和汽车相向而行4分钟相遇”，而“每隔12

39、分钟有辆汽车从后面开过来并超过他“相当于汽车与自行车同向而行，12分钟汽车追上自行车”.解：S设汽车速度为x,骑车人速度为y,先后两辆汽车的间距为S,欲 求 依 题 意 得：匕 昌 二*S/吟6答：两车站每隔6分钟发一次车.例6、某三位数除以它各数位上数字的和的9倍得到的商为3,已知百位上的数字与个位数字的和比十位上的数字大1,如果把数位上的数字顺序颠倒，则所得的新数比原数大99,试求这个三位数.集设这个三阳R百世1加 为A 字珈 个控上政环 依lOOx+10/+r-y+)QOQr+1。户 力-Q00jr+lQ/D.9 973x-l7jr-26z-0M l9 -x-x-IIIz-3F：鼾求峋三

40、世3 3.9、函数与图形一、知识要点概述（一）函数有关概念1、常量：在某一变化过程中保持不变的量.2、变量：在某一变化过程中可取不同数值的量.3、函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x,y,对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，则y 是x 的函数，x 叫自变量.4、函数的表示方法的雌5、画函数图象的步骤：列表；描点；连线，通常称为描点法.6、函数自变量的取值范围$式函数:自变量联任E K0分式画徵:自交鼬甄值使分母 斑祯报式的政：自变的超3研方重为毒负蚊的炎丸婀斜;自 文 勖 班 值 酬 映 餐 丽 憧 义（二）平面直角坐标中点的坐标特征第一家及+.+）k MIRA9点土士步

41、？第四象核+）2.霹3、平行于坐标轴的直线上的点(1)平行于x 轴的直线上任意两点的纵坐标相同；(2)平行于y 轴的直线上任意两点的横坐标相同.4、对称点的坐标：(1)点P(a,b)关于x 轴的对称点坐标是P,(a,-b)即横坐标相同，纵坐标互为相反数.(2)点P(a,b)关于y 轴的对称点坐标是R(a,b)即横坐标互为相反数，纵坐标相同.(3)点P(a,b)关于原点的对称点坐标是P,(a,-b)即横、纵坐标都互为相反数.5、各象限角平分线上的点(1)第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等.(2)第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数.6、点与原点、坐标轴的距离(1)点P(a,b

42、)与 原 点 的 距 离 是.点 P(a,b)与 x 轴的距离是|b|(即其纵坐标的绝对值).(3)点P(a,b)与y 轴的距离是|a|(即其横坐标的绝对值)二、典型例题剖析例 1、现有点M(l+a,2b 1)在第二象限，则点N(a1,l2b)在第 象限.分析：本题主要考查各象限内点的坐标符号特征.由于点M 在第二象限，2 6T 0 所以N 点在第三象限.解：三例 2、若 m 为整数，点P(3m9,3 3m)是第三象限的点，则 P 点的坐标是()A.(3,3)B.(3,2)C.(2,2)D.(2,3)分析：根据第三象限点的符号特征，建立不等式组求出字母m 的取值范围，再确定m 的值，从而可得P

43、 点坐标.解：选 A.例3、点A(1,m)在函数y=2x图象上，则点A关于y轴 的 对 称 点 的 坐 标 是(,)分析：把 A(l,m)代入函数式y=2x中，求 m=2,则A(l,2),再根据对称点的符号规律求A点的对称点坐标.解：(-1,2)例 4、已知P点关于x 轴的对称点P的坐标是(2,3),那么点P关于原点的对称点R的坐标 是()A.(-3,-2)B.(2,-3)C.(-2,-3)D.(-2,3)分析：由点P与 R(2,3)关于x 轴对称，故求P(2,3),.点P(2,3)关于原点对称的点坐标易求.解：选 D.例 5、已知两圆的圆心都在x 轴上，A、B为两圆的交点，若点A 的坐标为(

44、1,-1),则点B的坐标为()A.(1,1)B.(-1,-1)C.(-1,1)D.无法求出分析：由于圆是轴对称图形，故两圆的两个交点A,B关于x 轴对称.解：选 A.例 6、下列各组的两个函数是同一函数吗？为什么？尸 和 *(2)y=7 t x 2 和 S=7 t r2(M 4J x 0,r 0)(3)y=x +2 和了 而 可分析：判断两个函数是否为同一函数：要判断两个函数的自变量取值范围是否相同；要判断自变量与函数的对应规律是否完全相同.解：(1)不是同一函数，因为它们的自变量取值范围不同，前者是全体实数，后者是X#)的实数；(2)是同一函数，因为它们的自变量的取值范围相同，而且自变量与函

45、数的对应规律完全相同；(3)不是同一函数，因为它们的自变量取值范围不同，前者是全体实数，后者是立一2.I 例 7、在函数 中自变量x的 取 值 范 围 是.分析：求函数式中自变量的取值范围的一般思路是：函数解析式中的分母不能为0；偶次根式的被开方数应为非负数；零指幕和负整指数幕的底数不能为0.此题中,(*+1/0M d。解：xN1 且 x,2.例8、等腰4A B C周 长 为10cm,底 边BC长 为y c m,腰 长AB为x cm.(1)求 出y与x的函数关系式；(2)求x的取值范围；(3)求y的取值范围；(4)画出此函数的图象.分析：要 求y与x的函数关系，关键是找出y与x之间的等量关系，

46、确 定x的取值范围应从边长为正数和三角形三边关系方面入手.画函数的图象应按列表、描点、连线的步骤进行，同时应注意自变量的取值范围对图象的影响.解：(:ABC 的周长为 10,.,.2x+y=10,.y=102x.y0y2x由解之得0y 0时y随x的增大而增大.当kVO时y随x的增大而减小.5、一次函数y=kx+b的图象与k、b的符号关系表k、b的符号草图经过的象限k0,b 0JL.直线经过第一、二、三象限nk0,b 0时，图象的两分支分别在第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小.(2)当k&MQ,SLOB-X,JL S-F I I-q 3二，*o二 j -3X.M 二 4M一 无M.A-

47、3二侬双 11风r.-j.K t t*/x-l由跟MU f t -3又由9瞳可知jt中点：./cCf 6把Wl J：q!欢 晦 匕/磷:切 专 手m点s o网r合 条 他 叱 时 充 叫2g 7_ k按比例系数的性质进行分类讨论.当k 0时双曲线 一7在第二、四象限，而直线y=k（x l）在第一、三、四象限，故只有选B.例7、已知（一 1,y,）,（2,%）,（兀，）在反比例系 数 的图象上，则下列结论正确的 是（）A.y i y2y3 B.C.y Ay Ay?D.y2y3 yl解：选B.无 论k为何值，反比例系数一妙一1 0,所以双曲线”一X的两个分支分别位于第二、四 象 限.故 当x 0,

48、当x 0,y%,y y3.又，：2 y2.,*.y,y 5 y2,选 B.1-2JK例8、已知反比例函数 x 的图象上两点AJ,y,）,B（x”y j,且 当x C OV x?时有y,0 C-M -2 2解：选 C.由 Xi 0 X2时有 y 0,2例9、某批发商欲将批海产品由A地运往B地，汽车货运公司和铁路货运公司均开办海产品运输业务，已知运输路程为1 2 0千米，汽车和火车的速度分别为6 0千米/时和1 0 0千米/时，两货运公司的收费项目及收费标准如下表所示：注：“元/吨千米”表示每吨货物每千米运费；“元/吨小时”表示每吨货物每小时冷藏费.运输工具运输费单价（元/吨 千克）冷藏费单价（元

49、/吨小时）过路费（元）装卸及管理费（元）汽车252 0 00火车1.8501 6 0 0(1)设该批发商待运的海产品有x(吨),汽车货运公司和铁路货运公司所要收取的费用分别为y(元)和V(元)，试求y和 y 2 与x的函数关系式.(2)若该批发商待运的海产品不少于3 0 吨，为节省运费，他应选哪个货运公司承担运输业务？分析：这是一道图表信息题，决策题型，读懂题意，列出两个函数关系式是关键.解：(1)根据题意有M-2xl20 x+5x 等 4-200-250 x+200M-1J8XI20J C4-5X4-1600-222-IfiOOLOO(2)当 y i=y?即 2 2 2 x +1 6 0 0

50、=2 5 0 x+2 0 0,解得：x=5 0；当 即 2 5 0 x+2 0 0 2 2 2 x+1 6 0 0,解得：x 5 0；当 y 即 2 5 0 x+2 0 0 2 2 2 x+1 6 0 0,解得 x 5 0.当所运产品刚好5 0 吨时，选汽车公司或铁路货运公司中的任意一家均可；当所运产品不少于3 0 吨且不足5 0 吨时，选择汽运公司，当所运海产品多于5 0 吨时，应选择铁路货运公司.例 1 0、十堰市广电局与长江证券公司联合推出宽带网业务，用户通过宽带网可以享受新闻点播、点击武当、影视欣赏、股市大户室等项服务.其上网费用的方式有：方式一，每月8 0 元包干；方式二，每月上网时