2022年中考数学复习新题速递之三角形（2022年2月含解析及考点卡片）.pdf

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1、2022年中考数学复习新题速递之三角形一、选 择 题（共10小题）1.（2021秋吴兴区期末）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A.3,5,8 B.3,3,6 C.10,8,7 D.1,2,42.（2021秋万州区期末）如图，在 AA8C和 AD所 中，AC/DF,AC=尸，点 A、D、B、E 在一条直线上，下列条件不能判定A/WC三ADEF的是（）A.N C =N F B.Z A B C =A D E F C.A B=D E D.BC=EF3.（2021秋思明区校级期末）如图，4）是AABC的角平分线，CE_LA,垂足为F.若Z CAB=4O,NB=50。，则 NBDE 的度数为（）4

2、.（2021秋泉州期末）如图，在 RtAABC中，NC=90。，点G 是A48C的重心，GE1.AC,垂足为E,若 G E =3,则线段CB的长度为（）9A.10 B.9 C.6 D.-25.（2021秋曲靖期末）如图，在 AABC中，Z&4C=1 2 8 ,是AABC的内角NABC的平分线电 与外角Z A C E的 平 分 线 的 交 点；P2是4 C 的内角AP.BC的平分线BP2与外角/C E的平分线飞 的交点；P3是 B R C的内角4P?BC的平分线BP、与外角/巴C E的平分线 CA的交点；依次这样下去，则/E 的度数为（）6.（2021秋密山市期末）如图，AD是 A4BC的中线，

3、C E是AACD的中线，D F 是A C D E的中线，若%斯=4,则%BC等于（）7.（2021秋两江新区期末）如图，在AABC中，AB=5,AC=3,4）为 8C 边上的中线,则A4fi 与 AACD的周长之差为（）8.（2021秋巢湖市期末）如图，AACBz/XA CB ,NBCB=30,则 NAC4的度数为（9.（2021秋巴南区期末）木工师傅要使一个四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至少要再钉上根木条，这里的=（）A.0 B.1 C.2 D.310.（2021秋巴南区期末）下列说法错误的是（）A.一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等B.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点

4、的距离相等C.有两个角为6 0。的三角形是等边三角形D.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合二、填 空 题（共 7小题）I I.（2 0 2 1 秋兴义市期末）如图所示，4）是 A A f i C 的中线.若 AB =7 cm,A C =5 c m,则和A A D C的周长的差为 _ _ _ _cm.1 2.（2 0 2 1 秋通道县期末）一副分别含有T O。角、4 5。角的三角板，拼成如图所示的图形,其中 N C =9 0。，Z B =4 5,/E =3 0。，则 N 3 F D 的度数是.1 3.（2 0 2 1 秋南安市月考）如图，已知4）是 A A B C 的中线

5、，A E=E F =FC,下面给出三个关系式：A G:A D =1:2；GE:BE=1:3；BE:BG=4:3,其中正确的为.（填序号）1 4.（2 0 2 1 秋环江县期末）如图，为使人字梯更为巩固，在梯子中间安装一个横向“拉杆”,所根据的数学原理是拉杆1 5.（2 0 2 1 秋甘井子区期末）如图，N B =4 2。，Z A +1 O 0 =ZC,则/4=.1 6.（2 0 2 1 秋包河区期末）不等边A A 8 C 的两条高的长度分别为4和 1 2,若第三条高也为整数，那么它的长度最大值是.1 7.（2 0 2 1 春宜兴市月考）某工艺店打算制作一批两边长分别为3 出，6dm,且周长为偶

6、数（单位：曲?）的不同规格的三角形木框，若每种木框只制作一个，则制作这些木框（忽略接头）共 需 要 dm.三、解 答 题（共 8 小题）1 8.（2 0 2 1 秋长丰县期末）如图，在A A B C 和（?）：中，点、B、D、C 在同一直线上，已知 N A CB=N ,A C =CE,AB U D E,求证：A A BC=A CDE.1 9.（2 0 2 1 秋武汉期末）如图：A、。、B、产四点在同一条直线上，若 Z A =Z E D F ,N C =N E,A D=B F.求证：A C=D E.2 0.（2 0 2 1 秋卧龙区期末）体育课上，小明和小聪突然争论起来，他们都说自己比对方身体长

7、的高，这时善于思考的小慧走过来，笑着对他俩说：“你们不要争了，其实你们一样高,看看地上，你俩的影子一样长”（假设太阳光线是平行的）.小 明和小聪不太明白，小慧给他们讲了其中的道理.小慧说我们先对该问题进行数学抽象：如右图，直线“表示地面，AB,8 分别表示你俩的身高，和QV表示太阳光线，是平行的，8M和 ON表示你俩身高的影长，是一样长的.然后小慧用所学的数学知识解决了该问题.下面给出了小慧解决该问题的一部分内容，请你将已知，求证补充完整，并给出证明：（1）已知：如图，于点 5,C）_ L a 于点 ）,；（2）求证：；（3）证明：.P、Q、B M D N2 1.（2 0 2 1 秋思明区校级

8、期末）问题提出：（1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做“偏等积三角形”.如 图 1,A A B C 中，A C =7,B C=9 ,AB=0,P为 AC 上一点，当小:时，A A B P 与A C 3 P 是偏等积三角形；问题解决：（2）如图2,四边形钻 降 是一片绿色花园，A A C B、A D C E 是等腰直角三角形,Z ACB=Z D C E=90 （0 N B C E 的面积为2 1 0 0 .如图3,计划修建一条经过点C 的笔直的小路CF,F 在 B E 边 上,FC 的 延 长 线 经 过 中 点 G.若小路每米造价6 0 0 元，请计算修建小路的总造价.图1图2 图32

9、2.（2 0 2 1 秋南山区校级期末）Z M O N =9 0。，点、A ,8分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合）.（1）如图，AE,3E分别是N 8 A O 和 Z A 8 O 的平分线，随着点A、点 3的运动，ZAEB=O .（2）如图，若 3c是 的 平 分 线，8c的反向延长线与N 0 4 B 的平分线交于点。.若 Z a 4 O =60。，则/）=；随着 点A，5 的运动，NO的大小是否会变化？如果不变，求/D的度数；如果变化，请说明理由.23.(2021秋金水区校级期末)“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题.今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的.有人曾利用如

10、图所示的图形进行探索，其中ABCD是 长 方 形，尸 是 ZM延 长 线 上 一 点，G 是 C F 上 一 点，且 NACG=N4GC,NG4F=N尸.请写出NECE和 NACB的数量关系，并说明理由.24.(2021秋崇明区期末)如图，在 A4BC中，点 F 为 AABC的重心，联结A F并延长交BC于点。，联结M 并延长交AC于点E.(1)求为组的值;S&ABF(2)如 果 福=M,A C =b,用汗、5 表 示 曲 和 衣.2 5.如图所示，点 D,A,E 在一条直线上，AAZJCwAAEB,点。和点E 是对应顶点,ZB4c=30。，ZD=45.(1)求 Nfi的度数；(2)求N8MC

11、的度数.2022年中考数学复习新题速递之三角形参考答案与试题解析一、选 择 题（共 10小题）1.（2021秋吴兴区期末）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A.3,5,8 B.3,3,6 C.10,8,7 D.I,2,4【答案】C【考点】三角形三边关系【专题】推理能力；三角形【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析.【解答】解：根据三角形的三边关系，得，A3+5=8,不能组成三角形，不符合题意；83+3=6,不能够组成三角形，不符合题意；C.7+8 1 0,能够组成三角形，符合题意；D l+2 尸，点A、。、B、E 在一条直线上，下列条件不

12、能判定AA3C三ADE尸的是（）A.NC=N尸 B.ZABC=ZDEF C.AB=DE D.BC=EF【答案】D【考点】全等三角形的判定【专题】图形的全等；推理能力【分析】先利用平行线的性质得到Z4=4 D E,然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断.【解答】解：AC/OF,:.ZA=ZFD E,：AC=D F,当添加NC=N尸时，根 据“ASA”可判断AABC三ADEF；当添加NAfiC=Z）F 时，根 据“AAS”可判断AAfiC三ADEE；当添加时，根 据“SAS”可判断AABCWADE尸.故选：D.【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5 种判定方法是解决问题的

13、关键.选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件.3.（2021秋思明区校级期末）如图，A 是 AABC的角平分线，C E J.A D,垂足为F.若ZC4B=40,N8=50。，则 N5DE 的度数为（）【答案】B【考点】三角形内角和定理【专题】图形的全等；三角形；推理能力；几何直观【分析】根据三角形的内角和求出2 4 8 =90。，利用三角形全等，求出DC=D E,再利用外角求出答案.【解答】解：.NC4B=4O。，ZB=50。，ZACH=180-40-50=90,:CE A D，,ZAFC=ZAFE=90,AD是AABC的角平分线，ZCAD=ZEAD=1 x 40=20,2又.AF=A F

14、,/SACF 三 AAEF(ASA)AC=A E,AD=AD,ZCAD=ZEAD,/.AACDAAED(SAS),：.DC=DE,；4DCE=NDEC,.ZA CE=90。-20。=70。，.ZDCE=ZDEC=ZACB-ZACE=9 0-70=20，.*.ZB DE=ZDCE+ZDEC=200+20=40,故选：B.【点评】考查角平分线、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和等知识，根据三角形的内角和求出相应各个角的度数是解决问题的关键.4.(2021秋泉州期末)如图，在 RtAABC中，NC=90。，点G 是 AABC的重心，G E VAC,垂足为,若GE=3,则线段CB的长度为()AA.

15、109-D.2B6【考点】三角形的重心【专题】应用意识：三角形；图形的相似【分析】延长AG交 8 c 于 ,如图，利用三角形重心的性质得到CE=3 0,AG=2GD,再证明G E/C Z),则可判断AAEGsAACD,然后利用相似比可求出C的长，进而得到线段 C 8的长度.【解答】解：延长AG交于。，如图，.点G 是 AABC的重心，；.CD=BD=LBC,AG=2GD,2/G EA C,/.ZAEG=90,而 NC=90。，:.GE I/CD,/.AAEGAACD，E G A G 2CB-7D-3:.BC=2 C D=9 .故选：B.【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中

16、线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1.也考查了相似三角形的判定与性质.5.（2021秋曲靖期末）如图，在 AABC中，Z&4C=128,咛是AABC的内角NABC的平分线BP,与外角Z A C E的平分线C的交点；P是 BPtC的内角NRBC的平分线BP2与外角N R C E的平分线CP2的交点；P、是a 叫 C 的内角N R B C的平分线B R与外角zLP.CE的平分线 的 交 点：依次这样下去，则/6 的度数为（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】A【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质【专题】三角形；推理能力【分析】根据角平分线的定义得Z P C E

17、=-Z A C E,再根据三角形外角性2 2质 得 Z A C E=Z A +Z A B C ,Z P C E =Z P B C+Z P,于 是 得 到-(Z A +ZABC)=ZPBC+Z P-Z A B C +ZP,然后整理可得/尸=1 4 4,同理得到结论.【解答】解：.A4BC的内角平分线3 P与外角平分线C/J交于A，NF；BC=；ZABC,=g ZACE,ZACE=ZA+ZABC,NRCE=N%BC+N ,-(Z A+ZABC)=NFJBC+ZA=-ZABC+，/.Z/?=-Z A-x l2 8 =64,2 2同理 Ng=-Z =3 2,.4=2。，【点评】本题考查了三角形内角和定

18、理，熟知三角形内角和是180。是解答此题的关键.6.（2021秋密山市期末）如图，4）是AASC的中线，CE是AACD的中线，D F是ACDE的中线，若 九b=4,则S-等于（）【答案】C【考点】三角形的面积【专题】三角形；推理能力【分析】由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.则可先求出5Aoe.=3,再求出S&CAE=6,然后求出5 =1 2，从而得到心【解答】解：,./是ACDE的中线,一ADCF=S ADEF=4 .C 是AACD的中线，S&CAE SCDE 8，AD是 AABC的中线，=M D C=8+8=16,SMBC=16+16=32.故选：c.【点评】本题考查了三角形面积

19、公式，熟练掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解题的关键.7.（2021秋两江新区期末）如图，在AABC中，AB=5,AC=3,AO为 边 上 的 中 线，则AAfi。与AACD的周长之差为（）【答案】A【考点】三角形的角平分线、中线和高【专题】运算能力；三角形【分析】根据题意，AD是 AABC的边3 c 上的中线，可得M =C,进而得出AM。的周zAB+BD+AD,A A 8 的周长=AC+CD+AZ）,相减即可得到周长差.【解答】解：4）是 A48c的中线，:.BD=CD,：.ABD 与 AACD 的 周 长 之 差 为：（AB+BD+AD）-（AC+CD+AD）=AB+B D+

20、A D-A C-C D-A D =AB-AC=5-3=2 i故选：A.【点评】本题主要考查了三角形的中线、高和三角形周长的求法，熟练掌握三角形周长公式是解题的关键.8.（2021秋巢湖市期末）如图，A4cB岂 ACS,NBCB=30。，则 NAC4的度数为（)N AB CA.20 B.30 C.35 D.40【答案】B【考点】全等三角形的性质【专题】图形的全等；推理能力【分析】根 据 全 等 三 角 形 的 性 质 得 到=结合图形计算，得到答案.【解答】解：.AAC3=ACB,:.ZACB=Z ACB,Z A C B -Z A C B =ZACB-Z A C B,ZACA=Z BCB1=30

21、o,故选：B.【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键.9.（2021秋巴南区期末）木工师傅要使一个四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至少要再钉上“根木条，这里的=（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【考点】三角形的稳定性【专题】三角形；推理能力【分析】要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，钉上木条变成三角形即可.【解答】解：四边形木架，至少要再钉上1根木条，使四边形变成两个三角形；故选：B.【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用.三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转

22、化为三角形而获得.10.（2021秋巴南区期末）下列说法错误的是（）A.一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等B.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等C.有两个角为60。的三角形是等边三角形D.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合【答案】D【考点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；等腰三角形的性质；直角三角形全等的判定【专题】推理能力；三角形；等腰三角形与直角三角形【分析】根据全等三角形的判定、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质解决此题.【解答】解：A.由一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形得这个两个直角三角形中有两个角相

23、等且一条边相等，根据A 45或者ASA推断出这两个直角三角形全等，那么A 正确，那么A 不符合题意.B.根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，那么8正确，故8 不符合题意.C.根据三角形的内角和定理，由三角形的两个内角等于60。，得这个三角形的三个内角均为60。.根据等边三角形的判定，这个三角形是等边三角形，那么。正确，故 C 不符合题意.D.根据等腰三角形“三线合一”的性质，等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线及底边上的高相互重合，那么。错误，故。符合题意.故选：D.【点评】本题主要考查全等三角形的判定、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的性

24、质，熟练掌握全等三角形的判定、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质是解决本题的关键.二、填 空 题（共 7 小题）11.（2021秋兴义市期末）如图所示，是 AA8C的中线.若 AB=7 cm,A C S e n t,则和 AADC的周长的差为 2 cm.【答案】2.【考点】三角形的角平分线、中线和高【专题】推理能力；运算能力；三角形【分 析】根 据 三 角 形 中 线 的 定 义 得 到=,求得和AAC D的周长差=(AB+A D+B D)-(A C +A D +CD)=A B-A C,于是得到结论.【解答】解：.4D是8 C边上的中线，/.B D =C D，AABO 和

25、 A A 8 的周长差=(AB+4 9 +即)一 (AC+AD+C)=43 -AC,AB=lan,A C -5cm M B D 和 AACD 的周长差=7 5=2cm.故答案为：2.【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握三角形中线的定义是解题的关键.12.(2021秋通道县期末)一副分别含有30。角、45。角的三角板，拼成如图所示的图形，其中 NC=90。，ZB=45,Z =30。，则 N 8FD的度数是 _ 1 5。_.E【答案】15.【考点】三角形的外角性质【专题】推理能力；三角形【分析】由题意可得NC4fi=45。，ZE =3 0%利用三角形的外角性质可求得NA/汨=15

26、。，再由对顶角相等即可求得N8中 的 度数.【解答】解：由题意得：ZC 4B=45,Z E =30,.NC4B是AAF的外角，.-.ZAFE=Z C A B-Z E=5 0,:.ZBFD=Z A F E =5.故答案为：15。.【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角性质并灵活运用.13.(2021秋南安市月考)如图，已知A D是AABC的中线，A E =E F =FC,下面给出三个关系式：AG:AD=1:2；GE:BE=1:3；BE:BG=4:3,其 中 正 确 的 为 .（填序号）【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的重心【专题】应用意识；图形的相似；三角形【分

27、析】根据已知对各个关系式进行分析，从而得到正确的选项.【解答】解：.4）是AABC的中线，BD=DC，.EF=FC,/为 C8E的中位线，.D F/BE9:N D FSACBE,AAGEAADF,:.GE:DF=AGtAD=l:2,DF:BE=1:2,:.GE:BE=:4，:.BE:BG=4:3,正确.故答案为：.【点评】本题考查了三角形的中位线的性质定理，平行线分线段成比例定理的推论，本题的关键是证明：DFHBE.14.（2021秋环江县期末）如图，为使人字梯更为巩固，在梯子中间安装一个横向“拉杆”,所根据的数学原理是 三角形具有稳定性.【答案】三角形具有稳定性.【考点】三角形的稳定性【专题

28、】三角形；推理能力【分析】根据三角形的稳定性解答即可.【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加梯子使用时的安全性，这样做的道理是三角形具有稳定性，故答案为：三角形具有稳定性.【点评】此题考查了三角形的性质，关键是根据三角形的稳定性解答.15.（2021 秋甘井子区期末）如图，NB=42。，ZA+1O0=Z C,则/4=_ 6 4。_.【答案】640.【考点】三角形内角和定理【专题】三角形；应用意识【分析】利用三角形内角和定理解决问题即可.【解答】解：.NA+ZB+NC=18O。，又.ZB=42。，ZA+10=Z C.ZC-10o+42+ZC=180,.-.ZC=74,.-.ZA=64

29、,故答案为：64.【点评】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是掌握三角形内角和定理，学会构建方程解决问题.16.（2021秋包河区期末）不等边A4BC的两条高的长度分别为4 和 1 2,若第三条高也为整数，那么它的长度最大值是 5.【答案】5.【考点】三角形的面积【专题】推理能力；三角形【分析】先设长度为4、12的高分别是a,匕边上的，边 c 上的高为人,AABC的面积是S,根据三角形面积公式，可求“=竺，b=,c=,结合三角形三边的不等关系，可得4 12 h关于6 的不等式，解即可.【解答】解：设长度为4、12的高分别是a,边上的，边 c 上的高为%,AABC的面积是S,25,2S 2S那

30、么 a=,b=，c=，4 12 h5L*a-b c a-b,2S 2S 2s 25.-c v-1-，4 12 4 12BnS IS 253 h 3解得 3 /?6,./=4 或/?=5，h,”“*=5 故答案为：5.【点评】本题考查了三角形的面积，解题的关键是掌握三角形任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边差小于第三边.17.（2021春宜兴市月考）某工艺店打算制作一批两边长分别为3d,6 d m,且周长为偶数（单位：曲?）的不同规格的三角形木框，若每种木框只制作一个，则制作这些木框（忽略接头）共需要 30 dm.【答案】30.【考点】三角形三边关系【专题】三角形；推理能力【分析】根据在三角

31、形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，确定第三边的取值范围，从而确定符合条件的三角形的个数.【解答】解：三角形的第三边x 满足：6-3 x 3+6,即3 c x 中，点3、。、C在同一直线上，己知 Z A C B =Z E,A C =CE,AB!/D E,求证：A BC/CDE.【答案】证明过程见解答.【考点】全等三角形的判定【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力；图形的全等【分析】根据平行线的性质得出N 8 =NOC,根据全等三角形的判定定理A 4 S 推出即可.【解答】证明：.A B/A D E,:.NB=ZEDC,在A A B C 和A C D E中,ZACB=Z E

32、NB=N E D C ,A C =CEM B C 三 A C D （A A S）.【点评】本题考查了全等三角形的判定定理和平行线的性质，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有S 4 5,A S A,A 4 5,SSS,两直角三角形全等还有”L 等.1 9.（2 0 2 1 秋武汉期末）如图：A、。、B、F四点在同一条直线上，若 幺=Z E D F ,N C =NE,A D=B F.求证：A C =DE.cEA DBF【答案】见解析过程.【考点】全等三角形的判定与性质【专题】推理能力；图形的全等【分析】由“A4S”可证AABC二 皿 石，可得AC=O石.【解答】证

33、明：.A D =3尸，AB=DF,在 AABC和ADFE中，/A=N E D FNC=NE,AB=D F:./SABC=DFEAAS)，A C =D E .【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形的判定和性质是解题的关键.20.(2021秋卧龙区期末)体育课上，小明和小聪突然争论起来，他们都说自己比对方身体长的高，这时善于思考的小慧走过来，笑着对他俩说：“你们不要争了，其实你们一样高,看看地上，你俩的影子一样长”(假设太阳光线是平行的).小明和小聪不太明白，小慧给他们讲了其中的道理.小慧说我们先对该问题进行数学抽象：如右图，直线a 表示地面，AB,8 分别表示你俩的身高，和QN表示

34、太阳光线，是平行的，8M 和。N 表示你俩身高的影长，是一样长的.然后小慧用所学的数学知识解决了该问题.下面给出了小慧解决该问题的一部分内容，请你将已知，求证补充完整，并给出证明：(1)已知：如图，于点 3,CD_La 于点。，A M/CN,.PM/ZON,；(2)求证：；(3)证明：【答案】AM/CN（或PM/Q N）,BM=DN；AB=CDx AB_L。，CD工a,ZABM=ZCDN=900.AM/CN,:.ZAMB=ACND BM=DN,在A A W与ACDN中，ZABM=/CDN_La于点。，AM/CN（或PM/QN）,BM=DN.（2）求证：AB=CD.（3）证明：-.-ABla,C

35、D L a,：.ZABM=ZCDN=90.-,-AM/CN,:.ZAMB=NCND在M BM 与1SCDN中,ZABM=NCON BM=DN,NAMB=NCND=/CDN（ASA）./.AB=CD，故答案为：AM/CN（或尸M/QN）,BM=DN、AB=CD；CD L a,/.ZABM=/CDN=90.AM/CN,:.ZAMB=NCND；BM=DN,在M BM与 CDV中，ZABM=NCON=-时，A4BP与ACBP是偏等积三角形；2 问题解决：（2）如图2,四边形4?。是一片绿色花园，AAC8、ADCE是等腰直角三角形,ZACB=ADCE=90（0 ZBCE 的面积为2100?.如图3,计划

36、修建一条经过点C的笔直的小路CF,F在BE边上,FC的延长线经过4）中点G.若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价.图I图2图3【答案】(1)-；2(2)A4CD与ABCE是偏等积三角形，理由见解答；42000元.【考点】三角形的面积【专题】应用意识；三角形；新定义；图形的全等；推理能力【分析】(1)当AP=C P时，则 AP=N,i l SBP=SCBP,再证A4BP与ACBP不全等，即可得出结论；(2)过 A 作 AM J_OC于 ，过 8 作 8V_LCE 于 N,iiE M C M =ABCN(AAS),得A M =B N,则SM C O=SABC，再证A 4co与 M C E

37、 不全等，即可得出结论；过点A 作 4V C ,交CG的延长线于N,证得AAGN三ADGC(A4S),得到AV=8,再证AACV三 CBE(S4S),得 Z A C N =N C B E ,由余角的性质可证CF J.8E,然后由三角形面积和偏等积三角形的定义得5 =B E-CF S.a=S4Aco=2100,求出CF=70(利)，即可求解.7【解答】解：(1)当AP=CP=时，AAB尸与ACB夕是偏等积三角形，理由如下：2设点8 到 AC的距离为人 则 之利二3 人尸不，S&cB P=g c P h-S拄 BP=S、cBP/AB=10,BC=7,:.ABBC A P =CP.PB=PB,:.A

38、ABP与 ACBP不全等，A4BP与 ACBP是偏等积三角形,故答案为：2(2)AAC与ABCE是偏等积三角形，理由如下：过A作于过B作BN上CE于N,如图所示,则 NAMC=ZBNC=90。，AAC 8、ADCE是等腰直角三角形，.ZACB=ZDCE=90,AC=BC,CD=CE,/.+ZACD=360-ZAG?-ZZX?E=360-90-90=18(r,.ZACM+ZACZ)=180,:.ZACM=ZBCN,在AACM和A5CN中，ZAMC=/B N C,ZACM=NBCN,AC=BC.AACMNABCN(AAS),:.AM=B N,SMCD=-CD-AM，S诋 卜 一=CE BN 一AA

39、CD=ScE.z6BC1+ZACD=180o,0ZBCE与ABCE不全等，AACD与M C E是偏等积三角形；如图，过点A作4 V/C D,交CG的延长线于N,则 ZV=NGC,G 点为AD的中点，.AG=G D9在 AAGN和ADGC中，ZN=/G C D,ZAGN=ZDGC,AG=DG,.A4GN=A/X)C(AAS),:.AN=CD,CD=CE,:.AN=CE,AV/CD,.NCW+NACD=180。，：ZACB=ZDCE=90,ZACD+ZBCE=360-90-90=180,:.ZBCE=/C A N ,在 AAC7V 和 ACBE 中,AN=CE,4cAN =NBCE,AC=CB,:

40、2 C N C B E(S A S),:.ZACN=NCBE,ZAC7V+ZBCF=180-90=90，:.NCBE+ZBCF=9Q。，:.ZBFC=90f/.C F 1B E.由得：A4C 与 ABCf是偏等积三角形,SMCE=2 BE，CF f SRCE=AACD=2100,.B =2x2100=7 0(加)，BE 6 0.修建小路CF的总造价为：6 0 0 x 7 0 =4 2 0 0 0 (元).【点评】本题是三角形综合题目，考查了新定义“偏等积三角形”的定义、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握“偏等积三角形”的定义，证明=和 A 4

41、 C N M A C 8 E 是解题的关键，属于中考常考题型.2 2.(2 0 2 1 秋南山区校级期末)Z M O N =90。，点、A,3分别在射线O M、O N 上运动(不与点O 重合).(1)如图，AE,B E 分别是N 5 4 O 和 Z A B O 的平分线，随着点A、点5的运动，ZAEB=1 3 5 ：(2)如图，若 8 C是 Z 4 B N 的平分线，的反向延长线与N Q 4 B 的平分线交于点。.若/R 4 O =6 0。，则=;随着点A ,3的运动，ZD的大小是否会变化？如果不变，求 N O 的度数；如果变化，请说明理由.c图 图【答案】(1)1 3 5；(2)4 5；4

42、5。.【考点】三角形内角和定理【专题】推理能力；三角形【分析】(1)根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论;(2)根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；由的思路可得结论.【解答】解：(1).直 线 与 直 线 尸。垂直相交于O,.ZAOB=90,.ZtMB+ZOE4=90,：A E.BE分别是N8AO和 NABO角的平分线，:.ZBAE=-Z O A B,AABE=-ZABO ,2 2ZBAE+NABE=L(NOAB+NABO)=45,.-.ZAB=135；故答案为：135；(2)-.-ZAOB=90,ZBAO=60,.-.ZABO=30,ZABN=150,.BC是

43、NABN的平分线，NOBD=ZCBN=-xl50=75,2.AD平分 N84O,:.ZDAB=30,/.ZD=180-ZAB-Z&4-ZAOB=180-75-30-30=45,故答案为：45；N D 的度数不随A、5 的移动而发生变化，设 4 4)=a,.AD 平分 NBAO,/.Z.BAO=2 a，NAQ8=90。，/.ZABN=180-ZABO=ZAOB+ZBAO=90+2 a,B C平分ZABN,:.ZABC=45+afZ A B C =18(T-ZABD=ZD+ZBAD,:.ZD =ZABC-ZBAD=45+a-a =45.【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握

44、三角形的内角和定理是解题的关键.23.(2021秋金水区校级期末)“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题.今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的.有人曾利用如图所示的图形进行探索，其中是 长 方 形，尸 是 ZM延长线 上 一 点，G 是 C F 上 一 点,且 ZACG=NAGC,NG4F=N F.请写出NEC8和 NAC3的数量关系，并说明理由.【答案】Z A C B =3ZECB.【考点】平行线的性质；三角形的外角性质【专题】三角形：线段、角、相交线与平行线；推理能力【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得NAGC=2 N F,从而得到NACG=2NF,根

45、据两直线平行，内错角相等可得NECB=NF,再求出NACB=3 N f,从而得解.【解答】解：Z A C B =3ZECB.理由如下：在 AAGF 中，Z A G C =Z F +Z G A F =2ZF.Z A C G =ZAGC,；.ZACG=2 N F.-,-AD/BC,;.ZECB=N F.Z A C B =Z A C G+A B C E=3 Z F.故 NAC8=3NEC8.【点评】本题考查了矩形的性质，等角对等边的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，解直角三角形，熟记各性质并读懂题目信息理解三等分角的方法是解题的关键.24.(2021秋崇明区期末)如图，在 A

46、A8C中，点 F 为 A48C的重心，联结A F并延长交8 c于点。,联结防并延长交AC于点E.(1)求 玉 组 的 值；qABF(2)如果4月=&,A C =b,用万、B 表 示 和.44（2）BE=-b-a ,AF=-a +-b.2 3 3【考点】*平面向量；三角形的重心；三角形的面积【专题】应用意识；三角形；图形的相似【分析】（1）根据三角形重心的定 义 可 知 上 是AABC的中位线，根据中位线的性质得出I qD E!/A B,且。E=再证明A D E P s/vM,根据相似三角形的性质即可求出为”的2AABF值；（2）由已 知 荏=,前=，5,再利用三角形法则可求出 而，再根据三角形

47、重心的性质得2 2出8月=28后，再利用三角形法则求出 标.3【解答】解：（1）.点/为A4BC的重心，联结 并 延长交8 C F点。，联 结 成 并延长交AC于点E,.DE是AABC的中位线，:.DE/AB,S.DE=-A B,2/./SDEFABF,.SRDEF（DE 2 1.一 一 为）一(2)AC=b,为 AC 中点,AE=-AC =-b,2 2v AB+BE=AE,AB=a,BE=AE-AB=-b-a92 点尸为AABC的重心,BF=BE=(b a)=b-a,3 3 2 3 3.,1-2 1 1 一AF=AB+BF=a T h a d T b 3 3 3 3【点评】本题考查三角形的重

48、心，相似三角形的判定和性质，平面向量等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.2 5.如图所示，点 ,A,E 在一条直线上，=点。和点E 是对应顶点，ZS4C=30.Z=45.(1)求 Nfi的度数；(2)求 NBA/C的度数.【答案】(1)30；(2)60.【考点】全等三角形的性质【专题】图形的全等；推理能力【分析】(1)根据全等三角形的性质得到ZE=ZD =45。,根据三角形的内角和定理即可得到结论；(2)根据三角形的面积和定理以及对顶角的性质即可得到结论.【解答】解：(1).-.ZDAC=ZEAB,ZE=Z=45,.-.ZDAB=ZEAC,-.-ZBAC=30,ZD

49、AB=ZEAC=75,-.ZBAE=105,ZB=1800-Z B A E-ZE=30P；(2)ZD=45,ZDAM=75,ZAMD=180-Z D-ADAM=60,ZBMC=ZAMD=60.【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质定理是解题的关键.考点卡片1.平行线的性质1、平行线性质定理定 理 1:两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等.定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同旁内角互补.定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等.2、两条平行线

50、之间的距离处处相等.2.三角形的角平分线、中线和高(1)从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高.(2)三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线.(3)三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线.(4)三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段.(5)锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点.3.三角形的面积(1