推荐-CFA考试：投资分析的数量方法 (投资工具).docx

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1、学时 投资分析的数量方法Quantitative Methods for Investment Analysis 投资工具第一章：货币的时间价值Chapter The Time Value of Money 解释利息率是对投资者的不同风险予以回报的实际无风险利率和风险溢价的总和利息率和折现率Interest Rates and Discount Rates货币时间价值概念的根底：收益率rates of return、利息率interest rate、要求的收益率required rates of return、折现率discount rates、时机本钱opportunity costs、通货

2、膨胀inflation和风险risk。货币的时间价值，反映了时间、现金流量和利息率三者之间的关系。投资者偏好现在消费。利息率是投资者推迟现在消费的回报。在确定世界，利息率被认为是无风险risk-free利率。一般是国家的短期债券，如美国的国库券Treasury-bills, T-bills。在不确定的世界，有两个因素影响利息率： 通货膨胀。贷款者承当通货溢价inflation premium和推迟消费的时机本钱。因此，货币的名义本钱nominal cost of money，由实际利率real rate和通货溢价组成。 风险。贷款者还承当了不履行风险default risk。因此，利息率包括：

3、名义的无风险利率和不履行风险溢价。利息率的意义： 收益要求率。即促使投资者放弃现在消费所要求的收益。 折现率利息率和折现率可以交互使用。 时机本钱。即投资者按某一选择行为而放弃其他选择所失去的价值。影响利息率最重要的因素是：资金的供求关系。 计算整笔现金的终值FV和现值PV单一现金流量的终值The Future Value of a Single Cash Flow整笔现金流或lump-sum investment的终值计算公式N的初值为0： FVN PV1 rN 根本概念： 简单利息simple interest，即利息率乘原始本金。 复利compounding，即利息所挣的利息； 复合期间

4、数或投资年数N。 终值因素1rN。单一现金流量的现值The Present Value of a Single Cash Flow 单一现金流量的现值计算公式：PVFVN1+ rN1+rN是现值因素，它是终值因素得倒数reciprocal。 区别设定的年利息率the stated annual rate和实际的年利息率the effective annual rate复合的频率mthe frequency of compounding设定的年利息率stated annual interest ratequoted interest rate。即：在复利情形下，年度中利息支付次数为一次以上利息支

5、付期间少于1年的，金融机构提供的利息率报价不是利息支付期间的期间利息率，而是年度利息率。这个利息率报价即为设定的年利息率，用rs表示。实际利息率EAR，即：在给定设定的年利息率rs和m的情况下，单位货币投资1年N1后所得的终值。在m1时，EAR rs ；在m 1时，EAR rs 。 给定设定的年利息率和复合频率the frequency of compounding，计算实际年利息率。设定的和实际的年利息率stated and effective rates期间利息率the periodic rate与设定的年利息率的关系：期间利息率rsmm为年度内支付利息的次数。实际利息率EAR的计算公式：

6、EAR 1期间利息率m 1 1rsmm 1永续复合时，实际利息率与设定的年度利息率的关系：EAR e rs 1。 在复合期间不是1年的情形下，解决货币的时间价值问题 复合的频率mthe frequency of compounding 年度的复合期间超过1次时，终值的计算公式为：FVN PV1rsmmN 年度的复合期间超过1次时，现值的计算公式为：PV FVN1rsm ( mN ) 永续复合continuous compounding永续复合年度复合期间次数为无限大即上述等式中，m。e( rs N ) 是transcendental number，e 2.712818。那么终值为：FVN PV

7、 e( rs N ) 计算普通年金the ordinary annuity和预付年金annuity due的终值FV和现值PV现金流量系列的终值The Future Value of a Series of Cash Flow 年金annuity：有限系列的现金流系列，且所有现金流系列的价值相等。 普通年金ordinary annuity：普通年金的首次现金流量，发生在一个期间后时间指数t1。 预付年金annuity due：首次现金流量立即支付的年金时间指数t0。 永续支付年金perpetuity：系列无限的现金流系列，且首次现金流量发生在一个期间后时间指数t1。 等值的现金流量equal

8、cash flows 普通年金 等值即每次现金流量的数目相等普通年金的图例。A即年金的数目the annuity amount，它表示每次支付的现金流量的数目。N即支付年金的期间个数the number of time periods。r即各年金支付期间的利息率the interest rate per periods。t0t1；At2；AtN；AA1rA1rN1A1r2A1rN2A1rNA1rPVA 1r1 +1r2 +1rN FV A 1+ rN1 r 等值普通年金的终值计算公式： FV A 1+ rN1 r 系列非等值的现金流量a series of unequal cash flows

9、非等值普通年金的终值计算公式： FV A11+ rN1 A21+ rN2 AN1+ r 现金流量系列的现值The Present Value of a Series of Cash Flow 系列等值现金流量a Series of Equal Cash Flow的现值。系列等值现金流动，是首次支付发生在t1、末次支付发生在tN时的现金流动。其现值PV的计算公式：PVA 1r1 +1r2 +1rN A11+ rN r 预付年金annuity due的现在价值的计算方法。预付年金的现值可以分为两局部，即：现在支付的年金金额及支付N1次的普通年金ordinary annuity的现值。其计算公式为：

10、PV A + A11+ r(N1) r A1+r11+ rN r 计算永续年金perpetuity的现值。系列无限的等值现金流量的现在价值 永续年金 永续年金，是首次支付发生在t1时的普通年金的无限延伸。现值在t0时的现值的计算公式为： PV A 1r t lim A 11r t r Ar t1 t 对货币的时间价值问题，根据给定的相关变量计算未知量t0的现金流动的现值Present Values Indexed at Times Other Than t = 0在将来某时间t 0t 0为首次支付的期间序数开始支付的年金或永续年金的现值，可以表示为其首次支付前的一个期间t 0-1的现值PVto

11、，然后再将该现在价值折算成目前的现值PV0。At0 Btt 0 1 Ctt 0 Dt 永久支付年金的现值：PV=A/r； 首次支付t 0的系列等值现金流量N tt o + 1的现值： PV A 11rN r单一现金流Nt 01的现值：PV= FVN1+ rN利息率和增长率的求解Solving for Interest Rates and Growth Rates 单一现金流量的利息率或增长率用g表示的计算公式：r FVN PV1 N 1 复合增长率compound growth rate，是一系列不同的期间利息率的总体测评。用g1；g2；g n 表示不同期间内的利息率，那么：g 1g11g21

12、g n 1。期间数N的求解Solving for the Number of Periods单一现金流动的期间数的计算公式：N FVN PV 1+ r年金数额A的求解Solving for the Size of Annuity Payments 普通年金t1时的年金的年金数额A的计算公式：A PVr11 rN A FVr1 rN 1 复利年金数额A的计算公式：A PVrsm11 rsm mN A FVrsm1 rsmmN 1 预付年金t = 0时的年金的年金数额A的计算公式：A PVr11 rN 1 r 永续年金的年金数额A的计算公式：A = r PV 解释现金流量的累加原那么additiv

13、ity principal年金数额A的求解Solving for the Size of Annuity Payments累加原那么，即对相同时间点的货币金额可以进行累加或扣除。累加原那么是解决非恒定现进流量uneven cash flows问题的重要方法。等价和累加Equivalence and Additivity在近似恒定的现金流量中的应用近似恒定的现金流量，是指在大多数期间内都能保持现金流量的恒定，但是，因为在极少数期间现金流量不能保持恒定而不能将它视为恒定的现金流量。等价equivalence，即现值和终值等式，是指现值和终值是被时间分割而价值相等的两个量。因此，单一金额或单一现金流

14、量a lump sum可以视为与年金等价，而年金也可以视为是与其终值相等价的单一金额。由此可见，对于现值、终值和现金流量系列，只要三者被定格在同一时间点，那么可以认为它们是等价的。这样对于同一时间点的现金流量就可以适用累加原那么。 计算非恒定现金流量系列uneven cash flow的终值和现值等价和累加Equivalence and Additivity在近似恒定的现金流量中的应用根据Page 35-36的例题可将方法归纳为： 根据近似恒定的现金流量假定一个恒定的现金流量。 根据近似恒定的现金流量和恒定的现金流量的关系，在假定一个或多个现金流量系列。该假定的系列现金流量一般仅在一个期间有现

15、金流量，而其他期间的现金流量为0，因而可以用单一现金流量的现值和终值公式求解。 应用累加原那么求近似恒定现金流量的现值和终值。 能够作出时间直线，指出时间指数和解决有关货币的时间价值问题的实际应用，如大学学费或退休金的储蓄和抵押借款mortgage第二章：现金流量折现的应用Chapter Discounted Cash Flow DCFApplications 计算和解释投资的净现值NPV和内部报酬率IRR现金流量折现的分析DCF Analysis财务决策有三个主要领域： 资本预算capital budget，即对相对长期的投资的资金分配； 资本结构，公司为要进行的投资提供长期资金的抉择； 在

16、投资资本的管理working capital management，即短期资产和短期债券的管理。净现值规那么the net present value rule净现值，即某项投资现金流入的现值获利减去其现金流出的现值本钱。计算NPV的步骤： 识别该项投资所发生的所有现金流量； 判断适合于该投资工程的折现率r或时机本钱； 用折现率计算每一个现金流量的现值现金流入的现值为正、现金流出的现值为负； 求出NPV；净现值规那么的应用： NPV0，那么可进行该项投资； NPV0，那么不可进行该项投资； 两项可选投资，应选取NPV较大者进行投资。NPV的计算公式： NNPV CFt(1r ) t t0CFt

17、 ，即时间t的预期现进流量；N，即投资的方案存续时间the investments projected life；r，资本的折现率或时机本钱。上述各变量的数据要保持相互的匹配。如：在现金流量为年金时，那么r应为年利息率。内部报酬率规那么the internal rate of return rule内部报酬率IRR，即使净现值NPV等于0的折现率。它仅取决于投资的现金流量，而不需要外部的数据。内部报酬率有两个其它的名称：债券得到期收益率yield to maturity for bonds和投资组合的货币权重收益率dollar-weighted rate of return for portf

18、olios。对IRR的解释要注意：即使我们的现金流量方案是正确的，但是，只有在所有暂时的interim现金流量正好以内部报酬率IRR rate进行再投资时，我们才能得到正好与IRR相等的复合收益率compound rate of return。IRR的求解方程为各变量的数据要保持相互的匹配： NNPV CFt(1IRR ) t 0 或 t0 NCF0 CFt(1IRR ) t CF0Investmentt1 IRR规那么：如果方案或投资的IRR大于资本的时机本钱，那么该方案或投资可以接受。如果资本的时机诚或要求报酬率hurdle rate等于IRR，那么NPV等于0。 比拟净现值规那么和内部报

19、酬率规那么内部报酬率方法的有关问题NPV的计算取决于由市场决定的外部的折现率或资本的时机本钱，而IRR不受任何外部利息率的影响。 讨论内部报酬率方法的有关问题内部报酬率方法的有关问题如果投资方案互不依赖即对某工程投资的决策不会影响到另一投资工程，那么按IRR和NPV规那么做出的投资决策是相同的。如果公司不能为所有的投资方案提供资金，那么这两个规那么可能会给出相互矛盾的投资决策。NPV规那么吸收了由市场决定的资本的时机本钱作为折现率，所以NPV就是投资预期的财富增加额。在IRR和NPV规那么相互冲突时，一般使用NPV规那么。 计算投资组合收益率的资金权重和时间权重 投资组合收益的计量portfo

20、lio return measurement 资金权重的收益率dollar-weighted rate of return。投资组合的资金权重收益率，即为投资组合的内部报酬率IRR。其计算可方程求解得到IRR为：PVoutflowsPVinflows。PVoutflows为所有现金流入的现值；PVinflows为所有现金流出现值。 时间权重的收益率time-weighted rate of return。其计算步骤： 在投资组合有任何较大现金流入或流出前，即对投资组合估价，并且根据现金流入或流出的日期将整个的评估期间作为亚期间subperiods。 计算投资组合每个亚期间的期间持券收益率hol

21、ding period return。 复合持有期间收益率HPR，以得到该年的年度收益率即该年的时间权重收益率；组合中的投资超过一年的，那么对年度收益率取几何平均值以得到时间权重的收益率。每一次现金的流入或流出即对投资组合评估，代价太高。实践中常采用近似的方法，即按确定间隔期间对投资组合评估。假定以每月为间隔期间，那么：r tNVE tMVB tMVB t 。NVB t和NVE t表示t月初或月末的市值值用N表示测评期间的不同年度，t表示各年度内的亚期间，r t 表示年度内不同亚期间的持有期间收益率，r N表示测评期间各年度的时间权重收益率，r TW表示所有测评年度时间权重收益率的几何平均值。

22、那么：对年度内的亚期间：r N 1r11r 21r t1。对各年度：r TW 1r11r21r N1N 1。 区别收益率的资金权重和时间权重投资组合收益的计量portfolio return measurement资金权重和时间权重的收益率的比拟： 投资组合的资金权重收益率，取决于投资组合中现金流入或流出的时间和数量。 在投资行业，时间权重的收益率是优先选择，原因有二：它不受投资组合中现金的流入或流出的影响；它计量的是投资组合中1美元的最初投资在整个计量期间增长的复利息率。因此，如果客户在不利的时间向投资组合注入资金，那么会使资金权重收益率有下降的趋势，反之，那么会使资金权重收益率升高。而时间

23、权重收率那么可消除其影响。 计算美国国库券的银行贴现收益率、持有期间收益率、实际年收益率和货币市场收益率。货币市场收益率Money Market Yields货币市场，即风险低、折现性高的短期债务工具debt instruments。有些债务工具是纯折现工具，即利息表现为借贷金额和归还金额之间的差额。如投资者购置国库券的支付低于票面金额face amount，在到期时得到票面金额的折现。 银行贴现收益率或贴现收益率bank discount yield的计算。rBD为年度的贴现收益率；D为货币折扣the Dollar discount，即国库券的面值F与购置价格P的差；t为国库券离到期的天数；

24、F为面值。那么：rBD DF360t贴现收益率对投资者收益的测评没有意义，原因： 该收益率取决于面值而不是购置价格，投资的收益必须参照投资的金额来评估； 该收益率以365天为一年的天数； 贴现收益的年度化仅考虑了单利simple rate，而忽略了复利。为此，由下述三种替代的收益测评方法。 持有期回报率HPYholding period yield的计算。p0即债务工具的最初购入价格；p1即债务工具到期时能得到的价格；D1是债务工具到期时能分配到的现金即所生的利息。那么：HPYp1p0D1p0 。使用这个公式进行计算，要注意： 买进或卖出的价格必须是任何应计利息accrued interest

25、与交易价格的和； HPY是以150天为期间的收益。 实际年收益率EAYeffective annual yield的计算。实际年收益率EAY1HPY365t 1。实际年收益率考虑到了HPY的复利并扩展到1年。贴现收益率小于实际年收益率。 货币市场收益率money market yieldthe CD equivalent yield的计算。假设一年以360天计算，那么该转换使国库券的报价收益率与生息的货币市场工具interest-bearing的收益率报价可相互比拟。 持有期间收益率、实际年收益率和货币市场收益率的相互转换 货币市场收益率Money Market Yields 货币市场收益率与

26、持有期间收益率的转换。一般地，假定360天一年，那么货币市场收益率与年度化的持有期间收益率相等。货币市场收益率rMM HPY360rBD 货币市场收益率与贴现收益率的转换。货币市场收益率rMM 360rBD360trBDrMM rBD(Fp0 ) rMM rBD 计算债券等值收益率bond equivalent yield根本的债券评估Basic bond valuation两类债券： 附息债券coupon bonds，即定期支付券息coupon interest的债券； 零券息债券Zero- coupon bonds或纯贴水债券或不附息债券strips。债券的内部报酬率，即为债券的到期收益率

27、。债券的净现值，是债券的现值以要求的收益率对债券承诺的偿付进行折算与其市场价格的差。债券的价格准确，那么NPV为0；债券被低估，那么NPV为正。债券的三个关键属性： 到期期间term to maturity，到期即发行人支付债券面值par value以回赎redeem债券； 券息； 本金，即面值。券息率coupon rate与本金相乘，可得债券的利息收益。零券息债券和无套利评估方法the arbitrage-free valuation approach不附息债券的利息，等于购价和本金面值的差，因此，可以用整笔金额的计算公式，即：PVFVN1rN；或：r FVN PV1 N 1。债券的面值为F

28、VN ，r是债券的内部报酬率，要与N匹配。债券的等值收益率即为债券的到期收益率YTMyield to maturity。如果M为到期值Maturity或面值；P为购价；m为每年的复利期间数。那么其计算公式为：YTM mMPmN 1 。将公式变形可得债券的购价P的计算公式：P M1YTMmmN 。到期收益率YTM与实际年收益率EAY的换算：EAY1YTMN 1。债券的实现收益取决于：债券至购进日或偿付日的价格升值appreciation；收到的券息；券息再投资能获得的利息。不附息债券的收益仅取决于价格升值，投资者不会得到券息和券息再投资的收益。投资人持有不附息债券获得的收益，等于债券的实际年收益

29、EAY。在固定收益分析中，不附息债券的到期收益率YTM有重要作用。N年不附息债券的YTM称为N年的点利息率spot interest rate，由点利息率和到期收益率组成图像称为点收益率曲线spot yield curve。我们可以点利息率来给复杂的债务工具包括附息债券定价，这种方法称为无套利的评估方法arbitrage-free valuation approach。其方法以附息债券为例：将附息债券的每个现进流到期前每一期间支付券息、到期时的券息和本金看作为相应支付期间的不附息债券，将这些不附息债券的现金流以适当的点利息率予以折算为对应的现值即价格，折算公式为：P M1YTMmmN ，然后求

30、出所有现金流现值的和，即为附息债券的价格。比拟该债券当前的价格和上述计算得出的价格，如存在差额，那么可实现套利。第三章：统计概念和市场收益Chapter Statistical Concepts and Market Returns 区别描述性Descriptive统计推理性Inferential统计。 什么是统计？What is Statistics？统计方法包括： 描述性统计Descriptive statistics，即如何有效地归纳数据，以描述一个大的数据集合的重要方面。 推理性统计Inferential statistics，即如何从实际观察到的较小群体，对大群体进行预测、评估和判断

31、的。推理统计的根底是概率理论Probability Theory。本章的内容是描述性统计。主要关心： 向心趋势central tendency，即数据的中心在何处； 分散性dispersion，即数据从中心扩散的距离； 偏度skewness，即分布是否对称； 峰度kurtosis，即极端结果出现的几率。 群体population和样本sample的区别。 解释参数parameter和样本统计的概念。参数是群体特征的描述尺度；统计是样本特征的描述尺度。通过样本统计sample statistics，可以估算未知的群体参数。 测评刻度measurement scales类型的不同。测评刻度Meas

32、urement Scaleslevels of Measurement为了选择适当的统计方法来归纳和分析数据，应对不同的测评刻度进行区分。 名义刻度nominal scale，即仅对观测对象归类但不排序。 普通刻度ordinal scale，即对观测对象分类归类，并按某些特征对这些类别进行排序。 间隔刻度interval scale，即对观测对象进行归类并对类别排序，而且还保证刻度值之间的差异相等，但是，间隔精度的零点不能反映被测参数值的完全缺乏。因此，刻度值之间能够均衡地相加或相减，但不能地形成比例。 比例刻度ratio scale。 定义和解释频率分布frequency distribut

33、ion。频率Frequency Distributions频率分布Frequency Distributions，是归纳数据的最简单方法之一。它将数据归纳到数字相对较小的一系列间距中，用表格表示这些数据。间距intervals，是观察对象落于其中的一系列值。频率分布，就是间距与相应的频率值组成的图表。建立频率分布表的重要考虑因素，是间距的数量。 定义和解释持有期间收益holding period returntotal return频率分布Frequency Distributions持有期间收益率R t的计算公式：R t P t P t1 D tP t1 。P t为在期间t的期末的市值，P

34、t1为在期间t1的期末的市值，D t为在期间t所得的现金分配。该公式的特点：与时间和货币单位无关。 计算相对频率和累积相对频率cumulative relative frequency。频率分布Frequency Distributions 给定间隔对应的观察对象的实际数据，就是绝对频率absolute frequency。 相对频率relative frequency，就是用绝对频率与观察对象总数的比。 累积绝对频率和累积相对频率，就是将绝对频率或相对频率依次累加。 柱状图表histogram或频率多边形polygon表示数据的特征。图表表示Graphic Presentation 柱状图表

35、The HistogramBar Chart柱状图表Histogram，是频率分布Frequency Distributions的图表等价形式。每一柱状的宽度，就是频率分布的间距interval。柱状的高度表示落于相应间隔的观察对象的频率。 频率多边形和累计频率分布The Frequency Polygon and The Cumulative Frequency Distribution频率多边形，即多边形每一顶点的横坐标为每一间距的中点，纵坐标为对应间距的绝对频率，然后将相邻的点用直线连接起来。另一个线条形式的图表是累计频率分布。这种图表不仅能描述累计绝对频率分布，而且能描述累计相对频率分

36、布。 计算和解释向心趋势参数measures of central tendency。向心趋势参数Measures of Central Tendency向心趋势标度，就是通过找到一个单一的点来描述一组观察对象。通常的向心趋势尺度包括：平均值mean、中值median、加权平均值weighted mean、众数mode、几何平均值geometric mean。定位参数location parameters包括：向心趋势标度Measures of Central Tendency；四分值quartiles；五分值quintiles；十分值deciles；百分值percentiles；其他。 群体

37、平均值mPopulation MeanAverage的计算方法： Nm X iN i1 样本平均值The Sample MeanAverage的计算方法： nX X in i1算术平均值the Arithmetic Mean的特征： 算术平均值相当于一个物体的重心。在一条直线上标出观察对象的值，再将每个观察对象的频率用柱状图表示柱体高度代表频率，那么由此组成的杠杆，只有当支点在算术平均值的位置时，才会保持平衡。 观察对象与平均值的差X iX，即为观察对象的分布偏差deviation。所有观察对象偏差的和为0。相对算术平均值的偏差说明了风险。 它容易受到极端值的不适当影响。 对特定群体，算术平均

38、值只有一个。 中值The Median将观察对象按升序获降序排列。 如果观察对象的数量为奇数，那么中值为序数在n12 位置的观察对象的值； 如果观察对象的数量为偶数，那么中值应在序数为n2 和 n22 的位置，求这两项的平均值，可得中值。中值不受到极端大或小值的影响。 众数The Mode众数即分布中出现频率最多的的值。某个分布可能有多个众数或没有众数。股票收益数据和其他呈连续分布的数据，可能没有众数。然而，把这些数据按一系列的间距分组，就会发现最高频率间距，这就是“众数间距modal interval。Mode是向心趋势标度中唯一能够与名义数据nominal date连用的标度。 四分值 、

39、五分值、十分值、百分值Quartiles、Quintiles、Deciles、Percentiles四分值 、五分值、十分值、百分值四分值 、五分值、十分值和百分值，是与中值median相对应的。在一个有n个按升序排列的元素的系列中，P y为第y个百分值，L y为第y个百分值P y在升序排列系列中的位置，那么：L y yn1100计算百分值的步骤： 如果L y是一个整数i，那么P y X i ，X i是在第i个位置的值； 如果L y不是一个整数，那么取与L y 两边相邻的值Xi 、X j ，i、j 在L y 的两边。那么：P y Xi L y iX jXi。 计算和解释：加权平均值、范围、平均

40、绝对差、方差和标准差。加权平均值The Weighted Mean加权平均值能够对不同的观察对象给予不同的权重，算术平均值那么是对所有观察对象都同等对待。一系列的观察对象X1，X2，X n ，它们对应的权重分别是w1，w2，wn ，那么加权平均值的计算公式是： nX w w i X i i1几何平均值The Geometric Mean一系列观察对象X1，X2，X n的几何平均值G的计算公式X n0： nG X1 X2 X n 将等式变形得：nG X in i1当某个观察对象为负数时，收益率的几何平均值RG为：TRG 1+R11+R21+RT 1 1+R t 1/T 1 几何平均数与算术平均数

41、的区别： 几何平均数永远小于或等于算术平均数。 一般地，当我们需要计算收益率或增长率的复合利息率compound rate时，使用几何平均数。分散性参数及其应用Measures of Dispersion and Their Application分散性的意义：它表示收益是围绕平均值的分散性，分散性说明的是风险。分散性参数有：范围range、平均绝对差mean absolute deviation、方差variance、标准差standard deviation。这些参数都是绝对分散absolute dispersion参数。 范围The Range 范围可用间距或比例数据计算。范围即数据集合中的最高值与最低值的差额。Range Maximum Value Minimum Value 范围能反映极端大值和极端小值的结果，而不能描述分布的情况。 平均绝对差Mean Absolute Deviation的计算公式X为算术平均数：n