2023届新高考数学（新高考Ⅰ卷）模拟试卷十三（学生版+解析版）.pdf

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1、绝密启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试新高考I 卷数学模拟卷十三学校：姓名：一 一班级：考号：一题号一二三四总分得分注意：本试卷包含I、H两卷。第 I 卷为选择题，所有答案必须用2 B 铅笔涂在答题卡中相应的位置。第 I I 卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。第I卷(选择题)一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共4 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .设 i为虚数单位，若复数(l-i)(l+a i)是纯虚数，则实数a的值为()A.-1 B.0 C.1 D.22 .设集合A =x 6 N*|l log2x b+

2、ll,则下列不等式一定成立的是（）A.b-a b B.a+3 b+C.a-l I n-a D.a+InZ）0）的直线/与抛物线y 2 =4尤和圆M-.（x -5）2+y2=9 分别交于A,B 和 C,。两点，且4c =B O,则当4 M C O 面积最大时上的值为（）A.1 B.V2 C.2 D.2V2二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。9 .折纸发源于中国.1 9 世纪，折纸传入欧洲，与自然科学结合在一起成为建筑学院的教具，并发展成为现代几何学的一个分支.我国传统的一种手工折纸风车（如图1）

3、是从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图 2,贝（1（）C.EG=TH+EF D.EC-EH EC ED1 0.下列命题正确的是（）A.若z r Z 2 为复数，则忆 =|z/,B.若五，石为向量,M|a b|=|a|bC.若Z Z 2 为复数,且区+Z 2 I =区-Z 2 I，则Z 1 Z 2 =0D.若诡石为向量，且|弓+方|=I 五一E|,y i i j a -b=01 1 .已知函数/（x）=+a M +1,则（）A.V a R,函数f(x)在R上均有极值B.3 a E R,使得

4、函数/(x)在R上无极值C.V a e R,函数/(x)在(-8,0)上有且仅有一个零点D.3 a 使得函数f(x)在(8,0)上有两个零点1 2 .甲同学投掷骰子5次，并请乙同学将向上的点数记录下来，计算出平均数和方差.由于记录遗失，乙同学只记得这五个点数的平均数为2,方差在区间口.2,2.4内，则这五个点数()A.众数可能为1 B.中位数可能为3C.一定不会出现6 D.出现2的次数不会超过两次第I I卷(非选择题)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。1 3.记 数 列 包工的前项积为T”，写出一个同时满足的数列 a.的通项公式，则 即 是递增的等比数列；&=r6.1 4.设点P

5、是曲线y =y-|l n x上的任意一点，则P到直线y =x的最小距离是1 5.已知0,尸2分别为双曲线C：接一，=1的左、右焦点，若点尸2关于双曲线C的渐近线的对称点E在C上，则双曲线C的离心率为.1 6 .已知直三棱柱A B C-a/i Ci中，力B 1 BC,AB=BC=BB1=2,E分别为棱4口,A 5的中点，过点当，D,E作平面a将此三棱柱分成两部分，其体积分别记为匕，彩(匕%)，则%=;平面a截此三棱柱的外接球的截面面积为四 解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。1 7 .由M C=2M B；s i nC=詈；S-BM=遮 这三个条件中任选一个，补

6、充在下面问题(2)的横线上，并解答下列题目.在4 4 B C中，已知角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a =2夕，b s i n =a s i nB.求 A；(2)若 M为边AC 上一点，且乙4 B M =/B A C,，求4 4 B C的面积.1 8 .若数列 即 满足即+m=。+d(m e N*,d 是不等于0 的常数)对任意7 1 6 N*恒成立,则称 a,是周期为?，周期公差为”的“类周期等差数列”.己知在数列 a.中，%=1,an+an+1=4 n+l(n e N*).(1)求证：a 是周期为2 的“类周期等差数列”，并求。2,。2022的值：(2)若数列 b 满足%=an+1-

7、an(n e N*),求 b 的前n项和1 9 .2021 年 8 月国务院印发 全民健身计划2021 -2025，计划中提出了各方面的主要任务，包括加大全民健身场地设施供给、广泛开展全民健身赛事活动、提升科学健身指导服务水平、激发体育社会组织活动、促进重点人群健身活动开展和营造全民健身社会氛围等.在各种健身的方式中，瑜伽逐渐成为一种新型的热门健身运动.某瑜伽馆在9 月份随机采访了 1 00名市民，对于是否愿意把瑜伽作为主要的健身方式作了调查.愿意不愿意合计方性25255 0女性4 01 05 0合计6 53 51 00(1)能否在犯错误的概率不超过0.01 的前提下认为“愿意把瑜伽作为主要健

8、身方式”与性别有关？2 _ n(a d-b c)2(Q+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(x2&)0.1 0 0 0.0 5 0 0.0 1 0 0.0 0 50.0 0 12.7 0 6 3.8 4 1 6.6 3 5 7.8 7 9 1 0.8 28(2)为了推广全民健身，某市文化馆计划联合该瑜伽馆举办“瑜你一起”的公益活动，在全市范围内开设一期公益瑜伽课，先从上述参与调查的1 0 0 人中选择“愿意”的人按分层抽样抽出1 3 人，再 从 1 3 人中随机抽取2 人免费参加.市文化馆拨给瑜伽馆一定的经费补贴，补贴方案为：男性每人1 0 0 0 元，女性每人5 0 0 元.求补贴金额的分

9、布列及数学期望(四舍五入精确到元).2 0.如图，在 四 面 体 中，己知A B。是边长为2 的等边三角形，B CD是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，E为线段AB的中点，G为线段8。的中点，尸为线段 3。上的点.A(1)若4G平面C E F,求线段CF的长;(2)若二面角4-B D-C的大小为30 ,求 CE与平面48。所成角的大小.21.在平面直角坐标系xOy中，已知点4(-2,0),8(2,0),直线PA与直线P 8 的斜率之积 为-；，记动点P 的轨迹为曲线C.(1)求曲线C 的方程；(2)若点M 为曲线C 上的任意一点(不含短轴端点)，点。(0,1),直线AM与直线8。交于点。，直线

10、。M 与x 轴交于点G,记直线AQ的斜率为七,直线GQ的斜率为七，求证：七2k2为定值.22.已知函数f(x)=ln(e*1)Inx.(1)判断/(x)的单调性，并说明理由；(2)若数列 an 满足的=1,an+1=/(an),求证：对任意？i E N*,an an+1 去.绝密启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试新高考I 卷数学模拟卷十三学校：姓名：一 一班级：考号：一题号 二三四总分得分注意：本试卷包含I、n两卷。第 I 卷为选择题，所有答案必须用2B 铅笔涂在答题卡中相应的位置。第 n卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。第I卷(选择题)

11、一 单选题：本题共8小题，每小题5分，共 4 0 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。23 .设 i 为虚数单位，若复数(l-i)(l +a i)是纯虚数，则实数。的值为()A.-1 B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】本题考查了复数的基本概念及运算，属于基础题.利用复数的乘法运算法则，得出复数的代数形式，然后利用纯虚数的概念即可得到”的值.【解答】解:可 知(1 i)(l+at)=1 +a i i +a =(1 +a)+(a l)i 因为复数(1 -i)(l+a i)是纯虚数，所以 1 +a =0,即a =1.故选：A.2 4 .设集合4 =x eN*|l l

12、o g 2%3 ,B=1,2,3,4 ,则集合A U B 的元素个数为（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】B【解析】【分析】本题考查并集运算和集合中的元素个数，属于基础题.求出A,再求出4 U 8,即可得其元素个数.【解答】解：A=x&N*|l lo g2x 则 A U B=1,2,3,4,5,6 7）,故集合A有7个元素.故选：B.2 5 .已知圆锥的高为 遥，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A.2V2 B.2V3 C.2V6 D.472【答案】A【解析】【分析】本题考查圆锥的结构特征，属于基础题.求出底面圆的半径，即可求圆锥的母线长.【解答】解：设圆锥的底面半径为r,高

13、为h,母线长为1则h=V6.因为该圆锥的侧面展开图为一个半圆贝i j 2 n r =nl=z r V/i2+r2=7 r V6 +r2,解得r =V2故 I =V/i2+r2=2 V2所以圆锥的母线长为2&.故选42 6 .在 ABC中，Z.BAC=p点尸在边B C上，则“AP=：B C”是“尸为B C中点”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】本题考查充分、必要、充要条件的判断，及直角三角形的性质，是中档题.由直角三角形的性质知，当4P=时，点P不一定是BC的中点，而当P为BC中点时必有从而判断B正确.【解答】解：在ZL4

14、BC中，ABAC=点P在 边BC上，如图所示，点D为BC的中点时，A D=B C,当以A为圆心，以AD为半径作弧且弧与BC有另一交点P时，此时满足4P=A D=但点P不是BC的中点，所以充分性不成立；若P是BC的中点，显然由直角三角形的性质知4P=B C,故必要性成立;因 此4P 是“P为BC中点”的必要不充分条件.故选：B.27.记 为等差数列8的 前 八 项 和.若 亲=；,则=匚=()A.-B.-C.-D.-15 4 16 3【答案】C【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式，属于基础题.设等差数列&的首项为由，公差为d,因为三所以S6=4 S 3,利用求和公式可知d=2

15、%,再根据通项公式即可解决问题.【解答】解：设等差数列 a 的首项为四，公差为d,因为a所以S6=4S3，因为56=6。1 4-S3=3al 4 d 于是可得：6Ri+等d=4（3%+言d）,即d=2%,因 此 就;ai+2d-%-=5(%+2d)+(4+54)-16al-16故选：C.2 8.北京时间2 0 2 1年1 0月1 6日0时2 3分，神舟十三号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，受到国际舆论的高度关注.为弘扬航天精神、普及航天知识、激发全校学生为国争光的荣誉感和责任感，某校决定举行以“传航天精神、铸飞天梦想”为主题的知识竞赛活动.现有A，B两队报名参加，A,8两队均由两名高一学生

16、和两名高二学生组成.比赛共进行三轮，每轮比赛两队都随机挑选两名成员参加答题，若每位成员被选中的机会均等，则第三轮比赛中被两队选中的四位学生不全来自同一个年级的概率是（）A.-B.-C.-D.-991836【答案】c【解析】【分析】本题考查古典概型概率及其计算，组合与组合数公式，属于基础题.由组合知识算出从A,B两队中各选出两名同学的选法，减去四名同学全来自同一年级的选法，即可得到四位学生不全来自同一年级的选法；由古典概型的概率计算公式=事件力所包含的基本事件个数一 基本事件总个数,即可求解.【解答】解：从A,B两队中各选出两名同学的不同选法：底x盘=3 6种，四名同学全来自同一年级的选法：2种

17、（都是高一或都是高二），则四位学生不全来自同一年级的选法：3 6-2 =3 4种，事件A所包含的基本事件个数由古典概型的概率计算公式一 基本事件总个数 可得：两队选中的四位学生不全来自同一年级的概率：P=,36 18故选：C.2 9.已知+则下列不等式一定成立的是（）A.b-a b B.Q+b+：C.V -D.a+I n Z?l,b 0,a b+1,对于 A,b-a b,即 b-a b,故 2 b a 或a 0,而a 0 不成立，2 b b+2，即(a+3)-(b+1)0,即(a+G +2*。，a-b 0,ab 0,但ab-1 0 不一定成立，比如a=2,b=0.2,故 B不一定成立；对于 D

18、,a+I n h b+I n a,即a I n a b I n b,设/(x)=x-I n x,则/(x)=1 -：=?，当x e (0,1)时，f(x)0,所以函数/(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，由于a l,b 0,无法确定/(a)与/(b)的大小，故 D不一定成立.故选：C.3 0.若斜率为k(k 0)的直线/与抛物线y 2 =4x 和圆M：(%-5)2+丫 2 =9 分别交于4 B和 C,。两点，且A C =BC,则当4 M C D 面积最大时A 的值为()A.1 B.V2 C.2 D.2V2【答案】D【解析】【分析】本题考查直线与抛物线、直线与圆的位置关系，三

19、角形面积的最值问题，是难题.由题设可设直线1 的方程为y =kx+b,C D 的中点为N,联立直线与抛物线的方程得UM+(2 kb-4)x+炉=0,由题知N是 A B 的中点，从而可求出N的坐标为N(誓,，由MN I得，kb=2-3 k2,由 SAMCO=：|。|d=一 矛=J-(d2-1)2+y,知 t/2=制，4 M C D 面积最大，从 而(粤 1)2 =；,得到2 炉-1 9 k 2+31 =0,再联立这两个式子求出kv f cz+l 2的值即可.【解答】解：设宜线1 的方程为丁=k x+b,4 01/1),8(亚,丁2)，设 C D 的中点为N,联立方程组匕2：,；：b,消去y得k2

20、x2 +Q kb-4)x+炉=0,由4 =(2 kb-4)2-4 k 2 b 2 o,可得kb 0,故k =2 遮，从而b =-3 夜，满足A 0.故选：D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得。分。31.折纸发源于中国.1 9 世纪，折纸传入欧洲，与自然科学结合在一起成为建筑学院的教具，并发展成为现代几何学的一个分支.我国传统的一种手工折纸风车(如图1)是从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图

21、2,则（）A.EH/FC B.AH-BE=0C.IG=EH+EF D.EC-EH=EC-ED【答案】B C D【解析】【分析】本题主要考查平面向量的数量积，向量的加减运算等，属于中档题.结合图形的对称性，逐一判断即可.【解答】解：由图可知，前与正不平行，故A错误；由图形对称性，可得14Ml=|BN|,MH=NE,AH-BE=(AM+MH)(BN+NE)=祠.丽+俞.而+丽 前 +丽 赤=0+丽|丽|cos45+MH BN|cosl35。+0=0,故B正确：由图形对称性，可得四边形EHGF是正方形，所 以 的=前+正，故C正确；设4CC8D=。，则EC TH=EC-EH cosZ.HEC=EC-

22、EO,EC-ED=|EC|-|ED|coszDFC=|?|EO,：.EC-EH=JC ED,故 D 正确.故选：BCD.3 2.下列命题正确的是()A.若Zi，Z2为复数，则Iz/zl=区|%|B.若方，石为向量，则|五 =|引|方|C.若Z,Z2为复数，且忆 1+Z2I=%-Z zl，则Z1Z2=0D.若五，方为向量，且|五+方|=|日 一 方|,则 0【答案】A D【解析】【分析】本题考查复数的模，复数运算，向量的模，向量的数量积，属于中档题.对于A,设Zi=a+bi,a,b e R,Z2=c+di,c,d e/?,利用复数的模的计算公式，分别求得|zZ2l，Iz/lzzl，即可判断；对丁

23、-B,利用数量积的运算公式即可判断；对于C,举反例，即可排除；对于D,将|五+石|=|五-两边平方，化简即可判断.【解答】解：对于 A,设z1=a+bi,a,b e R,z2=c+di,c,d&R,则Z,Z2=(a+bi)(c+di)=(ac bd)+(ad+bc)i,所以 Z Z2I=y/(ac bd)2+(ad+be)2=Va2c2+b2d2+a2d2+b2c2,|z1|z2l=Va2+b2-Jc2+d2=7(a2+62)(c2+d2)=Va2c2+b2d2+a2d2+b2c2,故ZZ2I=%|%,故 A正确;对于 B,|a-6|=|a|-|K|co s(a,K)|,故 B 错误;对于 C

24、,令Zi=1-i*2=1+i,则 Z+z2=2,zr z2=-2 i,则 0 +Z2I=|Z1-Z2I=2,但 Z1Z2 H O,故 C 错误；对于 D,由I于+|=I五一 a +b2=|a -K|2,所以12+片+21 大=片+石2 一2 五7,所以立7 =0,故 D正确.故 选:AD.3 3.已知函数/(x)=：炉+gax?+1,则()A.V a e K,函数f(x)在 R 上均有极值B.3a /?,使得函数/(x)在 R 上无极值C.Va 6R,函数/(x)在(一 8,0)上有且仅有一个零点D.m a 6 R,使得函数f(x)在(-8,0)上有两个零点【答案】BC【解析】【分析】本题主要

25、考查利用导数研究函数的极值，涉及利用导数研究函数的单调性，以及函数零点存在性定理，属于较难题.根据题意，对函数/(外求导，得到尸(x)=/+ax,然后可对各选项进行分析，考虑a=0 可判断A、8正误；其次，可分a 0或a 选项.【解答】解：由题意，对函数f(x)求导，得到/(x)=+ax,下面对各选项进行分析：对于A,若a=0,则/(x)=/？o对任意x e R 恒成立，所以函数/(X)在 R上单调递增，即函数f(x)在 R上无极值，故 A错误；对于8,由以上分析可知，故 8正确；对 于 C,由上分析可知，a=0 时，函数/(X)在 R 匕单调递增，此时f(X)=；/+1,易知X T -8,/

26、(%)-O O,且/()=1,所以由函数零点存在性定理可知，函数/(X)在(-8,0)上有且仅有一个零点，下面分a。或a 0,令/(x)0,即得x -a,令/(x)0,即得 a x 0,3 2 6注意到X T -0 0,/(X)T -8,y(0)=1,所以函数/(X)在(-8,0)上有且仅有一个零点，若a 0,即得x(6-2)2 =3.2 2.4,所以平均数为2,方差为2.4 的一定没有出现6,故 C正确；对于。，当掷骰子出现结果为1,2,2,2,3 时，平均数为2,方差为s 2 =|(1-2/+(3 -2)2 =0.4,当掷骰子出现结果为1,1,2,2,4 时，平均数为2,方差为5 2=与2

27、*(1 2)2 +(4-2)2 =1.2,满足题意，故 D正确.故选：ACD.第 H 卷(非选择题)三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。3 5.记数列 册 的前项积为勿，写出一个同时满足的数列 即 的通项公式，则a-n=-a”是递增的等比数列；&=T6.【答案】2 n-5【解析】【分析】本题主要考查了等比数列的通项公式和性质，属于基础题.由73=76得出。5 =1，由等比数列递增，可取公比大于1的任意实数，不妨设公比为2,即可写出通项公式.【解答】断:：由&口Id导，。2。3 =。3。4。5，即 Q 4 a 5。6 =1，又=4 6，则=1 解得。5 =1，因为数列是递增数列

28、，故可设公比为2,可得的=72 所以即=aiqZ=2n-5.16故答案为：2 n-5(答案不唯一).36.设点P是曲线y =a|l n x上的任意一点，则P到直线y =x的最小距离是【答案】V 2【解析】【分析】本题考查导数的几何意义以及点到直线的距离公式，体现r转化的数学思想，属于中档题.作直线y =-x的平行线，使此平行线和曲线相切，由导数的儿何意义得出切点，再由点到直线的距离公式即可得出结果.【解答】解：作直线y =-x的平行线，使此平行线和曲线相切，则曲线的切线方程为y =-x+m的形式，对曲线求导，得 了=1%心力,令;/=1,得X =1,故切点为(1,1),该点到直线y =-的距离

29、即为最小值，故答案为：V 2.f(x)=y/x-lnx3 7.已知F 2分别为双曲线C：冬一3=1的左、右焦点，若点尸2关于双曲线C的渐近线的对称点E在C上，则双曲线C的离心率为.【答案】V 5【解析】【分析】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件，斜率之积为-1,以及点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题.设 尸2(6 0)，渐近线方程为y =3万，对称点为以成，运用中点坐标公式和两直线垂直的条件，斜率之积为-1,求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即可得到所求的值.【解答】解：设 尸2 9 0),渐近线方程为y F 2的对称点为

30、4(m,n),所以4(一职)又b2 =c2 -a2,即 做 二 厂,等)，代入双曲线的方程 一3=l(a 0,b 0)中,(Za2-c2)2 4a2b2c2a2 c2b2化 简 可 需 4 =1,即有e 2=*解得e=病或e=-的（舍去）.故答案为：V5.3 8.已知直三棱柱ABC 中，4B 1 BC,AB=BC=BBr=2,D,E 分别为棱4 G，AB的中点，过点Bi，D,E 作平面a 将此三棱柱分成两部分，其体积分别记为匕，彩（匕 彩），则彩=；平面a 截 此 三 棱 柱 的 外 接 球 的 截 面 面 积 为.【答案】626豆7 r【解析】【分析】本题考查了简单多面体（棱柱、棱锥、棱台）

31、及其结构特征，简单组合体及其结构特征，棱柱、棱锥、棱台的侧面积、表面积和体枳，面面垂直的性质，空间中的距离和平面的基本性质及应用，属于较难题.利用直三棱柱A B C-当口的结构特征，构建边长为2 的正方体4BCG-41B1GG1，利用平 面 的 基 本 性 质 得 过 点 D,E 作平面a 就是平面E H D&,再利用棱柱和棱台的体积公式计算得取的中点0,利用直三棱柱ABC A/iC i的外接球和正方体ABCG-A&G G 1的外接球的结构特征，可得0 是直三棱柱4 B C-4 B 1 G 的外接球的球心，且直三棱柱ABC 的外接球的半径为百，再利川面面垂直的性质，结合空间中的距离得0到平面E

32、H。%的距离为汨尸=最后计算得结论.【解答】解：因为在直三楂柱4 B C-4 8 iC i中，AB 1 BC,AB=BC=BB1=2,所以构建边长为2 的正方体4BCG-&B1GG1如下图，因为D是棱41cl的中点,连接&G1，则8住102送1=。,连接B6交 AC于1，取A/的中点H,连接EH,因为E 是 AB的中点，所以E H 空 BQ”当。，因此过点为，D,E作平面a 就是平面E H O B i，由图可知：AEH-AABXD V /H C 8-D Q 8 i，即匕=AE H-AXBD，2 =E HCB-DC1B1 又因为SA&DB|=1，Sh A E H=i,所以匕=(x2(i+；+7

33、17因此彩=K 4 8 C-A B 1 Q _ 匕.=4 一 1=1；又因为直三棱柱A B C aaa的外接球就是正方体4 B C G-4 B 1 G G 1 的外接球，所 以 取 的 中 点 0,则 0是直三棱柱A B C -&B1G的外接球的球心，且直三棱柱A B C -&B1G的外接球的半径为百，又因为在正方体4 B C G -&B 1 C 1 G 1 中，平面7 7。为 1 平面力4口。交于D H,所以在平面4 4 1 c le 内过外作名尸1 D H 于F,则由面面垂直的性质知：。1 尸，平面七。8 1，因此。/的长就是。1 到平面E H。4的距离，所以0到平面E H O B 的距离

34、为：。1 尸=g x彳=%因此平面a 截此三棱柱的外接球的截面圆的半径为J(、2 -(I)=亨，所以平面a 截此三棱柱的外接球的截面面积为 兀.故答案为：工,当加6 9四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。3 9.由M C =2 M B；s i n C =；SM BM=8 这三个条件中任选一个，补充在下面问题(2)的横线上，并解答下列题目.在Z L 4 B C 中，己知角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a =2 近，6 s i n =a s i n B.(1)求 A;(2)若 M为边AC上一点，且N 4 B M =N B 4 C,求Z 4 B C 的面

35、积.【答案】解：(1)由题意,在A 4 B C 中,利用正弦定理可得b s i m l=a s i n B,利用二倍角公式可得Z b s i n g c o s T =a s i n B,又因为B +C-TT-A,利用诱导公式可得sin=s i n =c o s 1,于是 b s i n =a s i n B 可化为 b c o s?=a s i n B 注意到4 6(0,兀)，所以T 6(0,9同时由可得sin*最所以?=g，即得4 =?Z 6 3(2)根据题意，作出图形如下所示：B若选择条件，由知4=或又乙=所以ABM为等边三角形，故N8MC=4,设MB=x,即得M4=M B=K,因为MC

36、=2 M B,所以MC=2M4=2x,AC=3x,又 a=BC=2V7,在 BMC中，利用余弦定理可得:coszBMC=-i_ MB?+MC2-BC22MBMcX2+4X2-28化简上式可得：7/=2 8,解得x=2（负值第=2舍去）,所以AB=MB=2,AC=3MB=6,于是 ABC 的面积为：SM B C=|4 8 4 CsinA=|x 2 x 6 x y =3V3；若选条件,由知4=枭在AABC中，利 用 正 弦 定 理 可 得 勺=二，BCsinC _ 26 X等 _即得4B设AC=x,于 是 在 利 用 余 弦 定 理 可 得:A 1 AB2+AC2-BC2 4+X2-28cos A

37、=,2 2ABAC 4x化简整理上式可得/2x 24=0,解得x=6（负值x=4舍去），于是 ABC的面积为：SAABC=AB-ACsinA=|x 2 x 6 X y =3V3；若选择条件，由（1）知4=且由条件分析知4 48”为等边三角形，于是 48M 的面积为 SMBM=AB2sinA=-AB2=所以4B=2（负值48=-2 舍去），于是同条件，设AC=x,于是在 ABC中，利用余弦定理可得：.1 AB2+AC2-BC2 4+X2-28cos/l=-=-=-,2 2ABAC 4X化简整理上式可得/一 2x-24=0,解得x=6（负值x=-4 舍去），于是 4BC 的面积为:S&ABC=AB

38、-ACsinA=1 x 2 x 6 X y =33.【解析】本题考查解三角形，涉及正余弦定理以及三角形面积公式、诱导公式以及二倍角公式，属于中档题.(1)根据题意，利用二倍角公式以及诱导公式可得sin?=也于是可求A的大小；(2)若选择条件，可证48M 为等边三角形，在ABMC中利用余弦定理可求MB长，进而利用三角形面积公式可求 4 8 c 的面积;若选条件,在4/WC中，利用正弦定理可求4B=2,于是在A/IBC中，利用余弦定理可求4c=6,进而利用三角形面积公式可求 ABC的面积；若选条件，利用三角形面积公式可求48=2,后续步骤可类似同条件可求AABC的面积.40.若数列 an 满足斯+

39、巾=an+d(m e N*,d是不等于0 的常数)对任意n eN*恒成立,则称%J是周期为优，周期公差为”的“类周期等差数列”.已知在数列 an 中，%=1,an+an+1=4n 4-l(n WN*).(1)求证：an 是周期为2 的“类周期等差数列”，并求0 2,。2。22的值;(2)若数列 4 满足“=an+1-an(n E N*),求,的前n 项和【答案】解：(1)证明：由于册+Qn+1=4几+1,所以即+1+册+2=4(几+1)+1,两式相减得：an+2-an=4(n 6 N*),所以 Qn 是周期为2,周期公差为4 的“类周期等差数列”，由+a2=5,Q -1 4导C t2=4,所以

40、 Q2022=02+(2022-2)x 2=44-4040=4044：(2)解：由于b =与+1 一M，所以%+1=%1+2-%+1，两式相加得：bn+1+bn=an+2 an=4,当 n 为偶数时，7；=(&+与)+(优+%)+-+(%-1+bn)=4 彳=2n,当 n 为奇数时，=瓦+(电+b3)+(64+坛)+(&.1+匕)=3+4.=2n+1.T _ 1 2n+1,打为奇数综上所述：I 2m中为偶数【解析】本题主要考查数列的通项公式，考查数列的前n 项和，属于中档题.(1)由a.+an+1=4n+1,a+1+an+2=4(n+1)+1,相减得an+2-an=4(n e N*),即可得证

41、；(2)由垢=an+1-an,bn+1=an+2-an+1,得+bn=an+2-an=4,需要按照 n 为偶数时和n 为奇数讨论，即可求得 九 的前n 项和7n.41.2021年 8 月国务院印发 全民健身计划2021-2025，计划中提出了各方面的主要任务，包括加大全民健身场地设施供给、广泛开展全民健身赛事活动、提升科学健身指导服务水平、激发体育社会组织活动、促进重点人群健身活动开展和营造全民健身社会氛围等.在各种健身的方式中，瑜伽逐渐成为一种新型的热门健身运动.某瑜伽馆在9月份随机采访了 1 0 0 名市民，对于是否愿意把瑜伽作为主要的健身方式作了调查.愿意不愿意合计男性2 52 550女

42、性401 050合合653 51 0 0(1)能否在犯错误的概率不超过0.0 1 的前提下认为“愿意把瑜伽作为主要健身方式”与性别有关？附._ _ _ _n(-z _”(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(x2 2&)0.1 0 0 0.0 50 0.0 1 0 0.0 0 5 0.0 0 1%02.70 63.841 6.63 57.8791 0.82 8(2)为了推广全民健身，某市文化馆计划联合该瑜伽馆举办“瑜你一起”的公益活动，在全市范围内开设一期公益瑜伽课，先从上述参与调查的1 0 0 人中选择“愿意”的人按分层抽样抽出1 3 人，再 从 1 3 人中随机抽取2人免费参加.市文化

43、馆拨给瑜伽馆一定的经费补贴，补贴方案为：男性每人1 0 0 0 元，女性每人50 0 元.求补贴金额的分布列及数学期望(四舍五入精确到元).【答案】解：#2 =幽 生=些=9.890 1 6.63 5.50X50X65X35 91所以能在犯错误的概率不超过0.0 1 的前提下认为“愿意把瑜伽作为主要健身方式”与性别有关；(2)因为65人中有2 5个男生，40 个女生，所以用分层抽样抽出1 3 人中的男生人数为1 3 x f l =5(人)，65女生为1 3 xf=8(人)，65设补贴的金额为X,则 X 可能的取值为2 0 0 0,1 50 0,1 0 0 0,P(X =2 0 0 0)=昌=白

44、，G13。=1 50 0)=器=3p(x =i o o o)=3补贴金额的分布列如下：X2 0 0 01 50 01 0 0 0p53920391439所以数学期望为E(X)=2000 x 5+1500 x 墨+1000 x 葛=1385(元).【解析】本题考查独立检验的应用，离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，排列组合等基础知识，是中档题.(1)由列联表求出f的值，从而得出结论.(2)所抽取的13人中男生有5 人，女生有8 人，从而补贴金额X的可能值为2000,1500,1000,分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望.4 2.如图，在四面体A3CQ中，已知力BC是边长为2

45、的等边三角形，ABC。是以点C 为直角顶点的等腰直角三角形，E 为线段4 8 的中点，G 为线段8。的中点，尸为线段8。上的点.若 4G平面C E F,求线段C F的长；(2)若二面角4-B D-C的大小为30。，求 CE与平面A8O所成角的大小.【答案】解:(1)连接CG,4G平面 CEF,AG u 平面 ABD,平面4BD C 平面CEF=EF,:*AG/EF.,E是 AB中点，G是 BD中点，.F是 BG中点，所以8F=FG=，BCD是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，CG=-BD =1,CG 1 BD,2I-V5 CF=y/CG2+FG2(2)1 CG 1 BD,AG BD,.乙 4G

46、C就是二面角A-B。-C 的平面角，/.AGC=30。.在三角形 ACG 中，AC2=AG2+CG2-2AG x CG x cosAGC=1,所以4C=1.取 A G 中点 M,由A C =C G =1,得C M 1 4G,AG d C G =G,A G,C G u 平面 A C G,CG 1 BD,A G 1 B D,f i D l f S A C G,v C M u 平面 A C G,BD 1 CM,v AG O B D =G,A G,BD u 平面 A B D,C M，平面 A B D,所以乙C E M 就是直线C E 与平面A B D 所成的角.在三角形 C E M 中，E M =.=

47、5 C M =/CG2-G M2=所以 t a n“E M =空=1,E M所以C E 与平面AB D 所成角的大小为45 o.【解析】本题考查线面平行、垂直的判定与性质，直线与平面所成的角，二面角等，属于中档题.(1)由线面平行的性质可得4G E F,从而F是 B G中点，在R M C F G 中，由勾股定理求C F；(2)取 AG中点M,利用线面垂直的判定与性质证明C M 1 平面AB D,所以4 C E M 就是直线C E与平面AB D 所成的角，在三角形C E M 中，求得t a n/C E M =空=1,从而求得C E 与平面AB DE M所成角的大小.4 3.在平面直角坐标系x O

48、 y 中，已知点4(一 2,0),8(2,0),直线P A 与直线P B 的斜率之积为-;，记动点尸的轨迹为曲线C.4(1)求曲线C的方程；(2)若点M为曲线C上的任意一点(不含短轴端点)，点。(0,1),直线A M与直线8 力交于点Q,直线。W 与 x 轴交于点G,记直线4 Q 的斜率为七，直线G Q 的斜率为心，求证：心-2 k2 为定值.【答案】解：(1)设动点P(x,y),由题意可得k p Ak p B =2 ,XZ=Z 所以曲线C的方程为?+y 2 =i(x*2)；(2)设 AQ的直线方程为y =k i(x +2)(/q H 今,zy =f cx(x +2)联立方程组产,2 ,H +

49、y 2 =i可得(1 +4/c f)x2+1 6/c f x +1 6k；-4 =0,山2”16的2-4 徨 _ 2-8居由-2XM-XM -2代 入 直 线 方 程 得 力,=蒜，4k 与一 1所以岫M=/，1+4比所以D M 的直线方程为y =/x+l,所以G(嘤 斗 父,0),N(NK+1)2做1 1联立方程组 2；：；+2解得Q(奈M 蒜)，十 y 1 z K i+i n 化 1+1所以42 =4k l2 k+1_ 2 kr-l2-4火1 2(2%+1)=-4-，2 kx+l 2 kl-1所以e 一2 心=1 为定值.【解析】本题考查直线与椭圆的综合应用，属于较难题.(1)设 P 点坐

50、标，列等量关系，化简整理即可；(2)设 AQ的直线方程为y =f c Ax +2)(自*士，联立椭圆方程，利用韦达定理，求出D M 的直线方程，可得G 点坐标，求出Q 点坐标，利用斜率公式即可求证.4 4.已知函数/(%)=l n(ex 1)I n x.(1)判断/(x)的单调性，并说明理由;(2)若数列 an 满足%=1,an+1=/(an),求证：对任意九E N*,an an+1 条【答案】解：=l n(ex-1)-I n x =l n-(x 0),则/(x)=7注,、令g(x)=-e +1,则g (%)=exx由于 0,则g (%)0,所以g(x)在(0,+8)上单调递增，故g(%)g(