高中数学 第三章《不等式》全部教案 北师大版必修5.pdf

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1、北师大版高中数学必修北师大版高中数学必修5 5 第三章不等式全部教案第三章不等式全部教案第一课时第一课时3.13.1 不等关系（一）不等关系（一）一、教学目标：一、教学目标：（1）通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景；（2）经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法；（3）掌握作差比较法判断两实数或代数式大小；（4）通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯二、教学重点，难点：二、教学重点，难点：(1)通过具体情景，建立不等式模型；(2)掌握作差比较法判断两实数或代数式大小三、教学方法三、教学方法：启发引导式四、教

2、学过程四、教学过程(一一)问题情境问题情境在日常生活、生产实际和科学研究中经常要进行大小、多少、高低、轻重、长短和远近的比较，反映在数量关系上就是相等与不等两种情况，例如：(1)某博物馆的门票每位10 元，20 人以上(含 20 人)的团体票 8 折优惠 那么不足 20 人时，应该选择怎样的购票策略?(2)某杂志以每本 2 元的价格发行时，发行量为10 万册经过调查，若价格每提高0.2 元，发行量就减少 5000 册 要使杂志社的销售收入大于22.4 万元，每本杂志的价格应定在怎样的范围内？(3)下表给出了三种食物X,Y,Z的维生素含量及成本：维生素A(单位/kg)维生素B(单位/kg)成本(

3、元/kg)300500300700100300543XYZ某人欲将这三种食物混合成100kg 的食品，要使混合食物中至少含35000 单位的维生素A及40000 单位的维生素B，设X,Y这两种食物各取xkg，ykg，那么x,y应满足怎样的关系？2问题：用怎样的数学模型刻画上述问题？（二）（二）学生活动学生活动在问题(1)中,设x人(x 20)买 20 人的团体票不比普通票贵,则有820 10 x在问题(2)中,设每本杂志价格提高x元,则发行量减少0.5收入为(2 x)(102x5x万册,杂志社的销售0.225x5x)万元根据题意，得(2 x)(10)22.4，22化简，得5x 10 x4.8

4、0在问题(3)中,因为食物X,Y分别为xkg，ykg，故食物Z为(10 x y)kg，则有300 x500y300(100 x y)35000,y 25,即700 x100y300(100 x y)40000,2x y 50.上面的例子表明，我们可以用不等式(组)来刻画不等关系 表示不等关系的式子叫做不不 )表示不等关系.等式等式,常用(，（三）（三）建构数学建构数学1建立不等式模型：通过具体情景，对问题中包含的数量关系进行认真、细致的分析，找出其中的不等关系，并由此建立不等式问题(1)中的数学模型为一元一次不等式,问题(1)中的数学模型为一元二次不等式,问题(1)中的数学模型为线形规划问题2

5、比较两实数大小的方法作差比较法：比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差ab的符号；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号（四）（四）数学运用数学运用1例题：例 1 某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成 500mm 和 600mm 两种 按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过 500mm 钢管的 3 倍怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？解：假设截得的 500mm 钢管x根，截得的 600mm 钢管y根500 x600y 4000,3x y,根据题意，应有如下的不等关系：xN,yN.说明：关键是找出题目中的限制条件，利用限制条件列出

6、不等关系例 2某校学生以面粉和大米为主食已知面食每100 克含蛋白质 6 个单位，含淀粉4 个单位；米饭每100 克含蛋白质 3 个单位，含淀粉7 个单位某快餐公司给学生配餐，现要求每盒至少含 8 个单位的蛋白质和 10 个单位的淀粉设每盒快餐需面食x百克、米饭y百克，试写出x,y满足的条件6x3y 84x7y 10解：x,y满足的条件为x 0y 0例 3比较大小：（1）(a3)(a5)与(a2)(a4)；（2）ama与（其中b a 0，m 0）bmb分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负，并根据实数运算的符号法则来得出两个

7、代数式的大小解：（1）(a 3)(a 5)(a 2)(a 4)(a 2a15)(a 2a8)7 0(a3)(a5)(a2)(a4)22（2）amab(am)a(bm)m(ba)，bmbb(bm)b(bm)m(ba)ama 0，所以b(bm)bmbb a 0，m 0，说明：不等式ama（b a 0，m 0）在生活中可以找到原型：b克糖水中有a克bmb糖（b a 0），若再添加m克糖（m 0），则糖水便甜了例 4已知x 2,比较x 11x与6x 6的大小解：x 11x(6x 6)x 3x 3x 11x6 x(x3)(3x2)(x3)=(x3)(x2)(x1)-（*）32（1）当x 3时，（*）式0

8、，所以x 11x6x 6；32322232（2）当x 3时，（*）式0，所以x 11x6x 6；32（3）当2 x 3时，（*）式0，所以x 11x6x 632说明：1比较大小的步骤：作差变形定号结论；2实数比较大小的问题一般可用作差比较法，其中变形常用因式分解、配方、通分等方法才能定号2 练 习：（1）比 较(x 5)(x 7)与(x 6)的 大 小；（2）如 果x 0,比 较2(x 1)2与(x 1)2的大小（五）（五）回顾小结：回顾小结：1通过具体情景，建立不等式模型；2比较两实数大小的方法求差比较法（六）（六）课外作业：课外作业：课本第 68 页练习第 1，2，3 题（“不求解”改为“

9、并求解”）补充：1比较a b c与abbcca的大小；2已知a 0,b 0,且a b，比较222a2b2与ab的大小ba第二课时第二课时3.13.1 不等关系（二）不等关系（二）一、教学目标一、教学目标1知识与技能：掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式；2过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；3情态与价值：通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力.二、教学重点：二、教学重点：掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；教学难点：教学难点：利用不等式的性质证明简单的不等式。三、教学方法：三、教学方法：探析归纳，讲练结

10、合四、教学过程四、教学过程（一）（一）.课题导入：课题导入：在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。请同学们回忆初中不等式的的基本性质。（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；即若a b ac bc（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正正数，不等号的方向不改变；即若a b,c 0 ac bc（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负负数，不等号的方向改变。即若a b,c 0 ac bc(二二).).探析新课探析新课1 1、不等式的基本性质：、不等式的基本性质：师：同学们能证明以上的不等式的基本性质吗？证明：1）(ac)(bc)ab0，acbc2）(ac)(bc)ab

11、0，ac bc实际上，我们还有a b,b c a c，（证明：ab，bc，ab0，bc0根据两个正数的和仍是正数，得(ab)(bc)0，即 ac0，ac于是，我们就得到了不等式的基本性质：（1）a b,b c a c（2）a b ac bc（3）a b,c 0 ac bc（4）a b,c 0 ac bc2 2、探索研究、探索研究思考，利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质：（1）a b,c d ac bd；（2）a b 0,c d 0 ac bd；nn（3）a b 0,nN,n 1 a b;na nb。证明：1）ab，acbccd，bcbd。由、得 acbd2）a b,c 0 ac bc

12、ac bdc d,b 0 bc bdn3）反证法）假设a b，则：若nnna a nnb a bb a b这都与a b矛盾，na nb 范例讲解范例讲解：cc。ab11111 0。于是a b，即证明：以为a b 0，所以 ab0,abababbacc由 c0，得ab例例 1 1、已知a b 0,c 0,求证：（三）（三）.随堂练习随堂练习 1 1：（1）、课本 P82 的练习 32（2）、在以下各题的横线处适当的不等号：(1)（32）26；（2）（32）（61）；（3）2211；5 26 5(4)当ab0 时，log1a log1b22答案：(1)（2）（3）（4）补充例题补充例题：例例 2

13、2、比较(a3)（a）与（a2）（a4）的大小。分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题。解：由题意可知：（a3）（a）（a2）（a4）（a2a1）（a2a）0（a3）（a）（a2）（a4）随堂练习随堂练习 2 2：（1）、比较大小：（1）（x）（x）与（x）（2）x 5x6与2x 5x922222（四）（四）.课时小结：课时小结：本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了

14、一些简单的不等式，还研究了如何比较两个实数（代数式）的大小作差法，其具体解题步骤可归纳为：第一步：作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式；第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；第三步：得出结论（五）（五）.作业布置：作业布置：课本 P83 习题 3.1A 组第 2、3 题；B 组第 1 题五、教后反思五、教后反思第三课时第三课时3.23.2 一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法一、教学目标一、教学目标：1知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括

15、能力和逻辑思维能力；2过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；3情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。二、教学重点：二、教学重点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。教学难点：教学难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。三、教学方法：三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程四、教学过程（一）（一）.课题导入课题导入从实际情境中抽象出一元二次不等式模型：教材 P84 互联网的收费问题教

16、师 引 导 学 生 分 析 问 题、解 决 问 题，最 后 得 到 一 元 二 次 不 等 式 模 型：x25x 0(1)（二）（二）.探析新课探析新课1 1）一元二次不等式的定义：象x 5x 0这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一元二次不等式2 2）探究一元二次不等式x 5x 0的解集。怎样求不等式（1）的解集呢？探究：探究：（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系容易知道：二次方程的有两个实数根：x1 0,x2 5二次函数有两个零点：x1 0,x2 5于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。（2）观察图象，获得解集画出二次函数y x 5x的图象，如图

17、，观察函数图象，可知：当 x5 时，函数图象位于 x 轴上方，此时，y0,即x 5x 0；当 0 x5 时，函数图象位于 x 轴下方，此时，y0 与ax bx c 0）与 x 轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程ax bx c=0 的判别式 b 4ac三种取值情况(0，=0，0）来确定.因此，要分二种情况讨论（2）a0；分 O，=0，0 与ax bx c0(或0)计算判别式，分析不等式的解的情况：2若A 0，则x x1或 x2；.0 时，求根x1x2，若A 0，则x1 x x2.若A 0，则x x0的一切实数；.=0 时，求根x1x2x0，若A 0，则x；若A 0，则x x.0.0

18、，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94km/h.例 4、一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与创造的价值 y（元）之间有如下的关系：y 2x 220 x若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000 元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？解：设在一个星期内大约应该生产x 辆摩托车，根据题意，我们得到2x 220 x 6000移项整理，得x 110 x3000 0因为100 0，所以方程x 110 x3000 0有两个实数根由二次函数的图象，得不等式的解为：50 x0,b0,我们用分别代替 a、b，可得ab 2 ab，ab(a0

19、,b0)2ab 2 2）从不等式的性质推导基本不等式ab 2通常我们把上式写作：ab 用分析法证明：要证abab (1)2只要证 a+b (2)要证（2），只要证 a+b-0（3）要证（3），只要证（-）（4）显然，（4）是成立的。当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立。3 3）理解基本不等式ab 2ab的几何意义2探究：探究：课本第 110 页的“探究”在右图中，AB 是圆的直径，点 C 是 AB 上的一点，AC=a,BC=b。过点 C 作垂直于AB 的弦 DE，连接 AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式ab ab的几2何解释吗？易证tADtDB，那么DAB即Dab.2这个圆的半径为a

20、 ba b，显然，它大于或等于CD，即ab，其中当且仅当点C与22ab几何意义是“半径不小于半弦半径不小于半弦”2圆心重合，即ab时，等号成立.因此：基本不等式ab 评述：评述：1.如果把a b看作是正数a、b的等差中项，ab看作是正数a、b的等比中项，2那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2.在数学中，我们称a b为a、b的算术平均数，称ab为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正2数的算术平均数不小于它们的几何平均数.补充例题补充例题 例 1已知x、y都是正数，求证：(1)yx2232；(2)（xy）（xy）（xxyy3）x3y3.分析：在运用定理：a b

21、ab时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把2握好每条性质成立的条件)，进行变形.解：x，y都是正数xy22330，0，x0，y0，x0，y0yx(1)xyxyxy 22 即2.yxyxyx(2)xy20 xy0 x2y22x2y20 x3y32x3y3（xy）（xy）（xy）2xy22233x2y22x3y3x3y3即（xy）（xy）（xy）x y.（三）（三）、随堂练习、随堂练习1.已知a、b、c都是正数，求证：（ab）（bc）（ca）abc分析：对于此类题目，选择定理：果.解：a，b，c都是正数223333a bab（a0，b0）灵活变形，可求得结2ab2ab0bc2bc0ca2

22、ac0（ab）（bc）（ca）2ab2bc2acabc即（ab）（bc）（ca）abc.（四）（四）、课时小结：、课时小结：本节课，我们学习了重要不等式ab2ab；两正数a、b的算术平均数（22a ba b），几何平均数（ab）及它们的关系（ab）.它们成立的条件不同，22前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价a2 b2a b2变形来解决问题：ab，ab（）.22（五）（五）、作业布置：、作业布置：课本 P94习题 1，2，3五、教后反思：五、教后反思：第七课时第七课时

23、基本不等式（二）基本不等式（二）基本不等式与最大（小）值基本不等式与最大（小）值一、教学目标：一、教学目标：1知识与技能：进一步掌握基本不等式ab 某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题2过程与方法：通过两个例题的研究，进一步掌握基本不等式ab ab；会应用此不等式求2ab，并会用此定2理求某些函数的最大、最小值。3情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。二、教学重点、难点：二、教学重点、难点：均值不等式定理的应用。三、教学方法三、教学方法：启发引导式四、教学过程四、教学过程1 1复习回顾复习回顾（1）、写出均值不等式

24、并阐述其证明过程。（2）、均值不等式成立的条件是什么？2 2例题讲解：例题讲解：例 1：求下列函数的值域11 2（1）y3x 2（2）yx2xx1 2解：（1）y3x 222xy 6，+）1 23x 2 62x1（2）当x0 时，yx2xx2；x1当x0 时，y2y（，22，+）例 2：当x1 时，求函数yx解：y（x1）1的最小值x111（x1）213x1函数的最小值是 3问题：x8 时？总结：一正二定三相等。1介绍：函数yx的图象及单调区间x例 3：求下列函数的值域x 3x5x1（1）y=（2）y=2x1 x 3x5(x1)(x1)33解：（1）y(x1)1x1x1当x10 时，y2 3

25、1；当x10 时，y2 3 1即函数的值域为：（，2 3 12 3 1，+）x 3x5（2）当 x10 时，令 t=x11则问题变为：y=，t（，2 3 12 3 1，+）t11y，0）（0，2 3 1 2 3 1又 x1=0 时，y=012 32 3 1即 y，1111说明：这类分式函数的值域也可通过判别式法求值域，但要注意检验。例 4：求下列函数的最大值1（1）y2x（12x）（0 x）2 2 2 21（2）y2x（13x）（0 x）3学生练习，教师准对问题讲评。11例 5：已知 x2y1，求的最小值。xy学生练习，教师准对问题讲评。例 3某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800

26、m，深为 3m，如果池底每1m 的造价为 150 元，池壁每 1m 的造价为 120 元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理.解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得232l240000720（x2976001600）2400007202xx1600240000720240 x1600当x，即x40 时，l有最小值 297600 x因此，当水池的底面是边长为 40m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是 297600元.评述：此题既是不等式性质在

27、实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件.3 3课堂小结：课堂小结：一般说来，和式形式存在最小值，凑积为常数；积的形式存在最大值，凑和为常数，要注意定理及变形的应用。4 4课后作业课后作业 1）已知x+y=2，求 2 2 的最小值。x 2）求函数 y=4(x0)的最大值。x 9x 4x6 3）求函数 y=2的值域。x 3x521 4）已知函数y=(3x2)（13x）（1）当x时，求函数的最大值；331（2）当 0 x时，求函数的最大、最小值。4五、教后反思：五、教后反思：第八课时第八课时基本不等式（三）基本不等式（三）2

28、2xy一、一、教学目标：教学目标：通过这节课，使学生能够运用均值不等式定理来讨论与不等式有关的各类问题。二、教学重点、难点：二、教学重点、难点：均值不等式定理的灵活运用。三、教学方法三、教学方法：启发引导式四、教学过程四、教学过程1 1 复习回顾复习回顾（1）、写出均值不等式并阐述其证明过程。（2）、均值不等式成立的条件是什么？2 2例题讲解：例题讲解：例 1：已知a1，0b0，b0，ab(ab)1，求ab的最小值。3）若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。4）某房屋开发公司用 100 万元购得一块土地，该地可以建造每层1000m 的楼房，楼房的总建筑面积（即各层面积之和）每平方米平均建筑费

29、用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整幢楼房每平方米建筑费用提高 5%。已知建筑 5 层楼房时，每平方米建筑费用为 400 元，公司打算造一幢高于 5 层的楼房，为了使该楼房每平方和的平均综合费用最低（综合费用是建筑费用与购地费用之和），公司应把楼层建成几层？五、教后反思：五、教后反思：第九课时第九课时3.3.13.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域二元一次不等式（组）与平面区域一、教学目标一、教学目标1知识与技能：了解二元一次不等式的几何意义，会用二元一次不等式组表示平面区域；22过程与方法：经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力；3情态与价值：通过本节课的学习，

30、体会数学来源与生活，提高数学学习兴趣。二、教学重点：二、教学重点：用二元一次不等式（组）表示平面区域。教学难点：教学难点：理解二元一次不等式表示平面区域并能把不等式（组）所表示的平面区域画出来。三、教学方法：启发引导式三、教学方法：启发引导式四、教学过程四、教学过程(一一).).课题导入：课题导入：从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）的数学模型课本第91 页的“银行信贷资金分配问题”。教师引导学生思考、探究，让学生经历建立线性规划模型的过程。在获得探究体验的基础上，通过交流形成共识。（二）探析新课（二）探析新课1建立二元一次不等式模型把实际问题实际问题转化数学问题数学问题：设用于企业贷款的资

31、金为x元，用于个人贷款的资金为y元。（把文字语言文字语言转化符号语言符号语言）（资金总数为 25 000 000 元）x y 25000000（1）（预 计 企 业 贷 款 创 收 12%，个 人 贷 款 创 收 10%，共 创 收 30 000 元 以 上）(12%)x+(10%)y 30000即12x10y 3000000（2）（用于企业和个人贷款的资金数额都不能是负值）x 0,y 0（3）将（1）（2）（3）合在一起，得到分配资金应满足的条件：2二元一次不等式和二元一次不等式组的定义（1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1 的不等式叫做二元一次不等式。（2）二元一次

32、不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。（3）二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的x 和 y 的取值构成有序实数对（x,y），所有这样的有序实数对（x,y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集。（4）二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系：二元一次不等式（组）的解集是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，因此，有序实数对就可以看成是平面内点的坐标，进而，二元一次不等式二元一次不等式（组）（组）的解集就可以看成是直的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合角坐标系内的点构成的集合。3.探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形（

33、1）回忆、思考回忆：初中一元一次不等式（组）的解集所表示的图形数轴上的区间思考：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？（2）探究从特殊到一般：先研究具体的二元一次不等式x-y6 的解集所表示的图形。如图：在平面直角坐标系内，x-y=6 表示一条直线。平面内所有的点被直线分成三类：第一类：在直线 x-y=6 上的点；第二类：在直线 x-y=6 左上方的区域内的点；第三类：在直线 x-y=6 右下方的区域内的点。设点是直线 x-y=6 上的点，选取点，使它的坐标满足不等式x-y6，请同学们完成课本第 93页的表格，横坐标 x点 P 的纵坐标y1点 A 的纵坐标y2并思考：当点 A

34、 与点 P 有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？根据此说说，直线x-y=6左上方的坐标与不等式x-y6有什么关系？直线 x-y=6 右下方点的坐标呢？学生思考、讨论、交流，达成共识：在平面直角坐标系中，以二元一次不等式 x-y6 的解为坐标的点都在直线 x-y=6 的左上方；反过来，直线x-y=6 左上方的点的坐标都满足不等式 x-y6。-3-2-10123因此，在平面直角坐标系中，不等式x-y6 表示直线 x-y=6 右下方的区域；如图。直线叫做这两个区域的边界边界由特殊例子推广到一般情况：（3）结论：二元一次不等式Ax+By+C0 在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0 某一侧

35、所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）4二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax+By+C=0 同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C0 表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C0 时，常把原点原点作为此特殊点）【应用举例】例例 1 1 画出不等式x4y 4表示的平面区域。解：先画直线x4y 4（画成虚线）.取原点（0，0），代入x+4y-4,0+40-4=-40,原点在x4y 4表示的平面区域内，不等式x4y 4表

36、示的区域如图：归纳归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，直线定界，特殊点定域特殊点定域”的方法。特殊地，当C 0时，常把原点作为此特殊点。变式 1、画出不等式4x 3y 12所表示的平面区域。变式 2、画出不等式x 1所表示的平面区域。例例 2 2 用平面区域表示.不等式组y 3x12的解集。x 2y分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。解：不等式y 3x12表示直线y 3x12右下方的区域，x 2y表示直线x 2y右上方的区域，取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。归纳归纳：不等式组表示

37、的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。变式 1、画出不等式(x 2y 1)(x y 4）0表示的平面区域。变式 2、由直线x y 2 0，x 2y 1 0和2x y 1 0围成的三角形区域（包括边界）用不等式可表示为。（三）（三）.随堂练习：随堂练习：课本第 97 页的练习 1、2、3（四）（四）.课时小结课时小结1二元一次不等式表示的平面区域2二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法3二元一次不等式组表示的平面区域（五）（五）.作业布置：作业布置：课本第 105 页习题 3.3A组的第 1 题五、教后反思五、教后反思第十课时第十课时3.3.

38、13.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域二元一次不等式（组）与平面区域一、教学目标一、教学目标1知识与技能：巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件；2过程与方法：经历把实际问题抽象为数学问题的过程，体会集合、化归、数形结合的数学思想；3情态与价值：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新。二、教学重点：二、教学重点：理解二元一次不等式表示平面区域并能把不等式（组）所表示的平面区域画出来。教学难点：教学难点：把实际问题抽象化，用二元一次不等式（组）表示平面区域。三、教学方法：启发引导式四、教学过程四、教学过程

39、（一）（一）.课题导入课题导入 复习引入复习引入 二元一次不等式Ax+By+C0 在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）判断方法：由于对在直线Ax+By+C=0 同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C0 表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C0 时，常把原点作为此特殊点）。随堂练习随堂练习 1 11、画出不等式 2x+y-60 表示的平面区域.x y 5 02、画出不等式组x y

40、 0表示的平面区域。x 3（二）（二）.探析新课探析新课【应用举例】【应用举例】yx+y=05 5B(-,)2 2x-y+5=06x=303C(3,-3)xA(3,8)例 3 某人准备投资 1 200 万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）：学段初中高中班级学生人数4540配备教师数23硬件建设/万元26/班54/班教师年薪/万元2/人2/人分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件。解：设开设初中班 x 个，开设高中班 y 个，根据题意，总共招生班数应限制在20-30 之间，所以有20 x y 30考虑到所投资金的限制，得到26x54y22x23y 1

41、200即x2y 40另外，开设的班数不能为负，则x 0,y 0把上面的四个不等式合在一起，得到：用图形表示这个限制条件，得到如图的平面区域（阴影部分）例 4 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1 车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐18t；生产 1 车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐 1t,硝酸盐 15t,现库存磷酸盐 10t、硝酸盐66t，在此基础上生产两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。解：设 x,y 分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：在直角坐标系中可表示成如图的平面区域（阴影部分）。补充例题补充例题 例 1、画出下列不等式表示的区域(1

42、)(x y)(x y 1)0；(2)x y 2x分析：(1)转化为等价的不等式组；(2)注意到不等式的传递性，由x 2x，得x 0，又用 y代y，不等式仍成立，区域关于x轴对称。解：(1)x y 0 x y 0矛盾无解，故点(x,y)在一带形区域内 0 x y 1或x y 1 0 x y 1（含边界）。(2)由x 2x，得x 0；当y 0时，有当y 0，由对称性得出。指出：把非规范形式等价转化为规范不等式组形式便于求解x y 0点(x,y)在一条形区域内(边界)；2x y 02x y 3 0例 2、利用区域求不等式组2x 3y 6 0的整数解3x 5y 15 0分析：不等式组的实数解集为三条直

43、线l1:2x y 3 0，l2:2x 3y 6 0，l3:3x 5y 15 0所围成的三角形区域内部(不含边界)。设l1l2 A，l1l3 B，l2l3 C，求得区域内点横坐标范围，取出x的所有整数值，再代回原不等式组转化为y的一元不等式组得出相应的y的整数值。解：设l1:2x y 3 0，l2:2x 3y 6 0，l3:3x 5y 15 0，l1l2 A，15 37512l1l3 B，l2l3 C，A(,)，B(0,3)，C(,)。于是看出区域内点的841919y 1475横坐标在(0,)内，取x1，2，3，当x1 时，代入原不等式组有y 31912y 512 y 1，得y2，区域内有整点(

44、1,-2)。同理可求得另外三个整点(2,0)，5(2,-1)，(3,-1)。指出：指出：求不等式的整数解即求区域内的整点是教学中的难点，它为线性规划中求最优整数解作铺垫。常有两种处理方法，一种是通过打出网络求整点；另一种是本题解答中所采用的，先确定区域内点的横坐标的范围，确定x的所有整数值，再代回原不等式组，得出y的一元一次不等式组，再确定y的所有整数值，即先固定x，再用x制约y。（三）（三）.随堂练习随堂练习 2 21（1）y x 1；（2）x y；（3）x yx y 6 0 x y 02画出不等式组表示的平面区域y 3x 53课本第 97 页的练习 4（四）（四）.课时小结：课时小结：进一

45、步熟悉用不等式（组）的解集表示的平面区域。（五）（五）、作业布置：、作业布置：课本第 105 页习题 3.3B组的第 1、2 题五、教后反思：五、教后反思：第十一课时第十一课时 3.3.23.3.2 简单的线性规划简单的线性规划一、教学目标一、教学目标1知识与技能：使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；2过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；3情态与价值：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思

46、想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力。二、教学重点：二、教学重点：用图解法解决简单的线性规划问题教学难点：教学难点：准确求得线性规划问题的最优解三、教学方法：启发引导式四、教学过程四、教学过程（一）（一）、课题导入、课题导入复习提问：1、二元一次不等式Ax By C 0在平面直角坐标系中表示什么图形？2、怎样画二元一次不等式（组）所表示的平面区域？应注意哪些事项？3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。（二）（二）、探析新课：、探析新课：在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。1 1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：、下面我们就来看有关与生产安排的一个

47、问题：引例：引例：某工厂有 A、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4 个 A 配件耗时 1h,每生产一件乙产品使用4 个 B 配件耗时 2h，该厂每天最多可从配件厂获得16 个 A 配件和 12 个 B 配件，按每天 8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？（1）用不等式组表示问题中的限制条件：设甲、乙两种产品分别生产x、y 件，又已知条件可得二元一次不等式组：x2y 84x 164y 12x 0y 0.（1）（2）画出不等式组所表示的平面区域：如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。（3）提出新问题：进一步，若生产一件甲产品获利2 万元，

48、生产一件乙产品获利3 万元，采用哪种生产安排利润最大？（4）尝试解答：设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得的利润为z,则z=2x+3y.这样，上述问题就转化为：当 x,y 满足不等式（1）并且为非负整数时，z的最大值是多少？把z=2x+3y变形为y 2z2zx，这是斜率为，在y 轴上的截距为的直线。当z3333变化时，可以得到一族互相平行的直线，如图，由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给28z，这说明，截距可以由x）3332z平面内的一个点的坐标唯一确定。可以看到，直线y x与不等式组（1）的区域的33z交点满足不等式组（1），而且当截距最大时，z 取得最大值。因此，问题可以转化为当直3

49、2z线y x与不等式组（1）确定的平面区域有公共点时，在33z区域内找一个点 P，使直线经过点 P 时截距最大。3定一个点，（例如（1，2），就能确定一条直线（y （5）获得结果：由上图可以看出，当实现y 时，截距2zx金国直线 x=4 与直线 x+2y-8=0 的交点 M（4，2）33z14的值最大，最大值为，这时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4 件，乙产品233件时，工厂可获得最大利润14 万元。2 2、线性规划的有关概念：、线性规划的有关概念：线性约束条件线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件线性

50、目标函数线性目标函数：关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数线性规划问题线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题可行解、可行域和最优解可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解由所有可行解组成的集合叫做可行域使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解3、变换条件，加深理解探究：课本第 100 页的探究活动（1）在上述问题中，如果生产一件甲产品获利 3 万元，每生产一件乙产品获利 2 万元，有应当如何安排生产才能获得最大利润？在换几组数据试试。（2）有上