2023年新高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题4.pdf

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1、专题4.1 导数的概念、运算及导数的几何意义（真题测试）一、单选题1.（2021四川省叙永第一中学校高三阶段练习）对 于 以 下 四 个 函 数:y=f；=熹 丫，.在X区间 1,2 上函数的平均变化率最大的是（）A.B.C.D.2.（2020全国高考真题（理）函数f（x）=x J 2/的图像在点（1,/）处的切线方程为（）A.y=2xB.y=-2x+lC,y=2x-3D.y=2x+l3.（2006 安徽 高考真题（理）若曲线y=Y 的一条切线/与直线x+4y-8=0 垂直，则/的方程为（）A.4 x-y-3 =0 B.x+4y-5=0 C.4 x-y +3=0 D.x+4y+3=04.（20

2、19全国高考真题（文）曲线y=2sinx+cosx在点（兀，-1）处的切线方程为（）B.2xy 2兀-1 =0C.2 x+y-2兀+1=05.（2016 山东高考真题（文）若函数y=/（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（）A.y=snxB.y=inxD.y=x3A.x-y-n-=0D.x+y 冗+1 =0C.y=6.（2018.全国.高考真题（文）设 函 数/）=%3+（4-1 卜2+诏 若/（同为奇函数,则曲线产”引在点（0,0）处的切线方程为（）A.y=-2x B.尸一1 C.y=2x D.V=x-lnx.0 x

3、 1,h 与 12垂直相交于点P,且 h,12分别与y 轴相交于点A,B,则APAB的面积的取值范围是（）A.（0,1）B.（0,2）C.（0,+oo）D.（l,+oo）8.（2022 四川省内江市第六中学模拟预测（文）若函数 x）=f +l 与 g（x）=2 aln x+l的图象存在公共切线，则实数的最大值为（）A.B.e C.D.e1二、多选题9.（2022.黑龙江哈尔滨三中高二阶段练习）近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了 一系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策.各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案,其中一项就是在规定的时间T内完成房产供应量任务S.已知房产供应

4、量S 与时间，的函数关系如图所示,则在以下各种房产供应方案中，在时间 0,口 内供应效率（单位时间的供应量）不呈逐步提高的（）1 0.（2 0 2 2 吉林 长春市第二实验中学高二期中）若曲线/t（司=入山犬-1 在工=兀处的切线与直线o r+2 y +l=0 互相垂直，则（）A./,（x）=s i n x-x c o s x B./f（x）=s i n x+x c o s x2C.（兀）=一兀 D.a=7 T1 1.（2 0 2 2 广东二模）吹气球时，记气球的半径r 与体积V 之间的函数关系为r （V O,/（V）为，（V）的导函 数.已 知 r （V）在0 WY这3 上的图象如图所示，若

5、0 W%W3,则下列结论正确的是（）C,彳甘斗）；”匕）D.存 在 匕 匕%）,使 得/（%）（?一；（）k 2 7 2 V2V1 2.（2022 全 国 高三专题练习）已知直线y =x+a 与曲线y =e -28+l 相切，则下列不等式1 2 1成立的是（）A.abW -B.I W88a bC.y/+y/b D.3a+*/32三、填空题13.(2015 天津 高考真题(文)已知函数/(x)=adnx,xe(O,-)，其中a为实数，尸(x)为 x)的导函数,若 广=3,则a的值为.14.(2015全国高考真题(文)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线旷=加+(4+2卜+1相切，

6、则15.(2020全国高考真题(文)曲线y=ln x+x+I的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为.16.(2012 浙江高考真题(文)定义：曲线C上的点到直线1的距离的最小值称为曲线C到直线1的距离.已知曲线C i：y=x 2+a到直线1：y=x的距离等于C2：x2+(y+4)2=2到直线1：y=x的距离，则实数a=四、解答题17.(2022.浙江高三专题练习)已知尸(x)是一次函数，x2fr(x)-(2 x-l)f(x)=2,求 的 解 析 式.18.(2021 全国 高三专题练习)已知曲线广 孑.求该曲线的过点尸(2,的切线方程.19.(2022全国高三专题练 习)己知曲线y=x+x-2

7、在点庶处的切线4平行于直线4 x-y-l=0,且点凡在第三象限.(1)求正的坐标;(2)若直线/，4，且/也过切点凡，求直线/的方程.20.(2011陕西高考真题(理)如图，从点(0,0)作x轴的垂线交曲线丫=炉于点2(0,1),曲线在。点处的切线与x轴交于点鸟，再从6作x轴的垂线交曲线于点依次重复上述过程得到一系列点：C，。；P2,L；Pn,记点的坐标为(4,0)(k(1 )试求X*与X I的 关 系(2 4 M)(2)求归。|+忱。2|+优2,|21.(2022四川.绵阳中学实验学校模拟预测(文)已知曲线/(x)=(x+l)In x-g x J o r+b(a/e R)在x=l处的切线经过

8、坐标原点.（1）求b的值；若 x）4。，求的取值范围.22.（2020北京高考真题）已知函数/。）=12-炉.（I）求曲线y=f（x）的斜率等于-2的切线方程；（I I）设曲线y=/a）在点“，/）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为$,求$的最小值.专题4.1 导数的概念、运算及导数的几何意义（真题测试）一、单选题1.（2021四川省叙永第一中学校高三阶段练习）对 于 以 下 四 个 函 数:尸；y=小 丫 .在X区间 1,2上 函 数 的 平 均 变 化 率 最 大 的 是（）A.B.C.D.【答 案】C【解 析】【分析】分析求出四个函数的平均变化率，然后比较即可.【详 解】Ay 2-1,

9、Ay 4-1 Ay 8-1 _.-1 丁 =n_ 7=1，；=3，;=-7=7,_ 2Ax 2-1 Ax 2-1 A%2-1-TrAr 2-12故选：C.2.（2020.全国高考真题（理）函数=的图像在点（1,/）处 的 切 线 方 程 为（）A.y=-2x-1 B.y=-2x+lC.y=2x-3 D.y=2x+l【答 案】B【解 析】【分 析】求 得 函 数y=/（x）的 导 数/（x）,计 算 出f（i）和f（l）的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.【详 解】v/（x）=x4-2x3,.f（x）=4x,-6x2,=/=一2,因此，所求切线的方程为y+l=-2（X-1）,即y=-2x

10、+l.故选：B.3.（2006 安徽 高 考 真 题（理）若 曲 线y=/的一条切线/与 直 线x+4y-8=0垂 直，则/的 方 程 为（）A.4x-y-3=0 B.x+4y-5=0 C.4x-y+3=0 D.x+4y+3=0【答 案】A【解 析】【详解】与直线x+4 y-8=0 垂直的直线/为4 x-y +m=0,即丫 =/在某-点的导数为4,而 y=4 Y,所以y=/在（I,1）处导数为4,此点的切线为4 x-y-3=0,故选A4.（2019全国高考真题（文）曲线y=2sinx+cosx在点（加，-1）处的切线方程为（）A.x-y-7 t-l=0 B.2 x-y-2 7 t-l=0C.2

11、x+y-2n+l=0 D.x+y-n+1 =0【答案】C【解析】【分析】先判定点（兀,-1）是否为切点，再利用导数的几何意义求解.【详解】当 x=;r 时，y=2sin兀+COSTI=-1,即点（兀,一 1）在曲线 _ y =2sinx+cosx上.jy=2cosx-sinx,）4 户=2 8$一 5出）=-2,则丫=2$皿+。0$*在点（兀,-1）处的切线方程为丫一（一 1）=-2。一 兀），即2x+y-2n+l=0.故选 C.5.（2016 山东高考真题（文）若函数y=/（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=/（x）具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是

12、（）A.y=sinx B.y=lnx C.y=ex D.y=x3【答案】A【解析】【分析】若函数（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y=/（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为-1,进而可得答案.【详解】解：函数y=/（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为-1,当y=sinx时，y=co sx,满足条件;当丫=/以时，M=1 0 恒成立，不满足条件；X当 丫=时，y =0 恒成立，不满足条件；当y=/时，0 恒成立，不满足条件；故选A.6.(2 0 1 8 全国高考

13、真题(文)设函数/(*)=d+(。-1)于+双.若/(*)为奇函数,则曲线3=/(力在点(0,0)处 的 切 线 方 程 为()A.y=-2x B.y=r C.y=2x D.Y =x【答案】D【解析】【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得a =l,进而得到f(x)的解析式，再对f(x)求导得出切线的斜率4，进而求得切线方程.详解：因为函数/(X)是奇函数，所以“-1 =0,解得“=1,所以/(%)=丁+，f (x)=3x2+1,所 以/(0)=l J(0)=(),所以曲线y=/(X)在点(0,0)处的切线方程为y-f(0)=/W ,化简可得丫=%故选D.-l nx,0 x I,h与1 2垂

14、直相交于点P,且h,1 2分别与y轴相交于点A,B,则A P A B的面积的取值范围是()A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+o o)D.(l,+o o)【答案】A【解析】【详解】试题分析：设玳不加占卜初,一1!)(不妨设为 1,0%各一碗=扣4一注阵|=含署=1，二0 5的 0)的最大值即可【详解】/(x)=2 x,g (x)=，设公切线与 x)=x2 +l 的 图 象 切 于 点 与 曲 线 C:g(x)=2 l nx+1 切于点(W，2 a l nX 2+1),.2&=生=(2,加2+1)一解+1)=2mM 一 片,故 公 川，所以女=2 -2 X 2 ，x2 x2-X j x2-%

15、1 x2-x,V a=x,x2,故”=2 X；-2 年1 1 1 X 2，设 hx=2x2-2x2 I n x(x 0),则 h(x)=2 x(1 -2 1 n x),，/(x)在(0,6)上递增，在(加,+)上递减，刀(尤)1 r ax=(五)=e，二实数。的最大值为e故选：B.二、多选题9.(2 0 2 2 黑龙江哈尔滨三中高二阶段练习)近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策.各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中一项就是在规定的时间T内完成房产供应量任务S.已知房产供应量S 与时间，的函数关系如图所示，则在以下各种房产供应

16、方案中，在时间 0,T 内供应效率(单位时间的供应量)不愚逐步提高的()c.【答 案】ACD【解 析】【分 析】根据变化率的知识，结合曲线在某点处导数的几何意义，可得结果.【详 解】单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越 大，则曲线是上升的，且越来越陡，故函数的图象应一直下凹的.则选项B满足条件，所以在时间 0,7内 供 应 效 率(单 位 时 间 的 供 应 量)不 是 逐 步 提 高 的 是ACD选 项，故选：ACD.10.(2022.吉林 长春市第二实 验 中 学 高 二 期 中)若 曲 线“x)=xsinx-l在、=兀处的切线与直

17、线ar+2y+l=0互相垂直，则()A.(x)=sinx-xcosx B.7(x)=sinx+xcosx2C.D.a=-二7 1【答 案】BCD【解 析】【分 析】由已知，选 项A、选 项B,可根据给出的曲线解析式直接求导做出判断，选 项C,可 将x=兀带 入 求 解 出 的(x)中进行求解判断，选 项D,根 据 求 解 出 的(兀)结合直线方程的斜率，利 用 在=兀处的切线与直线互相垂直即可列出等量关系，求 解 出。的值.【详 解】选 项A,己知曲线/(x)=xsinx-1 ,所 以 尸(x)=sin x+x 8 sx,故该选项错误；选 项B,已知曲线/(x)=xsinx-l,所 以r(x)

18、=sinx+xcosx,故该选项正确；选项 C,因 为/(x)=sinx+xcosx,所 以/(7t)=sin兀+7icos7t=0-兀=-兀，故该选项正确；选项D,直线以+2），+1=0的斜率为 g 而r =-兀，由已知，曲线 x）=x s i n l 在x=7t处的切线与直线以+2y+l=0 互相垂直，所以-g（-兀）=-1,所以。=二，该选项正确：2兀故选：BCD.11.（2022.广东.二模）吹气球时，记气球的半径r 与体积V之间的函数关系为r（U）,/）为 r（V）的导函 数.已 知 r（V）在OW VW3上的图象如图所示，若0 W g%W 3,则下列结论正确的是（）C,（空哈四 D

19、,存 在 匕 匕），使得“匕卜华普;乙）L V2 Vi【答案】BD【解析】【分析】A：设tan a一,tane=）T,由图得&。，所以该选项错误；1-0 2-1B:根据图象和导数的几何意义得r（l）/（2）,所以该选项正确；C：设匕=0,匕=3,（|）等，所以该选项错误；D:结合图象和导数的几何意义可以判断该选项正确.【详解】解:A：设tan a =川）二 tan解 犷）二虫），由图得1。，所以tan a tan仇所以2。匕（）匕。）,1-0 2-1 1-0 2-1所以该选项错误；B:由图得图象上点的切线的斜率越来越小，根据导数的几何意义得/（2）,所以该选项正确；C:设K=0,%=3,怨1

20、卜 g）,化）;，（切=等，因为r（|）-r（0）r（3）-r（|）,所以吟 皇，所以该选项错误；D，第 一产）浓示 岫，匕），B（匕,）两点之间的斜率,/（%）表示C（%/（%）处切线的斜率，由于V2Vl所以可以平移宜线A8使之和曲线相切，切点就是点C,所以该选项正确.故选：B D1 2.（2 0 2 2.全国高三专题练习）已知直线y=x+a 与曲线y=e*T-2 b +l 相切，则下列不等式成立的是（）,1 n 2 1cA.cib4 B.I 4 88a bC.+D.3a+f r 0,。，对于 A,ab=-a-2b 5时取“=”，A 正确；2 2 2 8 2对于 B,-+l =(+2/,)(

21、-+-)=4 +-4+2AP =8,当且仅 当 竺=0，即a =2 b =!时取心”，Ba h a h a h a b a b 2不正确；对于 C,因(&+括 y+(*一 回)2=a +b +3 +2 8 =3(q +2 与=3,则有(6+6)2 3,即 G +新 4 直，V2 2 2 2 2 2J7i 1 a+2b=2 1 2 1当且仅 当 华=疡，即a =4 b 时取力，由，八 得“=；/=所以当4 =：力=：时，7 2 a=4b 3 6 3 6(&+振)岫=白，C 正确；对于D,由+4=1,。0 力 0 得，0 b ,a+b=-be(-,l),而函数y=3 在 R 上单调递增，22因此，

22、石 3 =加+（4+2 卜+1 相切，则a=.【答案】8【解析】【详解】试题分析：函数y=x+i nx在（1,1）处 的 导 数 为=所以切线方程为L y =2 x-1；曲线Xy=a x2+（a +2）x+l 的导函数的为y=2ac+a+2,因I 与该曲线相切，可令y=2ax+a+2=2=jq,a =0,当a =0时，曲线为直线，与直线1 平行，不符合题意；当122时，代入曲线方程可求得切点（-2,一巴），代入切线方程即可求得a =8.2 41 5.（2 0 2 0.全国.高考真题（文）曲线y=l nx+x+l 的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为.【答案】V=2 x【解析】【分析】设切线的

23、切点坐标为（X。,%）,对函数求导，利用y l=2,求出,代入曲线方程求出,得到切线的点斜式方程，化简即可.【详解】设切线的切点坐标为0 0,%）,y=I n X +X +1,V =L +1,Xy Uo=+l =2,x0=l,y0=2,所以切点坐标为（1,2）,xo所求的切线方程为y 2 =2（X 1）,即y=2 x.故答案为：y=2 x.1 6.(2 0 1 2.浙江.高考真题(文)定义：曲线C上的点到直线1 的距离的最小值称为曲线C到直线1 的距离.已知曲线C i：y=x 2+a 到直线1：y =x的距离等于C 2：x 2+(y+4)2 =2到直线1：y=x的距离，则实数a=9【答案】y4

24、【解析】【详解】试题分析：由新定义可知，直线J与曲线C相离,圆G的圆心到直线1 的距离为=242y/2此时直线7 与圆G相离,根据新定义可知，曲线G：f+(y+4)2=2到直线上 产=%的 距离为2e_ 0=0，对函数y =f+a求导得V=2 x ,令/=1 =2 x=l =x=2,2故曲线G在x=g处的切线方程为=,即x-y+a2-1=0,于是曲线C：v =f +a到直线1：3 =的 距 离 为:彳 _.叵,则有4一=2,9.7解得a =-或a =,4 47 9当4=一一时，直线/与曲线G相交，不合乎题意：当4 =一时，直线J 与曲线G相离，合乎题意.4 49综上所述，a=-4四、解答题1

25、7.(2 0 2 2 浙江.高三专题练 习)己 知/(x)是一次函数，x2/,(x)-(2 x-l)/(x)=2,求 f(x)的解析式.【答案】/(X)=4X2+4X+2【解析】【分析】分析可知，函数/（X）为二次函数，可设f（x）=a r2+b x+c（a w o）,根据导数的运算法则结合已知条件可得出关于“、b、c 的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出函数/（X）的解析式.【详解】由尸（x）为 诙 函 数 可 知“X）为二次函数.设+h x+c（a H（）,则 r（x）=2 x+b .所以，x2/,（x）-（2 x-l）/（x）=x2（2 a r+/?）-（2 x-l）（u x2+b

26、x+c）=2 ,a-b =0即(。一 人+(/?-2 c)x+c-2 =0,所以，-/?-2 c =0 ,c-2 =04 =4b=4,c=2解得因此，/（x）=4 x2+4 x+2.1 8.（2 0 2 1.全国高三专题练习）已知曲线y =.求该曲线的过点P（2,|）的切线方程.【答案】-3 y-1 6 =0 或3 x-3 y +2 =0.【解析】【分析】设出曲线过P点的切线方程的切点坐标，把切点的横坐标代入到导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和表示出的斜率，写出切线的方程，把尸的坐标带入到切线方程即可得到关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点横坐标的值，分别代入所设的切线方程

27、即可.【详解】解：设切点坐标为（毛,%）,切点在曲线上，在点（为,%）处切线的斜率为k=切线方程为y -%=片（X-毛）.又 切线过点尸（2,g且切点（如先）在曲线y =上二87%=片（2 _ 工 0）,整理得 君-3 君+4 =0,即1 3优-2)2(%+1)=0,解 得/=2 或%=T.Q.当 x 0=2,%=,即切线斜率为4 时，切线的方程为12x-3y-16=0；当x =-l,%=-g，即切线斜率为1时，切线的方程为京-3y+2=0.综上,所求切线方程为12x-3y-16=0或3x-3y+2=0.19.(2022.全国高三专题练习)已知曲线y=V+x-2 在点处的切线(平行于直线4 x

28、-y-l=0,且点外在第三象限.(1)求玲的坐标；(2)若直线/，4,且/也过切点凡，求直线/的方程.【答案】(T-4)：(2)x+4y+17=0.【解析】【分析】(1)设点4(%，%),求出给定函数的导数，再利用导数的几何意义，列式计算作答.(2)求出直线/的斜率，由(1)的结论结合直线的点斜式方程求解作答.(1)由y=j?+x-2 求导得：y=3x2+,设切点(%,%),而点外在第三象限，即与0,%0,依题意，3片+1=4,解得：%0=-1,此时，%=-4,显然点(-1,-4)不在立线4 x-y-l=0 上，所以切点片的坐标为(T-4).(2)直线而4 的斜率为4,则直线/的斜率为-!，4

29、又/过切点外(-1,-4),于是得直线/的方程为y+4=-1 x +l),即x+4y+17=0,所以直线/的方程为：x+4y+17=0.20.(2011陕西高考真题(理)如图，从点(0,0)作x 轴的垂线交曲线？=于 点 Q,(0J),曲线在。点处的切线与x 轴交于点6,再从6 作x 轴的垂线交曲线于点依次重复上述过程得到一系列点：4,。；6,2;L；Pn,。“记&点的坐标为(4,0)=（1）试求X*与Xi的关系（2）求|w|+怛&|+忆。,|【答案】（1）4=4 _ 1-1（2 0恒成立，./f(x)0；当X(l,+oo)时，A(x),即 a 的取值范围为 1,+oo).22.(2020 北

30、京高考真题)已知函数/(x)=1 2-f .(I)求曲线y=f(x)的斜率等于 2 的切线方程;(II)设曲线y=/(x)在点(r,/W)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为5(/),求 SQ)的最小值.【答案】(I)2x+y-13=0,(II)32.【解析】【分析】(I)根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果;(II)根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴匕的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.【详解】(I)因为/(x)=12-V,所以/，(x)=-2x,设切点为则-2 x =-2,即%=1,所以切点为(1,11),由点斜式可得切线方程为：y 1

31、1=2(x l),即2x+y-13=0.(II)方法一：导数法显然卷0,因为y=x)在 点 即J)处的切线方程为：y_02T2)=_2r(xT),令x=0,得y=+1 2,令y=0,得x=2t所以 S)=；x(r+12).端，不妨设t0Q T业=*+24”中,所以 (0 =；(3 产+24-皆)=3(+48)_ 3(/一4)(产+12)3(/-2)(f+2)(产+12)4/4/由 S(f)0,得t 2,由 S(f)0,得0r0,S(f)=；(u罗)，令 =，则=2M 0.令g(a)=1乜，则面积为S=g(a)f,只需求出g(a)=G l乜的最小值.a 4 ag (a)=4a,-a-a4-l2

32、3/-1 2a2a23(/-2)(/+2)3(a-V 2)(a +V 2)(a2+2)因为a 0,所以令g (“)=0,得a=6.随着。的变化，g (a),g()的变化情况如下表:a(0,闾垃(立+8)g S)-0+g(“)减极小值增所以 g(a)mi n =g(&)=患=8&所以当a =J L 即/=2 时，国 必 曲=9(8 0)2=3 2.因为 S 为偶函数,当f o)的最小值.a令人 g(,ci)、=-=a,H-4-1-4 14、4力 t r3 -4-4-4 -8oy 1r2-,a a a a v a a a当且仅当/=4,即a =0 时取等号.a所以当a =&，即f =2 时，S(f)Mn=；x(8&)2=3 2.因为S(r)为偶函数，当/0 时,S(0 mi=S(-2)=S(2)=3 2.综上，当仁2 时，S Q)的最小值为3 2.方法四:两次使用基本不等式法同方法一得到所端：*出第+丹：(7)+叫+-+1 6 2 2 疯+1 6=3 2t+4，下同方法一.【整体点评】(I I)的方法一直接对面积函数求导数，方法二利用换元方法，简化了运算，确定为最优解；方法三在方法二换元的基础上，利用多元均值不等式求得最小值，运算较为简洁；方法四两次使用基本不等式，所有知识最少，配凑巧妙，技巧性较高.60