概率统计基础知识1.pdf

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1、概率统计基础知识及其在matlab中的实现-假设检验的基本概念前面我们讲了如何根据子样去得到母体分布所含参数的优良估计。用这样得到的估计值作为参数的母体必须与真的母体作比 较，考察它们之间是否在统计意义上相吻合。显 然，这种比较也只能在子样的基础上进行。怎样在子样基础上作出一个有较大把握的结论就是统计假设检验问题。假设检验是统计推断的一个基本问题，在总体的分布函数完全未知或只知其形式但不知其参数的情况下，为了推断总体的某些 性 质，先对总体的分布类型或总体分布的参数做某种假设，然后根据样本提供的信息，对所作的假设作出是接受，还是拒绝的决 策，这一过程就是假设检验。(1)假设检验的基本原理假设检

2、验在统计方法中的地位参数估计 假设检验例 某鱼池中养着有红鱼及黑鱼，总数为1 0 0,但不知红鱼和黑鱼各占多少。现提出假设“0：其 中99条鱼是红鱼。现在来判断这个假设是否成立。先假设“成立（”。为 真）,那么“从池子中任意捞一条鱼，捞出的是黑鱼”这一事件的概率为0.0 1 ,我们认为这是一个小概率事件。如果捞一条鱼居然是黑鱼，那么就应该拒绝“，即认为白鱼的数不是99。如果任意捞出一条是白鱼，此 时 没 有 拒 绝 的 理 由，则接受8.。（但是，这样作的决策就没有问题吗？肯定是正确的吗？）什么小概率？1 .在一次试验中，一个几乎不可能发生的事件发生的概率2 .在一次试验中小概率事件一旦发生，

3、我们就有理由拒绝原假设3.小概率由研究者事先确定假设检验的基本原理：首先提出原假设a。，其次在4 成立的条件下，考虑已经观测到的样本信息出现的概率。如果这个概率 很 小，这就表明一个概率很小的事件在一次实验中发生了。而小概率原理认为，概率很小的事件在一次实验中几乎是不发生的，也就是说在“。成立的条件下导出了一个违背小概率原理的结 论，这 表 明 假 设 是 不 正 确 的，因此拒绝”0 ,否则接受“0。（2）假设检验的两类错误假设检验中作出推断的基础是一个样本，是以部分来推断总体，因此不可避免地会犯错误。第一类错误（弃真错误）：为真而拒绝 0 ；第二类错误（取伪错误）：o不真而接受“0。犯第一

4、类错误的概率记为P 当名 为真拒绝ao ,犯第二类错误的概率记为。当 o不真接受 o。我们当然希望犯两类错误的概率都很小，但 是，进一步讨论可知，当样本容量固定时,若减少犯一类错误的概率，则犯另一类错误的概率往往增大。若要使犯两类错误的概率都减小，则须增加样本容拒绝H0第一类错误（a）功效（1-b）在给定样本容量的情况下，一般来说，我们总是控制犯第一类错误的概率，使它不大于a,即令P 当 名 为 真 拒 绝V。，2通常取0.1,0.0 5,0.0 1等。这种只对犯第一类错误的概率加以控制。而不考虑犯第二类错误的概率的检验，称为显著性检验。是一个事先指定的小的正数，称为显著性水平或检验水平。（3

5、）假设检验的步骤例1某车间用一台包装机包装葡萄糖。包得的袋装糖重是一个随机变量，它服从正态分布。当机器正常时，其均值为65公斤，标准差为0 0 1 5公斤。某日开工后为检验包装机是否正常，随机地抽去它包装的糖9袋，称得净重为（公斤）：0.4 97 0.50 6 0.51 8 0.52 4 0.4 98 0.51 10.52 0 0.51 5 0.51 2问机器是否正常？该问题可叙述为：在检验水平。下，检验假设 o：=4 o =0.5,H.N 手 No称为双边检验。与双边检验对应的内容是单边检验，包括：右边检验：”0:/为左边检验：H。：心 外,H：NO下面来求解例3解 设X :这天袋装糖的重量

6、，则X N(,0.0 1 52),未知。H。；从=氏=。5,H ji 手 /I。又是的无偏估计 o为真时，又一不应过分大即：若 一X-7 己u之左，则拒绝.。九为了确定常数左，我们首先选取检验统计量-N(0,1)cr/yjnX n X u当 o为真时，p N(0,l),记u P (检验统计(y/yjn),尸 当名 为真拒绝/=以|U|k=ao令P 当H为 真 拒 绝/=。，即 以 “乂 =。，则 即此 为真时，事件“三答J为小概率事件。取二二 0.05,代入样本值，阡3 =2.2ua=1.96,所以cy/yjn 2拒绝”0 ,即认为该天包装机工作不正常。不等式4华 卜 仁，即时之与称为拒绝域产

7、上称为临界点。|b/g|5 2 2假设检验的步骤：1、提出原假设。和备择假设修2、给定a及 3、选取检验统计量及确定拒绝域的形式4、令P 当名 为真拒绝，求拒绝域5、由样本值作出决策：拒绝。或接受。例1中，我们选取的检验统计量为U,所用的检验/4n方法称为。检验法。例2某种产品质量XN（12,l）（单位：g）o更新设备后,从新生产的产品中随机抽取100个，测得样本均值元=12.5g。若方差没有变化，问设备更新后，产品的平均质量是否有显著变化？（a=0.05）解 Ho/=o=12 H/手 A。拒绝域为毛/华2 uaa=0.0 5ua=1.961 2.5-1 21/Vl OO=5 ua=1.961

8、故拒绝 o ,即认为产品平均质量有显著变化。(4)其他例题问 题 1.根据以前资料，其大学体育系百米跑平均成绩旬=1 2 5%=0.2 今随机抽测1 6人，百米跑平均成绩亍=1 2 3 ,问该系百米跑成绩与以前相比有无显著变化？问题2 某人以前投篮命中率为70%,经过一段时间训练，抽测1 0 次投篮，结果投中8 次，问题其投篮命中率有无提高？问题3 为了研究甲、乙两地1 8岁男子的身高，今从两地分别 随 机 抽 测 5 0人 和 6 0人，得 到 平 均 身 高 分 别 为豆=1 70 c九元2 =1 71 cm，问甲、乙两地1 8 岁男子的身高有无差异？问题4 为了检查某种短跑训练方法的效果

9、，对 2 0 人进行实验测得训练前百米跑平均成绩1 2 1 ,训练后为1 2,问该训练方法是否具有显著效果？二 方 差 分 析在假设检验中，我们研究了一个样本的平均数或比例与假设的总体均值或比例的差异是否显著的问题。我们也研究了两个样本的平均值和比例差异是否显著的问题。但是如果需要检验两个以上总体的均值是否相等，上一章所介绍的方法就不再适用了。这需要用方差分析的方法来解决。方差分析主要用来检验两个以上样本的平均值差异的显著程度，由此判断样本究竟是否抽自具有同一均值的总体。方差分析对于比较不同生产工艺或设备条件下产量、质量的差异，分析不同计划方案效果的好坏和比较不同地区、不同人员有关的数指标差异

10、是否显著时，是非常有用的。(1)单因素方差分析1问题的提出例题为了比较三种不同材料对产品寿命的影响，试验人员分别对三种不同材料所制造的一组产品的寿命进行了测试，所得结果如表1所 示(为简化计算，以各取4个样本为例1表1某种材料使用寿命的抽样统计表材料种类实验1实验2实验3实验4A1151169883B103107118116C73898597现要求根据上述试验结果，显著性水平为。的条件下，检验所选用的材料对最终产品的使用寿命的影响是否显著。从统计的角 度 看，就是要检验三种不同的材料所生产的最终产品的使用寿命的均值是否一致。通 常，在方差分析中，我们把对试验结果发生影响和起作用的自变量称为因素

11、。如果方差分析研究的是一个因素对于试验结果的影响和作用，就称为单因素方差分析。在本例中，因素就是可能影响产品使用寿命的材料。因素的不同选择方案称之为因素的水平。上例中材料有三种不同的选择就说因素有三个水平。因素的水平实际上就是因素的取值或者是因素的分组，例 如，可以在包装、质、价格和销售区域等方面取不同的值或分为不同的组，就表示因素选了不同的水平。方差分析要检验的问题就是当因素取不同的水平时，对结果有无显著的影响。若无显著影响，则随便选择哪一种材料都无所谓。否则就要选择最终产品寿命最长的一种材料。一般地，我们假定所检验的结果受某一因素A 的影响，它可以取 K 个不同的水平：1,2,3,K。对于

12、因素的每一 水平i都进行几次 试 验，结果分别为x）,XX 历，我们把这一组样本记作X,，假定,即对于因素的每一个水平，所得到的结果都服从正态分布，且方差相等。用统计的语言来表达，要检验的假设就是：HQ：=.=*，?：不 是 所 有 的 必 都 相 等/）由此可见，方差分析是研究一个或多个可分组的变量（称为自变 量）与一个连续变量（因变量）之间的统计关系，并测定自变量在取各种不同水平时对因变量的影响和作用的一种统计分析方法。方差分析通过比较和检验在因素的不同水平下均值之间是否存在显著的统计差异的方法来测定因素的不同水平对因变的影响和作用的差异。2 方差分析的基本原理和步骤方差分析的基本思路是：

13、一方面确定因素的不同水平下均值之间的方差，把它作为对由所有试验数据所组成的全部总体的方差的一个估计值。另一方面，再考虑在同一水平下不同试验数据对于这一水平的均值的方差。由 此，计算出对由所有试验数据所组成的全部数据的总体方差的第二个估计值；最 后，比较上述两个估计值。如果这两个方差的估计值比较接近就说明因素的不同水平下的均值间的差异并不大，就接受零假设。否 则，就说明因素的不同水平下的均值间的差异比较大，就接受备择假设。根据上述思路我们可以得到方差分析的方法和步骤。1)提出假设H。：4=4=外,即因素的不同水平对试验结果无显著影 响，不是所有的必都相等(,=1,2,.水)，即因素的不同水平对试

14、验结果有显著影响。2)方差分解我们先定义总离差平方和为各样本观察值与总均值的离差平方和。记作k 9S S T=ft(X 区 y1=1 j=l其 中：又是样本总均值，即N=成 为样本观察值总数。将总离差平方和分解为两部分：S S T=l(X 又)2Z=1 j=lk n _7=ZZ(x 厂 )+(1)Z=1 J=1心;(5.(32z=l j=l i=l其 中：工是第，.个样本的平均值，即(n /I X /岸J 记SSE=(X/=1 7=1表示同一样本组内，由于随机因素影响所产生的离差平方和，简称为组内平方和。记k _ _ 2SSR=Z(又)一i=表示不同的样本组之间，由于变异因素的不同水平影响所产

15、生的离差平方和，简称为组间平方和。由此可以得到SST=SSR+SSEo对应于SST，SSR和SSE的自由度分别为：N 1，K-1，N K。相应的自由度之间的关系也有：N-1=（K-1）+（N-K）.3）尸检验将SSR和SSE分别除以其自由度，即得各自的均方差：组 间 均 方 差MSR=SSR/（K-1）组内的均方差MSE=SSE/（N K）统计上可以证明E(MSE)=(T2E(M S R)=/+717 t 几k I i=2由 此 可 见，如 果 原 假 设H。：:M=4=4成 立，则E（MSE）=E（MSR）=tr2;否则E（MSR）CT2O根据歹分布，如果原假设“0：从二4二 二从成立，那么

16、MSR和MSE均是4的无偏估计，因而MSR/MSE就服从自由度为（K 1）和（N K）的歹分布。检验统计量厂 MSRF二-MSE如 上 所 述，当 原 假 设%：4=2 =4，成 立 时，E（MSE）=E（MSR）=cr2。此时MSR较小，尸值也较小。反之不成立时，MSR较大，产值也较大。对于给定的显著性水平。查产分布表得到五（左 1,N%）。如 果/耳1,N%）,则原假设不成立，即K个组的总体均值之间有显著的差异，就拒绝“。若方心 伏T N-左），则原假设成立，即K个组的总体均值之间没有显著的差异，就接受“。4）方差分析表上述方差分析的方法可以用一张标准形式的表格来实现这种表格称为方差分析表

17、。它将方差分析的计算方法以简洁的形式进行总结。表格分为五列，第一列表示方差的来源，第二列表示方差的离差的平方和，第三列表示自由度，第四列为均方差，第五列为统计检验尸。表格又分为三行。第一行是组间的方差SSR和均方差M S R ,表示因素的不同水平的影响所产生的方差，其值作为计算统计检验量厂时的分子；第二行是组内方差S S E 和均方差M SE，表示随机误差所引起的方差，其值作为计算统计检验厂的分母，第三行是检验行，表示总的方差SST。由于方差分析表概括了方差分析中的统计量之间的关系，我们在进行方差分析时就可以直接按照方差分析表来逐行，逐列地计算出有关的统计量，最后得到检验尸的值，并把这一厂值与

18、查表所得到的一定显著性水平下的F检验的临界值进行比较，以得出接受或拒绝原假设的结论。总方差表2 单因素方差分析表方差来源离差平方和 自由度均方差统计检验量F组间SSRK 1MSR尸 MSR组内SSEN-KMSE1 MSESSTN-1对于本节开头的例题，我们可计算得到方差分析表如下：表3单因素方差分析表方差来源离差平方和自由度均方差统计检验量F不同材料间130426524.92同种材料间11929132.4总方差249611现假设原问题规定检验的显著性水平。=0.05,查表得到%2,9=4.26。因为1 4.92综052,9=4.26所以拒绝“。，即我们有95%的把握认为三种材料所制造的机器的寿

19、命有显著的差异。(2)双因素方差分析前面所研究的是试验结果仅受一个因素影响的情形。要求检验的是当因素取不同水平时对结果所产生的影响是否显著。但在实践中，某种试验结果往往受到两个或两个以上因素的影响。例 如，产品的合格率可能与所用的设备以及操作人员有关，企业的利润可能与市场的潜力、产品的式样和所投入的广告费用有关等等有关。如果我们研究的是两个因素的不同水平对试验结果的影响是否显著的问题就称作双因素方差分析。双因素方差分析中两个因素的影响既可能是相互联系、相互影响的，也可能是相互独立的。因 此，在分析的方法和步骤上要比单因素时来得复杂一些。双因素方差分析的基本思想与单因素方差分析基本相同。首先分别

20、计算出总变差、各个因素的变差以及随机误差的变差。其次根据各变差相应的自由度求出均方差，最后计算出歹值并作尸检验。双因素方差分析根据两个因素相互之间是否有交互影响而分为无交互影响的和有交互影响的两种情形。我们首先研究两因素无交互影响时的情形。1 无交互影响的双因素方差分析如果某一试验结果受到A和 8 两个因素的影响。这两个因素分别可取K 和M 个 水 平，则双因素方差分析实际上就是要比较因素 A 的K 个水平的均值之间是否存在显著差异，因素8 的M 个水平的均值之间是否存在显著差异。目的是要检验试验中这两个因素所起的作用有多大，是仅仅一个因素在起作用，还是两个因素起作用或者是两个因素的作用都不显

21、著。在假定两个因素无交互影响的情形，通常采用不重复试验，即对于两个因素每一种水平的组合只进行一次试验，这样总共就进行K x M 次试验。假定试验的结果如下表所示。表4双因素分析的试验结果观察值因 素 因素8的水平 _的 行总和口J A 12 3-m1 X”x12 x13 A2XRX?2AX 23 AX 2m4k心Xk2Xk3,.Ax kmA列总和BB2员.Bm其 中：X 是因素A 为水平i，因素B 为水平/时的观察值，lJ J4=1,2,是因素A 在，水平下的所有观察值的总7=1和，鸟二x (j=l,2,加)是因素3在 j水平下的所有观察值/=1的总和。A.=-Y X：=4：因素A 在，水平下

22、的平均值；m mkRB.=X.=-因素8 在/水平下的平均值；j V 1 Ji=l Kk rn k mT=:是所有观察值的总和；i=j=l i=l y=l k m Tx=y y x =:是所有观察值的平均值；N IJ NN =km-是所有观测值的总数。双因素的方差分析问题实际上也是一个假设检验问题。对于无交互影响的双因素方差分析其方法和步骤如下：1 )形成假设由于两因素相互独立，因此可以分别对每一个因素进行检验。对于因素A:“o ：因素A的各个水平的影响无显著差异.乩:因素A的各种水平的影响有显著差异.对于因素8：”：因素8的各种水平的影响无显著差异.乩：因素3的各种水平的影响有显著差异.2）

23、进行离差平方和的分解k?SST=Z（X 厂订f=l j=k m 7=Z （x广 4 一 瓦 +反）+（4-又）+（瓦 一 刀）i=l j=l上式展开式中三个二倍乘积项均为零。我们令k m _ _ _ 2SSE=Z Z（X 4-国+又）一1=1 J=1SSA=m （A.反 yZ=1SSB=k-BJ-X）闫于是就有 SST=SSA+SSB+SSE oS S T 的自由度为（N 1）,S S A 和S S B 的自由度分别为（K l）和（M 1）,而S S E 的自由度为：（N-1）-（K-1）-（M-1）=N-K-M +1=（K-1）（M-1）3）编制方差分析表，进行尸检验用方差分解式所得到的S

24、S A、S S B 和S S E 除以各自的自由度，就得到各自相应的均方差，然后与单因素方差分析时一样，我们可以得到无交互影响时双因素方差分析表如下:表5 双因素无交互影响时的方差分析表方差来源离差平方和自由度均方差统计检验量F因素ASSAK-MSAFA=MSA/MSE因素8SSBMMSBFB=MSB/MSE误差SSEMSE总方差SSTN-l根据方差分析表计算得到乙和金以后 根据问题的显著性水平a，查 表 得 到%(k-1)Q-中 加-1)。于是我们可以分别检验因素 A 和 3 的 影 响 是 否 显 著。对 于 因 素 A而 言，若工工(4-1),(4-1)(机-1).我们就拒绝关于因素A

25、的原假设.说明因素A 对结果有显著的影响。否 则，就接受原假设，说明因素A 对 结 果 没 有 显 著 的 影 响。对 于 因 素 8而 言，若户(4-1)(机-1)，我们就拒绝关于因素3的原假设，说明因素B 对结果有显著的影响。否 则，就接受原假设，说明因素3对结果没有显著的影响。2 有交互作用的两因素方差分析前面假定因素A 与因素8 之间相互独立，不存在相互影响，但有时两个因素会产生交互作用，从而使因素A的某些水平与因素8的另一些水平相结合时对结果产生更大的影响。对于有交互作用的两因素之间方差分析的步骤几乎与前一种情形一样，不同的是当两因素之间存在交互作用时情形，先要剔除交互作用的影响，因

26、此比较复杂。同时在有交互作用的影响时对于每一种试验条件要进行多次重复试验以便将因素间交互作用的平方和从误差平方和中分离出来。由于重复试验因此数据量将大大增加。有交互作用的两因素方差分析的方法和步骤同前面一样关键是对总离差平方和进行分解时必须考虑两因素的交互作用。设因素A有a 个 水 平，因素8 有匕个水平，试验的重复次数记作 o 记X,为在因素A的 第 逸 水 平，因素3 的第/个水平下进行第左次试验时的观察值，其中i=1,2,a;j=1,2,b;k=1,2,几。记为在因素人的第，个 水 平，因素8 的第/个;=1水平下进行各次重复试验的所有观察值的总和。记(布).=-=Xijk(/=1,2,

27、tz;J=1,2,/?),J n n 7=l为在因素A的第i个 水 平，因素3的第/个水平下进行各次重复试验的所有观察值的平均值。记bj=l_ 1 、4=(=12 Q)nb鸟=缶砧/=1naa b a bT=ZZZx 桃=ZZ(A 叫/i=j=l k=i i=y=lx=-是所有观察值的平均值N其 中：N=a版是所有观测值的总数。利用上面所引入的符号，我们可以得到有交互作用的两因素方差分析的步骤如下：1 )形成假设由于两因素有交互影响，因此除了分别检验两因素单独对试验结果的影响外，还必须检验两因素交互影响的作用是否显著。对于因素A:H.:因素A的各个水平的影响无显著差异，H1：因素A的各个水平的

28、影响有显著差异。对于因素8:“。：因素3的各个水平的影响无显著差异，：因素3的各个水平的影响有显著差异。对于因素A 3的交互作用：H。:因素A 3的各个水平的交互作用无显著影响H、：因素4 3的各个水平的交互作用有显著影响。2）进行离差平方和的分解有交互作用的两因素方差分析的总离差平方和可以分解为四项：a b 九 oSST=Z Z Z(XL 打f=l j=l k=:t （四）4-瓦+qi=l J=1 J/aob o+5（4 又）+a 5（瓦 可Z=1j=总离差平方和SST的自由度为N -1。分别记i=l为因素A的离差平方和，自由度为-1。b _ _）SSB=n a-Bj-X）为因素B的离差平方

29、和，自由度为匕 1。a b n/2SSE =ZZZ X 浜一(布)Jf=l j=l k=l /表示随机误差的离差平方和，自由度为N ab=abn-ab=abn-)0SSA B=11(.可/A-瓦+i=l J=1 表示因素间交互作用的离差平方和，自由度为(N-1)(a-1)他-1)(-1 力=(Q-)(/?_ 1)O3)编制方差分析表，进行尸检验从方差分解式所得到的SSA、SS8、SSA8和SS除以各自的自由 度，就得到各自相应的均方差，然后我们对因素A、因素8 和因素 A 3的交互作用分别作尸检验。与前面所讨论的情形一样的，这一过程也可以用表格来表示，就得到无交互影响时双因素方差分析表 如 下

30、：表6有交互影响的双因素方差分析表方差来源离差平方和自由度均方差统计检验量F因素ASSA 一1MSAFA=MSA/MSE因素8SSBb-1MSBF8=MSB/MSE交互作用SSA B(6t-l)(Z?-l)MSA BFA B=MSA B/MSE误差ESSEN-abMSE总方差SSTN 1与前面所讨论过的一样，根据方差分析表计算得到巳、心和心 以 后，根 据 问 题 的 显 著 性 水 平 二，查 表 分 别 得 到工（a-l）,（N-喇、/他-1）,（N-硼 和 月（T）仅啾。于是我们可以分别检验因素A和B的影响，以及两因素的交互作用的影响是否显著。对于因素A而 言，若以/（。l）,（N-ab

31、），我们就拒绝关于因素A的原假设，说明因素A对结果有显著的影响。否则，就接受原假设，说明因素A对结果没有显著的影响。对于因素8而言，若F/F/e-DlN-M），我们就拒绝关于因素3的原假设，说明因素8对结果有显著的影响。否则，就接受原假设，说明因素8对 结 果 没 有 显 著 的 影 响。对 于 两 因 素 的 交 互 作 用，若%尸&（-1必-1）,倒-询，我们就拒绝关于两因素交互作用的原假设，说明因素A和因素8对结果有显著交互影响。否则，就接受原假设，说明两因素对结果没有显著的交互影响。3练习题练习1把学生随机地分为三组，一组采用程序化教育，一组采用录音教育，一组采用电视教育。然后测定各组

32、学生对所学知识掌握的程度，所得分数如下：教育方法 学生成绩程序化 2,3,1,9,3,6,9,1,1 5,4,1录音 2,9,1 5,6,9,1 2,9,1 3,9,1 2,9电视 9,1 2,6,1 2 ,1 5,1 5,6,9,1 5检验各种教育效果是否具有显著的差异（a=0.0 5）?练习2对于某一种疾病有三种治疗方法。下表是患这种疾病的人在三种不同的治疗条件下康复速度的记录。问不同的治疗方法对康复速度有无显著影响(仪=0.05)?治疗方法 康复天数A 3,8,6,9,7,4,9B 7,6,9,5,5,6,5C 4,3,5,2,6,3,2三相关与回 归 分 析(1)相关分析的基本概念辩证

33、唯物主义认为物质世界是一个普遍联系的统一整体。这说 明，世界上的事物或多或少存在着某种联系。例 如：身高与体重 之 间，就存在着联系，一般情况下，身体越高体重也越大；投资与利润之间也存在着类似的联系。研究这种联系无论是在经营决策还是在科学研究中都必不可 少，比 如：投资方只有在考虑了投资和利润的关系后，才能大致预测出一定水平的投资能带来多少利润 汉 如，在工程技术中，对于混凝土的抗压强度和抗拉强度的研究，有助于应对不同的施工要求。要研究这些变量之间的关系，可以通过统计的方法进行，而这种统计的方法主要是相关分析和回归分析两种。1相关关系如前所述，变 之间存在着相互的联系，如果进一步考察，可以发现

34、，这些联系又具体的可以分为两种不同的类型。1）函数关系它反映现象之间存在着严格的依存关系。其特点：变量之间的数值以确定的关系相对应这种关系中，对于某一变量的每一个数值，都有另一个变,的确定的值与之相对应。变 间的关系可以用一个确定的公式来反映例 如，S=R2 ,圆的面积随着半径而变动；v=pq,产值V和产量p、单位生产成本q之间也是确定的函数关系。2）相关关系它是指现象之间确实存在依存关系，但这种关系不确定不严格。这种关系的特点：变之间确实存在数上的依存关系如前所述的身高与体重之间，投资与利润之间都存在着某种依存关系。数量依存关系的具体关系值是不固定的在这种关系中，对于某个变量的某个数值，另一

35、个变量可以有若干个数值与之对应，这些数值表现出一定的波动性。例 如：身高与体重之间，存在一定的依存关系。但是体重除了与身高有关 外，还受年龄、性别、区域、种族等因素影响。身高与体重并无严格的对应关系，同一身高的人，体重大多数情况下是不相等的。但即便如此，这两个变量之间仍旧存在一定的规律性，在一般条件下，身高越高，体重越大。统计在研究变量的相关关系时，应当首先根据有关的科学理论，通过观察和实验，才能建立这种联系，并且还要通过理论与实践的检验。只有这样，才能得出科学的有意义的结论。2相关关系的种类变量之间的相关关系是很复杂的，它们各以不同的方式和程度相互作用，表现出不同的类型和形态。1）按相关关系

36、涉及的变量多少来划分，可分为单相关和复相关两个变之间的相关关系叫做单相关（也称一元相关），即只涉及一个自变量和一个因变量。三个或三个以上的变量之间的相关关系叫做复相关（也称多元相关），即研究涉及一个因变和两个或两个以上的自变量。2）按相关的方向分，可分为正相关和负相关自变量的数值增加，因变的数值也基本随之增加，即为正相 关，例 如：商品价格上升，供给也上升。而相反的即为负相关，如商品价格上升，商品的需求下降。3）按相关的表现形式分，分为线性相关（直线相关）和非线性相关（曲线相关）变间的相关关系近似地表现为直线即称为直线相关。其特点是当一个变量增减1个单位时，另一个变量也按一个大致固定的量变化。

37、若这种相关关系近似为曲线时，即称为曲线相关，按具体形态又可分为：抛物线、指数曲线、双曲线等。在实际应用中，变量之间究竟采取哪种形态，要根据具体情况进行理论分析，并根据实际经验，才能得到较好的解决。4）按照相关的密切程度分，分为完全相关、不完全相关和无相关当一个变量的值完全由另一个变量的值所决定，即称为完全相 关，即前述的函数关系，如S=TTR2；两个变量各自独立，互不 影 响，称为无相关，如股票价格和气温之间，一般是无相关的。介于这二者之间，称为不完全相关，通常相关分析是指对不完全相关中分析。以 上 联 关 系 的 种 隼,如 图1所 夕，Z X（a）完全相关-（b）不完全相关.y 1.y|O

38、O o o Oo O o o 2-(e)正相关(f)负相关图1相关关系类型需要注意的是，现实的相关关系一般是以组合形态出现，如图 1(a)为完全线性正相关，图 1(b)为不完全线性正相关。而相应的完全线性负相关和不完全线性负相关如图2(a)和图2(b)。)t y t-(a)完全线性负相关XX-(b)不完全线性负相关图2相关关系的组合类型此 外，线性关系还有其他的组合类型，在此不一一列举。3相关分析的主要内容相关分析的目的在于分析现象间相关关系的形式和密切程度以及依存变动的规律性，在实际工作中，有非常广泛的应用。主要内容如下：1）确定变量之间有无相关关系，以及相关关系的表现形式这是相关分析的出发

39、点，由相关关系才能用相应的方法去分析，否 则，只会得出错误的结论。相关关系表现为何种形式就用什么样的方法分析，若把本属于直线相关的变量用曲线的方法来分 析，就会产生认识上的偏差。2）确定相关关系的密切程度对于这个问题，直线相关用相关系数表示，曲线相关用相关指数表示，相关系数的用途很广泛。3）选择合适的数学方程式确定了变之间确实有相关关系和及其密切程度，就要选择合适的数学方程式来对变之间的关系近似描述，并用自变的数值去推测因变量的数值，称之为回归分析。如果变量之间为直线 相 关，则采用直线方程，称之为线性回归；如果变量之间为曲线 相 关，则采用曲线方程，称之为非线性回归。4)测定变量估计值的准确

40、程度在相关分析中，第三步建立了数学方程式，并用方程式对因变 进行估值。因变的估计值和实际值之间进行对比，因变估计值的准确程度可以用估计标准误差来衡量。5)对回归方程进行显著性检验对前几步变量之间建立的回归方程，要进行显著性检验。检验变量之间是否真的具备这样的关系，这种关系是不是因为数据的选取而偶然形成的。(2)简单线性相关分析1散点图和相关表进行相关分析，和许多其它的统计研究一样，基本都是采用定性和定量相结合的方法，即先作定性分析，再作定量分析。所谓定性分析，是要根据有关专业知识和实际经验，来判断变之间是否存在一定的相关性。如果确实存在关系再通过编制散点图和相关表，对变量之间的相关关系的类型做

41、出大致判断。上述工作完成后，再进行定量分析，即可以计算相关系数，以精确反映相关关系的方向和程度。1）绘制散点图【例1】在某个地区抽取了 9家生产同类产品的企业，其月产和单位产品成本的资料如表1，现在来分析月产和单位成本的关系。表1 9家企业的月产和单位产品成本资料根据规模经济理论，可以判断产品的产和单位成本之间存企业编号123456789月产（千件）（x）4.16.35.47.63.28.59.76.82.1单位产本（元）（y）807271588650426391在着相关关系，再绘制散点图，我们可以比较直观地看出这两个变量间的关卜)将力HooooO08642图3 9家企业的月产和单位产品成本散

42、点图从 图3看 出，月产量和单位成本是负相关，而且有形成一条直线的倾向。如果与某个变相关的因素不止一个，可以分别绘制许多相关图。从许多相关图的对比中，大致可以看出与各因素关系的密切程度，从中判断哪个是主要因素，哪个是次要因素。2）相关表根据总体单位的原始数据可以编制相关表，根 据 例1的数据，将月产量按照升序排列，即得相关表，见 表2。表2 9家企业的月产量和单位产品成本相关表序号月 产=（千件）（x）单位产本（元）（y）92.19153.28614.18035.47126.37286.86347.65868.55079.742合计 53.7 613从相关表中可以看出，月产量和单位成本之间存在

43、着明显的负相关关系。3）分组相关表在实际的统计工作中，原始数据是非常多的，如果直接编制相关表会很长，而由于数据点过多，散点图也不好绘制，这时常常编制分组相关表。根据分组情况不同，分组表有两种：单变量分组表和双变量分 组 表，而在实际操作中，单变量应用最为广泛。单变量分组表在有相关关系的两个变量中，只根据一个变进行分组，另一个不进行分组，只是计算其频数和平均值。如表3所示。表 3 380名女大学生的体重和身高相关表按体重分组（kg）人数（人）每组平均身高（m）60以上41.760-6261.6555-60721.6350-55641.647-501101.5845-471211.5645以下31

44、.53合计38011.2535?图 84 380名女大学生的体重和身高散点图从 表3和 图4可以看出，这380名女大学生的身高和体重之间存在着明显的正相关关系。双变一分组表如果对表3中的两个变量都进行分组，可以得到双变量分组表，但由于这种分组后的相关表，加权的方法比较复杂，而且并不 实 用，所以在实际中已很少采用，从略。2相关系数的计算通过前述相关表和散点图，可以基本判断变 间相关关系的方向和程度，但这只是相关分析的开始。如果通过散点图发现变 间基本是线性相关，那么如何判定其线性关系的密切程度呢？这可以用相关系数来衡量。1)相关系数1890年英国统计学家卡尔皮尔逊(Karl Pearson)便

45、提出了相关系数的公式。2r.-式中：r-相关系数变量x 与变量y 的协方差；%-变量x 的标准差%-变,y的标准差需要说明的是，为正意味着变,x 与变,y为正相关，为负意味着变量x 与变量y 为负相关。r 与.同 符 号，也意味着r 为正意味着变量x 与变量y 为正相 关，为负意味着变*x 与变量 y 为负相关。2)未分组资料的相关系数.2xyn将以上各式代入厂的定义式，可得:(.r-x)(y-y)j z(%一 无 y z(y y)2式为相关系数r的基本计算公式。经 推 算，还可形成相关系数r的简便计算公式：r=一 或 者：-.歹一一 JZ 一疗 JZ 一现用表2的数据来说明相关系数的计算过程

46、。表4 相关系数计算表序 号月产 x 千件）单位成本y（元）x2y2孙14.18016.81640032826.37239.695184453.635.47129.165041383.447.65857.763364440.853.28610.247396275.268.55072.25250042579.74294.091764407.486.86346.243969428.492.1914.418281191.1合计53.7613370.65438993332.9杀 一 (A)?，汇)，一(z()2_9x 3 3 3 2.9-53.7x 61 379 x 3 70.65-(53.7)2 9

47、 x 4 3 899-(61 3)2=-0.9886在已有平均值的情况下，还可以用式计算，即:7=5.97,7=68.1 1 x y-n x-yr =V 2 2 k 2 2Q x -nx-ny_3 3 3 2.9-9x 53.7x 61 3V3 70.65-9 x 5.972 74 3 899-9 x 68.1 12=-0.9886注：协方差b：正负的意义。2%)(-?)5、，=-c r j,为 正，则说明Z（x-H）（y-歹）0，或者（x-君和（y-y）多数情况下符号相同，即x和），基本上同时大或同时小，即两个变之间为正相关；同 理，优 为 负,则说明两个变量之间为负相关。3）分组资料的相关

48、系数计算当原始数据较多，已分组编成二元频数分布表时，就用各组频数加权计算相关系数，公 式 为：(x-x)(y-y)4，一 力式 中：的频数力-y的频数工广町的联合频数3相关系数的密切程度可以证明，相 关 系 数|r|1 o r 0 ,表明变量之间正相关；r 0，表明变量之间负相关。那 么，相关关系的强弱如何通过一体现？|r|=1 ,表明变量之间为完全的线性相关关系；|r|=0 ,表明变量之间没有线性关系，但 要 注 意，有可能是曲线关系。当0|r|1时，变之间有不同程度的线性关系。由此可以确定一个对相关程度评价的标准。0 cMW0.3为弱相关；0.3 卜花0.5为低度相关0.5%性0.8为显著

49、相关0.8 小1为高度相关。4相关系数的显著性检验测算两个变量的相关系数，是从二元总体中随机抽取一个样本，再用样本的相关系数去推断，因为推断误差的存在，不可能保证百分之百的可靠。也就是说，因为样本是随机抽取的，根据其计算出的相关系数虽然很大，但总体却可能并不具备相关性。那么总体到底有没有线性相关性，在得出结论前，就必须要做假设检验。检验样本(相关系数为r)是否会来自于一个无线性关系的总 体(总体的相关系数为2),可以采用费舍(R.A.Fisher)的 t检验法。1 )原 假 设：H。：p =0；备择假设：Hx：夕2)检验统计量为：f=，其中一2 为自由度。3 )若显著性水平为a,查/表的临界值

50、：%(-2)24)若卜|2心(-2),则拒绝原假设，接受备择假设，即认 2为样本的相关系数显著，可以说明总体两个变间存在着线性相关，检验通过。若卜|ta（n-2），表明总体相关系数2 52=0的可能性小于a=0.05。所以拒绝原假设0:p =0，认为样本的相关关系具有显著性，即不能否认总体（全部的同类企业）的两变=存在线性相关。（3）回归分析1回归分析的概念通过相关分析可以说明变之间相关关系的方向和程度，但是却不能说明变量之间具体的数 因果关系。当自变=给出一个数 值 时，因变,可能取值是多少，这是相关分析不能解决的。这需要通过新的方法，即回归分析。回归分析：就是建立一个数学方程来反映变量之间