大学物理学课后习题答案习题八.pdf

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1、习题八8-1电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点.试问：（1）在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡（即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零）？（2）这种平衡与三角形的边长有无关系？解：如题8-1图示（1）以A处点电荷为研究对象，由力平衡知：/为负电荷2!cos30=菖47t%a 4ne0 J3,2解得(2)与三角形边长无关.8-2两小球的质量都是都用长为/的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2。，如题8-2图所示.设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球所带的电量.解：如题8-2图示T cos 0=mg1TsinO=Fe4兀

2、4 (2/sin6)2解得 q=21 sin 44=g tan 68-3根据点电荷场强公式E =一40r当被考察的场点距源点电荷很近（r一0）时，则场强一8,这是没有物理意义的，对此应如何理解?解：后仅对点电荷成立，当rr 0时，带电体不能再视为点电4n0r荷，再用上式求场强是错误的，实际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大.8-4在真空中有A ,8两平行板，相对距离为d,板面积为S,其带电量分2别为+4和-4 .则这两板之间有相互作用力f,有人说f=-,又有人4 兀 /-说，因为f=qE,E =,所以/=口.试问这两种说法对吗?为什么？（）S 0Sf到底应等于

3、多少？解：题中的两种说法均不对.第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第二种说法把合场强E=看成是一个带电板在另一带电板处的场强（）S也是不对的.正确解答应为一个板的电场为后=一9一，另一板受它的作用24S力/=一 =一,这是两板间相互作用的电场力.2%S 2snS8-5 一电偶极子的电矩为p=qT,场点到偶极子中心0点的距离为r,矢量了与/的夹角为6,（见题8-5图），且一 /.试证映的场强E在r方向上的分量Er和垂直于r的分量E分别为pcosO p si n。罚尸广 布 了证：如 题8-5所示，将万分解为与尸平行的分量p si n。和垂直于干的分量p si n e .r /，场点P在

4、r 方向场强分量E,PCOS02 兀 q/3垂直于r 方向，即6方向场强分量 psinO题 8-5 图8-6 长/=1 5.0cm的直导线A B 上均匀地分布着线密度A=5.0 x 1 0-9C m 的正电荷.试求：(1)在导线的延长线上与导线B 端相距q=5.0cm处尸点的场强;(2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距乙=5.0cm处。点的场强.解：如题8-6图所示(1)在带电直线上取线元d x,其上电量d q 在P点产生场强为dEp=1 4兀4(a x)AEp=JdE p =dx47l6,(a x)20A l兀4(4 2 -/2)用/=15 cm,A =5.0 x 10 9 C m-1,a

5、=12.5 c m 代入得EP=6.74 x l 02 N-C-1方向水平向右(2)同理 dE0=-厂 二 方向如题8-6图所示471Q x+d)由于对称性j d&v=0,即后 只有y分量,d%=1 a i r4兀4/+d；西+d22dxT2（/+击）2A l2%）J/?+4 d：以4 =5.0 x 10 C-cm-1,/=15 cm,d2=5 c m代入得e=ev=14.9 6 x l O2 N-C-1,方向沿y 轴正向8-7 一个半径为R的均匀带电半圆环，电荷线密度为人，求环心处O点的场强.解：如8-7图在圆上取d/=R d”dq=A di=RA dtp,它在O点产生场强大小为d E=d。

6、方向沿半径向外4ne0R2则 dEx-dE s i n cp-A4 7r 4 Rs i n 喝-4dE.,=dE cos(/r-0)=-cos 6 od6 94兀积分 =f -s i n”!。=-)4 71/?2 兀产 一A-cos 0d0=04b 4 兀2E=Ex=-，方向沿x轴正向.2 兀 （）/?8-8均匀带电的细线弯成正方形，边长为/,总电量为4.（1）求这正方形轴线上离中心为r处的场强E；（2）证明：在 /处，它相当于点电荷q产生的场强解：如8-8图示，正方形一条边上电荷（在尸点产生场强d后p方向如图，大小为COS%=-C O S。dp在 垂 直 于 平 面 上 的 分 量=dEp

7、cos?题8-8图由于对称性，P点场强沿O P方向，大小为Ep=4 x df=4协_ qr47t%（/+：）/+EP=方向沿。尸/228-9(1)点电荷4位于一边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点匕这时穿过立方体各面的电通量是多少?*(3)如题8-9(3)图所示，在点电荷q的电场中取半径为R的圆平面.q在该平面轴线上的A点处，求:通过圆平面的电通量.(a=arctanA)x解：由高斯定理立方体六个面，当夕在立方体中心时，每个面上电通量相等.各面电通量6%电荷在顶点时，将立方体延伸为边长2。的立方体，使q处于边长2。

8、的立方体中心，则边长2 a的正方形上电通量,=-6?对于边长。的正方形，如果它不包含所在的顶点，则,，=一24%如果它包含4所在顶点则e=0.通 过 半 径 为R的圆平面的电通量等于通过半径为yjR2+x2的球冠面的电通量，球冠面积*V5=2兀(/;2+/)口_ R2+X2中=-1_ _ x 4n(/?2+x2)2%J/?2+/*关于球冠面积的计算：见题8-9(c)图5=2 sin a rda=2 T l z 2 J sin a da=2 7t r2(l -cos a)8-1 0 均匀带电球壳内半径6 cm,外半径10cm,电荷体密度为2 X 10一 C m求距球心5 cm,8cm,12 cm

9、各点的场强.解：高斯定理（瓦（1=立，4 2 4 4当 r =5 cm 时，q=0,后=0、/Ir =8 c m 时，=夕 7(/_ 4)PE =”(f)33.48X104 N-C-1,方向沿半径向外.4 兀r =12 cm Dt,=(以 一 GP 4.兀/外3E =24ns0r-4.1 0 x l 0 N.C-沿半径向外.8-1 1 半径为鸟和我2（/?2 与）的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量4和-4,试求：（D r&;（2）招/?2；此处各点的场强.解：高斯定理4 后.dS=取同轴圆柱形高斯而，侧面积5 =2 兀 则 后*=E2nrl对r =0，=。/?!r R2 q =0E=

10、0题8-12图8-1 2两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为 和er 2,试求空间各处场强.解：如题8-12图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为必 与er 2，-1两面间，E=一 cr,）万2分_ 1?面外，E=-（CT|+。2）五2%一 1。2 面 夕 卜，E=-（C F +0 2）力2%n：垂直于两平面由6 面指为外 面.8-1 3半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为夕，若在球内挖去一块半径为rR的小球体，如题8 T 3图所示.试求：两球心。与。点的场强，并证明小球空腔内的电场是均匀的.解：将此带电体看作带正电0的均匀球与带电一2的均匀小球的组合，见题 8 T3 图（

11、a）.（1）+。球在。点产生电场G o =o,4 3兀厂p-p球在。点产生电场E 2 0 =T0020 4nc0d3-厂 3 0 -。点电场七。=0 0,；3 4d4-J 3 7 idp_(2)+0在。产生电场居。,=-0047 c 6-0d一夕球在O 产生电场与0,二0O 点电场 Ef f=-O O(3)设空腔任一点P相对O 的位矢为尸，相对。点位矢为尸(如题8 7 3(b)图)则F讨啜任-尸)嗤而喂.腔内场强是均匀的.8-1 4 一电偶极子由q=L 0 X 1 0 A：的两个异号点电荷组成，两电荷距离d=0.2 cm,把这电偶极子放在L O X I O W，”的外电场中，求外电场作用于电偶

12、极子上的最大力矩.解：V 电偶极子P在外场E中受力矩M=p x E m ax=PE =q/E 代入数字“m a x =l.O x l O-6 x 2 x io_ 3 x l.O x l O5=2.0 x 1 O-4 N -m8-15 两点电荷的=L5X10C,9 2=3.0X10SC,相距八=42的，要把它们之间的距离变为4=2 5 5,需作多少功？解：A=户=/处（见题8-20图）.解：（1）点 电 荷U=!4ns0rP S 8)题 8-2 0 图.它=7 0=0痣为r 方向单位矢量.dr 4兀犷(2)总电量q,半径为火的均匀带电圆环轴上一点电势U =4s2+x2d U v _ qx2 4

13、兀 O（/?2+/2(3)偶极子p=ql在r /处的一点电势U =q 1 _4%（r-g c o s。）（1 +g e os 6）qlcos 04兀4厂2 dU pcosdLL,.-dr 2nnr,d U _ psindr 50 4兀（/38-2 1 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板(题8-2 1 图)来说，(1)相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反：(2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同.证：如题8-2 1 图所示，设两导体A、B的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为 6，a2,(r3,CT4题 8-2 1 图(1)则取与平面垂直且底面分别在A、5 内部的闭

14、合柱面为高斯面时，有J 后 dS =(T2+f 3)A S =0c r2+(T3=0说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反；(2)在 A内部任取一点P,则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即(7 c r2,o42s0 2s0 2s0 2%=0又：c r2+c r3=0 b=说明相背两面上电荷面密度总是大小相等，符号相同.8-2 2 三个平行金属板4,8和C的面积都是2 0 0 c mI A和 8相距4.0 mm,A与C相距2.0 mm.B,C都接地，如题8-2 2 图所示.如果使A板带正电3.0X1 0 C,略去边缘效应，向8板和C板匕的感应电荷各是多少？以地的电

15、势为零，则A板的电势是多少？解：如题8-2 2 图示，令4 板左侧面电荷面密度为必，右侧面电荷面密度为%C A BJ i,L题 8-2 2 图 即*A C A C =A B A B _ EAC _ d A _ _ 0 乙EAB A C且 巧+。2=等*3得而丁 _ 2(_ 3S 3Sqc=-b|S=-2x10 7 CqB=-72S=-1X10-7 CUA=EACdA C=dAC=2.3x10o8-2 3 两个半径分别为与和/?2(/&)的 同 心 薄 金 属 球 壳，现给内球壳带电+q,试计算：外球壳上的电荷分布及电势大小；(2)先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电

16、势；*(3)再使内球壳接地，此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量.解：(D内球带电+4；球壳内表面带电则为-g,外表面带电为+4，且均匀分布，其电势题8-2 3图u山g-拓 丸4兀4厂 4兀/?外壳接地时，外表面电荷+q入地，外表面不带电，内表面电荷仍为-q.所以球壳电势由内球+与内表面一夕产生：U=-4-4 =04TT6,0/?2 4 兀名 为设此时内球壳带电量为/；则外壳内表面带电量为一9 ，外壳外表面带电量为-4+q(电荷守恒)，此时内球壳电势为零，且“3-=o4T IOR 4 兀 4/?2 4ns0R2得，=?qK2外球壳上电势r,q q q+q(RR为U B =-1-=-Z-

17、4兀?2 4兀/?2 471/?2 4K6：0/?28-2 4半径为R的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为d=3 R处有一点电荷+q,试求：金属球上的感应电荷的电量.解：如题8-24图所示，设金属球感应电荷为/,则球接地时电势。=0山电势叠加原理有：3帚8-25有三个大小相同的金属小球，小球1,2带有等量同号电荷，相距甚远，其 间 的 库 仑 力 为 试 求：(1)用带绝缘柄的不带电小球3先后分别接触1,2后移去，小球1,2之间的库仑力；(2)小球3依次交替接触小球1,2很多次后移去，小球1,2之间的库仑力.q2解：由题意知4兀小球3 接触小球1后，小球3 和小球1均带电小球3

18、 再与小球2 接触后，小球2 与小球3 均带电”3q=：q4此时小球1与小球2 间相互作用力3 21 4 兀/4 兀 。产 8 小球3 依次交替接触小球1、2 很多次后，每个小球带电量均为名.32 2W 4小球1、2 间的作用力F,=三 二 一=一 心4nsor2 9*8-26 如题8-26 图所示，一平行板电容器两极板面积都是S,相距为1,分别维持电势UB=O不变.现把一块带有电量q的导体薄片平行地放在两极板正中间，片的面积也是S,片的厚度略去不计.求导体薄片的电势.解：依次设A,C,8 从上到下的6个表面的面电荷密度分别为巧，（T2,%，。4,4，%如图所示.由静电平衡条件，电 荷 守 恒

19、 定 律 及 维 持=U可得以下6个方程题 8-26 图巧+/=A1 2 S1ft7cr3+。4qs_ q B-5=0_%ud=00=%+%+*+4+/解得q2S；=晅一工d 2S所以C 8 间电场%=_%=也 +4 5 d 2S区=里 上+4%d 2EQSUc=UCB=E2-=-(U+-)c CB 2 2 2 2 4 S注意：因为。片带电，所以UcW，若。片不带电，显然U0=9228-2 7 在半径为与 的金属球之外包有一层外半径为R2的均匀电介质球壳,介质相对介电常数为金属球带电。.试求:(1)电介质内、外的场强；(2)电介质层内、外的电势；金属球的电势.解：利用有介质时的高斯定理 力 d

20、SnZ4介质内(4 r /?2)场强介质外(r /?2)电势=&卜木=岛介质内(与 r E2题8-2 8图+-Q-I-、QII 题8-2 9图8-2 9两个同轴的圆柱面,长度均为/,半径分别为中 和&（&8），且两柱面之间充有介电常数的均匀电介质.当两圆柱面分别带等量异号电荷。和-Q时，求:在半径r处（与，&=，厚度为d r,长为/的圆柱薄壳中任一点的电场能量密度和整个薄壳中的电场能量；电介质中的总电场能量；圆柱形电容器的电容.解：取半径为r的同轴圆柱面（S）则D-d5=2nrlD当（舄 r/?2）时，q =QD O(1)电场能量密度 w =产一2s 8兀 2 夕 2/2薄壳中 d W=w d

21、。=2 n rdrl=旦业-8rt 2 夕4 7 t夕/(2)电介质中总电场能量.r,.浊 Q2dr Q.R2W =|d W =)卜14TCTI 4 7 1 n R1电容：w =2C.r Q2 2 71n 2 W ln(/?2/?,)*8-3 0 金属球壳A和 8 的中心相距为r,A和 8 原来都不带电.现在4的中心放一点电荷力，在B的中心放一点电荷/，如题8-3 0 图所示.试求：(1)内对“2作用的库仑力，仍有无加速度；(2)去掉金属壳8,求处作用在%上的库仑力，此时私 有无加速度.解：(D/作用在外 的库仑力仍满足库仑定律，即二 1 q。4ns0 r1但处于金属球壳中心，它受自力为零，没

22、有加速度.(2)去掉金属壳B,小作用在纭 上的库仑力仍是F=一 华，但此时私4%)r受合力不为零，有加速度.题 8-3 0 图题 8-3 1 图8-3 1 如题8-如图所示,G=0.2 5 F,C2=0.1 5/zF,C3=0.2 0/F .C,h电压为5 0 V.求：UAB 解：电容G 上电量Qi=GG电容。2与。3并联。23其上电荷023=2.Q”C M 25x50=-=-C23 C23 3525%=5+力=50（1 +行）=86 V8-3 2 G 和C 2 两电容器分别标明“2 0 0 pF、5 0 0 V”和“3 0 0 pF、9 0 0 V ,把它们串联起来后等值电容是多少?如果两端

23、加上1 0 0 0 V 的电压，是否会击穿?解：（1）G 与C 2 串联后电容2 0 0 X 3 0 0=120 pFC,+C2 200+300（2）串联后电压比=与=2,而U|+U2=1000U2 C,2 2U、=600 V,4=4 0 0 V即电容G电压超过耐压值会击穿，然后。2也击穿.8-3 3 将两个电容器G和0 2 充电到相等的电压。以后切断电源，再将每一电容器的正极板与另一电容器的负极板相联.试求：(1)每个电容器的最终电荷：电场能量的损失.解：如题8-33图所示，设联接后两电容器带电分别为0 ,生题 8-33图处 +%=4 i o 一 4 2。=G U -C2U则.鱼=1_9 2

24、 C2U2U=%a(0i0 2)c2(c,-C2)解得 q,1 -G-+-G-U,q2=-c-,-+-c-U2(2)电场能量损失卬=卬0卬8-34半径为&=2.0cm的导体球，外套有一同心的导体球壳，壳的内、外半径分别为&=4.0cm和7?3=5.0cm,当内球带电荷。=3.O X IO C 时,求:(1)整个电场储存的能量；(2)如果将导体壳接地，计算储存的能量；(3)此电容器的电容值.解：如图，内球带电。，外球壳内表面带电-Q,外表面带电。(1)在r/?i和/?2 /宠3区域E=0三 Or在Ri r R时4兀/.在与r 此区域阳2 4兀4厂=2。2”=。2(1 1)8nsQr2 87t,0/?,R2在r/?3区域也79。浦一轰三总能量 W =卬|+%=-(-+)1 2 8兀4/R2 R；=1.82 x1 0 J(2)导体壳接地时，只有用 /凡 时月=W,=04兀 1 iW=W=W _(-)=1.01xl0-4 J1 8兀4与 R22W 1电容器电容 C=r=47ro/(-)Q-飞 R2=4.49xlOT2 F