2023届新高考数学（新高考Ⅰ卷）模拟试卷十一（学生版+解析版）.pdf

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1、绝密启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试新高考I卷数学模拟卷十一学校:姓名：班级:考号：题号一二三四总分得分注意：本试卷包含I、I I 两卷。第 I 卷为选择题，所有答案必须用2 B 铅笔涂在答题卡中相应的位置。第 n卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。第I卷（选择题）一 单 选 题：本题共8 小题，每小题5分，共 4 0 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .设集合 4 =%|2 丫 2 4 ,B=(x -l x 5 ,贝必C I B =()A.x|-1 x 2 B.x|2 x -1 D.xx 2 2 .复数2 =捻

2、(其 中 i为虚数单位)的虚部是()A.1 B.1 C.i D.i3 .(1 一 2 x)5 的展开式中，3 项的系数为()A.4 0 B.-4 0 C.80 D.-804 .已知函数/（x）的定义域为R,则“/（尤）是偶函数”是“|/（x）|是偶函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5 .已知函数/(x)=A s in Qj x +w)(4 0,o)0,0 7 n 范围是()A.(1,4)B.(-8,1)U(4,+8)C.(4,1)D.(co,4)U(1,+o o)7 .酒后驾驶是严重危害交通安全的行为，某交通管理部门对辖区内四个地区(甲、乙、丙

3、、丁)的酒驾治理情况进行检查督导，若“连续8 天，每天查获的酒驾人数不超过 1 0”，则认为“该地区酒驾治理达标”.根据连续8 天检查所得数据的数字特征推断，酒驾治理一定达标的地区是()A.甲地：均值为4,中位数为5 B.乙地：众数为3,中位数为2C.丙地：均值为7,方差为2 D.丁地：极差为3,7 5%分位数为82 28.已知双曲线C 嗫 一 幺=1(。0 0)的左、右焦点分别是用，尸 2，过点出的直线与 C交于A,8 两点，月.4 B 1 F/2.现将平面”/2 沿尸/2 所在直线折起，点4到达点 尸处，使平面P F/2 _ 1 _ 平面BF1 F2.若8 S N P F2 B=则双曲线C

4、的离心率为()A.V 2 B.V 3 C.2 D.V 5二、多选题：本题共4小题，每小题5 分，共 2 0 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5 分，部分选对得2分，有选错的得。分。9 .已知平面向量万=(1,0),石=(1,2 百)，则下列说法正确的是()A.|a +b|=1 6B.(a +K)-a =2C.向量五+方与五的夹角为3 0 D.向量五+石在不上的投影向量为2 五1 0.已知实数a,b,c 满足abc0,则下列说法正确的是()A.7 7 B.-ac+be D.(a +b)(：+的最小值为 41 1 .在平面直角坐标系内，已知4(-1,0),B(l,0),C

5、是平面内一动点，则下列条件中使得点C 的轨迹为圆的有()A.AC=|FC|B.|c|=2|FC|C.A C BC=0 D.A C BC=21 2.在棱长为1 的正方体A B C D-A i B i C i S 中，P为侧面B C G B i（不含边界）内的动点，Q为线段4C 上的动点,若直线4P与4/1 的夹角为45。，则下列说法正确的是（）A.线段&P的长度为企B.当 做 +（2 的最小值为1C.对任意点尸，总存在点Q,使得5Q 1 CPD.存在点P,使得直线4P与平面4 D D 1&所成的角为6 0。第I I卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共 2 0分。1 3 .已知抛

6、物线y 2 =4 x,作过焦点尸的直线交抛物线于A,8两点，则 A B 的最小值为1 4 .已知a e （-H）,且s i n a +c o s a =昌 则ta n a 的值为.1 5 .甲、乙两个箱子中各装有5个大小、质地均相同的小球，其中甲箱中有3 个红球、2 个白球，乙箱中有2 个红球、3 个白球.抛一枚质地均匀的硬币，若硬币正面向上，从甲箱中随机摸出一个球；若硬币反面向上，从乙箱中随机摸出一个球，则摸到红球 的 概 率 为.1 6.某数学兴趣小组模仿“杨辉三角”构造了类似的数阵，将一行数列中相邻两项的乘积插入这两项之间，形成下一行数列，以此类推，不断得到新的数列.如图，第一行构造数列

7、1,2；第二行得到数列1,2,2；第三行得到数列1,2,2,4,2；，则第5 行从左数起第6 个 数 的 值 为.用 A”表示第 行所有项的乘积.若数列 B J 满足%=og2An,则数列 Bn 的通项公式为.1 2 2 4 2 8 4 8 2四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。1 7.在 4 BC中，角 4,B,C 的对边分别为a,b,c,已知独二=*，a =3.a cosA(1)求角A 的大小；(2)若点。在边A C 上，且 前=：瓦？+|阮，求 BCD面积的最大值.1 8 .已知数列 时 满足an+2 +(l)nan=3,%=1,a2=2.(1)记

8、 匕=。2 右1，求数列%的通项公式；(2)记数列 a的前八项和为右，求5 3 0.1 9 .如图，在正四棱柱A B C。中，AAr=2AB=2,E,尸 分 别 为 棱 C Q的中点，G为 棱 上 的 动 点.(1)求证：B,E,5,厂四点共面;(2)是否存在点G,使得平面G E F J _ 平面B E 曰 若 存 在，求出。G的长度；若不存在，请说明理由.2 0.某机构为了解市民对交通的满意度，随机抽取了 1 0 0 位市民进行调查.结果如下：回 答“满意”的人数占总人数的一半，在回答“满意”的人中，“上班族”的人数是“非上班族”人 数 的*在 回 答“不满意”的人中，“非上班族”占(1)请

9、根据以上数据填写下面2 x 2 列联表，并依据小概率值a =0.0 0 1 的独立性检验,分析能否认为市民对于交通的满意度与是否为上班族有关联.满意不满意 合计上班族非上班族合计(2)为了改善市民对交通状况的满意度，机构欲随机抽取部分市民做进一步调查.规定：抽样的次数不超过n(n N*),若随机抽取的市民属于不满意群体，则抽样结束；若随机抽取的市民属于满意群体，则继续抽样，直到抽到不满意市民或抽样次数达到”时，抽样结束.抽样结束时，记抽样的总次数为随机变量X”，以频率代替概率.若n=5,写出X 5 的分布列和数学期望；请写出X n的数学期望的表达式(不需证明)，根据你的理解说明X 的数学期望的

10、实际意义.参考公式和数据:a0.1 0.0 5 0.0 10.0 0 50.0 0 1而2.7 0 6 3.84 1 6.6 3 5 7.87 9 1 0.82 8/=-其中 n=a +b +c +d(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)出 12 1.已知函数f(x)=e X+i +(l a)x +b.(1)若曲线y =/(x)在(O,f(O)处的切线方程为旷=e x,求实数a,人的值;(2)若不等式/(x)0恒成立，求T的最小值.2 2.已知P为圆m一+丫2一2%一15=0上一动点，点村(一1,0),线段尸N的垂直平分线交线段尸“于点Q.(1)求点。的轨迹方程；(2)设点。的轨迹为曲线C,

11、过点N作曲线C的两条互相垂直的弦，两条弦的中点分别为E,F,过点N作直线Ef的垂线，垂足为点”，是否存在定点G,使得G 为定值？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由.绝密启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试新高考I卷数学模拟卷学校：姓名：一 一班级：考号：一题号一二三四总分得分注意：本试卷包含I、n 两卷。第 I 卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第 n 卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。第I卷（选择题）一、单选题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

12、23.设集合4=%|22 4,B=%|-1%5 ,贝 IjADB=（）A.x|-1%2 B.x|2 x 1 D.xx 2【答案】B【解析】【分析】本题考查集合的交集运算，属于基础题.化简A,由交集运算即可求解.【解答】解：由4=x|2*2 4=x|x 2 2 ,集合B=x|-1 W xS5,则4 nB=x|2W x4 5.故选：B.24.复数2=&（其中i 为虚数单位）的虚部是（）A.1 B.1 C.i D.i【答案】A【解析】【分析】本题考查复数的运算性质和复数的概念，属于基础题.直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后得到Z的虚部.【解答】解.2.2(1)Z-i+1 +-1 1，Z的虚部为

13、一 1.故选：A.2 5 .(1 2 x)5的展开式中，二项的系数为()A.4 0 B.-4 0 C.8 0 D.-8 0【答案】D【解析】【分析】本题主要考查二项展开式的通项公，属于基础题.在二项展开式的通项公式中，令x的幕指数等于3,求出r的值，即可求得展开式中的炉系数.【解答】解：(1 一 2 x)5展开式的通项公式为疆+1 =%(-2 x)1故令厂=3,可得其中的炉系数为底.(-2)3 =-8 0,故选：D.2 6 .已知函数f(x)的定义域为R,则“/(X)是偶函数”是“|f(%)|是偶函数”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A

14、【解析】【分析】本题考查了充分条件，必要条件的判定方法、函数的奇偶性，考查了推理能力，属于基础题.由偶函数的定义可作出充分性判断，山反例判断必要性不成立.【解答】解：f(x)的定义域为R，若f(x)是偶函数，则f(r)=x)，可得，(一乃|=|f(x)|，即|f(x)|是偶函数,而1/。)|=|制为偶函数,但是/(x)=x是奇函数，所以函数，。)|是偶函数不能能推出f(x)是偶函数，“/(%)是偶函数”是是偶函数”的充分不必要条件.故选：A.2 7.已知函数/(%)=i4sin(a)x+租)(4 0,3 0,0 (p 0,3 0,0|切 即可求出答案.【解答】解：由图象可知，振幅为2,即4=2

15、,=7T+-7 T,解得 T=7T,4 12 6又因为T=故3 =2,此时函数f(%)=2sin(2x+(p),将点0乃,2)代入,得-2 =2sin(2 x +0),即一 1=sin(詈+0),二三+=2kn+,k e Z6 2.cp=2kn+k e Zs.o (p /(3或，则实数。的取值范围 IX Z 7 T I f X 7 n 是()A.(1,4)B.(-8,1)U(4,+oo)C.(4,1)D.(oo,4)U(1,+)【答案】B【解析】【分析】本题考查分段函数的单调性，及利用单调性解不等式，属于基础题.先判断函数f(x)为(一8,+8)内的增函数,再由/(。2-4)/(3。)可得。2

16、一4 3。，解出即可.【解答】解：因为+x m.当x m时，/(x)=|x-m|=x m在 m,+)上也单调递增，并且函数图象连续不间断，所以函数f(X)在(8,+8)内单调递增.于是由f (a?4)/(3 a),得a?4 3 a,解之，得：a 4.故选：B.2 9.酒后驾驶是严重危害交通安全的行为，某交通管理部门对辖区内四个地区(甲、乙、丙、丁)的酒驾治理情况进行检查督导，若“连续8天，每天查获的酒驾人数不超过1 0”，则认为“该地区酒驾治理达标”.根据连续8天检查所得数据的数字特征推断，酒驾治理一定达标的地区是()A.甲地：均值为4,中位数为5 B.乙地：众数为3,中位数为2C.丙地：均值

17、为7,方差为2 D.丁地：极差为3,7 5%分位数为8【答案】C【解析】【分析】本题考查数据的均值，中位数、众数、方差，属于基础题.根据均值，中位数、众数、方差的意义，结合特殊数值逐一判断.【解答】解：若甲地的连续8天的活驾人数分别为0,0,0,5,5,5,5,12,此时均值为4,中位数为5,但是有一天酒驾人数1 0,故A错误；若乙地的直续8天的酒驾人数分别为0,0,1,1,3,3,3,1 1,其众数为3,中位数为2,但是有一天酒驾人数超过1 0,故B错误；由于方差为2,而2 x 8 =1 6,（1 1-7）2=1 6,所以一旦有一天酒驾人数为1 1,剩下的7天酒驾人数只能都为7,这样才能保证

18、方差是2,但是这样一来就和“均值为7”矛盾，所以丙地的每一天酒驾人数最多不能超过1 0人，C满足题意；由于极差为3,7 5%分位数为8,所以可以有一天酒驾人数为1 1,例如8,8,8,8,8,8,8,1 1,有一天人数超过1 0,D错误.故选C.3 0.已知双曲线C:捻一，=1（。0,6 0）的左、右焦点分别是F ,F2,过点&的直线与C交于A,8两点，且4B_LFIF2现将平面A F】F 2沿K F 2所在直线折起，点A到达点尸处，使平面P&F 2 _L平 面.若COSNP/B=I，则双曲线C的离心率为（）A.V2 B.V3 C.2 D.V5【答案】D【解析】【分析】本题考查求双曲线的离心率

19、，属于中档题.先求A F i =BF=y,P F2=BF2=与 +4 c 2,PB=乎，利用余弦定理得c o s/P F 2/=|=2偿+小）_与“加2（科温+宜4求得4 a c =b 2,即可求解.2）【解答】解：由题意得点A得横坐标为-c,设纵坐标为y,所以解得：y=9*=BF=&PFz=后 +4 c 2,因为平面P&F 2 _L平面B&F 2，平面P&F 2 n平面8&F 2 =&七，P F 1 F/2，所以_L平面B&F z，B&u 平面8 0刍，所以P F 1 1 BFi所以 P B =JPF/+BFJ=邛，2伫+4 0 _空由余弦定理得COSNP/B=|=露，得4砒=的/)2,B

20、p V5 c2 4ac V5a2=0,即(c V5 a)(V5 c +a)=0,故 c -V5 a,即 e =-=V5.a故选：D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。3 1 .已知平面向量五=(1,0)，b=(1.2 V3),则下列说法正确的是()A.|a +d|=1 6B.(a +f e)-a =2C.向量五与五的夹角为3 0 D.向量N +B在a上的投影向量为2五【答案】B I)【解析】【分析】本题考查平面向量的坐标运算，数量积，夹角，模的运算，投影向量，属于中档题.根据平面向量的坐标

21、运算，将各个选项进行逐一分析求解即可.【解答】解：a+b=(1+1,0+2 V3)=(2,2百)，所以|五+另|=2 2 +(2 2 =4,故A错误;a.(a +d)=l x 2 +0 x 2 /3 =2,故 B 正确;,t 一 W、a(a+K)1c o s=崩 而=5,v 0 n,/.=p 故 C 错误；向量方+G在苍上的投影向量为华鲁-2=2三=2百，故D正确.|a|a|故选：BD.3 2 .已知实数a,b,。满足abc0,则下列说法正确的是()A 1(c-a)C.ab+c2 ac+beR b 匕+cJD.-b c 0,所以上 ：,而c -a 0,所以二一、/、，a b c-a a(c-a

22、)b(c-a)故 A错误；B 选项，2 一 些=W a+c)-(b+c)a=ab+bc-ab-ac=0,所以月 0,a -c 0,所以 a b +c?-a c -b e 0即a b -V c2 ac+be,故 C 正确；D 选项，(1 +6)(/+)=1 +1+=2+3 +2，因为 a,b0所以2 +m 2 2 H=2,当且仅当b =a 时取等号，a b 7a b所以(a +b)C +2 4,当且仅当a =b 时候取等号，而题设a b,所以(a +b)g +取不到最小值4,故 D 错误.故选：BC.3 3.在平面直角坐标系内，已知4(1,0),8(1,0),C是平面内一动点，则下列条件中使得点

23、 C的轨迹为圆的有()A.|狗=函 B.展|=2网 C.A C-B C =0 D.A C BC=2【答案】B C D【解析】【分析】本题主要考查点的轨迹，向量的运算，属于中档题.利用线段垂直平分线的性质判断A；设C y),则(x +I)2+y 2 =4 K x -l)2+y?判 断B.利用数量积为零,贝ij 乙4 c B =9 0。判断C；利用设C(x,y),则 前=(x +l,y),BC=(x -l,y),由数量积公式判断D.【解答】解：A.AC=BC,则点C在 A B 的垂直平分线上，故 A错误；2B.若|而|=2|左 设 C(x,y),则(+I/+y 2 =4 K x -I)2+y?,整

24、 理 为:-+y2=9表示一个圆，故B正确；C.若 前 近=0,则N 2 C B =9 0。，所以点C在以A B为直径的圆上D.若 就 近=2,设C(x,y),则3?=(x+L y),反t=(x-l,y),所以-i+y 2 =2,整理为：M+y 2 =3,表示一个圆，故D正确.故选：BCD.3 4.在棱长为1的正方体4 B C D-&B 1 C也 中，P为侧面BCG/(不含边界)内的动点，。为线段&C上的动点，若直线4 1 P与4/1的夹角为45。，则下列说法正确的是()A.线段为P的长度为近B.殍4Q+P Q的最小值为1C.对任意点P,总存在点Q,使得D i Q 1 CPD.存在点P,使得直

25、线&P与平面A D D 1 a所成的角为6 0 【答案】A B C【解析】【分析】本题考查直线与平面所成的角，异面直线的位置关系，属于较难题.建立空间直角坐标系，利用空间向量计算直线与平面所成的角，异面直线的夹角，逐项判断即可.【解答】解：对于A,因为必务,侧面B C QB i，/P e r面B C C/i，所以4_ L B j,又因为41P与 的 夹 角 为4 5。，所以A A i B i P为等腰直角三角形，则8/=1,所以线段4 P的长度为鱼，故A正确；以D为坐标原点，D A为x轴，D C为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，则。(0,0,0),4(1,0,0),8(1,1,0),C(O,

26、1,O),5(0,0 )，Bx(1,1,1),G(O,L 1),设PQ”1,Z 1),Q(%2，y2，Z 2)，由 A 易得(%1 -l)2+(Z 1 -l)2=1,_ ,又4 1 P =(xx-1,1,Z 1-1),4/1 =(0,1,0),Q 为线段4c上的动点，则 项 =a工/(owaw 1),解得-对于B,过点Q 作平面A B C D 的垂线，垂足为R,sinz.ACA11 =AiC=3,YI (A-l)2=|Q|2当且仅当X 1 =Z =1 -4 时成立，结合(X -1)2 +(Z -1)2 =1,可得此时4 =今所以|QP|的最小值为1 一九当且仅当2=当时，所以 Q P-Q R

27、+1 2 1-；l-(l-/l)+l=l,故 B 正确；对于 C,若D iQ J.CP,则 由 氤=(1 -;U,-Q,屈=(*i，0,Z i),得万耳 CP=%!(1 -A)-Z jA =0,又(%1 -1)2 +-I)2=1,二+1 ：+(急 -2)4 +1 =0,2 4 ,“=(E 3 2 -4 X(_；_ _+1)x l=_A28A 0 2 0.对任意点P,总存在点Q,使得D 1 QJ.C P,故 C正确;对于D,平面A C D 1 4 的法向量为元=(0,1,0),若直线4P与平面4 D D 1&所成的角为6 0。，即直线4 1 P 与平面4。送1 的法向量成3 0。角，cos 30

28、=-=!=,解得%矛盾，故 D 错误.V(x1-l)2+l+(z1-l)2 2 V2故选：ABC.第I I卷(非选择题)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。3 5 .已知抛物线y2 =4 x,作过焦点厂的直线交抛物线于A,8两点，则48的 最 小 值 为.【答案】4【解析】【分析】本题考查抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线位置关系、焦点弦长公式、基本不等式的性质，属于中档题.设4(修,乃)，8(%2/2)；由题意设直线A B 的方程为m y =x-l,与抛物线方程联立可得根与系数的关系，利用|4 B|=AF+|B F|及其基本不等式的性质即可得出.【解答】解：设4 (乙,%

29、),B(x2,y2V则由抛物线定义可得|4 B|=AF+BF=X j+x2+=%1 +1 +x2+1 =X j+x2+2,山题意显然直线A B 的斜率不为0,设直线A B 的方程为m y =x-l,联 立 抛 物 线 方 程 得 方 程 组 二：一 消元整理得V -4 my-4 =0,由根与系数的关系可得y0 2 =-4，又 A,B 在抛物线上，代 入 方程得*免=1 6 x6 2 =1 6,即 匕 不=1，因此根据基本不等式|4 F|+=今+次+2之冷+2 =4,当且仅当1 =%2=1 取得最小值4.故答案为：4.3 6 .已知a 且si na +c o sa =则ta na 的值为.【答案

30、】【解析】【分析】本题主要考查同角三角函数基本关系式，特殊角的三角函数值，属于基础题.由已知结合基本关系式求出si n a,c o sa,即可求解.【解 答】解：由则 cosa 0,因为sina+cosa=sin2a+cos2a=12所以（?一 c o s a）+cos2a=1,则cosa=等 或cosa=一日（舍去），故 sina=y,则 tana=cosa 2故答案为：3 7.甲、乙两个箱子中各装有5个 大小、质地均相同的小球，其 中 甲 箱 中 有3个红球、2个白球，乙箱 中 有2个红 球、3个白球.抛一枚质地均匀的硬币，若硬币正面向上，从甲箱中随机摸出一个球；若硬币反面向上，从乙箱中随

31、机摸出一个球，则摸到红球的概率为【答 案 w【解 析】【分 析】本题考查互斥事件的概率加法公式，属于中档题.分别求出甲，乙两箱中摸到红球的概率，最后相加即可求出结果.【解 答】解：抛一枚质地均匀的硬币，硬币正面向上的概率为最硬币反面向上的概率为:从 甲 箱 中 摸 到 红 球 的 概 率 为 从 乙 箱 中 摸 到 红 球 的 概 率 为|,p=l 3=3_ 从甲箱中摸到红球的概率为今-2X5-i0,_ 1 2 _ 1从 乙 箱 中 摸 到 红 球 的 概 率 为Z，=2X5=5，二摸到红球的概率为：P=+1=i故答案为：3 8.某 数 学 兴 趣 小 组 模 仿“杨 辉 三 角”构造了类似的

32、数阵，将一行数列中相邻两项的乘积插入这两项之间，形成下一行数列，以此类推，不断得到新的数列.如图，第一行构造数列1,2；第 二 行 得 到 数 列1,2,2；第 三 行 得 到 数 列1,2,2,4,2；，则 第5行从左数起第6 个数的值为.用4n表示第n行所有项的乘积.若数列 Bn 满足%=og2An,则数列%的通项公式为【答案】8371-1+1Bn=2【解析】【分析】本题考查数列的递推式数列的通项公式，属于中档题.写出数列 斯 的前几项，通过归纳通项，可得结论.【解答】解：根据题意：第一行两数为1,2 =4 1 =2 =2】；第二行为：1,2,2 =4=4 =2 2 =2 1+3；第三行为

33、：1,2,2,4,2 n a =3 2 =2$=2 1+3 0+3%第四行为：1,2,2,4,2,8,4,8,2 =/14=21 4=21+3+3 1+3 2；第五行为：1,2,2,4,2,8,4,8,2,1 6,8,3 2,4,3 2,8,1 6,2 n&=2 妨=21+3 +3 1+3 2+3 3；故第5行，第 6个数为：8.3n-i+i归纳得：4n=2，-,3n-1+ln i A i 22 3n-1+lBn=1 哂 4 1 -1 0 g2=-，故答案为：8；Bn=二产.四 解答题：本题共6小题，共 7 0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。3 9.在A A B C 中，角 A,

34、B,C的对边分别为a,b,c,已 知 吐=芷，a=3.a c o sA(1)求角A 的大小;(2)若点。在边AC上，且 前=：襦+|瓦 求 B C D 面积的最大值.【答案】解：(1)因为q=W，所以(2 b-c)c o s4 =ac o sC,u C O S A所以 2 si n B c o sZ =si m 4 c o sc +c o s si n C =si n (4 +C)=si n B,因为si n B 0 所以c o s/=j,因为4G (0,7 T),所以/=孑(2)因为前 瓦5 +1 近，所以而=所以 SABCD=SAABC=bcsinA=bc,3 b 1 Z因为 M=d2+c

35、2 2bccosA,所以9 =炉+W 儿 之 儿，当且仅当/?=。时，等号成立，所以SBCD=*儿 与 竽，所以 B C。面积的最大值为厚.4【解析】本题重点考查解三角形、三角恒等变换和基本不等式求最值，属于中档题.(1)利用正弦定理和三角恒等变换求出c o s 4 =即可求A：(2)先求出又孔。=第 儿，再利用余弦定理和基本不等式即可求解.4 0.已知数列 an 满足an+2 +(-1)九。7 1 =3,啰=1,a2=2.(1)记 匕=。2 7 1-1，求数列 4 的通项公式；(2)记数列 册 的前项和为工,求S3 0.【答案】解：解：(1)因为an+2 +(T)n/i =3，令 n 取2n

36、-l,则Q 2 n+i -。2 时1 =3,b 九=3,b=1,所以数列%是 以 1 为首项，3为公差的等差数列，所以 bn=3 n 2.(2)令 n 取 2 n,则Q 2 n+2 +=3，所以$3 0 =(。1 +。3 +。2 9)+(。2 +。4 +”3 0)，由(1)可知，&+a 3 T-1 0 2 9 =匕 1 +2 +1-1 瓦5 =3 3 0；a2-h a4-I-F a2n=a2 4-(a4+a6)H-F (a28+a30)=2 4-2 1 =2 3;所以 S3 0 =3 3 0 +2 3 =3 5 3.【解析】本题考查数列的递推关系、等差数列的通项公式和数列求和，属于中档题.(1

37、)由递推关系判断出数列 九 是 以 1 为首项，3为公差的等差数列，由等差数列的通项公式即可求解；(2)利用分组转化求和即可.41.如 图，在正四棱柱4BCD&BiCiDi中，AAr=2AB=2,E,尸分别为棱CQ的中点，G为棱DA上的动点.(1)求证：B,E,么，尸四点共面；(2)是否存在点G,使得平面GEF 1平面BEF?若存在，求出OG的长度；若不存在,请说明理由.【答案】(1)证明：连接DiE,D F,取 的 中 点 为M,连接M E,因为E为 的 中 点，所以EM&BJ/Q D i，且EM=AVBX=C R,所以四边形EMCiQ为平行四边形，所以DiEMG，又因为F为BBi的中点，所

38、以BM的F,月 一BM=C/,所以四边形BMCiF为平行四边形，所以B/7/MCi，所以B/7/A E,所以B,E,%,F四点共面；(2)解：以D为坐标原点，DA,DC,DC1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系,假设存在满足题意的点G,设G(O,O,t),由已知B(1,LO)，E(l,0,l),F(0,l,l),则 品=(-1,1,0),E B=(0,1,-1),FG=(-l,O,t-l).设平面BEF的法向量为=(%i，yi，Zi),i，BMC/为平行四边形，得到B/7/5 E,证明B,E,5，F四点共面；(2)以 D为坐标原点，D A,D C,C D 1 分别为x 轴，y 轴，z 轴

39、建立空间直角坐标系，求出平面B E F,G E F 的法向量,利用 日 2 =0,得到所求.4 2.某机构为了解市民对交通的满意度，随机抽取了 10 0 位市民进行调查.结果如下：回答“满意”的人数占总人数的一半，在回答“满意”的人中，“上班族”的人数是“非上班族”人 数 的*在 回 答“不满意”的人中，“非上班族”占，.(1)请根据以上数据填写下面2 x 2 列联表，并依据小概率值a =0.0 0 1的独立性检验，分析能否认为市民对于交通的满意度与是否为上班族有关联.满意 不满意 合计上班族非上班族合计(2)为了改善市民对交通状况的满意度，机构欲随机抽取部分市民做进一步调查.规定：抽样的次数

40、不超过以凡6 N*),若随机抽取的市民属于不满意群体，则抽样结束；若随机抽取的市民属于满意群体，则继续抽样，直到抽到不满意市民或抽样次数达到时,抽样结束.抽样结束时，记抽样的总次数为随机变量xn,以频率代替概率.若n =5,写出X 5 的分布列和数学期望;请写出X”的数学期望的表达式(不需证明)，根据你的理解说明Xn的数学期望的实际意义.参考公式和数据:a0.10.0 5 0.0 1 0.0 0 50.0 0 1工02.7 0 6 3.8 416.6 35 7.8 7 9 10.8 2 82n(ad-bc)2X=(a+b)(c+d)(Q+c)(b+d)其中九=a +b +c +d.【答案】解：

41、(1)由题意可知满意不满意合计上班族15405 5非上班族351045合计5 05 010 0零假设为为:市民对交通的满意度与是否上班独立，因为 2 =100X05X10-35X40)2=2 5 0 0 川 g 2 8；人 50 x50 x55x45 99根据小概率值a =0.0 0 1的独立性检验，我们推断/不成立，即认为市民对交通的满意度与是否上班有关，此推断犯错误的概率不大于0.0 0 1.(2)。)当n =5 时,Q 的取值为 1,2,3,4,5,由(1)可知市民的满意度和不满意度均为：；所以P(X 5 =1)=%P(X5=2)=P(X s =3)=*，P(X5=4)=,P(XS=5)

42、=,所以X$的分布列为X 512345P121111所以 E X 5 =l x：+2 x 蠢+3x 春+4 x +5 x/=+(ii)E Xn=l x：+2 x*+3 x/+(n-l).7 +n -7 ,|E X n =l x +2 x +3x -+-+(n-l)-+n-静,-得,E Xn=、+/+*+备+(般.备一 5 T)*几,/)所以E Xn-2 -37.当n趋向于正无穷大时，E X为趋向于2,此时E X恰好为不满意度的倒数；也可以理解为平均每抽取2个人，就会有一个不满意的市民.【解析】本题重点考查独立性检验、离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题.(1)根据题意可完善列联表，利用卡方

43、公式求出观测值，对照临界值表即可判断；(2)(。求出X 5的所有可能取值和对应概率，即可得分布列和期望.侬)求出E X”=2 -进而可说明其实际意义.4 3.已知函数f(x)=e x+i+(l-a)x+b.(1)若曲线y=f(x)在(0/(0)处的切线方程为旷=e x,求实数”，人的值；(2)若不等式f(x)0恒成立，求掷最小值.【答案】解：(1)由已知得/(0)=e +b=0,所以b=-e,又/(x)=ex+1+1 a,所以k=f(O)=e+l-a=e,所以a =1.(2)函数/(x)的定义域为R;因为/(x)=ex+1+1 a,若l-a0,即a 0,/(x)在R上单调递增，因为当x 1时，

44、/(x)(1 -a)x+b+1 (1 -a)x+|b|+1,所以取配=一1 一”一1,则 人 沏)0,/(x)在R上单调递增，若不等式f(x)=ex+1+b 0恒成立,则b 0,所以即e的最小值为o；a a(iii)若 1 a 1 时，令(尢)0,解得%ln(a -1)-1,令f(x)0,解得 0恒成立，则/(ln(a 1)1)=2(a -1)4-(1 a)ln(a 1)+b 0,即b Z 2(1 Q)+(Q l)ln(tz 1)所以色 2(1 ,a a，设a -1 =t(t 0),则组二)坟二叫纪。)，则9 )=售，所以当t E (0,1)时，g()0,g()单调递增;所以g(t)g(l)=

45、-1,此时Q=2;即色的最小值为一1;a综上所述2的最小值为-1.a【解析】本题考查导数的几何意义，不等式的恒成立问题，属于较难题.(1)由切线方程可得切点坐标及切线斜率，结合导数的几何意义，即可求解：(2)求导，对a分类讨论：(i)l-a 0,不合题意；(ii)l-a =0,可得b 2 0,进而求解;(iii)l-a 0恒成立得问题，转化为函数的/(x)min 2 0,进而得到a与b的不等式，构造,进而求解即可.4 4.已知P为圆“2+、2一2%-1 5 =0上一动点，点N(-1,0),线段PN的垂直平分线交线段PM于点Q.(1)求点Q的轨迹方程；(2)设点。的轨迹为曲线C,过点N作曲线C的

46、两条互相垂直的弦，两条弦的中点分别为E,F,过点N作直线E尸的垂线，垂足为点H,是否存在定点G,使得GH为定值？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】解：(1)由题意可知圆M的圆心为(1,0),半径为4,因为线段PN的垂直平分线交线段PM于点Q,所以 IQPI=QN,所以|QN|+QM=QP+QM=4,又因为|MN|=2 匕 0)，则a=2,c=1,b=V3,所以点Q的轨迹方程为f +=1.4 3(2)(i)若两条直线斜率均存在，设过点E 的弦所在直线k 的方程为=t y-l(t*0),代入椭圆方程联立得：(3t2+4)y2-6ty-9=0,设4 与椭圆两交点的坐标分别为(乙,

47、丫1),(x2,y2)所 以 为+2=募，所以则&4/-1=儡同理孙丫=品；由对称性可知EF所过定点必在x 轴上，设为7(&,0),显然肝/汴，所以=(盘+x。)，化简得 4(1+t2)=7x0(l+t2),即。=3)若其中一条直线斜率不存在，则直线EF为 x 轴；综上直线EF必过定点7(-,0);取点N与点T 的中点为G,贝 4G(某 0),因为N H 1 E F,所 以 丽,前 =0,所以点H在以G为圆心，|GT|=GH=。为半径的圆上运动，所以存在定点G,使 得 为 定 值.【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系、圆锥曲线中的定点问题以及圆锥曲线中的轨迹问题，属于较难题；(1)可得|QN|

48、+|QM|=QP|+|QM|=4,又因为|MN|=2 4,可得Q的轨迹是以N,M为焦点的椭圆，即点Q的轨迹方程为9 +1 =1.(2)(。若两条直线斜率均存在，设过点E 的弦所在直线k 的方程为x=t y-l(t H 0),代入椭圆方程联立得：(3f2+4)y2-6ty 9=0,可得则&=t 3 七-1=之，同理孙=&吾己,%7=5 奈;再 由 所 方 可 得 久。=7侬)若其中一条直线斜率不存在，则直线EF为 x 轴;直线EF必过定点7(-；,0);取点N与点T的中点为G,贝 4 G（一段,0），因为N H 1EF,所 以 而 前=0,所以点H 在以G为心，GT=|G H|=总为半径的圆上运动，所以存在定点G,使得|GH|为定值.