2021年高考【热点·重点·难点】专练：热点06立体几何（解析版）.pdf

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1、热点0 6立体几何，命 题 襄 豢）立体几何一直在高中数学中占有很大的分值，未来的高考中立体几何也会持续成为高考的一个热点，文科高考中立体几何主要考查三视图的相关性质利用，简单儿何体的体积，表面积以及外接圆问题.另外选择部分主要考查在点线面位置关系，简单几何体三视图.选择题主要还是以几何体的基本性质为主，解答题部分主要考查平行，垂直关系以及简单几何体的变面积以及体积.本专题针对高考高频知识点以及题型进行总结，希望通过本专题的学习，能够掌握高考数学中的立体几何的题型，将高考有关的立体几何所有分数拿到.【满分技巧】基础知识点考查：一般来说遵循三短一长选最长.要学会抽象问题具体会，将题目中的直线转化

2、成显示中的具体事务，例如立体坐标系可以看做是一个教室的墙角有关外接圆问题：一般图形可以采用补形法，将几何体补成正方体或者是长方体，再利用不在同一个平面的四点确定一个立体平面原理，从而去求.内切圆问题：转化成正方体的内切圆去求.求点到平面的距离问题：采用等体积法.求几何体的表面积体积问题：应注意巧妙选取底面积与高.【考查题型】选择，填空，解答题【限时检测】（建议用时：90分钟）一、单选题1.（2018 上海高考真题）九章算术中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设 A 4 是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以A 4 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（

3、）A.4 B.8 C.12 D.16【答案】D【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案.【详解】根据正六边形的性质，则AIABBI,Di-AIAFFI满足题意,而 C l,E l,C,D,E,和 D 1一样,有 2 x 4=8,当A i A C G为底面矩形，有4个满足题意，当A i A E E i为底面矩形，有4个满足题意，故有 8+4+4=1 6故选D.【点睛】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中档题.2.（2 0 2 0上海虹口区高三一模）在空间，已知直线/及不在/上两个不重合的点A、3,过直线/做平面a,使得点4、B到平面a的距离相等，则这样的平面a的个数不

4、可能是（）A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个【答案】C【分析】分情况讨论可得出.【详解】（1）如图，当直线A3与/异面时，则只有一种情况；A,B（2）当直线A3与/平行时，则有无数种情况，平面a可以绕着/转动;（3）如图，当/过线段A3的中垂面时，有两种情况.B3.(2020上海高三一模)如图，在正四棱柱ABC。A 4 G。中，底面边长A3=2,高4A =4,E 为棱A A的中点.设4 4)=a、4 B E D =。、N B1ED=y,则夕、0、/之间的关系正确的是().A.a-y 6 B.y a 0 C.6 y a D.a 0 y【答案】B【分析】求出a、B、/的 大 小即可求解.【详

5、解】由题意可得N84O=a=2，27t连接B D，则B D E为等边三角形，所以N B E D=。=，连接4。，则BQ=6+2 2+42=2瓜,B E =D E =V22+22=2 0，取 的 中 点。，连接 E。，则4 0 =6，E O =y/6 =y2.瓜所以ta n/用EO=G，所以/月=即 N4EO=7=T，所以7。夕故选：B4.已知长方体A 3 C O-A 4 a A，下列向量的数量积一定不为0的 是（）A.AB AD B.ADB。C.BD】BC D.BDAC【答案】C【分析】利用正方体几何性质计算出数量积为零的选项，根据长方体的性质证明数量积一定不为零的选项.【详解】当长方体ABC

6、。A g G A为正方体时，根据正方体的性质可知：AB 1 A R,AD,1 6 c BD AC,所以AB“=O、AD-BC=。、BD-AC=O.根据长方体的性质可知：BC1 CD,所以8 A与8。不垂直，即BC 定不为0.故选：CGc5.（2020.上海高三一模）已知正方体ABC。-A蜴G A ,点。是棱C g的中点，设直线A 8为。，直线AA为人对于下列两个命题：过点尸有且只有一条直线/与4、匕都相交；过点P有且只有一条直线/与、6都成45角.以下判断正确的是（)A.为真命题，为真命题B.为真命题，为假命题C.为假命题，为真命题D.为假命题，为假命题【答案】B【分析】作出过P与两直线相交的

7、直线/判断：通过平移直线m b,结合异面直线所成角的概念判断.【详解】解：直线A8与 是 两 条 互 相 垂 直 的 异 面 直 线，点P不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：取8B1的中点Q,则且P Q=4 D i,设4 Q与A8交于E,则点4、Q、E、P共面,直线EP必与4 2相交于某点尸，则过尸点有且只有一条直线E尸与。、人都相交，故为真命题；分别平移。，b,使。与人均经过P,则有两条互相垂直的直线与a,人都成4 5 角，故为假命题.二为真命题，为假命题.故选：B.【点睛】本题考查立体几何图形中直线和平面的相交、平行、垂直的性质，体现了数形结合的数学思想，是中档题.二、填空题6.（2

8、 02 0 上海青浦区高三一模）圆锥底面半径为1 c m,母线长为2 c m,则其侧面展开图扇形的圆心角6=.【答案】兀；【分析】根据圆的周长公式易得圆锥底面周长，也就是圆锥侧面展开图的弧长，利用弧长公式可得圆锥侧面展开图扇形的圆心角的大小.【详解】因为圆锥底面半径为1 c m,所以圆锥的底面周长为2 4 c m,则其侧面展开图扇形的圆心角。=2工=7，2故答案为：兀.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关圆锥侧面展开图的问题，解题思路如下：（1）首先根据底面半径求得底面圆的周长；（2）根据圆锥侧面展开图扇形的弧长就是底面圆的周长，结合母线长，利用弧长公式求得圆心角的大小.7.（2 02 0上海闵

9、行区高三一模）如图，已知正四棱柱A B C。AgGQ的底面边长为2,高为3,则异面直线A4与BD,所 成 角 的 大 小 是.分析根据A 4,/A ,得到N D.B异 面 直 线 与 所 成 的 角，然后在R t A D D.B,利用正切函数求解.【详解】因为A&/O2，所以异面直线AA与BDi所成的角，在正四棱柱A 6 C D 44GA的底面边长为2,高为3,所以 t a n N O R B =述,DD1 3T T因为 NOR8e（0,5）,所以 4 D D、B=a rc t a n ，故答案为：a rc t a n久 238.（2 0 1 9 上海市建平中学高三月考）某几何体由一个半圆锥和

10、一个三棱锥组合而成，其三视图如图所示（单位：厘米），则该几何体的体积（单位：立方厘米）是.正视图 向视图 的视图T T【答案】-+12【分析】根据三视图确定出三棱锥的底面是一个等腰直角三角形且直角边长度都 是 应，高为3；半圆锥的底面是半径为1 的半圆，高为3；据此计算出该儿何体的体积.1（近X近、一【详解】由三视图可知，三棱锥的体积：v=-x、x 3 =l;半圆锥体积：3 I 2 JV =xlx（l x l x -）x 3 =1,所以总体积为：1+1,故答案为-H 1 .2【点睛】本题考查空间几何体的体积计算，难度较易.计算组合体的体积时，可将几何体拆分为几个容易求解的常见儿何体，然后根据体

11、积公式完成求解.9.（2 0 2 0上海高三其他模拟）如图直三棱柱A B B i-D C C i中，B B i l A B,A B=4,B C=2,C C i=l,D C上有一动点P,贝必A P G周长的最小值是.【答案】5 +V 2 1试题分析：要求A z i产G周长的最小值，因边xq =j4+2?+F=、再为定值，只要求另两边之和的最小值，因两点直线线段最短，所 以/产+尸G的最小值为J+（2 +1）2 =5.因此A A P C i周长的最小值是5 +7 2 1.考点：棱柱的相关知识.1 0.（2 0 2 0上海高三一模）已知母线长为6 c m的圆锥的侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的底面半

12、径为c m.【答案】2【分析】设底面半径为 由两个面积的关系可得底面半径的值.【详解】解：设底面半径为r,则由题意，可得3 7 1a=!X 2%r X 6 ,解得厂=2，2故答案为：2.【点睛】本题考查圆锥的侧面积及圆的面积公式，属于基础题.1 1.（2 0 2 0上海高三其他模拟）已知圆锥的母线长为/,过圆锥顶点的最大截面三角形的面积为2，则此圆锥底面半径r与 母 线 长/的 比/的 取 值 范 围 是.【答案】也,1）2【分析】先判断两条母线的夹角6=9 0时最大截面三角形的面积 为:广，再 建 立 不 等 式4 2/和厂/，最后求出，的取值范围即可.【详解】解：过圆锥顶点的截面三角形的面

13、枳：S =-/si n （。为两母线的夹角），2因为过圆锥顶点的最大截面三角形的面积为L/C即两条母线的夹角。=9 0时的截面面积，2此时底面弦长为J 5/,所以J 5/4 2 ，又 r /，所 以 立 /2 ,连接CF，AC=B C =2,尸为A 3的中点，Z A C B =9 0，：.C F A B,且=夜，2的，平面 A B C,b u平面 A B C，C F I A A ,.7?，平 面 叫g 8,所以 VJEFBB1A=IS五 边 形EFBB1At，CF=1X7正X&=弓.【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直

14、线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是（0,、，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角.1 8.（2 0 2 0.上海大学附属中学高三三模）如图，正四棱锥产一 A B C。中.（1）求证：平面 PAC；（2）若A B =2，V p AB PB-,2 +2 =/2 ,则 尸A B与P 3 C为边长是2的正三角形，取P B的中点E，连A E,CE，则A E _L P 3，C E 工P B，N A E

15、 C是.面角的平面角,/A 3 +3 8 12或=叁及而、【点睛】本题主要考查线面垂直的证明以及二面角的求解，考查了正四棱锥的性质，属于中档题.1 9.（2 0 1 9上海市建平中学高三月考）如图：四面体A 3 C D的底面A B C是直角三角形，A CBC,A C =3,BC=4,/M J _平面A B C,0 4 =5,E是8 0上的动点（不包括端点）.（1）求证：A E与8 C不垂直；r）p（2）当AELOC时，求 一 的值.EB2 5【答案】（1）证明见解析；（2）.9【分析】（1）利用反证法，先假设4 E与8 c垂直，然后根据条件推出与题设矛盾的结论，即可证明出A E与6 C不垂直；

16、（2）先作辅助线EFV/BC，利用A E L O C以及3C1平面D 4C得到）C_L平面A E b，由此得到DE DFA F D C,从而确定出尸点位置，再 由 匕=芸 得 到 结果.EB FC【详解】（1）假设因为0A_L平面A B C,所以Z M L 5 C,且DA AE=A,所以BC_L平面D4E,又因为A B i平面ZME，所以3C_LAB,乂因为由条件可知8C L A C，所以BC_LAB不成立，故假设不成立，所以AE与BC不垂直；（2）过E作E F/B C,交D C于F，连接A E，因为 AC_L3C,D A 1B C fl DA AC=A,所以 8C_L 平面 R 4 C，因为

17、EF/BC ,所 以 昉，平面D 4 C,所以E E L O C，又因为 A EJ.D C,EF 工 D C，EF AE=E,所以。C_L 平面 AE/L 所以 O C L A E，又cos ZADC-石亍/34,所以 cos NADF-cos ZAD C =；=AD V34e r所,以.Dp1F1r =25,所以FC 二9 次二，所以D.F.25 所1以U 由,相似可知 DE=DF 25.V34 V34 FC 9 EB FC 9【点睛】本题考查空间中的垂直关系的判断与证明，难度一般.空间中的不平行、不垂直关系的证明，如果正面证明比较麻烦，可采用反证法去证明.20.（2020上海市七宝中学高三

18、其他模拟）如图，四边形ABBM是圆柱。01的轴载面，钻=4,。=2,T T T T以圆柱上底面为底面作高为2的圆锥PO1，c、G分别在AB、A 4上，ZAOC=,4。=：.(1)求这个几何体的表面积和体积；(2)求二面角Q AG c的余弦值./I-3 2 1【答案】表 面 积 为(1 2 +4,2)万，体积为二 乃；(2),7 3 也 _2 6【分析】(1)计算出圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式和圆柱的侧面积、底面积公式可计算出几何体的表面积,结合柱体和锥体的体积公式可求得几何体的体积：(2)以点0为坐标原点，O A,0 C、0尸所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系。一孙z,利用空间

19、向量法可求得二面角。-A C -c的余弦值.【详解】(I)由题意可知，圆柱的底面半径为r=2,2因为p。为圆锥的高，且PQ=2,所以，圆锥的母线长为尸a =JPO；+尸=20，又。=2,因此，该几何体的表面积为S=;TX22+2乃x 2 x 2 +乃X2 JEX2=(12+4A/E)乃.I 3 2该几何体的体积为V=x 22 x 2d 一XTTX22 X 2-7 T；3 3(2)以点。为坐标原点，0 4、0 C、0尸所在直线分别为X、y、Z轴建立如下图所示的空间直角坐标系。一 年，则点Q（0,0,2）,A（2,0,2）,G（1，G，2），C（0,2,0）,设平面A C G的一个法向量为z=（x

20、,y,z）,A G=（4。=（一2,2,-2）,m-Z l j C,=0m-AiC=0一 元 +Gy=0 2 尤 +2y 2z =0,令 =则y =l,z =1 V s ,所以，平面4 C G的一个法向量为m=易知平面0 4 G的一个法向量为=（o,o,i），c o s =m-n _ 1-V 3咖 J(百+廿+(1-6),16-1，8-2 6由图象可知，二面角。-A C-c为锐角，它的余弦值为【点睛】本题考查组合体的表面积与体积的计算，同时也考查/利用空间向量法计算二面角的余弦值，考查计算能力，属于中等题.21.（2020上海高三其他模拟）如图，已知。0的直径AB=3,点C为。0上异于A,B的

21、一点，V C L平面A B C,且V C=2,点M为线段VB的中点.VM（1）求证：BCJ_平面VAC；TT（2）若直线A M 与平面VAC所成角为一.求三棱锥B-ACM的体积.4【答案】（1）样见解析；（2）走试题分析：（1）由线面垂直得VCJ_BC,由直径性质得AC_LBC,由此能证明BC_L平面VAC.（2）首先由（1）作出直线A M 与平面VAC所成的角：取 VC的中点N,连接MN,A N,则 MNB C,由（I）得 BC71_L平面V A C,所以MN_L平 面 V A C,则/MAN为直线A M 与平面VAC所成的角.即/M A N=,所以4MN=AN；这样就可求出AC的长，且=，

22、V T B C=S/“-N C 而求得体积.-3试题解析：（1）证明：因为VC L平面ABC,B C u 平面A B C,所以V C LB C,又因为点C 为圆O 上一点,且 AB为直径，所以AC1.BC,乂因为VC,A C u平面VAC,VCCAC=C,所以BCJ_平面VAC.（2）如图，取 VC的中点N,连接MN,A N,则 MNB C,由（D 得 BC_L平面V A C,所以MNJ_平面V A C,则/M A N 为直线AM 与平面VAC所成的角.即/M A N=-,所以MN=AN；4令 AC=a，则 BC=后 3MN=的 一/2因为VC=2,M 为 VC中点，所以A N=Jq 2+,所

23、以,_ 9 ；a=Jq 2+1，解得 a=1因为 MN BC,所以B YC M=M TB C=x-iBC=4 C=考点：1.直线与平面垂直的判定2棱柱、棱锥、棱台的体积;3.直线与平面所成的角.22.（2020.上海高三其他模拟）已知正方体A B C。A gGA，A&=2,E 为棱C 的中点.（1）求异面直线A E 与。所成角的大小（结果用反三角表示）；（2）求。点到平面A B E 的距离，并求出三链C A DE 的体积.【答案】（1）a r c c o s-；（2）。点到平面A B E 的距离为 拽，三锥C A DE 的体积为劣.3 5 3【分析】（1）由已知得N A E C （或补角）是异

24、面直线A E 与。所成角，求 解 A E C 可得答案；（2）利用等体积V YB C=Z-ABE，可求得设C 点到平面W的距离，利用一加处一匕-口定，可求得三锥C-A DE 的体积.【详解】解：（1）连接4 C,因为C C。，所以N A E C （或补角）是异面直线4 E 与。所成角，c o s/4 E C =1=/1 =在 他中，AE VA C2+E C2 JR司+3，所以异面直线4 E 与O R所成角是a r c c o s g ；（2）设 C 点到平面A B E的距离为h,因为VE_A BC=VC_AB E,即 2 S&A BC EC=S&A BE,h，又正方体A 5 C O-4 4 G。中，A B 1面3 4 G。，所以 AABE是 RfAABE,又 BE=dBC?+EC?=/展+f =后，所以 A DF 匕 CDF SAo -A D=-X|x 2x l j x 2=./，C _ n/.zxi C/-/11 3 Z A /J C C 3 I 2 J 3【点睛】本题考查空间中异面直线所成的角，运用等体积法求点到面的距离以及三棱锥的体积，属于中档