2023学年上海七年级数学下学期重难点讲义第17讲-三角形与平行线(含详解).pdf

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1、第15讲-三角形与平行线 学习目标i.灵活应用平行线的判定和性质，掌握三角形中的平行线的几个基本图形的应用。动探索1.平行线的性质与判定:由角定线判定同位角相等,内错角相等=一：两直线平行同旁内角互补 性质由线定角2.全等三角形的性质：3.三角形全等的判定定理:小精讲提升(例 1.如图，0 C 平分NA08,C D/O B,指出图形中的等腰三角形，并说明理由A试 一 张如 图，C 平分 NAOB，OCBD，_能 彩 并 说 明 理 由。指出图形中的等 腰 二、2.如 图，AD平 分“AC，CEAD，指出图形中的等腰三角形3.如 图，AD平分GE 指出图形中的等腰三角形并说明理由。G例 2.已知

2、3 )平分乙4 BC,C D平分NACB,EF/B C 说明 A E F 的周长为AB+AC试一试:1.如图，已知3。平分NA8 C,C Q 平分N4 CB,D E/A B ,D F/A C说明)：厂的周长为8 C；ADBE FC2.如图，已知8。平分/ABC,CO平分 ABC的一个外角，D E/B C ,说明EF=8E-CF：A13.如图，已知 AB 平分ND4E,AC 平分/O A F,BC/EF,说明 AO=-8C。2例 3.如图，已知在 ABC中，A B=AC,。为 4 3 上一点，E 为 AC延长线上一点，BD=CE,D E 交 BC 于 F.求证：DF=EF.A A4.如图，已知点

3、B、。在直线AE上，AC/DF,N C=N F,A D =B E,试说明BCE尸的理由.5 .如图，已知A8/C。，A B C D,。是A C的中点，过0点作直线分别交直线A。、B C 于E、F,交线段 4 8、C D 于 G、Ho(1)图中有几对全等三角形？(2)试说明AD/BC。6 .已知，四边形488 中，AD/BC,AO=1,8 C=3,A 8=4,点E为C O中点，联结AE并延长A E与B C延长线交于点F,(1)说明 A O E与 FCE全等的理由；(2)联结B E,请说出B E与A F的位置关系，并说明理由。7.如图，已知AC=8C=C,BO平分NA8C,点E在BC的延长线上.(

4、1)试说明C)A8的理由；(2)C是NACE的角平分线吗？为什么？8.如图：在 A48C中，已知N5AC=9()o,AB=AC,点 A在。石上，ZD=90,ZE=90求证：D E=C E+B D达标PK .（SA S）.得（全等三角形的对应边相等）.22.（2021上海九年级专题练习）如图，AA,B B CG相交于。，A B /.B C /B,C,求证：A C /4G .23.（2021九年级专题练习）如图，AABC中，点 D、E 分别在边AB、A C上，DC与 BE交于点 O,且 AD=3,BD=AC=6,AE=2.(1)求证：DEBC,（2）如果 BOC的面积比 DOE的面积大8,求4 D

5、OE的面积24.（2021 上海 华东理工大学附属中学七年级期末）如图，在AA8C中，BC=6cm,A G/B C,AG=8 c m,点F 从点5 出发，沿线段BC以 3cm/s的速度连续做往返运动，同时点E 从点A出发沿线段AG以 2cm/s的速度向终点G 运动，当点E 到达点G 时，E、尸两点同时停止运动，E尸与AC交于点。，设点E 的运动时间为r（秒）.（1）分别写出当0 M Y 2 和2 两直线平行性质由线定角2.全等三角形的性质:全等三角形的对应角相等、对应边相等。3.三角形全等的判定定理:（采用教师引导，学生轮流回答的形式）例 1.如图，0 C 平分N40B,C D/O B,指出图

6、形中的等腰三角形，并说明理由A答案：OCD试一1A：1.如图，0 C 平分NA02,O C/B D,指出图形中的等腰三角形，并说明理由。答案：A OBD2.如图，A。平分NBAC,C E/A D,指出图形中的等腰三角形，并说明理由。答案：ZACE(4)AGF3.如图，AO平分NBAC,G E/A D,指出图形中的等腰三角形，并说明理由。G答案：A AGF小结：总结出角平分线平行线，等腰三角形出现例 2.已知8 0 平分/A 8C,C 平分NACB,EF/BC 说明 AEF的周长为AB+ACA解析：证明EB=ED,FD=FC试一试:1.如图，已知8。平分/ABC,CD平分N4C8,DE/AB,D

7、 F/A C说明)尸的周长为B C；A解析：证明EB=ED,FD=FC2.如图，已知8。平分/ABC,CO平分 ABC的一个外角，D E/B C ,说明EF=8E-CF：A解析：证明EB=ED,FD=FC13.如图，己知AB平分NZME,4 c平分ND4尸，B C/E F,说明4。=BC。2解析：证明DB=DA,DADC例3.如图，已知在 ABC中，AB=AC,。为AB上一点，E为AC延长线上一点，BD=CE,DE 交 BC 于 F.求证：DF=EF.证明：过点D作DG/AC交B C与G点AB=AC（已知）:.NB=NACB（等边对等角）y.：DG/AC.NOGB=NACB（两直线平行，同位角

8、相等）；.NB=/DGB（等量代换）：.DB=DG（等角对等边）又：DB=CE（已知）：.DG=CE（等量代换）又 YDG/CE.N=N/7）G（两直线平行，内错角相等）NE=NFDG（已证）在A D F G和小E F C中 Z C F E=ZGFD（对顶角相等已证）OG=CE（已证）：.4 D F G 空丛EFC（AAS）:.DF=EF4.如图，已知点8、。在直线AE上，AC/DF,Z C=Z F,A D =B E,试说明8C/EF的理由.解：因为AC/。/7（已知）所以NA=NFOE（两直线平行，同位角相等）.因为A）=BE（已知）所以AD+DB=DB+BE（等式的性质）,即得=在4 AB

9、Ci OE尸中，/C =4（已知），NA=/FDE（已证）A8=DE（己证）所以A8C丝）（A4S）.所以NCBA=NFE。（全等三角形对应角相等）.所以8 c EF（同位角相等，两直线平行）.5 .如图，已知4 B/C。，A B=C D,。是A C的中点，过。点作直线分别交直线4 、B C于E、F,交线段 A B、C D 于 G、H。(1)图中有几对全等三角形？(2)试说明A O/B C。答案：(1)5 对，A GO/C H O,a A E。丝C F O,A B C/C D A,A D EH/XB GF,(2)略6 .已知，四边形A B C。中，A D/B C,A D=,B C=3,A B=

10、4,点E为CO中点，联结A E并延长A E与B C延长线交于点F,(1)说明 A O E与尸C E全等的理由；(2)联结B E,请 说 出 与A尸的位置关系，并说明理由。答案：(1)4A D E 与4 F C E(A S A 或 A 4 S),(2)B E L A F,根据等腰三角形三线合一7.如图，已知A C=B C=C D,8。平分N A B C,点E在8 c的延长线上.(1)试说明C Q A B的理由；(2)C D是/A C E的角平分线吗？为什么？D（I）解：因为8。平分NA8C,（已知）所以N A B D=N D B C.（角平分线定义）因为8C=CZ）,（已知）所以N D 8c=/

11、D （等边对等角）所以（等量代换）所以CQ A 8.（内错角相等，两直线平行）（2）CD是/A C E的角平分线.因为CO AB,所以NOCE=N48E.（两直线平行，同位角相等）NACO=NA.（两直线平行，内错角相等）因为AC=3C,（已知）所以N A=/48E.（等边对等角）所以NAC=N）C（等量代换）即C D是NACE的角平分线.8.如图：在A4BC中，已知NR4C=9（）,A 5=A C,点 A在上，ZD=90,NE=90求证：DE=CE+BD解：因为点A在/）上（已知）,所以N3A+NR4C+NC4=180（平角的意义）.又因为N84C=90（己知），所以/RM+NC4E=90（

12、等式性质）.因为NACE+NC4E+NK=180（三角形的内角和等于180）,ZE=90（已知），所 以Z A C E+Z C A E =90（等式性质）.因 此N8W =NACE（同角的余角相等）.因为 ZD=90,ZE=90（已知），所 以/D=N（等量代换）.N D =NE,在4 BDA 和4 AEC 中=AE（全等三角形对应边相等）因为 OE=AO+AE所以O=CE+B）（等量代换）1.（2021.上海杨浦.七年级期末）如图，在5x5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形,ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），那么与AABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（）.A.

13、2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】以 BC为公共边时有3 个三角形，以AC为公共边时有1 个三角形与48C 全等.【详解】解析：画出符合题意要求的三角形如图所示以8 c 为公共边的三角形有8 个，分别是8 8,ABCE,4 B C F以A B为公共边的三角形有0 个以AC为公共边的三角形有1 个，为AACG共3+0+1=4个故选：C【点睛】本题考查了全等三角形的判定的应用，找出符合条件的所有三角形是解此题的关键.解题时考虑要全面，不要漏解.2.（2021 上海嘉定七年级期末）如图，已知AO平分ND4E,AD=AE,A B=A C,图中全等三角形有（）.DEA.1对 B.2对

14、C.3对 D.4对【答案】D【解析】【分析】根据题目中的条件和全等三角形的判定方法，可以写出图中的全等三角形，本题得以解决.【详解】解：平分ND4E,.Z1=Z2,AD=AE在AAOO 和()；中，-Z1=Z2,AO=AO：./AOD/AOE(SAS),:.ND=NE,OD=OE；AC=AB在 AOC 和 AAOB 中，-N1=N2,AO=AO AOC丝ZXAOB(SAS)；ZD=NE在 ACO。和 O E 中，DO=EO,ZDOC=NEOB:.COD乌XBOE(ASA)；AD=AE在 ZM8 和 AEAC 中，,NDAB=NEAC,AB=AC：.DAB/EAC(SAS)；由上可得，图中全等三

15、角形有4对，故选：D.【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法，利用数形结合的思想解答.3.（2021上海市徐汇中学七年级期末）如图，在AABC中，已知点。、E分别在AB、AC上，BE与CO相交于点O,依据下列各个选项中所列举的条件，能说明AB=A C的是.（填写序号）BE=CD,NEBC=NDCB；OD=OE,ZABE=ZACD-,BE=CD,BD=CE；OB=OC,BD=CE.【答案】【解析】【分析】只要能确定AB、AC所在的两个三角形全等即可得出AB=AC,结合全等三角形的判定方法逐项判断即可.【详解】当 BE=CD,NEBC=NDCB时,结合ZA=Z

16、A,在ABE和ACO中，利用“44夕可证明则有A3=AC,故能得到4?=AC；当 O D =OE,Z A B E Z A C D,结合/30D =NC0E,在 B O D和 C O E中，利用“AAb可证明公B O D 冬M O E,OB=OC,二 N O B C =N O C B,：./A8C=ZACB,AB=AC,故能得到AB=AC；当 BE=CD,8O=C时，结合 8c=C8,可证明 A B C D 丝CBE,可得 Z A B C =Z A C B,可得A3=AC,故能得到AB=AC;O B =OC,8O=CE 时、根据已知条件无法求 得 他=AC，故不能得到AB=A C,所以能得到A

17、B =A C的有.故答案为：.【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA,A4s和“L4.（2020上海市建平中学七年级期末）在四边形中，AD/8C,要使AAfiO=ACD8,【答案】AD=CB（答案不唯一）【解析】【分析】根据平行线的性质可得/A D B=/C B D,然后根据全等三角形的各个判定定理，添加条件即可.【详解】解：V AD/BC；.NADB=NCBDVBD=DB可添加AD=CB,可利用SAS即 可 证 出 丝M D B故答案为：AD=CB（答案不唯一）.【点睛】此题考查的是添加条件，使两三角形全等，掌握全等三角形的各个

18、判定定理是解题关键.5.（2019 上海七年级课时练习）已知，如图，ABCD,AFDE,A F=D E,且 BE=2,B C=1 0,则 EF=.【答案】6【解析】【分析】首先证明AABF丝A D C E,根据全等三角形的性质可得BF=CE,再根据等式的性质可得CF=EB=2,进而可得E F的长.【详解】；ABCD,AFDE,；.NB=NC,ZAFB=ZDEC,在4ABF和ACDE中E/BF三组直线平行，理由如下：,/AADE/ACBF,N D A E =NBCF,NAED=ZCFB,A E =C F,D E=B F ,AD/BC,N C E D=180-Z A E D ,NAFB=180-N

19、 CFB,Z C E D=Z A F B.:.EDHBF,:.AE+EF=C F+E F,:.AF=CE,D E=B F在 C D E 和 A A f i F 中，ZD EC =NB F A,C E=A F：.C D E/A B F(SA S),:.ZD C E=ZB A F,A B/C D,综上所述，图中共有A Q/B C,A B I/C D,D E/B F.【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、平行线的判定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.9.(2 0 2 1上 海虹口八年级期末)如图，已知A D B C,NC 4 =9 0。，点E、F分别是A 8、C O的中点，A

20、F=C E.(1)求证：A B=C D；(2)求证：A D=B C.BC【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】【分析】(1)根据平行线的性质得到NA C B =NC 4 D =9 0。，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半分别得出C D=2 A F,A B=2C E,从而得出A 8=C D(2)由直角三角形全等即可得证.【详解】证明：(1).A D/B C Z C 4 =9 0 Z A C B =Z C 4 -9 0 在m A C D中，NC 4 D =9()。，点尸是C O的中点：.C D=2A F同理可得，A B=2C E：A F=C E：.A B=C D(2)在 R A C B

21、和 R/AC4 中A C =C AA B =C DRfA A C B Rt/C A D(H L)：.A D=B C【点睛】本题考察了平行线的性质、直角三角形的性质及直角三角形的全等，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键点.1 0.(2 0 1 9 上海同济大学实验学校八年级阶段练习)如图，点A、B、C、。在一条直线上，C E与 B F 交于点、G,Z A =Z 1,C E/D F；(1)求证：Z E =ZF；(2)若A B =C。，证明：A E=B F.【答案】(1)见解析；(2)见解析.【解析】【分析】(1)先判定A E E尸可得NE =N 2；再证C E D P,即/2 =

22、/；最后根据等量代换即可证明；(2)先证A C =BD,再证V A C E W V B D F,最后根据全等三角形的性质即可证明.【详解】(1)V Z A =Z 1,二 A E/EF,Z E =Z 2,:，C E/D F,，/2 =/斤，ZE=NF：(2)V AB=CD,：.AB+BC=CD+BC,即 AC=5.在 AACE 和 ABZ)/中，ZE=ZF ZA=Z1,AC=BD：.NACE/BD F(AAS).AE=BF.【点 睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、平行线的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键.11.(2020上海市静安区实验中学八年级课时练习)已知：如

23、图，AB=DE,BC=DF,AF=CE.求证：BCDF.【答 案】见解析【解 析】【分 析】由A F=C E,得至ljA C=EF,然后得到 ABC丝A D E F,则NACB=NEFD,然后即可证明结论成立.【详解】证明：VAF=CE,.AC=EF,在AABC和3 E F 中AC=EF,AB=DE,BC=DF,AABC=ADEFAZACB=ZEFD,.ZBCF=ZDFC,ABC/7DF；【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型.12.（2021上 海市风华初级中学七年级期末）如图，点B、F、C、E 在同一条直线上，

24、BF=EC,AB =DE,A C =D F,说明的理由.【解析】【分析】先求出EF=BC,再根据SSS判定A 4B C四ADEF,即可证明NB=N E,从而证得A B/D E.【详解】证明：V BF =CE,：.B F+C F =C E+C F ,即 砂=8C,AB=DE在 AABC 和。印 中，8C=E F,A C =D F：.AA B 8ADEF（SSS）,ZB=ZE，:.AB/DE.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是得到三角形全等.飞.课后作业13.（2021上海市徐汇中学八年级期中）如图，若 AC、B D、EF两两互相平分于点O,那么图中的全等三角形共有（）A.3 对

25、 B.4 对 C.5 对 D.6 对【答案】D【解析】【分析】根据AC、B D、E尸两两互相平分于点O,则有OE=OF,OA=OC,图中的对顶角有/A 0 8 与/OC,/A O E 与NCOF,N B O F 与NDOE,Z A O D Z B O C；根据两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等（SAS）可得 AOB超OOC；A O E /C O F-再利用前面所证全等三角形，易证四边形A8C。是平行四边形，故ASO产且OOE；AOO丝BOC.【详解】解：；AC、B D、EF两两互相平分子点O：.OE=OF,O A=OC,O B=O D；DOa7=aOV7 l3O a7=JO 97 lJOD

26、7=3OV7 DOa7=9OV7：.AAOBADOC(SAS)(SAS)：OA=OC,OB=OD；，四边形ABCD是平行四边形，AD/BC,AD=BC:.NEDO=NFBO,4 Aoi汪 ABOC.80 尸丝OOE故图中所有的全等三角形有6对，分别是AA O B丝OOC；AA O E丝(%；AB O尸丝。民“0。四BOC；A/I B D A C D B；AA B C A C D A.故选：D【点睛】本题考查了全等三角形的判定;找寻全等三角形时要从最明显的开始，由易到难，不重不漏.14.(2021 上海普陀七年级期末)如图，己知A3与8 相交于点O,AO=B O,从下列条件中补充一个条件，不一定

27、能判定AA O C三A8 O 的 是()A.ZA=ZB B.ZC=ZD C.AC=BD D.CO=DO【答案】C【解析】【分析】根据题目给出的条件结合全等三角形的判定定理分别分析即可.【详解】ZA=ZBA.AO=CO，则 AAOC 三 ABOD(ASA)ZAOC=ZBODZC=ZDB.ZAOC=ZBOD,则 AAOC=AB0D（A4S）AO=BOC.无法证明AO=BOD.ZAOC=ZBOD,AOC=ABOD（SAS）CO=DO故选：C【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定.全等三角形的判定：I、（SSS）三边对应相等的两个三角形全等；2、（SAS）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；3、

28、（ASA）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；4、（A4S）两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.15.（2021上海市向东中学七年级期末）如图，已知ADC的面积为5,A。平分/8A C,且于点。，那么 ABC的面积为.【答案】10【解析】【分析】首先延长8 D,交 4 c 于点E,再根据“ASA”证明 A B D gzM E O,由S&ADE+S Q）E=S M B A S C D,可知&A8C=2 S d C D,可得答案.【详解】延长8,交AC于点E,平分/8A E,：.ZBAD=ZEAD.：ZADB=ZADE,AD=AD,：./ABD/AED,:.BD=DE,:.S&BCD

29、=SACDE,：.SAADE+SACDE=SAABD+SABCD=5,：.SAABC=2 SACD=O.故答案为：10【点睛】这是一道关于应用全等三角形的性质解决三角形的面积问题，构造全等三角形是解题的关键.16.（2021 上海市上南中学南校七年级期末）如图，在AA8C和中，AD=FC,ZA=N F,请添加一个条件：，使AABC丝尸EZX【答案】A B=F E 或N B=N E 或N A C B=N F D E 或 DE BC【解析】【分析】根据全等三角形的判定定理：SSS、SAS.A4S进行判断即可.【详解】解：AD=FC,ACAD+CD,F D=C F+C D：.ACFD,：ZA=ZF,

30、添 力 口 A B=F E,利用S4s得出 A BC注 FED,添加N 8=N E,利用AAS得出 A B g A F E D,添加NACB=Z F D E,利用 ASA 得出 A B C 且 AFED,添加|D E 8 C,得出利用 ASA 得出 ABC四故答案为：A 8=FE或N 8=N E 或/AC8=NFDE或 DE/BC.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键在于能够熟知全等三角形的判定条件.1 7.（2 0 1 9 上海市松江区九亭中学七年级期中）如图，在 A D C 4 与A D 即 中，有以下四个等式 E =OC；a 4 =。3；N C =NE；A C =B E,请

31、以其中三个等式作条件，余下一个作结论，写出所有的正确判断 （用n 形式表示）【答案】=，n.【解析】【分析】根据已知条件，根据三角形全等的判定方法，结合条件在图形上的位置进行选择能够判定三角形全等的条件，另一个作为结论，可得答案.【详解】解：n.证明如下：V DE=DC,DA=DB,AC=BE/.DCA ADEB（S S S）.*.Z C=Z E（全等三角形的对应角相等）（2）=证明如下：V D E =DC,Z C =ZE,A C =BE-.DCA ADEB（S AS）；.DA=DB（全等三角形的对应边相等）故答案为：=，=.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质；这是一道考查三角形全等的识

32、别方法的开放性题目，答案可有多种，结合图形与判定方法进行选择是解答本题的关键.1 8.（2 0 1 8 上海华东理工大学附属中学七年级阶段练习）如图：在AABC中，已知AB=AC,垂足为点D,点 F 在 AD的延长线上，且 CEB F,试说明DE=DF的理解：因为AB=AC,AD1BC（已知）所 以BD=_因为CEBF（已知）所以ZCED=_在ACED和ABFD中，NEDC=NTFDB 中所以 ACEDmABFD（）所以 DE=DF（）【答案】CD,ZF,NEDC=NFDB,BD=CD.,A A S,全等三角形对应边相等.【解析】【分析】据已知条件判定两三角形全等并利用全等三角形的对应边相等得

33、到线段DE-DF的长即可：【详解】解：VAB=AC,AD1BC（已知）BD=CD.：CE BF.NCED=NF,ZEDC=ZBDF（对顶角相等）在ABFO和ACED中NCEF=NBFENEDC=NFDBBD=CD/.BFDACED（AAS），DE=DF（全等三角形对应边相等）.故答案为CD,ZF,NEDC=NFDB,BD=CD.,A A S,全等三角形对应边相等.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，通常利用全等三角形证明线段相等或角相等.19.（2019 上海七年级课时练习）如图，ABCD,ADBC,O E=O F,图中全等三角形共有 对.【答案】有 6 对【解析】【详解】分析:在如上图

34、形中可知相交的两直线和四边形的边长所组成的三角形全等，然后得到结论,再找其它的三角形由易到难.详解：VAD/BC,OE=OF,.NFAC=NBCA,又 NAOF=NCOE,.AFO 丝CEO,；.AO=CO,进一步可得ZkAODdCOB,AFOD丝EOB,AACBAACD,AABDADCB,AOBACOD共有6 对.故答案为6点睛:考查全等三角形的判定,做题时要从已知开始思考结合全等的判定方法由易到难找寻,注意顺序别遗漏.20.（2021上 海市西南模范中学七年级期末）如图，已知：在四边形ABCO中，AB/C D,N3=ZAC,点 E是 8C边上的一点，B.AE=DC.求证：AD/BC.(2)

35、求证：AfiC 四EW.(3)如果 A 8J.A C,求证：NBAE=2ZACB.【答案】(1)见详解；(2)见详解:(3)见详解；【解析】【分析】(1)由平行线定理两直线平行同旁内角互补证明；(2)根据平行线的性质和等腰三角形的性质先证ABC且CD4(A 4S),再证(SAS)；(3)过点A作AH_L8C于”，由等腰三角形和余角的性质证明；(1)解：V AB/CD,ZB+ZSCD=180,/ZB=ZADC,：.ZBCD+ZADC=80,：.AD/BC.(2)解：V AD/BC,：.ZCAD=ZACB,NB=NADC在 AABC 和 ACZM 中，-NACB=ACADAC=CA：.AABCAC

36、DA(AAS),：.BC=DA,Af3=CD,:AE=CD,：.AB=AEf:.Z f i =Z A B,:A D/BC,:ZAEB=/E A D，J ZB=ZEAD.AB=EA在 回:和E4 D 中，Z B =ZEADBC=AD：.A A B C A E W(S AS).(3)解：过点A 作A H L B C r”，9：AB=AEf A H 1B C,:.ZBAE=2ZBAH,在 ABC中，Z B A C+Z B+Z A C B =1 8 0 ,又 43：C,ZBAC=90Z B +Z A C B =9 0 ,N 6+N B 4 =9 0。，/BAH =ZACB,：.ZBAE=2ZACB.【

37、点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，宜角三角形的性质，全等三角形的判定；熟练掌握其定理进行推理论证是解题关键.2 1.（2 0 2 1 上海市川沙中学南校七年级期末）如图，在A A B C 中，已知A。平分N 3 AC,E是边A 8 上的一点，AE=AC9尸是边A C 上的一点，联结。乐 CE、F E,当EC平分NDEF时，猜测、8C的位置关系，并说明理由.（完成以下说理过程）解：EF、BC的 位 置 关 系 是.说理如下：因为4。是NBAC的角平分线（已知）所以N1=N2.AE=4C（己知）在A AE 和 ACO 中，,/（）=/（）,（）=（）（公共边）所以4：丝ACO（SAS

38、）.得（全等三角形的对应边相等）.【答案】EF/BC,DE=DC.【解析】【分析】先利用A4E。g ZV1CO得到/3=/4,利用角的平分线，转化为一对相等的内错角，继而判定直线的平行.【详解】解：EF、8 c的位置关系是EFBC.理由如下：如图，是NBAC的角平分线（已知）/.Z1=Z2.在 AEO和中，AE=AC（已知）-Zl=Z2,AO=A （公共边）:.kEDQMCD（SAS）.：.DE=DC（全等三角形的对应边相等），二/3=/4.:EC平分NDEF（己知），.,.Z3=Z5,.Z4=Z5,所 以EF8C（内错角相等，两直线平行）.故答案为：EF/BC,Z1=Z2,AD=AD,DE=

39、DC.【点睛】本题考查了三角形的全等和性质，角的平分线即从角的顶点出发的射线把这个角分成相等的两 个 角，等腰三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握灯光要三角形的性质，平行线的判定是解题的关键.22.（2021 上海九年级专题练习）如 图，M BBp CG相 交 于0,AB ,BC/B,C,【解 析】【分 析】AO C0根 据A8 A旦，8C BC可 得7 y=,再加上对顶角相等，可证明 ,得到=即可得到结果;【详 解】：A 8 A B 1 ,AO _ BO O BX：BC B、C,CO _ BO可一砥AO _ CO,可-西：AAOC=,/./XAOC 4%,乙 CAO=/物 ,AC A G .

40、【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质和平行线的判定，准确分析证明是解题的关键.2 3.(2 0 2 1九年级专题练习)如图，AA B C中，点D、E分别在边A B、A C上，D C与B E交于点 O,且 A D=3,B D=A C=6,A E=2.(1)求证：D E B C,(2)如果 B O C的面积比 D O E的面积大8,求 D O E的面积【答案】(1)证明见解析(2)S.DOE=1.【解析】【分析】(1)证明AADES/XABC,再根据相似三角形对应角相等和平行线的判定定理即可证明;（2）由 DEBC,推出 D 0 E s/C 0 B,丝=，推出部 生=：,根据aBO C的面

41、积比ADOEBC 3 葭 COB 9的面积大8,即可解决问题.【详解】解：（1）证明：VAD=3,BD=6,.AB=9,DE A E _ BCAC3VAC=6,AE=2,.AD AE 瓦一就一针又NA=NA,.ADEAABC,.ZADE=ZABC,ADE/BC；(2)VDE/ZBC,/.ZODE=ZDCB,.,.DOES COB,.D E _ B C 3S 1甘L=Q,即 SACOB=9 s g E ,D cC O B,/B o e 的面积比DOE的面积大8,ZOED=ZEBC,9 s d stJ）OE=8,解得 SADOE=1.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识

42、，熟练掌握相似三角形的判定定理，并能正确识图是解题关键.24.（2021 上海 华东理工大学附属中学七年级期末）如图，在AABC中，3c=6cm,AG/B C,AG=8 c m,点方从点3 出发，沿 线 段 以 3cm/s的速度连续做往返运动，同时点从点A出发沿线段AG以2cm/s的速度向终点G 运动，当点E 到达点G 时;E、尸两点同时停止运动，即 与 AC交于点。，设点的运动时间为，（秒）.分别写出当0 W2和2 壮4时线段BF的长度(用含f的代数式表示).(2)当=时，求，的值.(3)若“DE/A C D F ,求所有满足条件的“直.【答案】(1)0 4/4 2时，B F =3t,2 /

43、4 4时，BF=12-3/【解析】【分析】(1)根据点尸从点B出发的速度和图形解答即可：(2)根据题意列出方程，解方程即可；(3)分两种情况讨论，根据全等三角形的性质列式计算即可.(1)解：当0 4/M 2时，F:B f C,B F =3t,当2 Y 4时，F:C f B,BF=6-(3 f-6)=12-3z.(2)解：山题意知：A E =2t,当0 W Y 2时，B F =A E,3t=2t,f=0(舍去).,12当2 f4 4口 寸，B F =A E,1 2-3t=2t,Z =y S.(3)解：当 AE=4G=2r=8时，t=4,当ADE 也厂时，A E =C F,当时，C F =6-3t,6-3t=2t,?=1s.当2rW 4时，C F =3t-6,3t-6=2t,r=6s（舍去）.当 1 =$时，A D E m A C D F .【点睛】本题考查的是列代数式和全等三角形的性质的应用，根据题意求出代数式、掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键.