概率论期末复习笔记.pdf

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1、概率论期末复习-笔记随机事件和概率六个概念随机试验和样本空间随机试验E 试验可重复 结果明确且多样 结果不可预测 样本空间和样本点 样本空间：随机试验所有可能结果组成的集合 样本点：样本空间集合中的元素，也就是每个可能的结果称为样本点 列举法求概率：列出所有样本空间作为分母，取符合条件的样本点作为分子随机事件样本空间这个大集合的子集称为随机事件，用大写字母48。表示随机事件的分类 基本事件：由一个样本点组成的单点集 复合事件：至少由两个基本事件组成 必然事件：样本空间本身，自己是自己的子集 不可可能事件：不包含任何样本点，也就是空集也是集合的子集事件之间的关系和运算事件之间的关系 包含关系：A

2、W B-事件A 发生一定将导致B发生（A 包含于B,A 小 B大，小的一定确保大的发生）相等关系：两事件都属于对方，那就是同一个事件 和事件：A U B-A,B至少有一个发生 积事件：A n B（简写AB）T A,B同时发生 差事件：A-B 一 A 发生但B不发生 互斥（互不相容）：AB=。-AB不能同时发生对立(亘 逆)：AB=。且 一共就这俑事件一 一次试验中必然发生A,B中的一个事件的运算律 交换律 结合律 分配律 德摩根律(对偶律)NU方=，n反而月=7u万.中间分开或者连上，中间符号要倒过来；概率定 义：随机事件中的每个样本点X都给它一个数，记做P(x),那么就会有P(xl),P(x

3、2).ix是个集合函数P(X)，它满足一些条件非负性：P(A)2O概率不可能为负规范性：必然事件概率为1,不可能事件概率为0 反过来不对，事实上，概率关系一般都无法确定事件关系 可列可加性：两两互斥情况下，和事件的概率=事件概率的和#公式逆事件的概率：P(A)=1-P(A).概率的基本公式#公 式 加法公式PA U8)=PA+P(B)-P(AB).P(AUBUC)=P(4)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC-PAC)+P(ABC).#公式 减法公式:减去一个事件就是乘它的逆事件P(A-B)=尸(N)-P(AB)=P(A B).,若 B u 4,则有尸(/3)=P(N)-PGS),P(B

4、)P(A).若BeA,还有三个重要结论B的事件被A全部包含，A的概率自然大于等于有B A大B小，大的=0，小的必然也=0小的都为1 了，大的肯定也是1 P(B)0条件概率的性质(和概率的性质类似)非负性规范性逆事件概率加减法公式：和普通公式一样，加上后面的条件罢了 p(4 1 5)=p(4|+p(4 1 B)-p(4 4 1.比 二 了 .。丽j#公式乘法公式一条件概率逆运算若P(A)0,则行尸(力5)=P 附称此公式为乘法公式.三个事件的乘法公式：设 4 4,C为事件，且尸(N 4)0，则有P(ABC)=P(CAB)P(BA)P(A)事件的独立性 定 义：若满足P(A B)=P(A)P(B)

5、则事件A B 独立 等价说法：A的发生对B的发生无影响，且 B的发生对A的发生无影响若 0 P(A)1,则事件 A.B 独立 o P(B)=P(B|A)o P(B)=P(B Z)。尸(31.4)=尸(B|N)|之后的东西没用了 如果独立，那么头上加一横也是独立的 三个事件独立两个条件：三事件两两独立三事件成堆也独立性 质：A B C 三事件相互独立，则(任意两个事件的和，积，差构成的)新事件与(另外一个事件，或他的逆)也是独立的，三大概型古典概型 特 点：样本空间有限，等可能性 计算方法：用比例表示概率对I基 本 事 件 的 个 数 明-Q中 基 本 事 件 总 数 ,几何概型一均匀分布(,月

6、的 长 度(或 面 积、体 积)=Q的 长 度(或 面 积、体 积),n 重伯努利概型一二项分布标 志：独立重复 发生或不发生 问次数#公式设在每次试验中,事件4发生的概率P(4)=p(0 p/4?-o.t|z piA(小)=口。3()pcAx 11枚 的/=的掩限 R AD/DRA已4 V p e闽XO o-t 6/KO0|-r O U T#。吗-o.o|S*AUD)二零,-p 少 冏)”)完备事件组：事件互斥，且并起来是样本空间，则成称为这是一组完备事件组全概率公式：若A l.A n是一组完备事件组，则这个事件组的和事件B发生的概率为：每个A发生的概率乘以(在每个A条件下B发生的条件概率)

7、之和;实际上就是P(B)=P(A1 B)+P(A2 B)+再用乘法公式展开尸5)=尸(4)尸(网4).1-1(B)0.F(X)0.f=l,2,L#例题【例 1.14】甲袋中有5 只红球,4 只臼球：乙袋中有4 只红球，5 只白球.先从甲袋中任取2只球放入乙袋中，再从乙袋中任取1 只球.求(I)取出球是白感的概率：间若已知从乙袋中取出的球是|白球，则从甲袋中取出的球是1 只白球1 只红球的概率.。外他W物 伊 用 产。/2.产7 f/期 小4型9已空4区产：2。“以 纯I吵穆战二F人您沏 二 制/城 必 圆!如 需4制 诉 处#公式贝 叶 斯 公 式若Al.An是一组完备事件组，则在B已知发生的

8、条件下,某个部分A事件发生的概率:/、尸(4加(司4)尸(4 忸)=1 P(4)P 4)Z-1实际上公式由全概率公式导出：概率P(AjB)占总概率(P(B)的比一维随机变量及其分布三大工具随机变量：量化随机事件定义在样本空间。=旧上的实值单值宗数X=X(。)，eeQ,则该变量X(e)称为随机变量.随机变量常用大写字母XJ,Z等表示，即W e s。一X=X(e),其取值用小写字母.匚乂二等表示.离散型随机变量：X的取值有无限个或者有限可列个连续型随机变量：X的取值为某区间上的所有值随机变量的分布函数 X的分布函数就是X自变量x的概率设”是一个随机变鼠，对于任意实数X,令F(X)=P f M X

9、,T O X ,则称尸(X)为随机变量X的概率分布函数,简称分布函数.名式。,0分布函数的性质规范性(求参数)027(x)+oo 7分布函数代表概率，那分布函数的值域为 0,1不可能事件（x为负无穷）的分布函数值，也就是概率为0;必然事件（x为正无穷）的分布函数值，也就是概率为1 单调不减性：随机变量和分布函数的关系为单增或者不变任意 1 /，有 F(X )x0+)F(x)（求参数）性质的作用：规范性和右连续型求分布函数中的参数，也能用来判定一个函数是否能成为分布函数。#例题I9i 2.i设随机变量工的分布语数为%）=ba-T.v 0.(l+x):求 a.b.r 的值.C.X 0.GL）的黑小

10、年利=0=7 叁*七“工。9 F(/=7 ft-I%，），。切=，g F（ot o）1匕心等=14利用分布函数求事件概率X-单个事件：为正，有等号的为此点函数值；无等号的为此点左极限值；就用1-对立(1)PXa=1 一尸X a=1 一厂(a).PXPX=a=PXa-PX a=尸(。)一 F(a-0)J两个事件(6)，寸 )一F(力Pa X b=PX b-尸X 4 a=F(b-0)-尸(a).Pa Xb=PX b-PX a=尸(A)p(a 0)(8)PaXb=PX b-P X 0,所有概率和为1。可用来判断某数列是否能成为分布列X0、PPlPlPi、Pk、利 用 分 布 列 算 概 率TU举法

11、求分布列 定X取 值 算 对 应X的 概 率 验 证1列 表 格#例 题【例2.2】布.10件产品中有2件次品,现任取3件.以X表示取到的次品数.求X的概率分八。，I,Z3刊*“)二 F X，以 川)二 金 飞*)=普制 C【例2.3 求 例2.2中随机变M：A泻 分 布函数F(.v).虎 竺 巴 史 图 形*求概率P X 1.5 .P 0 X 化入(2)住心分中。“)二 a连 续 型 随 机 变 量 及 其 分 布例1.设连续型随机变量X的概率密度为 典 耳 蟹2一、/=-=,0 x g-“S C n ,一=%f-I V,欠他，套 路：若随机变量片的概率密度为:R斗门:一,O W X v l

12、I J o H l-6 I .入 刁I0,K u o言 8 S g 4 ,OWK。II,X I概率密度一用面积来表示概率 X的分布函数为F(x)(连续但齐一 引 导)，有一个，彳曜一)非负可积函数(变上限积分函数一定连续)f(x),把它叫做概率密度函数，它满足：F(x)=PX 0 判定概率密度 规范性：整个R上的积分为1(总概率为1)判定概率密度p 4-0 0f (x)dx=1.J O 0 F(x)是连续函数(因为f(x)可积，而F(x)是他的变上限积分函数，一定连续)则任何给定值的概率都是0(上下限相同)任何实数a,有尸 X =a=0.用密度求概率：随机变量X 的概率,可以用概率密度对区间积

13、分求得PaX 8/=o,1,2;:,k!j、性质可加性可推导出一个级数泊松定理?超几何分布H(N ,M,n)N件产品中有M件正品，任取n 件，记录正品数PX=k笠/左=0,1,2：,三连续均匀分布-几何概型u(a,b)分布名称表示符号概率密度函数图像均匀分布UQb)X)=|占 a X b，0,b*正态分布NW)/(*)=-e*(-x+)Jrw标点正态分布N(0,l)H、1 T出二不e(-OO X+。,0,x0.一概率密度:区间长度分之一1f(x)=b-a0,xb,其它,分布函数0,尸(x)=xa,a x b.#例题”设理峥 包 而 出（2.5）工服装 丝 沙f 4时 工 进区a：独 缕 产,型

14、&.卜渔 卜 测值大于3的概率.7 、q私十（X以密,次诲羽I 侬叫研圈 与 二 巧）.黑猿0.铲呼隹点一4 s4%7:（-由）-（斓 山指数分布-与时间/寿命相关E（入）（2）设随机变量Xe（2）,则有PX s+，x s=PXr,这也叫作指数分布的无记G Z性。可以理解为一个电子元件在已经使用了 3小时的条件下，还可以使用5个小时的概率，与从最开始这个电子原件能使用5个小时的概率是相等的。因 八m二丫%用 概率密度/w =Ae/X,x 0,o,x x,x00,x 0,0,x 0.(1)2 -i求尸(-i x =|-e求概率密度函数（x）；若y =3 x+i,求概率密度函数人。）。n-e-i

15、y/.x 7。-z e r*,XXOD V。o,入 V。色 和 通：q o=,X w oJjw|福 息|例6计 靖C I一 卬=代 尸 炉=丁 仔 箱 可 卜 八 乂 士 三，C，一=&（竽）=f 1-3式 力，|o ,y of rU_ ），上Q p e T JI 0 ,W I 。，”已知x 的概率密度，和 X 与 Y的关系，求 Y 的概率密度已知连续型随机变量x的.概率密度为fx（x）,Y=g（x）.枣 y的概率密度力 .方 法：分布函数法先求随机变量Y的分布函数我以继j%（歹）=PYy=尸 g（）W歹 =（/式）公Fy（y）分段点的两个来源把 fx（x）的分段点带入Y=g（x）中,得到的Y

16、值作为分段点 Y=g（X）自身的最值作为分段点再对分布函数求导得概率密度-0）=月00#例题求随机变量函数的概率密度【例 2.1 1】设随机变量X服从 上）L 阿 磐 I分布,求一机变里 =犬 在（0.4）内的概率分小密咬人（.）=_ _ _ _ _ _ _.J J-先写出这个均匀分布概率密度,0止求Y分布函数中y的分段点 X的概率密度的分段点：0.2.带入y=x2得y=0,y=4;y=x2自身最小值：y=0 F(y)=P(Yy)=P(x2y)当y 0时，x2不可能 y,因此为0当0y4二 1汇总整理再求导即为f(y)“Jr y”(尹在勿夕 ，X期#例题 例2.i5设劭眶的搔a 迪为也好Vg功

17、 1.-K x o.fx（x =0 s x -zv-尸*=2,=%=%,力=1 2,）；PgNQ X 2B=L，J联合分布函数尸（K）=尸 x%丫 w 用=2 p”xtixyy1边缘分布律X的边缘分布律：P,.=，,(i=1 2)Jy的边缘分布律：p”=2 p ,(i=i,2“)i条件分布律当尸*=%=人工0时，在*=菁条件下，y的条件分布律：尸 丫=匕以=且,。=1 2)pi.当P X =%wO时，在丫=匕条件下,x的条件分布律：P x=X j|y=力 =段,。=1 2)P，)独立性x和y相互独立o p产p:p.R j=1 2)联合分布列：X,Y所有可能的取值(x i,y j )和相对应的概

18、率写成的表格边缘分布列：一行的概率和是X 的边缘，一列的概率和是Y 的边缘 X 的边缘分布就是让Y 为必然事件，把 X 的概率累加 Y 的边缘分布就是让X 为必然事件，把 Y 的概率累加条件分布条件分布二联合分布/边缘分布联合分布可推得边缘分布，但边缘分布只有X,Y独立才能确定联合分布【例3.1设随机变量设和 吧，相表列出了二维随机变量(X.机的概率分布及关于*和y的边缘概率分布的新加 了 将 剩余数值填入表中空白处.#例题【例3.2】设二维随机变量(X.K)的概率分布为b412且尸x+y=i|x=o=L求常数4方.而百,二1根.独立性：X,Y相互独立的条件是联合分布=两个边缘分布的积PX=x

19、熨 换 产 X身，篦常：=1,2,二维连续名称定义联合分布函数F(x,y)=PX o,则在X =x 条件下，y 的条件概率密度：4*(亦)=今 奖,若对于固定的八fr(y)0,则在Y=y 条件F,X 的条件概率密度：A|y()=7 T.联合概率密度定 义：二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x ,y),如果存在非负可积的二元函数f(x ,y),使得对任意实数x,y都满足以下条件，则 f(x ,丫)为(X,Y)的概率密度或X,Y的联合概率密度尸(几歹)=fm，v)dudvJ 00 J OO崛 非负性：f(x,y)0 规范性(求 参 数):整个二维面积上积分为1f+o o f+o oJf OO

20、Jf fx,y)dxdy X)分布函数对X再对y求二阶导就为概率密度(在(x,y)处连续)尸(X)/FT用概率密度积分得到分布函数来表示概率尸(X,7)e D =jj f(x,y)dxdyD#例题【例 3.3 设二维随机变曲()万 的概率密度为/(x)=(I)常数*;(H)计 算 产 区 工 kx/z x y 0,则称A i y Crl i )=为 麟 件F =i卜.X的条件概写密度.雨林 酬、-力:行 作 给 定 的实数、，边缘概率密 度 竺 则 称%x(.k)=为在条件J =x卜，丫的 图 那 率密度.本 质 上 是 I之前的变量的一元函数需要确定自变量范围I 0明.独 立 性：X,Y独立

21、的充要条件是联合概率密度=两个边缘概率密度的积/(x,y)=fx(x)xfr(y),#例题二维连续随机变量的参数，概率，概率密度等求参数，计算二维连续随机变量的概率.依6V【例3.3 设二维随机变量(X,y)的概率密度为；二，一 命I 0.其卜(I)常数k：(U)计 算 尸 叵W D-.求参数利用概率密度的规范性，整个区域上的积分为1求得J#计算概率，实际上是对分布的区间和所求概率交集做积分。因此把概率密度中的非零区域，和所计算概率的区域做交集并计算二重积分计算边缘，条件概率密度【例 3.4】设二维随机变量(X.K)服从区域G 上单物匀分夕，其中。是由x-.】=0,x+.1 ,=2 与j ,=

22、0所围成的区域.求边缘概率密度4(工)；(2)求条件密度函数及数x I尸).求边缘先求联合，均匀分布的联合可以简单给出。区域G自己画出来/I叫Q斑带公式，求X的边缘，对y做积分/，止A H 上下限改变要分段:当 乂 在(0,1)时 穿 线，y从0到x积 分；当乂在(1,2)时，穿线写出y的上下限，做积分。|士专o总结求条件密度#例题来自高数叔例 题1/(x,y)=f e J-0 x0 0,else(1)求参数*的值；(2)判别随机变量x,y是否相互独立；(3)求概率网YM;y p跖hJ：人 ke f)=3 Q T e F：=7上中K=(V书 人“)=太 凶 九5)广/冽4 0 3例题2例2.设

23、二维随机变量(乂r)的概率定度函数为/(x j);0,其 他-X求：(1)确定常数。；(2)求边缘概率密度/*(x)；(3)/rxW ；fr x 3(4)y-x J.4 3)=。=不JJ=J_t fx dy 尿品 产1 一 i=c J 2(幽二 架g 产 匕 才 乂=!)=|一|X=；)Iyj4JO_ Vrm si 89的两个常见二维连续型随机变量分布二维均匀分布几何概型一维是长度分之一,二维就是面积分之一；,(x,y)e G,3G0,(x,y)任 G,性 质：如果在一个矩形区域上服从均匀分布，那么X,Y相 互 独 立；X,Y分别服从各自边上的一维均匀分布G二维正态分布(x,y)N概率密度符合

24、一长串鬼东西/U,v)=exp-12(1 3)(工-)-2P(工-)()一2)(J一 2厂2吨 巴J l-p，性质 边缘分布都服从一维正态分布X N(4,(T；),丫 X和Y任意的非零线性组合aX+bY服从一维正态分布 X和Y相互独立的充要条件是相关系数p=0#例题1例3.6设(X.D服从二维正态分布N(2.0.4.9:0),求炉格户 AT-2Y )为 或(z)=./(z p,y 闷.已知二维连续型的联合概率密度，求 Z=g(X,Y)的概率密度分布函数法：先求出Z 的分布函数，再求导得到概率密度#例 题 已知二维随机变量概率密度求分布函数【例3.8】f t.戏 成 机 史S t(.VI )的

25、微 奉 密 度 为口勺)4 3仆浦。1MW-J 少经索 的 机 殳4 4 S H J分 出-ft/2 R h I二 /14 旗：3大平。4 2,3 ri-U3 E；Q)4M)片 ”(22)，2 7 2,h(叫后3年无回益加出的1竞6 )力:“尸 心 勿小7#例题来自高数叔例1.已知（X,D的联合概率密度为x+y,0X1,0C =X C U7 C,max(X,r)C=XCOK c)=x cp y c,min(,r)C =XCUK X。O 十。D）*P十0人Ixo.15 七 z例5.已知二维随机变量(x,r)的 联 合 密 度 函 数 为 日c)1丹七2 cH i 一彳 小 二 不以广)二9 卜

26、钟 如 Y ：3 中 加，3DB)=丫)-W)-岸 广 工方差-波动的程度总结D(X)=EX-(X)2 弧 月)-画X)了 离散型随机变量的方差：O(X)=EX E(X)2=Xj-E(X)2 p,；Z=1连续型随机变量的数学期望E(X):+D W =EX-E(X)F=Px-E(X)(x)心.J-定 义：(和期望的)偏差的平方)的期望为方差。开根号为标准差O(X)=E XY(X):计算定义法离散情况：已知x的概率分布为PX=xi=piZ)(X)=%-(%)2 =XA;-(X),.连续情况：已知X的概率密度为f(x)。=X-(X)2=J：x-E(X)了/(x)d x.公式法：方差=平方的期望=期望

27、的平方D(X)=E(X-E(X)2.如果倒着用，就 能 求X2的期望=方差+X期望的平方“差的性质 常数的方差为0 常数在方差内相乘，提出来要加平方：D(CX)=C2D(X)常数在方差内相加，可直接忽略掉常数D(aX+b)=a-D(X)和差的方差=方差的皿士协方差D(XY)=Dm+D(Y)2EX-E(X)-Y-E(Yy若X,Y独立，协方差为0,则和差的方差等于方差的和#例题求二维随机变量函数的方差血4.51 一，维随机变量：(X.T)在区谈。=氏1)|0 1 田 必上服从警I分布.求随机变量Z =2 X+的方差D(Z).-二二2一加 乙7p(D 二 0/N x E(=(区/口).叼w%蹩乩冷物

28、八。叱D:以心飞广Ex#-常见随机变量的期望和方差 0-1分布(X)=pQ(X)=p(l-0).二项分布B(n,p)期望K(X)=/驴，方差D(X)=np(p).#例 题 二项分布的期望【例4.7 设X表示10次独立重更射击命中目标 侬:数，每次-中H标的概率为。4则X的数学期望E()=山二 J 沁4泊松分布P(入):期望E(X)=；l,方差D(X)=；l.#例题正态/泊松分布的方差【例4.8】设随机变量%,工,冬 相互独立，其中X、4 2 6)上服从应力分 布,X,服从正杏分布必 呼)X,服从参数为入=3的泊松分布,记y =X -2 X、+3 Xr则zT_7,二 八3点 一 处 1均匀分布-

29、几何概型U(a,b)2阳 工 尸 零，方差。(X)=；正 态 分 布N(p,a2)则数学期望E(X)=4,方差。(X)=b2#例题正态分布的方差：设两个随机变量x,y相互独立，且都服从均值为。，方 差 叫 的正态分布，求随机 变 量|x-M的 方 差.指数分布-与时间/寿命相关E(A)矶X)j O(X)=A1#例题指数分布的期望【例4.6】设随机变量X服从参数为1的指数分布,则E(X+e2 X)=.协方差和相关系数 Cov协方差-反映线性相关性定 义：偏差乘积的期望c v(x,y)=E x _ E(x)y _ E(y).计 算：乘积的期望-期望的乘积C o y(X,丫)=E()E (X)上(丫

30、).E(XY)=对应x,y取值的乘积乘以对应的联合概率密度性质公式 Cov(X,Y)=Cov(Y,X)Cov(X,X)=D(X)满足交换律，并且自己和自己的协方差就是方差 Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)a,b 为任意常数满足线性，里面的字母都可以援出螂乘 Cov(C,X)=0,C为任意常数常数和任意变量协方差为0 Cov(Xl+X2,Y)=Cov(Xl,Y)+Cov(X2,Y)满足分配律 若 X,Y 独立，则 Cov(X,Y)=0相关系数-反映线性相关程度定 义：法方差/标准差的乘积Cov(X,Y)2啊耳啊Y)汕硒攵-I o|性质x,y不相关时，有P a=0 c o v（x,y）=

31、ooE（x,r）=E（x）（r）D（x y）=D（x）+D（r）x,y相互独立=x,y不相关；x,y不相关节x,y相互独立.吓 父 小。甲 年 ）工 _ _ _ _ -_ 协方差的范围在-1,1 协方差=1的充要条件是X和Y以概率1线性相关。也就是PY=a+bX=l,当b0时，P=1；当 b-加盛褊工 礴计则x,丫的 相 关 系 数 f 7 .。止）=.一研不网）#例题已知概率密度求相关系数求 X 和y 的相关系数0 n .【例 411】设随机变量（X 1）的微率密度为2 中卜二 工 4 或尸X-E(X)|N1 -.M人 奉、.#例题切比雪夫不等式【例，5.1设随机变量X的 单 期望E(X)=

32、,方差D(X)=T2,则由切比雪夫不等式,大数定律(掌握条件和结论)依概率收敛：设Xl,X2,X3.Xn是一个随机变量序列,a是一个常数 如果对于任意给定的,当n趋向无穷时，X n与a无限接近，这是必然的，就称这个序列依概率收敛于a切比雪夫大数定律 设一组两两独立的随机变量序列，已知他们的期望和方差 方差存在公共上界，即存在一个M，没没有任何一个方差大于这个M 则对于给定的任意正数E，都 有：随着样本数量无限增大，样本的平均值和期定的平均值会无限接近,这件事的概率是必然的 特殊情况：如果这个随机变量序列是独立同分布的，那么数学期望和方差都相同，分别设为P和。2则：随机变量在独立同分布下，依概率

33、收敛到官己的期望lim P 一 8伯努利大数定律一解释频率f和概率P的关系 每次试验事件A发生的概率为p,n次独立重复实验中，频率为fn(A),那么对于任意正数：只要实验的次数够多，频率无限接近概率这件事是必然的辛钦大数定律#例题大数定律/依概率收敛1例5.2 i殳总体X版从参衣&三 妫3数 分 布,M.X4A 为来门总体X的简单随机吁,则当 f 8时.匕=:攵敛).中心极限定理拉普拉斯中心极限定理一二项分布的情况Xn服 从B (n,p)的二项分布，那么对于任意实数xlim P J乙,P=8时，这个假的标准化分布也趋向于真的N(0,1)T林德伯格中心极限定理一更一般的情况条件 一组随机变量序列

34、，独立同分布 期望相同：数学期望为M 方差相同：方差为o2结 论：对于任意x,都满足）氧 片 学 网1 1 I-|二 八/#例题林德伯格中心极限定理的条件【例5.3 设随机变步.工 工.x S=X,+X,+L +X.则根据列维一林但柏格中心极限定理，当”充分大时,S”近 小 里 叼 滥 分 布,乂 要X 1 0L,X“（1汉 同的数学期，|/卜（8）行相同的方程（D）服从同一离散型分布.#例题考中心极限定理的结论【例5.4）指数分布,设X r X：.L.X.L为色 的随机变埴列,fl均服从参数为/M1）的记4（工）为标准正态分布函数.则（Z A ,-n Al ini 尸 3 _=x=d)(x)

35、.1 2 V w(D)l im/V、一 x=0)(A).1 y/n A(7 t AJ aV*F川E 二P u 夕;J 二通 宵 复 习 法服从0-1分布的随机变量的加和，是一个二项分布。减去二项分布的期望，除以二项分布的标准差，就可以近似成一个标准正态分布了设随机变餐乂,*2,独立同分布，且，巴 刃=0 呼：0=1 丁,定理说 B 目 X=x*B(%p),则对任意xw（y）,+oo）,有当面充分大时，有X*-n p?lim Pf*?1 =-2 dl.I*np(-p)V2 -2。yC r=41 TzJ b Xo2 (/-1匚八竿 刃二咛3X，“Q W)数理统计部分基本概念总体和样本 总 体：研究

36、对象某项指标x取值的全体，是个随机变量 个体：总体中的元素 总体容量：总体中个体的数量 简单随机样本：独立,同总体分布的一组样本 样本的联合分布联合分布函数：简单随机样本的分布函数相乘F(X,X2,L，%)=口 厂区)口及力、+,犬社联合概率密度：所有概率密度相乘/(X,A*2，L,X)=f(X.z=l统计量和抽样分布统计量：是个样本的不含未知参数的函数抽样分布：统计量的分布常用统计量样本均值：即算数平均值，加起来除以个数名称定义注释样本均值X J（x,+%+x*）J x,n M总体均值为，则E(X)=.样本方差整=:t（X-X）2=:（用 一 所2）穴 7 n-1 M总体方差为，则%2)=/

37、如)=2.样本均值的期望=M 球)注伏/M 二弟四六”二 林 样本均值的方差=。2/!1D LV:次相问=心前加扁网哼 密啊一 力 样本均值平方的方差：a2/n+n2ma二 呼 麴 时 二4 k代样本方差/标准差1 1 1 S2=1 Z（X,-X）2 一1 I标 准 差S =J=Z（X,-万）2C M 4.11设的机变址(X J)的概率密度为求 x 和y 的相关系数fl,|r|.r,O.v45时，有 丁=山 N(0J).Yin模式随机变量X,Y相互独立 X服从标准正态，Y服从自由度为n的卡方分布则随机变量t为服从自由度为n的t分布带根号，到绝对值的都是t分布(自由度为1)顺 t(n)分布的概率

38、密度是偶函数，n充分大时，t分布可以近似成标准正态上a分位点：对于给定的a,如果满足t(n)大于一个点的概率为a,那么这个点就是上a分位点由于是偶函数，那么负数可以转化成1-J a ()=-%()、JF分布定义设 匕/出),公 公(%)，相互独立，则称尸=M 服从自由V I n2度为(公，%)的户分布，记尸 尸(外,),其中称为第一自由度，n2称为第二自由度。性质尸 尸(场,崂，则F模式X,Y相互独立X 服从自由度为m 的卡方分布，丫服从自由度为n 的卡方分布，那么随机变量F,就服从自由度为(m,n)的 F分布(先分子后分母)X/mr-Y/n性质 F分布的倒数，就把m,n调换位置1-r(77,

39、777)t 分布的平方是F分布 上 a 分位点&F-F(m,n),对于任给定的a(0 a Fa(m,n)=a的点Fo(m.n)为 F(m,n)的上 a 分位点，且有 Ft_a(m,n)=-!-.Fa(n,m)#例题t f 分布平方是F分布【例6.3 已知随机变量则X?加。）iiu-U C V,O.Ud/Z”）.U/也 v,V V 上 一乂苏乂 二 Wn正态总体抽样分布一组随机变量序列，是来自正态总体XN（M,。2）的样本，样本均值为X 一拔，方差为S2,则21).X N(4)；_ _n2).；引:渭 均值服从一个正态分布，标准化后服从标准正态分布X ,U=I，N（0,1）.J _ c r/aE

40、（）WX）_ 均值方差相互独立，并且满足CT C z7=1l/一1).*3 的 相关的t分布，自由度为n-1）匚 器 nT俗1爰#例题考察正态总体抽样分布的四个结论【例6.4设A；工.A，工“(N 2)为来白 冷 体 的 简 通 随 机 样本.斤为样本均值.V A-40S?为样本方差，则（）/OHT-N（0）./）。O h 乂 二 Kn“co.八）K i1-7 y；z、邛d)、_修参数估计和假设检验点估计概 念：知道总体分布形式，但含有未知参数9 或者未知的数字特征，点估计就是构造一个适当的统计量，用统计量的观测值作为未知参数的近似值。点估计的方法矩估计法用样本矩估计总体矩，用样本矩的函数估计

41、总体矩的函数。均值矩估计为 =x。W计算参数。矩估计量和估计值的套路：5求出总体的矩=E(X)=g(9)；令=g(O)=X,反解出估计量方程4=MX)；1 aMz*将X 值代入。=(X)算出估计值。现 柚 取 了 容 量 为q的样本，样本之中有1个0、4个1、1个23个3。求6的矩估计值.1.“=E（X）=0户+卜加（1-0）+2伊+3（1 一罚）=3-柘；2 .令“=3-40=X,解得矩估计量4=3-*；*1,/*-一 、43.这里x =lx 0+4x l：lx 2 +3x 3=：故J的矩估计值为9 3例2.设总体X的概率密度为/（X）-0-0,其他%,占，毛是取自总体耶I简单随机样本.求儆

42、矩估计量0。解：1.=匚 岫=（零（1声=，4与 她2 .令=：=乂 解 得 网 矩 估 计 量3=2 X。思想-辛钦大数定律：用样本的k阶原点矩作为总体的k 阶原点矩的估计。即用样本矩来替代总体矩-I V-|1 nJA阶原点矩4 =一 丫：-关健：找有关0的方程，然后解出这个方程例 子：如果X 服从均匀分布，但含有一个未知参数e,通过抽取X 分布中的一些样本，由大数定律，样本足够多时，x 的均值会趋向他的期望，从而解e 出3.以，9%UCo9）拄=J豺 价 伯 原 坦 脩：K=,二2夕 二 Z X解题思路：当只有一个未知参数（一阶）只需要用样本的一阶原点矩即样本均值来估计随机变量的一阶原点矩

43、即期望，令均值=期望，解出未知参数，就是其矩估计量。如果有另两个未知参数，处理要用一阶矩还要用二阶矩，两个未知数需要两个方差才能解出解题步骤：落鲂:)石日挣)另 二 一一-算 E(x)=g(9)如果结果中含有6,就让均值=期望 计算出e#例 题：连续型的矩估计法r例7.2】i殳总体x的概率密度为。)8萍-未知参数.V.K.A工是来门总体X的一储 沙 乜 的荷陋地机样仁 求 忘 诏&I”间。J*%双=1 J；力 i k.i X 彻 忆-此 产 J x-e t/一死X次琳物内幼以寸4 4、甲 铝 7。0二 最大似然估计法2.求离散型总体未知参数的极大似然估计：圈散型总体X的分布律为PX=x=p(x

44、,e),6 e。，其中。为未知参数，没X./2,户是一组样本观测值，则求。的最大似然估计的套路：计算似然函数e)=l!p a，e);对似然函数取对数得到lne)=lnp(x,。);加 I.:.对e求导，并令幺ine)=o,解出最大似然估计在U Ut.设 乃灌王。下 表，其i=i中061,x123e26(1-6)（1一。）2现 抽 取 了 样 本 为=1,七=2,巧=1.求。的 最 大 似 然 估 计解：1.似 然 函 数(6)=尸(玉=1)尸(=2)尸(七=1)=02-20(-0)-02=20S(1-0),2,取 时 数 lnA(0)=ln2+51n6+l n(j).3.令d/n L(8)=0

45、+5 1 5-6。-0 0(-0=0,0例1.设总体X的概率密度为“X)(e+i)x,o,0 x 7 是未知参数.玉,匕,X,是来自总体X的一个容量为的简单随机样本,用最大以然估计法求。的估计量.解：1.样本的似然函数为：(9+1)由 力 0 x(0,未知，求e的最大似盘估计量。解：1.求最大似然估计员：=f p x产，0 x,I0八心快您尸C中在L他凄 斐1?WJ fug金取也我府 区间估计概 念：同样是随机变量的分布函数含有参数，通过来自总体分布的随机变量样本，估计两个统计量01和92,对于给定的精度a（足够小）这两个统计量满足P （eie02）=l-a（足够大）那么这两个统计量组成的区间

46、叫做9 的置信区间，L a 就是这个区间的置信水平。说人话就是，估计一个区间出来，这个区间要足够的小，但是参数在这个区间的概率要足够大。单个正态总体的区间估计正态总体分布设 万 、（./）,X rX A.X”为来自总体X的简单随机样本，样 本 均 值 为 样本 泞 爰 为S-则置信区间（记下来！）未知参数b?已知未知l-a置信区间J A/计 宠(X-2 水,X +Il an*)t你包(x-j/2(-1)京-X+Q/2(”1)(5，抒a2 未知式 7 兄-1)#例 子：怎么用记下来的正态总体分布的置信区间蚂 列 1 设某大学中教授的年龄 N 5，b），g：型未知：项 丽!了解到5 位教梭的年龄如

47、下：39,54,61,72,5 9.试求均倭“I义 o、L =2 充.y=2.言.a”一 u、s -i、q g一 F、1 L 二&o./4 今$2 铝毒今八表。1.W、Jk n=$臼设某大学一年级男生体粤R从正态分g业 巴A随机抽取h二2 5名学生，测得体重平均值为5次g,标准差为T k g.试求这些男生 1，.=*-体重标准差的置信度为0 0 5的单侧置信上限.。单 偌 睢4上 簿 力-71-Li ）嬴（_ 2 4X=仃4.一（3.S+S假设检验（正态总体分布）基本概念1.基本概念对于假设检验问题，提出关于息体的一个假设，称 为 典 暨记做“；与原假设相对立的假设,称为备择假设，记做，.假设

48、:脸中用到的统计量，称为检验统计量.枪腌统计量杷样本空间分F两个区域，使儿被拒绝的摩观察值所组成的区域为期里比时，检验统计量落入拒绝度的做蜜是给定的小概率a.a称为囿著水平.设座总体的位置参数，%是 已 知 常 处 关于外的假设检验类型有:类型H 双边检验8丰 国单边校验右边9e0左边6仇3.假设检验网步骤(1)据题意写出原假设儿和备释假设名；(2)选择检验方法，口出检验统计量及其分布;(3)根据给定的显著性水平确定拒绝域;(4)计算检验统计量的值,，做出推断.思 想：小概率事件在二妈验中几乎不可能发生，如果发生了，那么做出的估计是不能接受的。例 子：打个比方，有一个袋子，里面有一种球99个，

49、另一种球1 个，共 100个球，只有黑白两种配色写假设，H0:假设有9 9 白，这就是原假设；相反的，H1:99黑，这就是被责假设构造小概率事件，例 如，P(抽一球为黑)=0.01,这个抽一球为黑，就是拒绝域做一次实验，看样本是否落入拒绝域若抽一球为白，就接受H0,拒绝H1若抽一球为黑，就接受H1,拒绝H0正态总体分布1检验参数条件僚假设与备样假设检哈法及枪验统计量拒绝域*卓)，J eaU检验u=MOD 一%未知儿：工外.陆:外乩：汕.“自丁松鸵S/4n一个正态分布N（口，W）,。已 知，对口做假设检验劭4 iS成绩看下，是;揉6）才g*t、1某次考试的成绩服从正态分布，随机柚取了 36位考生

50、的工 得 平均分为66.5分，标准差为1 5分.在显着性水平0。5否可以认为这次考试的平均分为70分？o o O 一，幺R股 规 平 秋 丹傕戊：H o：yU=Jo.H1：O.耳 也 住 什 生 改 史 洛T S/I-七（h-l）比 琴 闺松.住3卅 所ITI=|（=（、牛 与9 M H g必龄 受 儿.为次 左 不 他 不 令 我7吟:已知H0:W：r*O 仇/H o d N o 4 H jtfv o；/=；皿 工 阿 或六/式 ）X2 N/（”）z FLoo未知H。:二 ；,乩：（f%之求/人:/检 验，(w-1)S*.Z =:-x (n i)/之 襦 式”T）或小 片 加 ST）写 假