【挑战高考极限】系列之数学6年高考真题2年模拟16第八章第三节空间向量在立体几何中的应用.pdf

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1、第三节 空间向量在立体几何中的应用第一部分六年高考荟萃2010年高考题一、选择题1.(2010全国卷2 理)(11)与正方体A 6 C O A|8 I G A 的三条棱A3、CQ、片鼻所在直线的距离相等的点(A)有且只有1 个(B)有且只有2 个(C)有且只有3 个(D)有无数个【答案】D【解 析】直 线 B：D上取一点，分 别 作 P。：，P。：，P。：垂直于氏D：,B：C,B：A于 0：,0；,0：,则P O：_L 平 面 AC，P O：_L 平 面 B：C ,P O：_L 平 面 A：B ,0：,0：,0：分别作。讣 一 440：一-CG：Q2 一.S ,垂足分别为%N,Q,连 P M,

2、P N,P Q,由三垂线定理可得，P N J1P1=P M 1 CC1；P Q A B,由于正方体中各个表面、对等角全等，所以P O：=P O；=P O：，=，.P M=P N=P Q,即 P 到三条棱 A B、C C、A D.所在直线的距离相等所以有无穷多点满足条件，故选D.2.(2010辽 宁 理)(12)(12)有四根长都为2 的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则 a的取值范围是(A)(0,V 6+V 2 )(B)(1,272)(0(V 6-V 2,V 6+V 2 )(D)(0,2【答案】A【命题立意】本题考查了学生的空间想象能力以

3、及灵活运用知识解决数学问题的能力。【解析】根据条件，四根长为2 的直铁条与两根长为a的直铁条要组成三棱镜形的铁架，有以下两种情况：(1)地面是边长为2 的正三角形，三条侧棱长为2,a,a,如图，此时a可以 取 最 大 值，可知A D=百，S D=恭_,则 有“2一1 2+百,即/8 +46=（遥+扬2,即有a 0;综上分析可知a d(0,V 6+V 2 )3.(2010全国卷2 文)(11)与正方体A B C D ABCD的三条棱A B、C 3、AD所在直线的距离相等的点(A)有且只有1 个(B)有且只有2 个(C)有且只有3 个(D)有无数个【答案】D【解析】：本题考查了空间想象能力.到三条

4、两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上,三个圆柱面有无数个交点，4.(2010全国卷2 文)(8)已知三棱锥S-A8C中，底面ABC为边长等于2 的等边三角形，S 4 垂直于底面A B C,S 4=3,那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为(A)3(B)旦4 4(0 (D)-4 4【答案】D【解析】：本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。过 A作 A E 垂直于B C 交 B C 于 E,连 结 S E,过 A作 A F 垂直于S E 交 S&S E 于 F,连 B F,.正三角形 A B C,E 为 B C 中点，：B C A E,S

5、 A_L B C,:.8。_1面$皿，二 B C A F,A FS E,:.A FJ _面 S B C,V Z屋 区A B F为直线A B 与面S B C 所成角，由正三角形边长3,，A E =73,:一3 3H sin Z A B F =A S=3,二 SE=243,AF=2,/.45.(2010全国卷1 文)(9)正方体ABCD-Ae G Q中，8 月 与平面A C，所成角的余弦值为(A)(B)(C)-(D)3 3 3 3【答案】D【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面AC，的距离是解决本题的关键所在，这也是转殄思想的具

6、体体现.左口子、【解 析 1】因 为 1/伽|,所 以 8 月与平面人(：2 所成角和口口与平面，：、由等体积法得匕即 Sgs DO=；SMCD-Z)Z)1.设 D D 尸 a,则 S0CD=A C AD.s i n 60=-x&a)2 i 2 、，所以 DO =SCD DD、=旦S M CD J3c i 3_ DO _ V3、0s i n 0 ,所以 c o s 3 .D D,3 3【解析2】设上下底面的中心分别为。,0：IZ4B2x-y-=2 5AACO=A D C D =a2.，记D D i 与 平 面 AC 2 所 成 角 为 e ,则。0与平面ACD,所成角就是8片与平面A C DX

7、所成角，c o s/0 0 2 =需1=1/宗=坐6.(2 010全国卷1 理)(12)已知在半径为2的球面上有A、B、四面体AB C D 的体积的最大值为(A)迪 迪(C)2 6(D)巡3 3 3C、D四 点,若 AB=C D=2,则分析：本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离，通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.解：当 异 面 直 线 与CD间距离最大，且月B J.C D时，四面体AB C D的体枳最大。分别取为B与CD的中点E、F,连结E F,此时球心。在线段E尸上，且 EF=2 （V.BCD/）Hl&X =3-A B-2 k（J 2 z =3-2-2

8、2-2yl3=37.（2 010全 国 卷1理）（7）正 方 体A B C D-4 g G A中，8g与 平 面、鼻 所 成 角 的 余 弦 值 为(A)也3(B)百k D 7-3|0 3 0 C,分别经过三条棱。A,O B ,。作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为St,S2,S.,则S,S2,jS 3的大小关系为【答案】S3 S2 S,【解析】考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力，通过补形，借助长方体睑证结论,特殊化，令边长为1,2,3得S 3 S 2 D：DC（=1.2.（2 01 0辽宁理）（1 9）（本小题满分1 2 分）已知三棱锥 P-ABC 中，PA1 ABC,ABAC,

9、PA=AC=B,为 AB上一点，AB=4 AN,M,S分别为PB,B C 的中点.（I ）证明：CM S N；（I I ）求 S N与平面CM N所成角的大小.证明：设 PA=1,以A 为原点，射线AB,AC,AP分别为x,y,z 轴正向建立空间直角坐标系如4分 1 1 1(I)=22 2 1 1因为 CM SN=+0=0,2 2所以CM _L S N 6分.1(II)?7C=(-,l,0),设a=(x,y,z)为平面CM N的一个法向量，3.（2 01 0全国卷2文）（1 9）（本小题满分1 2 分）x-y +-z =0,贝M 2 令X 笔 a=(2,1,-2).x+y=0.1 2 因 为c

10、os,SN|=4=23 x-2所 以 S N 与片面 CM N4 5 o -9分所成角为1 2 分如图，直三棱柱A B C-A|B|C|中，AC=BC,AA,=AB,D为BB1的中点，E为AB】上的一点,AE=3 EB（I）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线：（I I）设异面直线AB】与CD的夹角为45。，求二面角A-ACB 的大小【解析】本题考查了立体几何中直线与平面、平面与平面及异面直线所成角与二面角的基础知识。（1）要证明DE为AB1与CD的公垂线，即证明DE与它们都垂直，由AE=3EB1,有DE与BA1平行，由A1ABB1为正方形，可证得，证明CD与DE垂直，取AB中点F。连 结

11、DF、F C,证明DE与平面CFD垂直即可证明DE与CD垂直。（2）由条件将异面直线ABI,CD所成角找出即为/F D C,设出AB连长，求出所有能求出的边长，再作出二面角的平面角，根据所求的边长可通过解三角形求得。4.（2010江西理）2 0.（本小题满分12分）如图ABCD与AMCD都是边长为2的正三角形，平面MCD_L 卜、平面 BCD,A B,平面 BCD,A 8=（1）求点A到平面MBC的距离；（2）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。火”【解析】本题以图形拼折为载体主要考查了考查立体图形:V，的空间感、点到直线的距离、二面角、空间向量、二面角平面角的判断有关知识，同时也考查

12、了空间想象能力和推理能力解法一：（1）取 切 中 点0,连 阳 O M,则 如LG9,。匕切.又平面M C O J_平面B C D,则 加 平 面B C D,所 以 加 A/AB,4、B、0、材共面.延长4V、加相交于反贝1叱4必 就 是4 /与 平 面 比 所 成 的 角.龙 板M0 面ABC,M、0到/平面ABC的距离相等，作0H_LBC于H,连M H,则M U B C,求得：，卜 二 二 库F0 H g 侬 邛 半 利 用 体 积 相 等 得：V 号(2)以是平面A C M与平面B C D 的交线.由(1)知，。是储的中点，则反右9 是菱形.作应UE C 于凡 连 则 ，/N/就是二面角

13、-0 6 的平面角，设为仇因为N8 C层1 2 0 ,所以N5 C户6 0 .BF=BC-sin60=V3,tan=2,sin0=-BF 5n c所以，所求二面角的正弦值是王5【点评】传统方法在处理时要注意到辅助线的处理，一般采用射影、垂线、平行线等特殊位置的元素解决解法二：取 切 中 点。，连/，0 M,则0 BA.CD,0 MLCD,又平面MC O _L 平面B C O,则加工平面B C D.以。为原点，直 线 0 C、BO、Q V 为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系如图.0 斤。后6，则各点坐标分别为0(0,0,0),/1 5a =-HI 5(2)G W=(-1,0,73),

14、C 4 =(-l,-73,2 73).n.LCM-x +V 3 z -0设平面然力的法向量为 =(x,y,z)，由_ 得 厂 l .解得4 _L CA-%-J 3 y+2 j 3 z =0zx=JJz,y =z 取 勺=(,1,1).又 平 面B C D的 法 向 量 为 =(0,0,1),则-n,-n 1cos=,|_7=N-H Vs设所求二面角为。，则sin6=【点评】向量方法作为沟通代数和几何的工具在考察中越来越常见，此类方法的要点在于建立恰当的坐标系，便于计算，位置关系明确，以计算代替分析，起到简化的作用，但计算必须慎之又慎5.(2010重庆文)(2 0)(本小题满分12分，(I)小问

15、5 分，(H)小问7 分.)如 题(2 0)图，四 棱 锥 P ABC O 中，底 面 ABCO 为 矩 形，PA_L底 面 A8CO,尸 4=48=7份，点：是棱/8 的中点.(I)证明：AE_L平面PB C；(H)若 AO=1,求二面角6 E C-。的平面角的余弦值.解法一：*(1)证明:如若(20)图 I,由P4 J.底面.488,得/M J,A8.又 H 4 =48,故 A/M8为等3?直角三箱形,而点 此棱夕8 的/中点，所以4 P B.介由睡意知BC-48.乂48是P8在面ABCD内的射影.由三/:篡。垂线定理得BC P B,从而BC 平面P AB,故HC L A E.因 1.尸B

16、,4E J.8C,所以/.在 CbE中,CE=TSP+B ./L 又CD a G,所以A C E R为等边三角形.取C E的中点已连接8.则D P CE.因3E=BC=I.旦8C J.则 EBC为等腰直角三角形，连接8f，则BF CE.所以48F。为所求的二面角的平面角.融 BD.tE AflFD 中.DF=33吟*.BF=-1-C 吟.RD=，更 +Ctf=g.所 以 B F D=吟黑兽二_ 冬2 nF 3故二面角B-E C-D的平面角的余弦值为-季.解法二：(I)证明:如答(20)图2.以4为坐标原点.射就八8 H M p分别为,轴/轴/轴正半轮.建立空间直角坐标系4-*yz.设m 0,明

17、0).则 氏&.0.0),C(7T,a,0),4 0.0.6),月停,0,纾于 是 掂-停,。.纵武(O.a.O).无=(点则 茂就 0,谑 P t 0,所以4 J.平面P8c.(U)解:设平面BEC的法向最为名，由(I)知M EJ.平网B E C,故 可 取 叫=或(-,0,-塔.设平面。的法向量%(为,力,勺)，则%就=0.n2 m=0.答(2 0)图2m 1x5 I =i,得0(0.1.O),c(,I.O).r*j 0 0,从 而 比=(.0,0),这=(冬_ I阴.故万 历 所以叼=0,马二 岛.号巧%+圣2 ，可 取 力=1,则，=(0,1.从而 cosS,，F=1%：I=-g.II

18、!,|1 I 3所以二面角H-E C-D的平面角的余弦值为6.(2 0 1 0浙江文)(2 0)(本题满分1 4分)如 图，在平行四边形 ABCD 中，AB=2 BC,ZABC=1 2 0。出 20。)E为线段A B 的中点，将4 A D E 沿直线DE 翻折成AA D E,使平面A DE _L 平面BCD,F 为线段 A C 的中点。（I ）求证：BF平面A DE；（ID 设 M为线段D E 的中点，求直线FM 与平面A DE 所成角的余弦值。（|火妒T&C.iftACF.W：.由条件垮局ECffTJi.FC-.I 1.Rf.licn.iif.7 m.所以FS/RE.FG=HE.贝 岭 姿故

19、 内 功 彬 砥 力 四 边 形./峙碑典启C+前 4 E.a+而祗哈爵,.所以干卤*（n；M：A门泗边形awe”中武州：-明AH CD ala.Ab-AE-f.K a.iiC.120,.在八BCE !.可柑 Ct：-/in.（fAM：.uJW Of：u.“m r 中1MteO=w 必.所以 c n .在il：戈力7 卜 e 为“I?.rwX*rfH5i BCW.4-V 1 CE.m A-K 的0，.、.连结 W.F.内力 2 A V r W.所以v/平由*.则4 W 为ft或FM*;f NDE所成你，（RiAA.W,|.=sv.W-Y-,e.F1 s,W.-/TuWY-y.“所VIff*4.

20、w h f r*i 所成角的余弦仇为7.（2 0 1 0 重庆理）（1 9）（本小题满分1 2 分（I）小问5分，（I I）小问7 分）如 题（1 9）图，四棱锥P-A BC D 中，底面 A BC D 为矩形，PA J_ 底 面 A BC D,P A=A B=C，点 E是棱PB的中点。（I）求直线A D 与平面PBC 的距离；（I I）若 AD=6,求二面角A-E C-D 的平面角的余弦值。（I）如答（19）图 1,在矩形A8C0中从而4 0 平面 P8C,故 直 线 与 平 面 PBC的距离为点4 到平面P8C的距离.因PA J.底面4BC0,故P4 J.48,由P4=4 8 知 4 尸

21、48为等腰直角三角形，又点E 是棱P 8的中点，故4E 1 PB.又在矩形48CD中,8C J.48,而48是 PB在底面4BCD内的射影，由三垂线定理得8C J.PB,从而8c 1 平面R4B,故BC 1 AE.从而AE 1 平面PBC,故AE之长即为直线A0与平面P B C的距离.答(1 9)图 1在 Rt 尸 48 中,PA=AB=历，所以 AE=yPfi=y，PR：+4序=0（口）过 点。作OF_L C,交CE于尸，过 点F作FC_L CE,交4C于G,则4 OFG为所求的面角的平面角.由（I）知8C _L平 面P A B,又4。B C,得4。J.平 面P A B,故A D上AE,从D

22、E=y/AE2+AD1=/6.在Rt C BE中,C E=JB仃+BC2=而 由CD =而，所 以A C D E为等边三角形，故F为C E的中点，且。尸=C D-s i n =挈.因为4 E 1平 面P8 C,故4 E 1 CE,又FG 1 C E,知F C幺%：,从 而F C =冬 且C点为A C的中点.连接 0 C,则在 Rt ZU O C 中,0 C =9c=-y V AD2+C D2=之.而i n n ir r D F2+FC1-D C2 J6所以 COBDFC=2-D F-F G=3-解法二：（I ）如答（1 9）图2,以4为坐标原点，射 线4 8、4 0、4 P分别为了 轴、y轴、

23、z轴正半轴,建立空间直角坐标系4 -xy z .设 0（0,a,0）,则 8（西,0,0）,C（A,a,0）,P（0,0,笈），E（知，纵因 此 荏=（知净，觉=（0,a,0）,同=（而,%-府,答（1 9）图2则 於 麻 =0,求 同 =0,所 以4 E 平 面PBC.又由4。8 c知4 0 平面P8 C,故直线A D与平面P BC的距离为点A到平面P BC的距 离,即 为|茂|=6.（口）因为 I力 1=7 5.则0（0,6 0）/（630）.设平面4 E C的法向量？=（工|,力，4）.则 叫 比=0,nt A J=0 .又n=（隔6,0）,求=停0.纵 故所 以 力=一 任1，Z 1

24、=_.可取勺=_ 6,则|=.设平面OEC的法向量%=(町,力吊)，则%或=0皿 应=0.产2 =0.又 成=(历,0,0),励=(疸,_ 6,故，冬2 -匹+冬2 =0.所以 x2=0,Z j=Jl y7.可取 y2=1,则 n2=(0,1,7?).M,故 =而R 印 叫订=了屈.所以二面角A -E C-0的平面角的余弦值为亨.8.(2 0 1 0北京文)(1 8)(本小题共1 4分)设定函数/。)=1/+2+以+火。0),且方程f(x)9 x =0的两个根分别为1,4。(J )当a=3且曲线y=/(x)过原点时.，求/(x)的解析式；(I I)若“X)在(一8,+0 0)无极值点，求a的取

25、值范围。解：由/(x)+旅+c x +d 得 f(x)=ax2+2bx+c因 为/(x)9 x =a Y+2 b x +c 9 x =0的两个根分别为1,4,所以1 6 a +8 b +c 3 6 =0(I )当。=3时，又 由(*)式得2 Z?+c -6 =08 b +c +1 2 =0解得 b =-3,c =1 2又因为曲线y=/(x)过原点，所以4=0故/(x)=x3-3 x2+1 2 x(I I )由 于a 0,所 以“/(X)=x 3+/jx 2+c x +d在(-8,+o o)内无极值点”等价于u f(x)=ax2+2bx+c0&+)内恒成立由(*)式得2/?=9-5,c =4。又

26、 A =(2 6)2 _4 a。=9 3 _ )(“_ 9)解 4a 0 二 9(。-1)(9)(0得 a e 1,9 即a的取值范围 1,9 9.(2 0 1 0 北 京 理)(1 6)(本小题共1 4 分)如图，正方 形/腼 和 四 边 形 4 口 所在的平面互相垂直，CEAC,EF/AC,AB=y l l ,CE=EF=1.(I )求证：AF平面BD E；(I I )求证：皿 平 面 切 氏(HI)求二 面 角 跖-的大小。证明：(I)设 A C 与 B D 交与点G。因为 E F/A G,且 E F=1,A G=-A C=1.2所以四边形A G E F 为平行四边形.所以A F 平面E

27、 G,因为EGu平面B D E,A F 设 B C=b,则长疗伟 A B C D A B；C D i 的体机 V=A B -A D A A】=2/6.儿何体 E B iF H O C 的体积 匕=(y 5.B,F)4 c l =EB.BF.:EB：-B F =/.:.EB-B,F S鱼凸以上.1 1 2 2-il l仅EBX=只尸=上。时等号成立.2,从血，,4a-b故 p=1-1-4 =-V 2a2b 8不 I 工4=写尸=三。力7所以，p的最小值等J12.（2 010湖南理）18.（本小题满分12 分）如 图 5 所示，在正方体A B C D-A iB iC iD：中，E是棱D D I的中

28、点.“（I）求直线BE与平面A B B；A：所成的角的正弦值；（盛 棱 弓。上是否存在一点八使B：F平面A：B E?证明你的结论.图 5【解析】，解 法 1设正方体的棱长为1，如图所示，以 商，力,而为单位正交基底建立空间直角坐标 系.(I )依题意，得 B (1,0.0),E (0,(0,0.0),D (0,1.0),所以.1 _ _ _5 =(-1,1,-),.10=(0.1,0),在正方体 A B C D -A i B i C Q i 中，因为 A D _ L 平面 A B B；A”所以AD是平面A B B：A：的一个法向量.，设直线B E与平面A B B】A 所成的角为心 则.&BEA

29、D 1 2sin a=一 一-=-=2X1 32即直线B E与平面A B B】A所成的角的正弦值为二.3(I I)依题意，得 A】(0,0,1),=(-1,0,1),3 E =(-L L)2设n=(x,y,z)是平面A：B E得一个法向室，则由1,艮4=0,n 5 =0 得，所以x =z，r =：z,取z =2,得n=(2J,2)设F是授C D 1上的点,则F 1,1)gWl),又B i (1,0,1),所U h后=(r-L L O),而4 F (2,1,2)=0=2-1)+1=0,=r =白=尸 为GD的 中 点。这说明在在棱C】D：上是否存在一点F (C P 1的 中 点),使B-F 平面

30、 A：B E 解 法2如 图(a)所示，取AA：的中点 L连 结EL BX L因 为E是DD1的中点，四边形ADDiA：为正方形，所 以EM AD.“又在正方体ABCD AiBiCiDi中.AD_L平 面ABB】Ai，所 以EMlABBiA”从 而BM为直 线BE在平面ABB：Ai上的射影，NEBM直 线BE与平面ABB】A1所成的角“设正方体的棱长为2,则EV=AD=2,B E=72T+2T+F=3,于是“EXI在 IUABEM 中，sinZ 5J/=一 BE 3即直统BE与平面ABB A1所成的角的正弦值为2.23(H应 梗CiD】上存在点F,使B F平 面A：BE.事实上，如 图 所 示

31、，分别取C D和CD的中点F,G,连结EG,BG,CD】，FG，因A2D：BICI B C,且A：Di=BC,所以四边形ABCD：为平行四边形，因 此D:C A.B,又.E,G分别为DiD,CD的中点，所以E G D iC,从而EG A；B,这说明A”B,G,E共面，所 以BGU平 面A：BE因四边形CICDDI与B：BCCi皆为正方形,F,G分别为C D】和CD的中点，所以FG QC B；B.且FG=C:C=B:B.因此四边形B：BGF为平行四边形，所以B：F B G.而B：F P D2+DC2=J5。由 P C _ L B C,B C=1,得 A F B C 的面积 S B c =乎。由

32、VA-咏=%-ABC,PBC-/?=V=得 h =6，故点A到平面P B C 的距离等于V2。2009年高考题一、填空题I.若 等 边 A4 BC的边长为，平 面 内 一 点 M 满 足 丽=1 而+2 出，则6 3M A M B =2.在空间直角坐标系中，已知点A （1,0,2）,B（l,-3,1）,点M在y轴上，且凶到A与到B的距离相等，则M的坐标是 o【解析】设 M（O,y,O）由/+y2+4=i+（_3 y）2+i 可得 y=_i 故 M（O,1,O）【答案】（0,-1,0）二、解答题3.（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDEF中，FA _L平面ABCD,AD BC FE,AB1

33、AD,M为EC的中点，1/；_EAF=AB=BC=FE=-AD/7K（I）求异面直线BF与DE所成的角的大小；./人、（II）证明平面 AMD平面 CDE；./二口（IH）求二面角A-CD-E的余弦值。B C如图所示，建立空间直角坐标系，点 A 为 坐 标 原 点。设 AB=1,依题意得 B（l,0,0）C（LLO）,。（0,2,0）（0,1,1）,F（0,0,l1（I）解:即=（一 1,0,1）,DE=（O,-L1）,于 是cos（而,B l）=BFDE 0+0+1BF DEV2V2-2所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60.（II）证明：由AMCE=（-1,0,1）,AD=（0,2,0

34、）,可得B 血=0,CEAD=0.因止匕 C E 1 AM,CE _L AD.乂AM Cl AD=A,故CE J_ 平面AMD.而CE u平面C D E,所以平面AMD 平面CDE.-（III）解：设平面CDE的法向量为 =（x,y,z）,则 尸,笠=0u DE=0.于是+令 尤=1,可得 =(1,1,D.-y +z =0.又由题设，平面A C 7)的一个法向量为u =(0,0,l).所以,c o s(,M*V _ 0 +0+l_ 5/34.(本题满分15分)如 图，平面P A C _ L平面A B C,A 4B C是以AC为斜边的等腰直角三角形，瓦。分 别 为 胡，PB,A C 的中点，A

35、C =16,F A =P C =10.(I)设G是OC的中点，证明：F G /平面B O E ；(I D证明：在A A B O内存在一点M,使，平面B O E,并求点M到O A ,。8的距离.证明：(I)如图，连结O P,以O为坐标原点，分别以O B、O C、O P所在直线为x轴，y轴,z轴，建立空间直角坐标系o-x y z ,则。(0,0,0),4(0,8,0),8(8,0,0)。(0,8,0),尸(0,0,6),后(0,-4,3),F(4,0,3),由题意得,G(0,4,0),因 而=(8,0,0),0万=(0,4,3),因此平面 B O E 的法向量为 7=(0,3,4),历 =(-4,

36、4,3得 K 方 =0,又直线FG不在平面3 OE内，因此有E G/平面B O E6.(本小题满分12分)如图，已知两个正方行A B C D和D C E F不在同一平面内，M,N分别为A B,D F的 中 点。(I)若平面ABCD，平面D C E F,求直线MN与平面D C E F所成角的正值弦；(I I)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线。设正方形A B C D,D C E F的边长为2,以D为坐标原点，分别以射线D C,D F,DA为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系如图.则 M(1,0,2),N(0,1,0),可 得 嬴=(-1,1,2).又以=（0,0,2）为平面D C E

37、F的法向量,j.Z H /.Z 、MN DA 石可得 C O S(MN,/)A)=-I I MN II DA I 3所以MN与平面D C E F所成角的正弦值为c o sMN,DA=36分（H）假设直线ME与BN共面,8分则ABu平面MBEN,且平面MBEN与平面D C E F交于E N由已知，两正方形不共面，故AB2平面D C E F。X A B/C D,所以A B平面D C E F。面EN为平面MBEN与平面D C E F的交线,所以 A B/E N。又 A B/C D/E F,所以E N/E F,这|J E N A E F=E矛盾，故假设不成立。所以ME与BN不共面，它们是异面直线.12

38、分7.(13 分)如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，M D m A B C D,尺8 _ 1平面4 3。,且M D=N B=1,E为BC的中点（1）求异面直线NE与AM所成角的余弦值（2）在线段AN上是否存在点S,使得E S_ L平面AMN?若存在,AS的长；若不存在，请说明理由17.解析：（1）在如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标。-x y z依题意，得 0(0,0,0)A(l,0,0)M(0,0,1),C(0,L0)。2一 1 ：.N E =(,0,-1),A M=(-1,0,1)2c o s=N E A M NE x AMi(r%b所以异面直线N E与A M所成角的余弦值为.A

39、10(2)假设在线段AN上存在点S,使得5,平面A M N.丽=(0,1,1),可 设 衣=九 丽 =(0,4/1),1 1又 E A =(,1,0),5=E A +A S=(,2 1,2).2 2回丽=0,-+2=0,由平面AMN,得 _ _ _ _ _ _ _ 即 2 ES A N=0,(2-1)+2=0.1 一 1 1 一 J 2故 几=一，此时 A S=(0,),I A SI=J.2 2 2 2后经检验，当 AS=X 时，E S_ L 平面A M N.2故线段AN上存在点S,使得ES L平面AMN,此时AS=E.28.(本小题满分12分)如图，直三棱柱A B C 461 G 中，A8

40、LAC,。、E 分别为耳。的中点，DE L平面BCCI(I)证明：A B =A C(II)设二面角A B O C为 6 0 ,求 与 平 面 BCD所成的角的大小。分析一：求 B,C 与平面B C D所成的线面角，只需求点5,到面B DC的距离即可。19.(本小题满分12 分(I )问 5分，(II)问 7 分)如 题(19)图，在四棱锥S A6CO中，A D BC且 AO_ LCO；平面 CS O,平面 A B C。，CS 1 D S,C S =2 A D =2；E 为 6 s 的中点，CE=RAS=6 求：(I )点人到平面BCS 的距离；题(1 9)图(II)二面角E C O A的大小.

41、(I )如 答(19)图 2,以 S(0)为坐标原点，射线O D,O C 分别为x 轴，y 轴正向，建立空间坐标系，设因平面平面他 例 如 A。L C D,A DI C O D即点A 在 x o z平面上，因 此 =0,=|AS|=12 2 1叫2 厂又 X；+=|A S|=3,4=&从而A(8,0 因 A D/B C,故 B C _L 平面故D,即 B C S与平面y O x 重合，从而点A到平面B C S的距离为巧=JL(II)易知 C(0,2,0),D(,0.0).因 E 为 B S 的中点.B C S为直角三角形，|UU/|UUV r-知 的=2 C E =2&设 B(0,2,ZB),

42、ZB 0,则 Z.=2,故 B (0,2,2),所以 E(0,1,1).在 C D 上取点G,设 G(百，X,0 ),使 GEC D .ULUI,UUM ULUI UUM由 C O=(V 2,-2,0),G =(%,X +1,1),CO G E =0 故V 2 xl-2(y1-l)=0 UL1JI UUV UUW Y V _ 7又点G 在直线C D 上，即 CG CO,由CG=(尤,一 2,0),则有-=2 J 2 2J 7 4联立、，解得G=(鼠,0),ULW J2 2 ULUT UUV故G 石=(一一,一 1/).又由A D 1C D,所以二面角E-C D-A 的平面角为向量G E 与向量

43、。4所成的角，记此角为。因为cos 6=ULM I UUVi LUU ULW,O A =(0,0,1),|Z)A|=I,GE O A=1,所以U L B T uuuG E D AGE-DAV37T故所求的二面角的大小为6作AG LB。于G,连G C,则GC_L8。，NAGC为二面角A-B。的平面角,Z A G C=60.不 妨 设 AC=2百，则 AG=2,GC=4.在 RT A4BO 中，由A D A B =B D A G ,易得 AO=&.设 点 用 到 面8O C的距离为力，5。与平面B C D 所成的角为 a 。利 用；5阳-0后=；5M,力，可求得匕 =2万，又可求得 8 c =4

44、6 sin a =:.a=30.BC 2即B.C与平面B C D所成的角为30.分析二：作出用。与 平 面 所 成 的 角 再 行 求 解。如 图 可 证 得 面4/比,所以面面BOC。由分析一易知：四边形AFEO为正方形，连AE、DF ,并设交 点 为。，贝ij E。，面5DC,。为E C在 面B DC内 的 射 影。.NEC。即 为 所 求。以下略。分析三：利用空间向量的方法求出面5O C的 法 向 量 则 与C与 平 面 所 成 的 角即为瓦6与法向量石的夹角的余角。具体解法详见高考试题参考答案。总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命

45、题人在这里一定会兼顾双方的利益。9.（本小题共14分）如图，四棱锥尸4 3 c o的底面是正方形，PO_L底面A B C D,点E在棱PB上.（I）求证：平面A E C 1平面PD6；（11）当尸。=CAB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.【解法2 如图，以D为原点建立空间直角坐标系。-qz，设 A 8=a,P O =h,则 A（a,O,O）,B（a,a,O）,C（O,q,O）,D（O,O,O）,P（O,O,/?）,（I ）*.,A C =（-a,a,0）,O P =（0,0,）,0 8 =（a,a,0）,.AC-1）P=Q,AC-7）B=Q,.-.A C D P,A C

46、D B,；.A C _L平面 P D B,平面A E C J.平面P O B.fl 1 J i（I D当尸。=J5AB且E为P B的中点时，尸（0,0,缶），E-a,-a,a /设 A C D B D=O,连接 O E,由（I ）知 A C W i P D B 于 O,r.Z A E O为A E与平面P D B所的角，（1 1 加）一（近、2 2 2 J 2 Jco s Z A E O =曾 配=,阿.忸。2，Z A O E=4 5,即A E与平面P D B所成的角的大小为4 5 .10.（本小题满分13分，（I ）小问7分，（U）小问6分）如 题（18）图，在五面体 A B C D EF 中

47、，A B/D C,Z B A D =-,2C D=A D=2.,四 边 形A B F E为平行四边形，F A _L平 面A B C D,F C=3,E D=V 7,求：（I ）直线A B到平面EF C D的距离：题”8）图（I I ）二面角F-A D-E的平面角的正切值,18.（本小题满分12分）如图4,在正三棱柱A B C Ag G中，AB=y/2AAD是4月 的中点，点E在4 c l上，且O E J.A E。（I）证明平面AO E，平面A C G 4（II）求直线4。和平面ABC所成角的正弦值。解（I）如图所示，由正三棱柱A B C-A 4 G 的性质知A 4 _L平面AM G又 DEu

48、平面 A|B|C 1 ,所以 DE_LAA.而 DEJ_AE。AA|nAE=A 所以 DE_L平面 ACC A,又 D E u平面 ADE,邮 面 ADEJ_平面 AC C A。解法2如图所示，设。使 AC 的中点，以 0 为原点建立空间直角坐标系，不妨设A AI=V2,贝 IJAB=2,相关各点的坐标分别是A(0,-l,0),B(6，0,0),C i(0,1 yp2),D(-,-,A/2)o1 2 2易知 1,0),AC=(0,2,V2),而=(3，I,V 2 )2 2设平面ABC1的法向量为n=(x,y,z)，则有n-AB=43x+y=0,n-AC=2 y+Jl z -0,解得 x=-y,

49、z=-,故可取n=（l,-g,瓜）。b r n*AD 2V3 VT o所以，cos(n AD)=:=-f=-尸=-o|n|-AD V10 x V3 5由此即知，直线AD和平面AB C 所成角的正弦值为。511.(本小题满分12分)如图3,在正三棱柱4B C-4 8 G 中，48=4,4 A=点。是 BC的中点，点 E 在 4 c上，且 OEJ.AXE(I)证明：平面4 0 E _L平面A C 4；(II)求直线AO和平面A O E 所成角的正弦值。解法2 如图所示，设 O 是 A C的中点，以 O 为原点建立空间直角坐标系，则相关各点的坐标分别是 A(2,0,0,),A,.(2,0,V7),D

50、(-1,6),E(-1,0.0)易 知 港=(-3,6，-近)，DE=(0,-百，0),AD=(-3,垂),0)设 仁(x,y,z)是平面4 DE的一个法向量，则LUV/-c rfDE=y/3y=0I /7z=0解得x=_?z,y =0故可取n=(币,0,-3,)于是ULIL1/巴if A Dc o s(n,A )=-rtt T /I小M _3 b后-4 x 2 7 3 8由此即知，直线A D和平面ADE所成的角是正弦为81 2.(本小题满分1 2分)在四棱锥P A6CO中，底面A 8 C。是矩形，抬，平面4 6。，P 4 =A O =4,A 3 =2 .以AC的中点。为球心、AC为直径的球面