2022届高三数学一轮复习—解三角形四—范围、最值问题-近8年高考真题分类汇编—【含答案】.pdf

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1、专题17一解三角形（4）一范围、最值问题说明：1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何有关的实际问题高频考点：1、边角的求解；2、判断三角形的形状；3、求与面积、范围有关的问题；4、解决平面几何图形问题；5、解决实际问题。高考中，利用正弦、余弦定理解三角形问题是必考的，题型较多，有基础题，比如直接利用定理解三角形，也有难题，比如求范围的问题，出题比较灵活，一些同学总是掌握的不是很好，下面就近几年高考题，给大家分类整理各种题型，希望对大家有所帮助。1、典 例 分 析题型四：范围、最值问题1.（江苏）在 A 48c

2、中，角4,B,C 所对的边分别为a,b,c,ZABC=120,N/8C 的平分线交4 c 于点。，且则4a+c 的 最 小 值 为.2.（重庆）已知 AJ8c 的内角 B,C 满足sin2/+sin（4-8 +C）=sin（C 4-8）+；,面积S满足K S W 2,记“，b,c 分别为N,B,C 所对的边，在下列不等式一定成立的是（）A.bc（b+c）8 B.ab（a+b）16/2 C.D.12ahc243.（浙江）如图，某人在垂直于水平地面4 8 c 的墙面前的点力处进行射击训练，已知点/到墙面的距离为Z8,某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点尸，需计算由点/观察点尸的

3、仰角。的 大 小（仰角。为直线Z P与平面/8 C 所成的角）.若/8 =1 5 机，A C =25m,A B C M=3 0 ,贝 U t a n，的最大值是()4 7 3丁4 .（江苏）若 A 4 8 C 的内角满足s i n 4+0 s i n 8 =2 s i n C ,贝 I c o s t?的最小值是.5 .（浙江）在锐角A 4 8 C 中，角4,B,。所对的边分别为a,b,c .己知2b s i n A-拒a=0 .（I ）求角8的大小；（I I ）求 c o s 4 +c o s 8 +c o s C 的取值范围.6 .(新课标 H)A/L S C 中,s i n2 J-s i

4、 n2 5-s i n2 C =s i n B s i n C .(1)求 Z ；(2)若 4 C =3,求&4 8 C 周长的最大值.二、真题试卷集训I.（北京）在 A48c 中，a2+c2=62+42ac.（I）求 N 8的大小；（II）求 Vcos4+cosC 的最大值.2.（湖南）设A48C的内角4、B、C 的对边分别为a、b、c,a=6 ta n 4,且 B 为钝角.（I）证明：B-A =-；2（II）求 sin4+sinC 的取值范围.3.（江西）在 A 48c中，角，,B,C 所对的边分别为a,b,c,己知cos C+（cos J -sin/4）cos 5=0.（1）求角8 的大

5、小；（2）若a+c=l,求b 的取值范围.4.(重 庆)在 A 48c中，内角/、B、C 的对边分别是。、b、c且。2 =b2+c2+币 b c .(I)求/；(H)设 0=百，S 为A 48c的面积，求 S+3cos8cosc的最大值，并指出此时8 的值.5.(福建)如图，在等腰直角AOP0中，/尸。=90。，。尸=2&,点M在线段尸0 上,(1 )若O M =逐，求 的 长：(II)若点N 在线段A/Q上，且 NMON=30。，问：当NPOM取何值时，AOMN的面积最小？并求出面积的最小值.6.(新课标II)A 48c在内角4、B、C 的对边分别为a,b,c,己知a=6cosC+csin

6、B.(I)求 5；(I I)若6=2,求 AA8C面积的最大值.典例分析答案题型四：范围、最值问题1.（江苏）在ZU3C中，角 4,B,C 所对的边分别为a,h,c,N/8 c=120。,的平分线交XC于点Q,且 8。=1,则4 a+c 的 最 小 值 为.分析：根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1 的代换进行求解即可.解答：解：由题意得L csinl20=asin60+Lsin60,2 2 2即 ac=a+c,当且仅当 =，即c=2 a时，取等号，a c故 9.点评：本题主要考查基本不等式的应用，利 用 1 的代换结合基本不等式是解决本题的关键.2.(重庆)已知 A48c 的内角/,B

7、,C 满足sin24+sin(/-8 +C)=sin(C-Z-8)+/,面积S 满足K S W 2,记“，b,c 分别为4,B,C 所对的边，在下列不等式一定成立的是（）A.bc(b+c)8B.ab(a+b)16/2 C.6(。庆工12D.124a6c 24分析：根据正弦定理和三角形的面积公式，利用不等式的性质进行证明即可得到结论.解答：解：A4BC 的内角 4,B,。满足sin24+sin(/l-8+C)=sin(C-4 一8)+，sin 2A+sin 2B=sin 2C+，2sin 2A+sin 28+sin 2C=22 sin A cos A+2sin(i5+C)cos(i?-C)=,2

8、sin A(cos(B-C)-cos(B+C)=；,化为 2 sin A-2 sin B sin(-C)=；,，sin J sin 5 sin C=-.8设外接圆的半径为H,由正弦定理可得：，一=丝=上=2H，sin A sin B sin C由 S=absinC,及正弦定理得 sin Asin BsinC=-r=-,2 2R2 8即收=4s,面积S 满足K S abc 8，即 bc(b+c)8,正确，B.ab(a+b)abcS,即 a6(a+6)8,但而(a+6)16应,不 一定正确,故选：A.点评：本题考查了两角和差化积公式、正弦定理、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方

9、法，考查了推理能力和计算能力，属于难题.3.(浙江)如图，某人在垂直于水平地面/8 C 的墙面前的点/处进行射击训练，已知点/到墙面的距离为Z 8,某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点尸，需计算由点N观察点P 的仰角。的大小(仰角0 为直线/P 与平面4 8 c 所成的角).若 49=15机，AC=25m,ZBCM=30,贝 U tan，的最大值是()1.-4-7-9-3-。孚分析：在直角三角形N8C中，由与N C的长，利用勾股定理求出8 c 的长，过 P 作PPPP BC,交BC于点、F ,连接力尸，利用锐角三角函数定义表示出tan6=，设APBP=m,则CP，=2

10、0-?，利用锐角三角函数定义表示出尸产，利用勾股定理表示出A P,表示出tan。，即可确定出tan。的值.解答：解：v AB=5cm,AC=25cm,ZABC=90,/.BC=20cm,PP过 p 作尸p，_L B C,交BC于F ,连接/P,则 tan(9=，AP设 BP=x,则CP=2 0-x,由 NBCM=3 0 ,得 PP=CP tan 30。=日(20-x),在直角 A48P 中，AP=V225+x2,tan。=73 20-x3/225+x2令 白=2 0 r ,则函数在x e0,20单调递减，V225+X2，x=0 时，取 得 最 大 值 为 辿=迪，45 9若 P，在 C8 的延

11、长线上，PP=CP tan 30=-(20+x),在直角 A489 中，AP=V225+X2,tan=.-2-%3 V225+X2令(2 0 +x)：,则，=o 可得工=竺时，函数取得最大值8,225+x2 4 9则 tan。的最大值是辿.AC点评：此题考查了正弦定理，锐角三角函数定义，以及解三角形的实际应用，弄清题意是解本题的关键./7_ 54.（江苏）若A/48c的内角满足sin/+&sin 8 =2 s in C,则cosC的 最 小 值 是 _分析：根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式即可得到结论.解答：解：由正弦定理得a+J 5b=2c,得c=+2 2 2由余弦定理得cosC=0-

12、c2aba2+b2-(a +用 la2+-b2-a b_4 二 4 2 22ab 2abJ 2 *2 v J yj Z7 +/丁手壶迎一五-lab T，lab 4当且仅当且a=时，取等号，2 2故如 二 正 W c o sC v l,故cosC的最小值是逆二4 4故 县 乌4点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，结合基本不等式的性质是解决本题的关键.5.（浙江）在锐角A/18C中，角 力,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知2/sin A-y/ia=0.（I）求角B 的大小；（1 1 ）求cosN+cos8+cosC 的取值范围.分析：（I）根据正弦定理可得sin8=且，结合角的范围，

13、即可求出,2（II）根据两角和差的余弦公式，以及利用正弦函数的性质即可求出.解答：解：（I）v 2ftsin A=y/3a,2 sin 8 sin 4=G sin/,sin/w 0,sinfi=2 AABC为锐角三角形,（ID .ZU3C为锐角三角形，B=-f3:.C=-A，34 D k 4 n 八 万,1 .V3.1 1 ,/3.1 /4、1/.cos A+cos B+cos C=cos A+cost-A)+cos =cos A cos A+sin A+=cos A+sin A+=sin(J+)+3 3 2 2 2 2 2 2 6 2A 48c为锐角三角形，0力 工，0 C-,2 2解得乙/

14、二6 27 T ,开 2%一 4+一 3 6 3VI2GTvsin(4+sin(/4+)+1 4 32 6 2 2/.COS A+COS B+COS C 的 取 值 范 围 为,-1.点评：本题考查了正弦定理，三角函数的化简，三角函数的性质，考查了运算求解能力和转化与化归能力，属于中档题.6.（新课标 H）A48c 中，sin2 A-sin2 -sin2 C=sinsinC.（1）求 Z；（2）若 8C=3,求 A4 8 c 周长的最大值.分析：（1）运用余弦定理和特殊角的三角函数值，可得所求角；（2）方法一、运用正弦定理和三角函数的和差公式，结合余弦函数的图象和性质，可得所求最大值.方法二、

15、运用余弦定理和基本不等式，即可得到所求最大值.解答：解：（1）设A48C的内角Z,B,。所对的边分别为a,b,c,因为sin?-sin2 5-sin2 C=sinBsinC，由正 弦 定 理 可 得/一/-。2=A,即为+c2-a2=-bc,r 2.2 _ 2由余弦定理可得cos A=2bcbe2bc2由0 4%，可得4=；3(2)由题意可得。=3,-r-T _ _.7T -、几 c 7T.,1 .7C.7C又 B+C=,可设 B=-d,C=卜 d,-d/j.6另解：a=3,A=,又/=+c，2-2bccos4,3,9 =从+历=3 +c)2 _ bcb+c)2-(/+c)2,4由6+c 3,

16、则b+cW2G(当且仅当6=c 时，=”成立)，则A B C 周长的最大值为3+2石.点评：本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考查三角函数的恒等变换和图象与性质，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题.真题试卷集训答案1.(北京)在 A48C 中，a2+c2=b2+42ac.(I)求 N 8的大小；(II)求 JcosN+cosC 的最大值.解：(I).,在 A/18C 中，a2+c2=b2+y/2ac.：.a2+c2-h2=41ac.a2+c2-b2 Jlac 应.cos B=-=,2ac 2ac 2:.B =-4c os正2z+V4J=sncc os ic o2s-2(II)由(/

17、)得：C=A,V2cosA+厂 厂=yf2 cos A-五 A=cosZ+2=sin(4+),/A G(0,),A+e(,71),4 4故当Z+?=1 时，sin(Z+?)取最大值1,即/cos4+cosC的最大值为1.2.(湖 南)设 2MBe的内角力、B、。的对边分别为。、b、c,a=6 ta n 4,且 8 为钝角.(I)证明：B-A=-；2(II)求 sin4+sinC 的取值范围.解：(I)由=从211/和正弦定理可得任且=q=也，cos A b sin 8sin B=cos A,即 sin B=sin(+A)又3 为钝角，1+/(,兀),:.B=F A f B A=一；2 2JT

18、rr(II)由(I)知。=%一(4+8)=1 一(4+5 +4)=,-2 4 0,T T T TA G(0,),sin 力 +sin C=sin 4+sin(y-2A)=sin力 +cos2J =s i n+1 -2sin2 A1 9=-2(sin A-)2+-,/A G(0,)，0 sin A ,4 2由二次函数可知-2(sin -)2+-sin+sinC 的取值范围为(-相，I13.(江 西)在 2M3 C 中，角4,B,。所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(cosZ-VJsin A)cosB=0.(1)求角8 的大小；(2)若 a+c=l,求6 的取值范围.解：(1)由已知得：-c

19、os(/+5)+cosNcosB-JisinZcosB=0,即 sin 4 sin 8-百 sin A cos 8=0,sin Z w 0,/.sin 8 一 百 cos 8=0,艮|J tan 8 二百，又8 为三角形的内角，则 8=工；3(2)方法一：a+c=,即 C=1-Q,cosB=,2由余弦定理，-b2=a2+c2-2ac-cosB,即 b2=a2+c2-a c=(a c)2-3ac=1 -3Q(1-a)=3(-,*/0 a 1 ,-b2 1 ,则一W bl.4 2 、的取值范围为 g,1).方法二：a+c=l,B P c=1 -a,cos B=f2由余弦定理，得b?=a2+/-2a

20、c cosB,即 b2=a2+c2-a c=(a+c)2-3ac=1 -3ac l-3(空 2=1-，2 4 4二 又 b a+c=1 ,/.&b?sn.asi nC=3si n5 si nC ,2 2 si n 4则 S +3c os5 c osc =3(si nBsinC+c osBc osC)=3c os(B-C),则当8-C=0,即5 =。=巳二且=二时，S +3c os8 c osC取最大值3.2 125.(福建)如图，在等腰直角A O P。中，Z P O Q =9 0 ,。尸=2近，点A f在线段P。上,(I )若=遥，求尸例的长;(I I )若点N在 线 段 上，且NMON=30

21、。，问：当NPOM取何值时，AOWN的面积最小？并求出面积的最小值.解：(I)在尸中，Z 0 P M=4 5 ,0 M =亚，0尸=2 0,由余弦定理可得，O M2=O P2+M P2-2x OP.M P cos 4 50,解得PM的长为1或3；(I I )设N P O M =a,0%a 60 ,在X O M P中，由正弦定理可得:O M 0 Psin Z O P M sin Z O M P 。尸 si n 4 5 si n(4 5 0 +a)日 工 田 c z 0 si n4 5。尸 si n 4 5 0同理，O N =-=-,si n(75 +a)si n(75 +a)故 SM W =M，

22、N si n Z M O N1 O P 2s 就 2 4 5。_ x _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _4 si n(4 5 +a)si n(75 0 +a)_ 1si n(4 5 +a)si n(4 5 +a +30 )/q Isin(45+a)sin(45+cr)+-cos(450+a)1-1-sin2(45+a)+sin(45+a)cos(450+a)_ 1 _-瓦6_+sin 2a+cos 2a4 4 41亍+sin(2a+30。)因为 0WaW60。，所以 30飞2 a+30飞150。，所以当a =30。时，sin（2a+30。）的

23、最大值为1,此时，AOMN的面积最小，面积的最小值8-46.6.（新课标H）A 48c在内角4、B、C 的对边分别为a,b,c,已知a=b cos C+csin B.（【）求 8；（II）若 6=2,求A 45c面积的最大值.解：（I）由已知及正弦定理得：sin/1=sincosC+sinsinCsin A-sin(5+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,/.sin B=cos B,即 tan 8=1,8 为三角形的内角,-4H)SMBC=L esin 此线c24由已知及余弦定理得：4=/+C2-2accos2ac-2ac x,4 24整理得：=，当且仅当a=。时，等号成立,2-V 2则ZU8C面积的最大值为l x 巫 x=1 x 五 x(2+V5)=亚+1.2 2 2-V2 2