2022年高考全国甲卷理科数学试题及答案解析（适用于云、川、贵、桂、藏）.pdf

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1、2022年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（适用于云南、四川、广西、贵州、西藏）注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共1 2 小题，每小题5 分，共 6 0 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若

2、 z=-l +Gi，则=（）ZZ 11 J7A.-1+V3i B.-|-i C.+J D.3 3-3-r12.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：100%95%90%椅 85%隆 80%田 75%70%65%.*讲座前 讲座后*60%*0123456789 10居民编号则（）A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B .讲座后问卷答题的正确率的平均数大于8 5%C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D.讲座后问卷答

3、题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3 .设全集。=-2,-1,0,1,2,3,集合 A =-1,2,2 =付/一 4 +3 =0 卜 则d（Au 8）=（）A.1,3 B.0,3 C.-2,1 D.-2,0 4.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1,则该多面体的体 积 为（）A.8 B.1 2 C.1 6 D.2 05.函数y=（3*3 f）c o s x在 区 间 的图象大致为（）6.当x =l时，函数f(x)=a ln x +2取得最大值一2，则/(2)=()X1 1A.1 B.-C.-D.1227.在长方体A 8 C D-4 4 G。中，己知伉。与平面AB

4、C。和 平 面 所 成 的 角 均 为30,则()A.AB=2AD B.A 8与平面A 4 G。所成的角为30C.AC=CB D.自。与平面8 4 G。所成的角为45。8.沈括的 梦溪笔谈 是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，A B是以。为圆心，OA为半径的圆弧，C是的AB中点，。在A B上，.“会圆术”给出A B的弧长的近似值s的计算公式：S=AB+青CD2.当OA=2,NAQB=60时，s=().1 1-3 7 3 R 11-473,9-36 n 9-462 2 2 29.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2兀，侧面积分别为S甲和S乙，体积

5、分别为！和 吃.若 于 二2,则 十 二()3乙 V乙A.逐 B.2&C.VW D.42 21 0.椭圆C:J +二=1(。0)的左顶点为4,点R Q均在C上，且关于y轴对称.若a b 直线”,A Q的斜率之积“，则C的离心率为()A拒2R 6D.-21D.-31 1 .设函数/（x）=si n（yx+三 在区间（0,兀）恰有三个极值点、两个零点，则0的取值范围 是（）3 1 1 11 2 .已知一,0 =c o s-,c =4 si n,贝ij()3 2 4 4A.c h a B.h a c C.abc D.a c h选择题参考答案：1、【答案】C【详解】z=-l-y/3i,zz=(-1 +

6、/)(-1 一百i)=1 +3 =4.z-1 +V 3 i 1 技-=-=-1-1Z Z-1 3 3 3故 选：C2、【答案】B7 0%4-7 5%【详解】讲座前中位数为 7 0%,所以A错;2讲座后问卷答题的正确率只有一个是8 0%,4个8 5%,剩下全部大于等于9 0%,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于8 5%,所以B对；讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，所以C错；讲座后问卷答题的正确率的极差为1 0 0%-8 0%=2 0%,讲座前问卷答题的正确率的极差为9 5%-6 0%=3 5%2 0%,所以D错.故选:B.3、【答案】

7、D【详解】由题意，3=1,一4 1+3 =0 =1,3 ,所以AD6 =-1,1,2,3,所以（AD 8）=-2,0 .故选：D.4、【答案】B【详解】由三视图还原几何体，如图，则该直四棱柱的体积V =X 2 x2 =1 2.2故选：B.5、【答案】A详解】令/(X)=(3*3 7)CO SX,X ,则/(X)=(3 -3 )CO S(T)=-(3A-3-)c o s x=-/(%),所以/(x)为奇函数，排除BD；又当 xe(o.T)时，3 -3-X 0,C O S X0,所以/(X)0,排除 C.故选：A.6、【答案】B【详解】因为函数“X)定义域为(0,+8),所以依题可知，/(1)=-

8、2,/(1)=0,而/(%)=-4,所以人=一2,。一6 =0,即4 =一2,。=-2,所以=+因xX此函数/(X)在(0)上递增，在(I,-)上递减，x=l时取最大值，满足题意，即有八2)=-1 +代故选：B.【详解】如图所示:7、【答案】D不妨设A6 =a,AD =b,AA=c，依题以及长方体的结构特征可知，与。与平面A B C O所c b成角为N g D B,与。与 平 面 所 成 角 为N O gA,所以sin30 即DL)DUb=c,B、D=2c=证,解得a=&c-对于 A,AB=a,AD-b,AB=/2AD-A 错误；对于B,过B作B E,A 4于E，易知BE _L平面ABC。，所

9、以AB与平面A 4C Q所成角为/B A E,因为tan/3AE=立，所以NB4w30。，B错误；a 2对于 C，AC=d十*=G c,CB,=jb2+c2=V2c ACwCq,C 错误；对于D,与 平 面 所 成 角 为N O 5C，sin NDBC=需=充=与而0 ZDBtC _LAB,所以O,C,力三点共线，即 8=04=03=2,又 NAOB=60,所以 AB=Q4=OB=2,则0C=6,故CD=2-也,所以 s=AB+变=2+倒 一0A 2 2故选：B.DAOB9、【答案】C【详解】解：设母线长为/,甲圆锥底面半径为彳，乙圆锥底面圆半径为弓，.嚼=：2,所以6 =2与，则牛=1,所以

10、!=，所以甲圆锥的高九=故选：C.10、【答案】A【详解】解：A（-,0）,设尸（不 凹）,则。（-石,乂）,则Z A Pk-y%+a，A Q-x,+a故 kAP kAQ二Xx+aX =/,J X j +ci+Q 42 2又0+苔=1,则a2 h2b2(a2-x)2城b2(a2-x2)所以/_ 1 ,-x,2+a2 4吟j所以椭圆。的离心率故选：A.11、【答案】C【详解】解：依题意可得公 (),因 xc(O,)，所以+要使函数在区间(0,%)恰有三个极值点、两个零点，又 =5皿X，xe 3)的图象如下所示：故选：C.12、【答案】Ac 1 (兀、【详解】因为一 =4tan-,因为当xe|0,

11、|,s i nx x一，即：1,所以cb；4 4 匕设/(x)=c os x+x2-l,xe (0,+oo)/(x)=-s i nx+x0,所以fx)在(0,+8)单调递增,则/(尸，所以 c os；-U 0,所 以 所 以C /?,故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设 向 量B的夹角的余弦值为:，且卜卜1,=3,则(2Q+B)/=14.若双曲线丁=1（?0）的渐近线与圆f +y2今+3=0相切，贝Im =.15.从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为_.16.己知 AABC 中，点。在边 8c 上，Z A D B=120,A D =2,CD=

12、2 B D .当，取得最A B小值时，BD=.填空题参考答案：13、【答案】11【详解】解：设与坂的夹角为。，因为与万的夹角的余弦值为g,即cos8=g,又|=1,=3,所以0%=卜|卡卜05夕=lx 3 x；=l,所以（2Q+B）B =2QB+B=2QB+W=2x 1 +32=11.故答案为：11.14、【答案】且3X?X【详解】解：双曲线丁2一 当=1（加 0）的渐近线为y=一，即 冲=0,m-m不妨取x+my=0,圆f +j4+3=O,即 炉+（），-2?=,所以圆心为（）,2）,半径=1,依题意圆心（0,2）到渐近线X+阳=0的距离d=坐生=1,解得或根=一3（舍去）.3 3故答案为：

13、旦.315、【答案】.35【详解】从正方体的8个顶点中任取4个，有=C；=70个结果，这4个点在同一个平面m 12 6的有利=6+6=12个，故所求概率P=一=一=一.n 70 35故答案为：16、【答案】V3-l#-l+V3【详解】设CD=2BD=2m0,则在ABQ 中，AB2=BD2+AD2-2BD-ADcosZADB=zn2+4+2m.在 AACD 中，AC2=CD2+AD2-2CD-AD cos ZADC=4m2+4-4/w.AC2 _ 4H?+4 4?_ 4(+4+2向-12(l+m)_ 4_ 12所以 AB?m2+4+2m in2+4+2m(,3 7 m+14.12=4-2732(

14、m+1)V m+13当且仅当m+1=即机=6 1时，等号成立，m+1AC所以当取最小值时，加=百-1.AB故答案为：5/3 1 -三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60分.2s17、记S“为数列 凡 的前项和.己知L+=2%+1.n（1）证明：4 是等差数列；（2）若4，%，%成等比数列，求S”的最小值18.在四棱锥。一ABC。中，P）_L底面ABCD,CD/AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=布.AB（1）证明：B D P A；（2）求尸。与 平 面

15、 丛 8所成的角的正弦值.19.甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得1 0 分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.（1）求甲学校获得冠军的概率；（2）用 X表示乙学校的总得分，求 X的分布列与期望.20 .设抛物线C:V =2p x（p 0）的焦点为F,点O（p,0），过尸的直线交C于M,N 两点.当直 线 垂 直 于 x 轴时，|A/F|=3.（1）求 C的方程；（2）设直线M D,N O 与 C的另一个交点分别为4,B,记直线M N,A3 的倾斜角

16、分别为a,/3.当。一尸取得最大值时，求直线AB 的方程.21 .已知函数/（X）=-I n x+尤一a-（1）若 x）W0,求 a的取值范围；（2）证明：若/（X）有两个零点占,工2 ,则环中 2-s i n e=0,求G与G交点的直角坐标，及G与交点的直角坐标.选修4-5：不等式选讲23.已 知 小b,C均为正数，且/+/+4,2=3,证明：(1)a+b+2c2=AB2，所以 AD _L BO，因为BO _L平面ABCD,3。u平面ABCD，所以PDLBD,又 PDcAD=D，所以8。_L平面尸A。，又因R l u平面尸A。，所以 8D_LQ4；【小问2详解】解：如图，以点。为原点建立空间

17、直角坐标系,BD=6则 A(l,0,0),网 0,6,0),P(0,0,B),则 而=(T,0,丽=倒,一亚DP=(0,0,设平面Q4B的法向量=(x,y,z),则有n-AP=-x+x/3 z=0心 而=-岛+=0可取 =(6,1,1),则伍丽 向器V 5V所以PO与平面R W所成角的正弦值为好.5A Z1 9、【答案】（1）0.6；（2）分布列见解析，E（X）=1 3.【小问1 详解】设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A 6,C,所以甲学校获得冠军的概率为P P（A B C）+P（A B C）+P（A B C）+P（A B C）=0.5 x 0.4 x 0.8 +0.5 x 0.4 x 0.

18、8+0.5 x0.6 x0.8+0.5 x0.4 x0.2=0.1 6 +0.1 6 +0.2 4 +0.0 4 =0.6.【小问2详解】依题可知，X 的可能取值为0,1 0,2 0,3 0,所以，p（X=0）=0.5 x0.4 x0.8 =0.1 6,产（X=1 0）=0.5 x 0.4 x 0.8+0.5 x 0.6 x 0.8 +0.5 x 0.4 x 0.2 =0.4 4,P（X=2 0）=0.5 x 0.6 x0.8 +0.5 x 0.4 x 0.2 +0.5 x 0.6 x 0.2 =0.3 4 ,产（X=3 0）=0.5 x 0.6 x 0.2 =0.0 6.即X的分布列为期望

19、E（X）=0 x0.1 6 +1 0 x0.4 4 +2 0 x0.3 4+3 0 x 0.0 6 =1 3.X0102030P0.160.440.340.062 0、【答案】（1）y2=4x；（2）A B:x=Jl.y+4.【小问1 详解】抛物线的准线为x=-5,当M D与X轴垂直时，点M的横坐标为P，此 时 目 印+5=3,所以p=2,所以抛物线C的方程为V=4x；【小问2详解】(2、(2 A/2 /2、设M 空，凹，N 号,4 叠，%,8 号,M ,直线M N:x =my +l,x=my +1由0 可得 y -4 my 4 =0,A 0,yy9=-4 ,l r=4 xk=一一%=4 =y

20、 3 f =4由斜率公式可得MN _ y +巳，*_ K 一 为+%，4 4 4 4直线M O:尤=5二y +2,代入抛物线方程可得/,4（2）.y _8=。,X X 0,乂%=-8,所以=2%，同理可得”=2%，所以A B=4-=标:、=*%+以 2（%+%）2又因为直线M M A B的倾斜角分别为。,万，所以领8=匕1 1夕=殍=竽，若要使二 /最大，则/e（0,g）,设 kM N=2kAB=2&0 ,则ta n(d f-/?)=ta n -ta n /?_ k1 +ta n a ta n/7 1+2-1-+2kk4 0,%=_4 =4 y%=-1 6,所以 =4,所以直线AB:x=及 y

21、+4 .2 1、【答案】（1）（-,+1（2）证明见的解析【小问1详解】/（X）的定义域为（0,+8）,令/(x)=0,得 X =1当 x w(0,1),/(x)0,/(X)单调递增/(%)/=e+1 -a ,若/(x)2 0,则 e +1 a N O,即 a W e +l所以”的取值范围为(-0 0,e +1【小问2详解】由题知,.“x)一个零点小于1,一个零点大于1不妨设玉1 马1要证1 要 证X 一1(1因为和一(0,1),即 证 百)/X2 kX2 7(i、因为/(X )=/(%)，即证/(工2)/-2 7e,-1即证-l n x+x-x ev-I n x 0,xe(l,+o o)x

22、xe”-(l i下面证明x l时，-xe 0,I n xx 1,x-ex(ni l X)设 e(x)=(x l),(x)=所以研x）M D=e，而e：0,所以g （x）0 x所以g（x）在（1,e）单调递增e即 g(x)g =(),所以 Jv xe*-0一(龙-I 2x2所以（x）在（1,转）单调递减 00；即 h(x)0）；（2）C 3C的交点坐标为G，l），（1,2）,c3c的交点坐标为（V，T）,（-1,-2）.【小问1详解】因为 =学，y =J F,所以=2二，即C的普通方程为V=6x 2（y N 0）.6 6【小问2详解】因为 X =一一2 -一f-v,y =_ J1 7,所以 6

23、x=-2-丁，即 G 的普通方程为 V=-6 x-2（y 2 pc o s。一s i n。=0,即 C3 的普通方程为 2 x-y=0.、y2=6 x-2（y 0）x=x=l（1 A/、联立 ；乙 解得：2或 c，即交点坐 标 为 不/，（L2）；1 2 x-y =0 1 1 y =2 （2 J y2=-6x-2（y 0）x-f%=-1 （1 八联立 ，解得：1 2或 ，即交点坐标为一二T，I 2 x-y =0 y =_ b=-2 I 2 ）（T-2）-2 3、【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据/+/+4。2=。2+。2+（2，）2,利用柯西不等式即可得证；（2）由（1）结合已知可得0 （a+f t +2c）2,所以 a+b+2c、W 3，当且仅当a=b=2c=l时，取等号，所以a+力+2cW3；【小问2详解】证明：因为匕=2 c,。0，b0,c 0,由（1）得a+b+2c=a+4 c3,即0 a+4 c4 3,所以 一2，a+4 c 3由权方和不等式知+，=+乙 之（+2）2 =9 23,a c a 4c a+4c a+4c1?1当且仅当一二一，即。=1,c=一时取等号，a 4c 2所以。