电磁场与电磁波课后答案(冯恩信著)西安交通大学出版社各章答案汇总.pdf

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1、习题1.1 已知N =2 +3 夕-E;：=+夕一2 ,求：0/和 8 的大小(模)：(b)彳和 8 的单位矢量：(c)A(d)x月：(c)/f 和 8 之间的夹角：7 1 在 8 上的投影.解：(a)4 和 8 的大小/=+七：+=+3，+1，=VM=3.7 45 =|f i|=+B：+B；=-J l2+12+2-=V6=2.45(b)A和 8 的单位矢量A Io =_=_ _(2.v +3 y-z)=0.5 3 5+0.80 3-0.2 6 T.Bb =芯(.t +y -2 z)=0.40 8.v +0.40 8 r -0.81 6 z(c)A BA-B =AxBt+AyBy+A,B.=2

2、 +3 +2 =7(d)A Bx4 x Q =4纹儿B、y 23 -1 =-5.v +3 y -z1 -2(e)/和夕之间的夹角a根据N 占=A B c o s a/A Bcos a=-A B7=0.7 6 49.1 6 3a =40.1 9 4 在 8 上的投影一AA-h =A B72.45=2.861.2 如果矢闻：4、8 和 C 在同一平面，证明4 (8xC)=0.证明：设矢量X、8 和 C 所在平面为个平面A=Atx+AyyB=Bxx+Byye=c/+c.x y zBKC=BX By 尾=（纥G-C +（纥G-s c）+（纥q-纥c*C q c=（B B、C）21（月x。=0 x（8

3、c -BrCx）z z=01.3 已知 d=cosa+js in a、8=co s/7-f，sin6 和 C=?co s/+，s in/7,证明这三个矢量都是单位矢地，且三个矢量是共面的。证明：1)三个矢员都是单位矢fit/=p|=J/：+A；+力；=Vcos-a +sin-a=18=同=JB；+B：+B=Jc o S 夕+s i ri#=1C=|c|=Jc：+c；+c：=Jcos 尸+s in:夕=I2)三个矢用是共而的x yBxC=B,8,C、C,B=2cos/?sin/5EcA（BKC）-Ox2cos夕sin=01.4 A=x+2 y-z；B=ax+y-3 z ,当彳 时，求a.解：当1

4、，月时，A B=OA B=a+2+3=0所以a =-51.5 证明三个矢量X=5 5、8=3 7 3-2和C=-2；-2/-形成一个三角形的三条边,并利用矢积求此三角形的而枳.证 明：因 为A-B =2x+2y+zA+(-ff)+C=O所以三个矢量4、8和C形成一个三角形此二.角形的而积为s=/x同=4 4 4纥纥B：5-5 0=V5-+5:+20:/2=10.63-7 -11.6 P点和Q点的位置矢量分别为5+12$，+2和23 3$，+2,求 从P点到Q点的距离矢量及其长度.解：从P点到Q点的距离矢量为R=rQ-rP-(2x-3y+z)-(5x+12 y4-z)=-3 x-15y从P点到Q

5、点的距离为/?=|=V32+15:=15.31,7求与两矢量4=4 -3/+2和8=2+3-2都正交的单位矢属。解：设矢12C与西矢是彳=4-3?+2和8=2+-2都正交，则A C=4CX-3C,+C =0B C=2CX+C,-C =0（I）+（2）得 6C,-2CV=0（I）+3x（2）得 10C,-2Cr=0如果矢量。是整位矢昆，则（I）（2）-C,=3Ct（3）t C:=5CX（4）c =|c|=J c：+C；+C；=J c；+9C：+25C：=I所以C=,=0.169Jl+9+25C,=3C,=0.507C:=5C,=0.845C=0.1（9.r+0.507 +O.X45 z1.8将直

6、角坐标系中的矢量场E（x,y,z）=f，E（x j,z）=y分别用网柱和网球坐标系中的坐标分量表示.解：在圆柱坐标系中cos（p sin 0z;cos。sin 夕 0rcos*-sin e cos。0产”=-sin 夕 cos。00=-sin 7儿0 0 1儿0 0 1 00K（p,（p,z）=3 s（p0-sn 神COS0sin。o-F,/cos8sin。（fo-sin0-sin9cos研0一 sin 0cos01=cos。FZ2001FZ2001 00F:（p,（p,z）=sin 而 +cos 加在圆球坐标系中F,(r,0,p)=s i n 0 c o s(p pJr c o s Jc o

7、 s w。-s i n p ps i n Oc o s es i n Os i n*cos0 T F jF,=c o s Oc o s/c u s Gs i n/-s i n 小J-s i n/COS0o lzs i n。c o s。s i n Os i n (pc o s。T l ls i n Oc o s。-s i n J 0=c o s Oc o s。0()一 s i n g=c o s d c o s w一s i n。c o s 0s i n c pc o s。F,(r,0,0+CO t p(pF g=s i n Oc o s/COS夕COS0s i n 0 s i n(pc o s

8、Os i n 0COS 0-s i n。-%-小一s i n gs i n夕c o s。COS0s i n 6s i n 00COS 0L _ F-c-Jo-s i n 夕 s i n (p=COSCOS0-s i n。c o s Os i n c o s(p-s i n。01 =0c o s Os i n ec o s。1.9将网柱坐标系中的矢量场月（0,夕*）=20,尼仙伊,2）=3 0用五角坐标系中的坐标分量表示.解：-s i n 夕COSQ0明得 sin 夕cos。0cose%=sin。A.01-1E(x,y,z)=2cos 而+2sin 好又因为r9E(x,y,z)=2p=)-:(x

9、x+yy)Jx-+尸cose0一 sin 伊尸,z)=-3sin 而+3cos利 用(2)式可得-3(x,y,z)=3。=i(xy-x)Jx+yi.io将 哒 球 坐 标 系 中 的 矢 量 场=5 R(八 伊)=b用直角坐标系中的坐标分量:表示.解:根据A4sinPcosesinsincosOcos。cos sin 7一sin 夕cose4(1)_ A*.cos。-sin。04.得sinOcosQcosOcose一 sing 55sin8cos=sin Osin 0cosOsin。COS00=5sin 夕 sin。儿cos。-sin。005cos。R (.V,y,z)=15 s in 8 c

10、os 夕 +?5 s in 6 s in e+5 cos 0r =r s i n 0 c o s 又 因 为 y=rsin0sin(p(2)z =rcosd-5得 Ft(x,y,z)=,-=(x v +yy+zz)Jx+z2户=。=0 x 户r=j =(xx+vv+zz)-Jx2+y2+z2E 亿=，=0 x ;=7二 二(xy-词 x-；(xx+yy+zz)yjx+y yjx+y+z=J.1 .-z(x;+/)+xzx+j 与 777/777/771.1 1 计算在回柱坐标系中两点尸(5,乃/6,5)和0(2,n/3,4)之间的距曲。解：两点P(5/6,5)和0(2,z r/3.4)之间的距

11、离为d=l(x-x2)2+(1 -y2)2+(z,-z2)2=7(5X C O SCT/6)-2X C O SCT/3)2+(5x s i n(/r/6)-2 x s i n(.r/3);!+(5-4);=7(3.3 3)2+(0.7 6+(1)2=V 1 2.6 9=3.561.1 2 空间中同一点上有两个矢量，取圆柱坐标系，4=3方+50-4,8=2。+版+3 E,求:(a)/l+8；(b)/x 8：(c)/l和8的单位矢属；(d M和8之间的夹角；(c)/1和8的 大小：4在8上的投影。解：(a)J +B=(3 +2)p+(5+4)0 +(-4+3)z -5p+9(p-zP(b)J x

12、f i =Ap4,04纥,4B;P(P 23 5-423=3 1 p-1 7 +2 i(c)4=二=/(ip+5。-42)=J(2p +4。+3z)力 V 32+524-42 7.07-B 1 1b =/(2/+40+3z)=-(20+毋 +3E)B 7 22+4;+32 5 385(d)4和8之间的夹角0-c o s _1(B)=c o s 1()=68.40AB 38.077(c M和8的大小L+父+代=7.0718=物+段+8；=5.385 X在8上的投影A-b=(3p+5(p-4 z)(2 p +4+3z)=2.61.13 矢量场中，取圆柱坐标系，已知在点P(l,/r/2,2)矢量为4

13、=2户+3 0,在点。(2,1,3)矢员为8=-3)+102；求:(a)/+8；(b)d(c)4和8之间的夹角.解：转换到口角坐标系(a)/4 B=2y+l0z(b)A R=9A和8之间的夹角e =c o s T(AB)=c o s-1(-)=125.715.441.14 计算在圆球坐标系中两点P(10H/4,;r/3)和。(2,尸/2,幻之间的距离及从P点 到Q点的距离矢量。解：根据圆球坐标与直角坐标的关系x=r s i n O c o s。y=r s i n t f s i n z =rc QsOx=r s i n 0 c o s =1 0 x 0.7 0 7 x 0.5=3.53 5必=

14、r s i n 6 s i n =1 0 x 0,7 0 7 x 0,86 6 =6 J 2 2Z =r c o s =1 0 x 0.7 0 7 =7.0 7x2=，s i n c o s 0 =2 x 1 x(-l)=-2y2=r s i n O s i n=2 x l x =0z2=rc osO=2 x 0 =0d =y l(xt-x2)2+(-y2)2+(z,-z2)-=7(3.53 5+2)2+(6.1 2 2)2+(7.O 7)2=1 0.871.1 5空间中的同一点上有两个矢量，取圆球坐标系，4=3 9+J +5。，8=2 9 一。+40,求:A+B；(b)4 B：(c)/和 8

15、 的单位矢员：(d)/和 8 之间的夹角:(c)4 和 8 的大小：/在 8 上的投影.解：(a)4-8=5户+90(b)A-B=25(c)/和 8 的单位矢量4=-=(3 户+日 +50)；b =(2 r -0 +4 p)7 3 5 历(d)4 和 8 之间的夹角0=c o s-,(-)=c o s1(-=)=2 2.7 5AB 2 7.1 1(c)4 和 8 的大小/=：=5.928=在+比+8：=4.584 在 8 上的投影33=(3 户 +分+5。)(2 户 一 1+初=5.4551.16 求/(x,y,z)=x.T z 的梯度.解:吁今+垛+哈3x2y2zx 方+x3y2z1.17求

16、标量场/(x,y,z)=，+2z?在点(1J1)沿=-2#+方向的变化率。解:V f=.且+f豆+E旦=岚+4点&ch cti-.=(xx-2y+z)JY+/+xy-2x+4z所以孤.5=石Z4JJ V/U1.18由 X=-sin dp p d(p再 由（6）-（9）式可得C A C I C)(I).V O =(pCQSdp p d(p dp p d(p.(2 .、.1 cd)A c4)A 1 ckp.川)+p sin-e+0 cos(p+0-c o s 0 s in +p-cospsin 4-z dp p d(p dp p d(p&V*泮+0 空+ddp p d(p a1.19 求/(0,8

17、,2)=/7cos/的梯度.解:Qc0s_0sin0“，,通,加，冽)1.20 =.v+y-7r +利用网球小标和立角坐标的关系，推导V中=n+定把+&r o0.1 加(p：-rsin。dtp解：x=rs i ic o tp-y=rs i is i npz=rc o Jx*+y-+zi/g在 三(P-arcigJx=户 sinecose+cosecosQ-0siney=3sin0sinQ+OcosOsine+0cos8z=/cos 一 Osin效=这 包+以 包+小 丝A dr dx cO dx c(p dx加 _ c4)dr+c4 dO+c c(p才 er，c0 dy c(p dy加说)dr

18、 c4)cO cO d(p -+-+-a dr dz cO dz c(p dza r-a rc?r-AMa r=sin0cos=sinSsin。=cose=-COS0COSC O S ”df r=sin。dz rdtp sin 夕dx 尸 sin。d(p _ cos 9?dy rsin。*。+N&dr c(J)GO 凶)的、,方 q-.、=+-)(rs 1 Wco 8 十 co Jco 平一0s i xip)or dx cO dr c(p dxtXP dr 汕。c+c o s c o s -iprsin(p1.22 求梯度其中。为常数.解：=P r=PVr=/=r&V?1=r=rA-？r&1.

19、23在圆球坐标系中，矢量场广 为 户()=七 八 其中为常数，证明矢量场所)对厂任意闭合曲线/的环量积分为零，即j F d l=0。/证明：根据斯托克思定理：j F d l=j j 7 xF dSIsr rd vsin 附亘=0串0所以fr/7=JjvxF-4/s=oVXA?)=VXX=7 专1.23 证 明(I)V =?(4/V!)-DVP)：(2)VF(O)=F(0)VD.证明：(1)虫=f色 虫+f虫 色+色 虫W dv 甲 dz T=让 色 力 心 曳+$，八_ j,曳+色中一 z q空M7 dx 甲dy P-dy 41 dz+一 夜上 甘 色 中+这 中+4吁当邑+性+卫dx dyf

20、 dz/dr dy dz=?(T V O-OV T)(2)VF(O)=.vF+dx dy dz=x F 0)+F7OJ+ZF 0 =F (0)V Ddx dy dz1.24|l：V-/1 d 1 乱=3二(/,)+?-(sin6M0)+-r a rixO dO rs in。&p解：(1)4=土，+-+a 0 日_ 巩切,羽的,a，d p讯d i p 利一 -十-十-十-n-dp dx d(p dx cp dy d(p dy A由得-sin*cos。000I-4 s i叩4 =/即+4（：。和Op=COS0d(p 1=sm7dx pdp.=sin。如 p厂 j 二次，I d/、d 前 M 的 盘

21、，由 dx d(p dx dy d(p dyf AQg=coip(A c o -A snp)一一s ii (/I s i()cp p c(p6 e SA+s i up(A s iw +力 co 取)+co 取(4 s i叩+4 co 乾)+dp p cip&6A,cos，(p-6-AA .1 .0/1，,vcosgsin -sincos A+sin*(pAcp dp p d(p pl dA,J i,i+-s i n+sin8cos阿。H cos*p -cosRsingd,p d(p p p dip p+sin%4 +sin9cos44 +L o s s in p A,+-cos 叫 +生dp

22、x dp p c(p A p&8 A,=-4 +多 P1叫+曳&p即ppM1 曲E,dA-1 ，I d I 现(2)力=二(/,)+-=-(sin 叫)+-r-cv/sin/rsin6?expor.=sin0cos =sin Osin(p=cosO=-cos0cosrde=-cosOsin =sin。dz rd(p sin。-=dx rsin6?dtp cos*dy 尸 sin。皿=0dz4sinOcosecoscos 一 sin/，4=sin Osin 0cossin0 cosuA.cos 7-sin0 0-dA 出dA /=工 +L+LA&A=-cA-d-r+c-A cO dA d(p+M

23、 dr dO+,4 -d三(p&dx cG dx d(p dx&dy dO dy c(p dy+cA.=dr+dA z-dO-+cA-z-d(p&d0&v(p dze=sin9cos0(sin，cos研 +cosOcos矶,-sin(pA)&e+coscose-(sinecos”L+coscos。-sin伊J)r dOsin。U ,./c 4 .、-(s in c o s+c o s”cos侬 -s in侬)rsin/7 ckp+sin sin(p(sin6?sin(pAt+cos sk】040+cos04)&(;+cossin0(sin，sin04,+cos0sini+coso4)r dOc

24、os 3一 八.4 6 .、H-(sm c/sin4r+cos sui3%+cos叫,)rsin 加+cose(cos6M,sin 6M)cr一(cos例-sin 叫)=siir 0cos2(p Af+sin0cos0cos2(p Ao-sin 0cossiii(p Adr dr dr.2.2d.2 e+sin Osin(p Af+sincos0sin*A)r dO dO dOg 3 r+一(sin cos8sin(p A,4-cos:夕 sin(p Ao+cosOsin0cos0 A)r dO dO GO1/9/7(sin0cos0-s in2 O Ao)r c0 dO+-(cos2 0co

25、s2(pAf-sin tfcoscos2(pA0)r+(cos2 0sin2 0At-sin0cos5sin2(p40)r4-(s in2 0At+sinOcos也)+(-sin6sincos/Ir-cos6sincos/fs+s in 4)/sing 即 加 加1 /-zi.3 A d.，/、+-(sin tfsn(pcos(p At.+cosc/sincos Ao+cos cp A)rsinO dtp eip eip+-(sinOsin，油 4-cos0sin:(pA0+sin os胸 )rsin+-(sin0cos2(pAt+cos0cos-(/iA0-s in os那 )rsinff3

26、 、2 sin。cos。1 巩(4,)+-,+：-(4)+：+：-?-&r rsin cG rsin。sin。exp=-7(r A)H-(sin OA)+r2 a-rsinO rO i Ersin/9 rip1.2 6 计算下列矢量场的散度a)F =y z x +z y y +x z zb)户=0 +c)户=2户+，co s 0 +0解：1 /nc 1 国 4.co s2 0c)V -F=(r*F )H-(s i n6匕)+-=s i n。+-广&r s i n c G r s i n 0&p r s i n。1.2 7 计算散度。(加),八 (%)，其中定为常矢量.解：V(z p)J s“)

27、=2Vr=V F =1.2。8 由，口r-!)=-/中-+夕 推1 A导le-a-=(co s 3-s i n g-X co s。-s i n g-)d x*d p p d(p d p p d(p.c20).5 1 c O.1 c c d)=c o s-c p-r -s i n ec o s 伊 (-)-s i n 伊-(c o s?)d p-d p p d(p p d(p d pa2D,.d 1 a、/.纯 I r Dx-=(s m e +c o s-)(s i n*+c o s 尹-)力-d p p d(p d p p d+s m (s m )p-o(p d(p,a2o e /&D、i e

28、 /.w 、+s n r (p r+s m e c o s 伊(-)+c o s 伊-(s m )d p d p p c(p p d(p d p1 d z+c o s (c o s v?)p-d t p c(p%+S/J 以-sMosJ 也+S 2 O S 以d p p d p P d(p d p pz d t p,1 a o).I d?6 1 d d ,I a2o)4-COS*(p-4-COS Si n -c o s s m -4-COS*(p-r rp d p p d(p d p p、d(p p-d q Td2a)i a o i a2o)d p2 p d p p:d(p:1.2 9已知a)

29、f(r)=x2zb)f(r)=pc)f(r)=r求解：1.3 0求 矢 量 场 户=成 +0 +z 穿过山1,0 -,0 z 1确定的1*域的封闭面的通量.解：F =pp+(jj+z z解法I：目 户而=JJ1户而+JJ 户 M+户 d s+J|F-d sS S SQ S y9为半径为1的 圆 弧 侧 面;另 为 侧 平 面;下 端 面:S4上端而。I Xj j 户而=+zz)-z pd(pd z=JJ ppc lqx lz =nd z d xy =0=Jt Z r-j Z r =0(z)pd pd(p=0j j F d S=JJ(而+0 +zf)a)pd pd(p=眉2目户&=户W M +J

30、J户”6 +j J户+0户(拉=31/2S S 讥$S j1 1j j F-=Jj(/?+(&+zz)-(y)d x d z=-Jj(j+7：,)s.s.-io J b+V*j j户.而=”(加+0 +zi)5、S 3z=0解法2：I d 1五印VF =-)+一一广+Y=2+1 =3p cp p cip C2号户 曲=V FdV=j JJ3/r =3r =3/2r-*A d i x y z2 a a ai.3i 由(x/)，6=j m-推导V x x =七;A s 岛W 24 4 4解：1)设方=3 /为边长为与，和A z的，中心在(x,y,z)的矩形回路-dA,A-dl=/A z-(Jt H

31、-z)A r +(4 H-A r)A z-i-J,.A vdz.丹 一身，+%如dz dyfA-dl-网-.+dA,dz dy2）设方=卞，/为边长为A t和A z的.中心在*,y,z）的矩形回路r _ _ SA SAj A dl=-/、A r (/；+AY)AZ+(4i 力;A z-2 5 Az+%&Atdx dzA s dx dz3）设方=2,/为边长为A t和与，的，中心在（x,j，,z）的矩形回路-,7 0AA d i=-AvAy-(Ax+-A y)A.v+(J,+-A.v)A v+A xdy dx-d-A-x A y A x H-d-A-t.Z L vA v生 dxv *八-J 以.

32、一0三4 HA.、dA.dAx dAt SA+靖+y+云)+烈-至+)戈，a-41.32计算矢量场F=.x y f +2y zv-z的旋度解：=x(-2y)+p(0 +0)+f(-x +0)=-2yx-xz1.33 计算 x 万,V x 尸,x (zp),x 0解:Vxp=-Pdtp030=0V x(zp)=-PP P P Zc d dcfp&z 0 0=0Vxr=r s i n。rrda百0r s i n 0(pa0 x 0 =I/s i n。dr0rf)0加r s i n。.c o s。*1r-07,s i n 1Ayu-44旦及4=JVX,i长 也+4 Cdy4(x，J)o-dA HAM

33、)=4(x,y)f +4(-玄+右)R1.35证明矢量场/向+*P+A5既是无散场，乂是无旋场。讦：1.36 已知=/?oCOS停-Z?oSin的,求和 V x f。解:V 1瘟0rsin cG(sin 体0)+sin。oprsin，弟(sin 0(-sin 0)20 cos，2E0 cos。_ 0rsin 附ddiprsin 0Ea1 _r2 sin06&E0 cos。rOd万-rE0 sin 3r s in d加0=(-&s i rt?+航 s i 田)=01.37 证明 V x(/1)=x A+M4 防 F )+)(4-4 丁)+石-4 瓦)=0V X 1 +V!)x/i1.38 已知户

34、=J(x)J(v)卢=3(x)Wp)/z)希卜+川辛当”4#|r-r 1 f-Cz,)火 力,=z!=!(rc oS-。s iW)49.4力所以F(r)=Vx,4(r)第2章习题2 L已知真空中有四个点电荷=1 C,2=2 C,%=4 C,%=8 C,分别位于(1,0,0),(0,1,0),(1,0,0,),(0,1刈点,求(0,0,1)点的电场强度。解：R=一 +2;用=-/+;凡=+2;凡yzp _ I ziA ,x _ 3 x+6 j+1 5 z4您,，R：R；R；R：4在。我2-2,已知线电荷密度为0的均匀线电荷附成如图所示的几种形状，求P点的电场强度。C题2-2图解:(a)(b)(c

35、)由对称性后=&+&+&+瓦=o山对称性E =Ei+E2+=0建立坐标系如图所示,两条半无限长线电荷产生的电场为瓦=E +员=p-y)-(+?)=-4%口半径为a的半恻环线电荷产生的电场为Pt2yPiy总 电 场 为 月=瓦+瓦=02-3.真空中无限长的半径为a的半边圆筒上电荷密度为求轴线上的电场强度。解:在无限长的半边圆筒上取宽度为a d p的窄条，此窄条可看作无限长的线电荷，电荷线密度为p,=夕,。对0积分,可行式空中无限长的半径为a的半边倒筒在轴线上的电场强度为E=f(-sin 新，-c os aps=br-ar为场点到坐标原点的扣离，a.b为常数.求电场强度.解：由于电荷分布具有球对称

36、性,电场分布也具有球对称性,取一半径为r的球面，利用高斯定理耳后而=幺,八等式左边为 E d S =4nr2E,X半径为r的球加内的电量为4疗 rr a5因此，电场强度为厂-vraE=50a明1/+5加，26.在圆柱坐标系中电荷分布为r;r ar为场点到z轴的距离，a为常数。求电场强度。解：由于电荷分布具布轴对称性，电场分布也具有轴对称性，取 一 半 径 为r,单位长度的圆柱面，利用高斯定理拒 缶=:xfco等式左边为.曲=2叫半 径 为r、高 为1的圆柱面内的电量为2-7.在直角坐标系中电荷分布为p(x,y,z)=.0;|.r|a求电场强度。解：由于电荷分布具仃面对称性，电场分布也具有而对称

37、性，取 对称的方形封闭面，利用高斯定理，穿过面枳为S的电通量为E,2 s，方形封闭而内的电信为2xSp0;x a因此，电场强度为空|小aEA=E,x “28,在直角坐标系中电荷分布为|x|;|xl a求电场强度。题2-8图解：由于电荷分布具有面对称性,电场分布也具有面对称性，取一对称的方形封闭面，利用高斯定理，穿 过 面 积 为S的电通量为E.2 s，方形封闭面内的电量为X Xq=2j pSdx=2jx&Zv=0 0.v2S;|.v a因此，电场强度为E*=x -;0 .v a242-9.在电荷密度为p（常数）半径为a 的带电球中挖 个半径为b 的球形空腔，空腔中心到带电球中心的距岗为c（b+

38、cah求空腔中的电场强度.题 2-9图解:由电场的胜加性，空腔中某点的电场等于完全均匀埴充电荷的大球在该点的电场与完全均匀填充负电荷的小球在该点的电场之和.利用高斯定理，可求得完全均匀填充电荷的大球在该点的电场为E=巫完全均匀填充负电荷的小球在该点的电场为瓦3 4所以，空腔中某点的电场为 =瓦+瓦=片（无一广）=卢3%3%c为从球心指向空腔中心的矢量.2-10.已知电场分布为E=-x -b/2 x 6/2一f;工 6/2求电荷分布.解:由-巨=0/得p =-E=当 x|/22-1 1.已知在圆柱坐标中，电场分布为Cr_E=i a ,b 其中C为常数。求电荷分布.0;r b解：由 =0/,得P=

39、()云-Cr在urb，V E=V()=0(在圆柱坐标系)r在,r b,V-E=0因此 0=0在r-a,r-b有面电荷.电荷面密度为P、=D“=冉eaC!ar=a-enC!br=b2-12.若在圆球坐标系中电位为(b-a)r(r)=(-a),a r(b-a)r 4 a对0(r)=,(-a)a r b求拉普拉斯运算得V;0 =O因此 p=0下面计算r=a,r=b的分界面上的而电荷.-.2E=-V(U =-rdrQraEr(r)=丝;a v,y 60;rNb%、b/a;r=a面电荷 密 度pt=Dn=e0En=qa b；r=b2-13.分别计算方形和圆形均匀线电荷在轴线上的电位.A(a)方形均匀线电

40、荷在轴线上的电位方形每条边均匀线电荷的电位其中 d2=z2+(/2):方形均匀线电荷在轴线上的电位为p,+J/2+L/2 =In/-%-Jz2+13/2-L/2(b)圆形均匀战电荷在轴线上的电位2-14.计算题2-5给出的电荷分布的电位。解：题2-5给出的电荷分布的电场为厂-T；r a54尸由电位的定义，电位为=j Etdr2-15四偶极子电荷与圆球坐标位置为虱4方/2,0).,-g(a,1/2期7 2),求。a处的电位.解:中()=一(-+-)4鹿。凡&R R；其 中 吊=一 甲凡=/+/；2落 月 产R.rl-2 r(1r/r，/2=r-r r1 lri F,r.1 ln F r./?(r

41、 r R2 r r1 w1 ri r-!+-1 1%k 4 户11：瓦 I：q,1 1 1 1、4瓯,&R2%凡-，+、-r J =-_W 4%广 2您广i r s in，(cos +s in p)2%厂2-16.已知电场强度为E=3x +4 y-5 z.试求点(0,0,0)0点(1,2,1)之间的电压.解:乙=D(a)-LU+/-ijf(z-L/2)2z-L/2=);z -L/22 4 y/(z +L/2)2+a2-Pa2-八0+,z+L/2 =)、；z L/2+a2z +L/2z-L/2J(z +L/2)-+-L/21 +a-L/2 zL/2z +L/22%J(z +L/2)-+4-J(z

42、 Z/2)+4-y,z -L/22-21.半径为a的介质球均匀极化,P=PJ.求束缚电荷分布.(#2-nrr(1)介质中的束缚电荷体密度为夕=-/=0(2)介质表面的束缚电荷面密度为f ix=n P =z rTy=c o s。2-22.求上题中束缚电荷在球中心产生的电场。解:介质表面的束缚电荷在球心产生的电场在 介 质 球 表 面 取 半 径 为r=as m G宽 度 为d l=adO的 环 带，可 看 成 半 径 为r=s i.z=-“cos，,电荷线密度为p,=a P osf ki f f的线电荷圆环，例中给出了线电荷圆环的电场，对。积分得E _ j “sinJcose _ Pl 2/1(

43、as it)?+(“c o 伊3 7题 2-22图2-23.无限长的线电荷位于介电常数为的均匀介质中,线电荷密度0 为常数，求介质中的电场强度。解:设无限长的线电荷沿z 轴放置，利用高斯定理，容易求得介质中的电场强度为E=4 p为场点到线电荷的距离.2可2-24.半径为a 的均匀带电球壳，电荷而密度0、为常数.外包一层厚度为d、介电常数为的介质，求介质内外的电场强度.解:由于电荷与介质分布具力球对称性，取半径为r 的球而，采用高斯定理jj Di i S=(/上式左右两边分别为4 D,=4血”,2由 此 得。=整因为力=点，所以E,=6 P、r-;a r a +d2-25.两同心导体球壳半径分别

44、为a、b,两导体之间介质的介电常数为，内、外导体球壳电位分别为匕0.求两导体球壳之间的电场和球壳面上的电荷面密度.解：设内导体带电荷为q.由于电荷与介质分布具右球对称性，取半径为r 的球面，采用高斯定理，两导体球壳之间的电场为F _ q 4 延r 两导体球诧之间的电压为V =Ei.d r=-(-)J 4延 a bV 1所以1 i ra b球壳面上的电荷面密度为pt(r=b)=D(r=b)=t,(r=b)=-CTeV 1口百【b2 2 6 两同心导体球壳半径分别为a、b.两导体之间有两层介质.介电常数为臼、向，介质界面半径为c，内外导体球光电位分别为尸,0 0 求两导体球壳之间的电场和球壳面上的

45、电荷面浴度以及介质分界而上的束缚电荷而密度。解：设内舁体带电荷为q,由于电荷与介质分布具有球对称性，取半径为r 的球面，采用高斯定理可得，。=工4m-两导体球光之间的电场为=q-a r c4%厂-丁；c r b4国 广两导体球壳之间的电压为hch夕=JErdr=-11 dr+-7 dr=1，4在厂 f 4nr:2r-Y-=K/-(1-)+(1-)4;r 与 a c s2 c bVq J4*a c 4吟c bE,=，(-)+(-a c 、c bVc r b=a)=Dw(r=a)=j,7)a c 2 c bP内外导体之间的电压为 V =Erd r=I n-；27(勺+勺)a由此得g =(a +，从

46、而得aE电荷分布为臼介质侧p、=“,在上、下牙体表面上的电荷面密度为eVp,=-(b)由图可见，导体板之间介质与空气中的电场为E =V/d根据导体表面上的边界条件=力，在上、下导体板与空气的界面上的电荷面密度为P o1 =V /d在上、卜导体板与介腹的界面上的电荷面密度为p s=sV /d2-3 5在内外半径分别为“和b之间的网柱形区域内无电荷，在半径分别为和b的圆柱面上电位分别为V和0.求该圆柱形区域内的电位和电场.解：由电荷分布可知，电位仪是0的函数，电位满足拉普拉斯方程，方程为1 d c/-(p-)=0p d p d p解微分方程得0(/7)=C j I n p +c2利用边界条件4 (

47、a)=I n a +=VO(f r)=C)I n /+c2=oq =l n-b-V-I,n oLl n-b因此l n Pa2.3 6 在半径分别为和6的两同轴导电I网筒圉成的区域内.电荷分布为p =A h,A为常数，若介质介电常数为,内导体电位为V.外导体电位为0。求两导体间的电位分布。解：由电荷分布可知.电位仅是0的函数，电位满足泊松方程1 d z 4 中、A-(r-)-r d r d r-e r解微分方程得力O(r)=-r +c j l n r +c2e利用边界条件中(a)=a +q I n a +=V/(b)-b +cl I n /+c2=0e得A AV-(b-a)V-(b-a)G =-

48、：-,j =b +-I n b.b .,b-I n -I n -a aj 夕一(b-a),0(r)=+-I n I n 2 a2-3 7 两块电位分别为0 和 V的半无限大的导电平板构成夹光为a的角形区域，求该角形区域中的电位分布。=/c -7b4 =0题23 7图2 8 2.3 8 图解：由题意，在圆柱坐标系中，电位仪是e 的函数，在导电平板之间电位方程为v2a =-=oP d(p-其 通 解 为 =c+q)由 边 界 条 件 中(8=0)=0：中(0=a)=P.得V 八q =一,q=oa所以，中=(pa2-3 8 .由导电平板制作的金属盒如图所示,除盒盖的电位为V外,其余盒壁电位为0.求盒

49、内电位分布.解：用分离变量法，可褥电位的通解为中(”,z)=An s i n .v s i n v(?a c乃、,乃、a=ry+y利用边界条件仁=0)=0;(二=6)=P ,可求出系数k=-116 P=-；-(m、n 为奇数)wi 7 rsh(a b)Amtt=0 (m、n 为偶数)2-3 9在 月=；的匀强电场中沿z轴放 根半径为a的无限长导电圆柱后，求电传及电场。题2.3 9图解：由分离变量法，无限长导电圆柱外的电位的通解为d)(p M =&I n +%+dwp w)(co s m(p+b 1 t t s i nm(p)(1)设(0=0)=0,当夕TooM的电位等于无导电圆柱的电位，即0,

50、z 0)有一点电荷q.用镜像法求电位分布.解：如图将空间等分为8个区，在每个区中以原来的导电血为镜而可以依次找到镜像位置，原电荷的位置为(Xo，)，o，z。),另外7个镜像电荷在圆柱坐标系中的坐标为：(y 0,Xo，Z0),y0,x0,z0).(-x0,y0,z0).(-.r0,-0,z0).(-y0,-r0,z0).(3*0,-x0,z0).(x0,-y0,z0).镜像电荷为7=-9；%=q：q、=-q；q4=9；心=一 9：%=9；%=q对于场点(x,y,z),电荷到场点的距尚矢量为rt=(x-x,)x +(y-yt)y+(z-z()z ；i =0,7a7 7则场点的电场为E(r)=4 在