2022届东北三省四市教研联合体高三下学期高考模拟试题（二）数学（理）试题（解析版）.pdf

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1、2022届东北三省四市教研联合体高三下学期高考模拟试题（-）数 学（理）试题一、单选题1.已知集合 A=xk42,xeN,B=0,l,2,3,则（）A.0,1,2 B.1,2 C.2 D.0【答案】A【分析】求出集合A,利用交集的定义可求得结果.【详解】因为A=X|X42,XWN=0,1,2,因此，人口3=0,1,2.故选：A.2.下列关于复数z 二 1J的四个命题中，错误的是（）-1+1A.|z|=V2 B.z?=-2iC.z 的共轨复数为-1+i D.z 的虚部为-1【答案】B【分析】利用复数的运算法则计算出结果即可判断四个选项正误.【详解】z_ 2 2(i+l)_ 2(i+l)-1+i(

2、i-l)(i+l)-2则目=g）2+（_ l）2 =血,选项A 正确;z2=（-I-i）2=2i,选项 B 不正确；z 的共轨复数为-1+i,选项C 正确;z 的虚部为-1,选项D 正确；故选：B.3.已知向量”=(x,y),b=(1,2),c=(-1,1),若满足 a B，b L a-c),则向量a 的坐标 为（）【答案】D【分析】根据向量共线的坐标表示及向量垂直的坐标表示，联立方程组求解即可得答案.【详解】解：因为向量Z=(x,y),1=(1,2),3=(-1,1),所以“-c =(x+l,y _ l),又b-L(a-c),所以Ixy=xx2(x+l)xl+(y-l)x2 =0，解得x=5

3、2y=3所以向量z 的坐标为 3故选：D.4.以 下 三 组 数 据 的 标 准 差 分 别 为$2，$3.5,5,5,5,5,5,5,5,53,3,4,4,5,6,6,7,72,2,2,2,5,8,8,8,8则 有()A.sxs2 s3 B.s2 sy s3C.%5 2 5 1 D.5 3 V sl G【答案】A【分析】分别计算出三组数据的标准差，比较得到结果.【详解】第一组数据的平均数为5,所以方差为0,标准差为即=0；第二组数据的平均数为3+3+4+4+5+6+6+7+79=5,所以方差为 2 x(3-5)2+2 x(4-5+(5-5)2+2 x(6-5)2+2 x(7-5)2 =099

4、故标准差为邑=第三组数据的平均数为2+2+2+2+5+8+8+8+89=5 ,所以方差为 4心5）2+（5-5）2+4+（8-5）29故标准差为S 3 =20，所以 S 1 7故其奇数项上的通项公式为4 =%2 _ 故%=幺212 声-1=220,故选：C6.已知函数，(x)=2 s in x c o s x-/c o s 2 x-#,则下列结论中正确的是()A.函数/(x)的最小正周期为2万T TB.=3 时/。)取得最大值C.7(x)的对称中心坐标是(-+%,0)(A:e Z)D.f(X)在 0,y 上单调递增【答案】D【分析】根据正弦型函数的图象与性质，对各选项逐一分析即可求解.【详解】

5、解：/(%)=2sin xcosx-y fi cos2x-y/3=sin 2x-G eos 2x-G =2sin(2 x-g)-道，对 A：函 数 的 最 小 正 周 期 为 7=考=，故选项A 错误；对 B：因为/(|=2 0 2 乂 9-?-6 =0,所以(初皿=2-石，且/图HL2-6故选项B 错误;jr k 7T TC对 C：令 2x=k7i,k e Z、得尤=1、k e Z ,3 2 6所以/5)的 对 称 中 心 坐 标 是(笥+-石 ,k e Z,故选项C 错误；对 D：因为0 4 x 4?,所以 5 4 2 x-2 4。，又丫=5皿 在 上 单 调 递 增，所以/(x)在 0,

6、(上单调递增，故选项D 正确.故选：D.7 .多面体的三视图如图，则此多面体各个面中，面积的最大值为（）A.9石 B.9 C.18 D.18 G【答案】C【分析】由三视图还原该结合体，然后算出各个面的面积作比较即可.由三视图可得该几何体是如图所示的三棱锥，其中N A 8 C =9（）o,A 8 =6,8 C =3,点尸在线段A 8中点的正上方，所以 A C =3后,PA=PB=4 3 厨 +32=6,PC=3 也，所以SA A B c=g x 6 x 3 =9，SSBP=$6x3-Ji=9上，=g x 6 x 3 =9，Se c =x 6 x 6 =18,所以此多面体各个面中，面积的最大值为1

7、8,故选：C8 .动圆M经过坐标原点，且半径为1,则圆心M的横纵坐标之和的最大值为（）A.1 B.2 C.0 D.2&【答案】C【分析】设动圆圆心M（x,y）,利用动圆M经过坐标原点，可得V+y 2=,利用基本不等式可得x+y40,从而得到要求的最大值.【详解】设动圆圆心M（x，y）,半径为1,动圆M经过坐标原点，可得/0 =1,即V+y 2=l,（x+y）2=x2+y2+2xy 匕0,则下列判断正确的是（）A.sin ci sin b B.2+:2”4 C.-r -D.2+1，B 对；a b b a对于c选项，因为则/k 0,所以，_L 0 -,D错.e Ina Inp故选：B.C I 71

8、0.ABC中，2COSM-；COS2 C-：=0,若AB=4,则A8边上的高的最大值为（）2 2 4A.2 B.3 C.25/3 D.3月【答案】C【分析】将已知条件利用余弦的二倍角公式化简可得c=q,然后由余弦定理和基本不等式可得面积的最大值，从而得到高的最大值.【详解】AABC 中，2co sq-g co s2 C-t=0,可得 cosC gQcos?C-l）-q =0,即1 1 4cos2 C-cosC+=0,解得cosC=,0C2CA CB-6,2 2CACB可得C4-CB0力0）与椭圆 +三=1 .过椭圆上一点 尸 卜 叼 作椭圆的切线/,/与 X轴交于M 点，/与双曲线C 的两条渐

9、近线分别交于N、Q,且 N 为M。的中点，则双曲线C 的离心率为（）A.妪 B.713 C.D.62 2【答案】A【分析】设出切线方程，与椭圆方程联立后利用根的判别式求出a=求出切线方程,从而得到仞点坐标，再联立渐近线得到M Q 的横坐标，利用中点得到方程，求出2 =1,a 2从而求出离心率.【详解】由题意得：渐近线方程为y=2*,a设切线方程为y 一：=&+1），联立+?=1得：（3+4k2）x2+Sk k+-x+4 k2+I2k-3=O,由 A=6 4&+|）-4（3+4有 伴 解得：A=|.所以切线方程为y=；x+2,令 y=0 得：x=-4,所以M（Y,O）,联立y=，x 与y=；x+

10、2,解得：xQ联立y=_%与 y=2 x+2,解得：；因为N 为 M。的中点，LL-4 1 （4。所以 OAu.l Oh 4,2b+a 2 2 b-a ）解得：s=l,所以离心率为J l+=用卜-3）=0 得：（22-1）2=0,42b-a 94。卬=训 2b+a12.若对V x 0,恒 有 第 J i)叱,则 正 数。的取值范围是()/c l 1 1 12 2 、A.(0,e B.一，+8 C.一，一 D.一，+8_ c )_ c e _ L J【答案】D【分析】依题意可得以(非+1)2，+1)山/,令 r)=(r+i)i nr,(r 0),则原问题等价于/(e“)N/(Y)恒成立，利用导数

11、说明函数的单调性，即可得到恒成立，参变分离可得 士 的 恒 成 立，令机(x)=B,x 0,利用导数说明函数的单调性，求X X出函数的最值，即可得解；【详解】解：因为龙(铲+1)2卜 二 帆,。为正数，x 0,所以 a r(e +1)之 2(f +l)lnx ,即 o r(ea v+1)(2+1)I n x2,令/(r)=+l)lnz,(r 0),则/(1 =(y +1)1的 =办 卜 小+1)/(x2)=(x2+l)lnx2,则原问题等价于/(暧”/(V)恒成立,又尸(f)=lnf +；+l,记(f)=lnf +；+l,(z o),则/r)=；-=7，所以当,1时(r)0,当0 /1 时”(

12、r)。，所 以/在(。,+8)上单调递增，因为/(y)“)恒成立,所以e g N d恒成立，即。*叱=也 恒 成 立，X X令?(力=21nx,x(),所以加(x)=2 q n x =2(,n x),所以当。*(),当x e时加(x)32=135.故答案为：135.1 4.已知抛物线/=4 x的焦点为F,过F的直线/交抛物线于A,B 两 点,交抛物线的准线于C,且 满 足 定=4万，则E 4的长等于.3【答案】-1.5【分析】过A,F,8作抛物线准线的垂线，垂足依次为A，M,纥，利用抛物线的定义及相似可得答案.【详解】过A,F,8作抛物线准线的垂线，垂足依次为4，M,可，则FM=p=2,AAt

13、=A F ,BBX=BF,由 也=如=3,：.AA.=AF=,F M CF 4 2一,3故答案为：.15.正三棱锥S-A B C 的顶点都在球。的球面上，底面AABC的边长为6,当球。的体积最小时，三棱锥S-A B C 的体积为.【答案】18【分析】根据球的性质有浦=屋 卡 /,所以球o的体积最小时，”=0,此时R =厂=2 6 ,正三棱锥S-A B C 的高 =R =2 4,从而根据三棱锥的体积公式即可求解.【详解】解：由题意，底面AABC是边长为6 的正三角形，r =lx 6=2J 3所以AABC的外接圆的半径 2 s$i拘n 工，即截面圆的半径 =2 6，设球心。与截面圆的圆心之间的距离

14、为d,球的半径为七根据球的性质 有 片=小+产，所以当球。的体积最小，即球的半径R最小时，4=0,此时R =r =2 G，所以此时正三棱锥S A B C的高介=R =,所以三棱锥 S-A 8 C 的体积 V =ABC x h=x -x 62 x 2 G=18,3 3 4故答案为：18.三、双空题16.已知函数 x)=J *，则函数f(x)的各个零点之和为_ _ _ _ _ _；若方程厂 一 6x +8,x 2 0/卜+)=”恰有四个实根，则 实 数 加 的 取 值 范 围 为.【答案】5 (-l,0)u(l n 2,x)【分析】求出函数/(x)的零点，可求得函数/(x)的各零点之和；令/=x

15、+B，可得出函数f =x +一的值域为(e，-2 U 2,同，设方程/=机在S，_2叩收)上有两个不等的实根，设 为 小，2，可得出、G 2,+)或乙、f 2 G(r，-2)或乙 2、-2,数形结合可得出实数机的取值范围.【详解】当x 2.X-=2 ,当且仅当x =l 时，等号成立,X X X当x 2、t2 In 2 或一1 v /力 v 0,因此，实数用的取值范围是(T O)5 1 n 2,内).故答案为：(-l,0)0得 p=2,%=2,则为=2 .即 导=2,I r n -i i.”=4xbx X=2 X 22 X 23X x2=2 不(w2).t如 V)b=l符合上式，=2%.18.四

16、棱锥 P ABCD,/3A=9 0，AD!IBC,AB=B C =,A D=2,PA_L 底面 A8C),与底面46C3成45角，E为尸。的中点.（1）证明：PDA.B E；（2）求二面角A-3 E-C的正弦值.【答案】（1）证明见解析Q）B2【分析】（1）连接8。，推 导 出 利 用 等 腰 三 角 形 三 线 合 一 的 性 质 可 证 得 结 论成立；（2）以点A为坐标原点，AB、AD.AP所在直线分别为X、V、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.【详解】（1）证明：连接8。，因为4 _L底面ABC。，/Y）与底面ABCZ）成45,角，即NPD4=

17、45,所以，PAD为等腰直角三角形，且 抬=45 =2,因为 PAL底面 ABC。，平面 ABC。，.-.PA1AB,PB=JPA2+A B?=亚,因为 NBA）=90,;.BD=4 A B2+A D2=旧，则尸3=%），为8。的中点，所以，BEA.PD.（2）解：因为P4_L平面ABC。，B A D =90,以点A为坐标原点，A3、AD.AP所在直线分别为X、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,则 A（0,0,0）、3（1,0,0）、C（l,l,0）、（0,1,1）,设平面A B E的法向量为正=（4 ,z j,通=（1,0,0）,荏=（0,1,1）,则 m-AB =x =0 八，取-y

18、=11 f,一可,得一机=（/八0,1,-1，、）,fn A E=y +Z =0设平面B EC的法向量为 1=（X 2，%Z 2），前=（0,1,0），丽=（-1,1,1）,则 卜 篝=力=。取=1,可得7=（1，0，1）,n-BE=-x2+y2+z2=0-m n 1 _ i-二 一：-C所以，c o s =口=一彳,则 sin =J l-c o s?=，网 料 2 V 2因此，二面角A-B EC的正弦值为且.219.“百年征程波澜壮阔，百年初心历久弥坚为庆祝中国建党一百周年，哈市某高中举办了“学党史、知党情、跟党走”的党史知识竞赛.比赛分为初赛和决赛两个环节，通过初赛选出两名同学进行最终决赛

19、.若该高中A,8两名学生通过激烈的竞争，取得了初赛的前两名，现进行决赛.规则如下：设置5轮抢答，每轮抢到答题权并答对则该学生 得1分，答错则对方得1分.当分差达到2分或答满5轮时，比赛结束，得分高者获胜.已 知A,8每轮均抢答且抢到答题权的概率分别为彳，S，A,B每一轮答对的概率都为:，且两人每轮是否回答正确均相互独立.（1）求经过2轮抢答4赢得比赛的概率；：（2）设经过抢答了 X轮后决赛结束，求随机变量X的分布列和数学期望.【答案】:413分布列见解析；期 望 为:4【分析】（1）求出4 学生每轮得一分的概率，进而求出经过2 轮抢答A 赢得比赛的概率;（2）求出X 的可能取值及对应的概率，求

20、出分布列和数学期望.【详解】记事件C 为“经过2 轮抢答A 赢得比赛”A 学生每轮得一分的概率P（4）=|x g +；xg=g,8 学生每轮得一分的概率尸（B）=g x g+|x；=；,P（C）=（g j =；,所以经过2 轮抢答4 赢得比赛的概率为：.（2）X 的可能取值为2,4,5.2 轮比赛中赢或乙赢的概率为P（X=2）=2C；（g =g,4 轮比赛中赢或乙赢的概率为P（X=4）=2C x g x g x；=；,5 轮比赛甲赢或乙赢的概率为P（X=5）=l-；-g =；.X 的分布列为：X245P24J_41 1 1 13 13E（X）=2 x-+4 x-+5 x-=-,数学期望为二.2

21、 4 4 4 42 0.已知动圆M 经过定点式（T 0）,且与圆心：（x-lf +y2=8相内切.（1）求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；（2）设 点/在 x=2上，过 点 T 的两条直线分别交轨迹C 于 A,8 和 P,。两点，且T-TB=TP-TQ,求直线AB的斜率和直线P Q的斜率之和.【答案】（1）与+丁=1（2）0【分析】（1）设动圆圆心M（x,y）,半径为，利用桶圆的定义可得到动圆圆心M 的轨迹方程.（2）设出A8直线方程和P。直线方程，分别与椭圆方程联立，写出韦达定理，利用弦长公式表示出|7 4|用=|万|7。|,即可得到斜率之和.【详解】(1)设动圆圆心M(x,y),半径为由题意

22、得：MF=rMF2=2y/2-r得|岬|+|叫|=2也|耳闻=2.所以圆心M 的轨迹是以尸一 尸 2为焦点的椭圆，且a=0,c =b=l故轨迹C 方程为1+丁=1.(2)设 T(2,f),A(X|,y),8(七,必)，4B 直线方程为 y-f=仁(一 2),P(”),0(%,为)，P。直线方程为 一=修。-2),X2 2了+=y-t =kl(x-2)X 1 +x2联立相消得(2 1+1)丁+Q 2勺)x+2。-2年)2 2=0,8匕 2-4 氏 2好+12(Z-2,)2-2-2k；+1|科|阳=7-2|.阿F l 2|=黑?1 +2乙K、十1同理 17PH7。|=含(1+4)，乂|叫 明=附.

23、照,西丁/=1=心又，仁2 1.已知函数+S +2)e*+ox.讨论x)的单调性；(2)当。0 时，设%为/(x)的零点，证明：In(x0-.4a+5 e【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)对函数求导，分“W0和。0进行讨论，解导数不等式可得函数的单调性;(2)由(1)可知，只需证构造函数g(x)=lnx x+1,证明得到n xx-,利用此结论可进行证明，设hx=e+x,利用函数的单调性可得/0，从而得到证明.【详解】设/(x)=2e2*+2)e*+a=(2e*+a)(e*+1).当aNO时，则/(x)0,f(x)在 R 上单调递增,当。0时，令/(x)=0,则 x=ln当 xe(-

24、oo,ln时，r u)0,f(x)单调递增.上单调递减,综上，当时，/(x)在 R 上单调递增；当。0 时，x)单调递增，所以与为x)的唯一零点.若只需证/(in 卢4a+5 I 4a+5J/2a 1 4a2 2a(a+2)2aI 4 +5j(4Q+5)4Q+5 4 +54。当。0 时，只需证明(而+5及2(。+2)2a 8/+3 0。+20+-+In-=-：4。+5 4。+5(4。+5)1 2。八+In-0,g(x)单调递增,当 xe(l,+8)时，g(x)0,g(x)单调递减，所以 g(x)4g =0,即 ln x 4 x l.所以8/+30。+2。+如上 8/+3 0。+20+3 _ =

25、_ _(4+5)2 4a+5(44+5)2 4a+5(4a+5)2 0,故,舄 0,In2a4 +5 0,即/。+/0,设/z(x)=e+x,则(与)=e*+/0,/i(x)在 R 上单调递增,所以若证改 0,即可一)=e L e 0,因为一故e T e f 即综上，当。0 时，若%为/(x)的零点，则i n/?v x o c-!.4。+5 e2 2.直线/过点A(-2,T),倾斜角为?.（1）以平面直角坐标系的原点。为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系.过。作/的垂线，垂足为5,求点5 的极坐标（/2 0,0 。2）；（2）直线/与曲线C:=2/（，为参数）交于M、N 两点，证明：|AM|

26、、|仞V|、14Vl成y=2，等比数列.【答案】后;乃）（2）证明见解析【分析】（1）求出点8 的直角坐标，利用极坐标与直角坐标的互换关系可得出点8 的极坐标;（2）将直线/的参数方程与曲线C 的普通方程联立，设、N 对应的参数分别为乙、t2,利用参数方程以及f的几何意义计算出|A|AN|、MN,即可证得结论成立.【详解】解：直线/的斜率为ta n f=1,故直线/的方程为y+4=x+2,即y=x-2,4所以，直线/与X轴交点为0（2,0）,与 y 轴的交点为（0,-2）,1 T易知NOOE=:，所以，OOE为等腰直角三角形，且因为0 3,0 石，则 区 为 线 段 的 中 点，即点3（1,1

27、）,设点6 的极坐标为（夕,。）（夕之0,。工。24），则夕=0 ,tan6=-l,又因为点8 在第四象限，则（2）解：将曲线C 的参数方程化为普通方程可得y2=2x,x=-2+将直线/的参数方程，y=-4+可得产-10万 +40=0，则4V2一2正2（，为参数），代入曲线C 的方程y2=2.=200-4x 40 0,设M、N 对应的参数分别为乙、由韦达定理可得4+22=10&，格=40,所以，|猛|.|冽=也|=40，|烦=,-疝=&+幻 2 4阜2=40,所以，|A“HAN|=|MN，因此，|AM|、|拉用、|AN|成等比数列.2 3.关于x 的不等式由小2机的解集为一；/.求m的值;（2）若（。-1）（人-1）（。-1）=，*，且 a l,b,c,证明 a b cN 8.【答案】（1）m=1(2)证明见解析【分析】(1)对切分类讨论即可求解；(2)运用换元法，基本不等式进行证明即可.【详解】(1)若根 0,-2 m 3 x 1 2 m,即 x 0,q 0 ,r 0.pqr=1,abc=(1 +)(1 +q)(l+r),*/1 4-/?2 yp,l +q 之 2 及，l +r 2 V r ,/.abc=（1 +）（1 +4）（1 4-r）8dpqr=8（当且仅当 a=b=c=2时等号成立）.