2022年新高考数学数列经典题型专题提升：第15讲 数列性质：最值问题（解析版）.pdf

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1、第15讲数列性质:最值问题参考答案与试题解析一.选 择 题(共10小题)1.已知数列%的通项公式。“=2-(6+2/1)+2 0 1 6,若 4或 为 数 列 q J 的最小项，则实数4的取值范围是()A.(3,4)B.2,5 C.3,4 D.(-,-)【解答】解：由题意，数列”的通项公式=一(6+2%)+2014 的对称轴为=3+2,4或 为数列/的最小项，.5.5 v3+4 v7.5,2.5 2 0,a9 0,21+8 J 0,解得-3 /一目.8故选：C.2 2 2 2.2 23.(2021秋淮北期中)设等差数列芋“满足s%一 s%+c0s%cos网-sm%=1 ,sin(4 +%)公差

2、d e(-l,0).若当且仅当“=8 时，数列伍“的前项和S“取得最大值，则首项“取值范围是()A.(2,等)B.呼，争 C.佟,争6 3 3 2 6 3.2。2 2 2 2解答 加隼.山 5%-c o s y +cos-a5cos/=sin(6+%)D.殍*得:一 cos2%+(cosa5 cos 1 +sina5 sind)(cosa5 c o s-sin%sin4)=,sin(6+%)n n-COS2%+C O S(5-8)COS(5+4)_ 1即-;-:-=-=I,由积化和差公式得:cos 2%+-cos 2/-cos 2%sin(a6+a7)(cos 2%-cos 2a5)整理得：2

3、-sin(4+%)-.(-2)sin(a8+a5)sin(tj8-a5)即有 z-：-=1,sin(a6+%).,.sin(3d)=1.,：d e(-1,0),/.3d e(-3,0)，则3公-3T，由 S=na,+-n(n-Y)d=-n2+(a.+)n,2 12 1 12对称轴方程为=9（4+工），71 12由 题 意 仪“1=8时,数列 为 的前n d 和S；取得 最 大.15 6,乃、17得:7447r a ，6 1 3首项4的取值范围是（上，）.6 3故选：A.4.（2 0 2 1 春 武侯区校级期中）设等差数列an满足：cos2 a3 cos2 a5-sin2 sin2 a5-cos

4、 2a3=sin（+%）,a4 9 k e Z 且公差 d G（-1,0）,若当且仅当=8 时，数列 6 的前项和S取得最大值，则首项q 的取值范围是（）咛A.2乃 B.(,2乃)2C.,2m4D.2万）【解答】解：*/cos2 a3 cos2 a5-sin2 a3 sin2 a5-cos 2a3 =sin(q+%),/.cos2 a3 cos2 a5-sin2 dt3sin2 a5 一 cos%+sin2 a3=sin(q+%),即 cos2%(cos?a5-l)-s in2%(sin?%-1)=sin 2a4，即-cos2%sin2 a5+sin2/cos2 a5=sin 24 ,即(si

5、n/cos a5-cos/sin%)(sin a3 cos a5+cos a3 sin%)=sin 2a4，即 sin(%-4 )sin(q+4)=sin 2a4，B P-sin 2d sin(26r4)=sin 2%，k元*/a4 ,.sin 2a4 0,.sin(2rf)=-l.,/d G(-1,0),/.2d G(-2,0)，则 2d=,d=.2 4.c n(n-V)d n(n-1)/乃、冗？，兀、由 S=na+-=叫+-x(-)=-+(4 +)对称轴方程为 =3(4 +)，71 8由题意当且仅当=8时，数列短 的前项和S.取得最大值，,1 5 4 .冗、17/用 汨 In.(q H )

6、,PT:4 c l-4 3=-7 .S=-ln+x 3=M2-n.则当”=而 ne N*，2 2 2 6.当=3 时，S,有最小值;等差数列 4 的前三项小于0，自第四项起大于0,且大于I,7；0,T3 0,当几.4 时，7；,=2T/Y,T可得：=3 时，T3=T4.3时，弘 3时，弘 1.T,.:.T1T2T3=T4T5 T6 0 ,即2 1 3 0,解得1令。“=3(2-1 3)0,即 2 一 1 3 0,解得2故当掇W 6 时，an 0，当“eN*时，2-1 3为递增的等差数列，3 0 恒成立,:.ax 生 a6 0 a7 as 1，4则 axa2.an 的最小值为 aa2.a5=(a

7、3)5=()5.故选：D.二.填 空 题（共 3 小题）1 1.（2 0 2 1 秋玄武区校级月考）已知 6,为等差数列，%=5 2,邑=3 4 3,/的前 项和为S,则=20时,5“最大.【解答】解：设等差数列 4 的公差为d，由 叼=52,$7 =3 4 3,可得 4+2 4 =52,7 4+2 1 3 =3 4 3,解得 q =58,d=3 1贝 i j a,=58-3（-1）=61 3，当啜M 2 0 时，40；当”.2 1 时，a 0 且|%1=1 61，当=6时,数 列 “前”项和S”取最大值.【解答】解：设数列 4 公差为d,根据题意可知：+4=0,可得2 4+1 1 1 =0,

8、11 11 2 q0 (九 一 1)/2 、a.2 1 2 a .业 n.SfJ=naA+-(-7 7)=-7 7 +T Tn f,二 J =/1 1 1 1 1 1 c2 x=6 时，数列 q,前”项和 S,取最大值6.故答案为：6.1 3.（2 0 1 6长春四模）等差数列“的前”项和为5，已 知 几=0,几=2 5,则使5 +1 电取最小值的”等 于 6 或 7 .【解答】解：设等差数列 “的首项为4,公差为d，Sl 0=1()!+4 5=0 ,几=1 5q +1 0 54 =2 5，.4=-3,d=-3.S 1叼+3小牛_竺,2 3 3(/+l八)。S“=-1 3n-1-0 n2 +-

9、1 n2-1-0 n=1-n 3 犷2 -1-0n“3 3 3 3 3 3令 nSn=f(n),/,(/i)=n2-6 n-y ,.当 =3 +g庖 时，/()取 得 极 值，当3-g扃 3 +g历 时，/()递增：因此只需比较/(6)和/(7)的大小即可.f(6)=-56,f(7)=-56,故(+1)5,的最小值为-59 .故答案为：6或7.三.解 答 题(共3小题)1 4.(2 0 2 1 新疆模拟)在平面直角坐标系中,已知三个点列 4,、纥、,，其中4(,4)、G(-l,0)满足：向量4Al与向量&C；共线，且点列 纥 在方向向量为(1,6)的直线上，=，b、=a.(1)试用a与n表示a

10、n(n.2)；(2)若4与%两项中至少有一项是。的最小值，试求的取值范围.【解答】解：(1)由45,)、纥5 也)、C Jn-1,0),得：中 二=(1，%-。.)，瓦C：=(-1，M).向量A A“二与向量瓦盘共线，I x(-1)-(-1)x(%-4)=0 ,即 a+1-an=bn.乂 纥 在方向向量为(1,6)的直线上，色#=6,即 心8,=6.n+nb =b、+6(-1)=-a+6(九 一1),a =4 +(2-4 )+(%)+一 an-)=4 +4 +b2+bn_x=a +(ci)+(a+6)+(c t+6 x 2)+.+c i+6(-2)=61 +2 +(-2)ci(1)=6 x-(

11、-+-n-2-)-(-n-2-)-a(.n -1n)=3(-1)(-2)-a(n-1)=3 n2-(9 +a)n+6+2a(n.2)；(2)二次函数f(x)=3/_(9 +a)x+6+2 a的图象是开口向上，对称轴为彳=巴坦的抛物线.6又：在心与的两项中至少有一项是A的最小值，故对称轴x=巴 处 在1 1,内，即口轰伫2”，2 6 2.2 4到 3 6.1 5.(2 0 2 1秋海曙区校级期中)已知数列伍“中，,=1 +J-(neN aeR aO.a+2n-y(1)若a =-7,求数列 七 中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的 e N*,都有a,4成立，求。的取值范围.【解答】解：(1)+

12、-；-(n e N*,a e 7?,Ka *0)a +2(-l)当 a =7 时，a =1 +(n e TV*)2/7-9结合函数f(x)=l +1一的单调性2 x-9可知：1 4 4 ；a5a()a1.at l l(ne N )an 中的最大项为 =2，最小项为4 =0(2)凡=1 +-,-=1+2 a +2(-l)n 2-a2.对 任 意 的 都 有 时,%成立，并结合函数f(x)=I+1 的单调性2,一 ax-22 a/.5 6.-1 0 6?-821 6.(2 0 2 1 黄 州 区 校 级 模 拟)数 列 4前 项 和S=!，数 列 满 足3 bn-b“_ T =n(n.2,n e

13、N*),(1)求 数 列 a,的通项公式；(2)求证：当尸时，数 列 ,-%为等比数列；4(3)在 题(2)的条件下，设 数 列 d的前N项 和 为7；,若 数 列 7 J中 只 有(最 小，求。的取值范围.【解答】解：.数列 4)前项和S“=上，c _ tr（n-1）2 2n-Si 1-一 1二丁当”=1 时，l =-=at,4 4 1/.an=2：N*（4 分）（2）证 明:,数列/?满足的 一 2 _=N*）,3（2 -a”）-（%-%）=（3么-b _）-3 an+an_=n-n =O,（-a“）=g s T-q“），且4一4二0，.2是 以 为 首 项、；为公比的等比数列.（8分）（3）解：是 以 为 首 项、；为公比的等比数列，+侬一5“（$,（1 0 分）.数列区 中只有4最小,解得7 7 么-1 1,（1 3 分）也 0此时，=；-2 x（4 -；）x（；）0,于是，,为递增数列，二.凡 3时，b 0,几.4 时包 0,符合题意,综上-4 7 1 1.（1 5 分）