2023年高考数学第 12讲直线与圆、圆与圆的位置关系的求解方法.pdf

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1、第12讲直线与圆、圆与圆的位置关系的求解方法一、知识概要1.直线与圆的位置关系设直线/：A x+8 y+C =0,圆C:(x-4)2+(y-b)2=/,判别直线/与圆C的位置关系有以下两种方法.(1)几何法：圆心C(a,6)到直线I的距离d=*+B C|,贝 1 J直线/与圆C相 交；d=ro直线/与圆C相 切；d ro直线/与圆C相离.代数法：，:：二：；2=,消之得关于乂(或旧的一元二次方程，其判别式为A,则A 0 0 直线/与圆C相交；A =0o直线/与圆C相 切；A +弓 相离=两圆有4条公切线；d=4+外切Q两圆有3条公切线；|4-r2 c d rt+r2 o相交=两圆有2条公切线；

2、d=rt-4 1 =内切=两圆有1 条公切线；4|=内含=两圆无公切线.二、题型精析【例 1】已知直线y=/n r+2 与圆f +y?=1,判断直线y=2 与 圆/+y?=1的位置关系【策略点击】直线与圆的位置关系的判断除了常用的代数法、几何法之外，还可以运用直观图法，因为毕竟解的是几何问题，抓住参数在变化过程中观察直线与圆位置关系的变化，有时很容易使问题迅速解决，不失是一个最佳“方案”.【解法一】（儿何法）-2圆心0（0,0）到直线的距离d=.1d=即内 或“时，直线与圆相交；V/M2+1 1.即-?石 时,直线与圆相离.V w2+1【解法二】（代数法）,1 y=mx+2 g）_ ,、由，得

3、（江+1）厂+4 a+3=0 ,其中 二 4 12.f x+y=1当D0,即 伍 后 或 7-后 时，直线与圆相交；当D=0,即相=G或 7=-百 时，直线与圆相切；当D0,即-后，G或m -时，直线与圆相交；或-6 皿 两点，若|A 8|=2 G，则|CD|=；(3)已知直线x+y-后=0(*0)与圆d+y 2=4 交于不同的两点A,从 O 是坐标原点，且有|OA+Oq?,那么人的取值范围是()A.(疯+?)B.V2,+?)C.V2,2/2)D.73,272)(4)求过 两 圆 f +V+6x-4=0 与 x?+6y-28=0 的交点的直线方程和圆心在直线x-y-4=0 上的圆的方程.【策略

4、点击】对于第(1)问，由圆的参数方程求得圆心坐标与半径，由直线与圆相切，圆心到直线距离等于半径，求出。的值.对于第(2)问，利用数形结合法求解.对于第(3)问，可用代数法，即联立直线与圆的方程，由方程有两解求得，也可用几何法，转化为圆心与直线的距离小于半径求得，后者解法更显简捷.对于第(4)问，利用圆系方程解.【解】由 圆的参数方程可知，圆心C(2,l),半径/-2,由于直线与圆相切，则圆心C 到直线以-y+2=0 的距离d=乌=上 以=r=2,解得a=(2)：ZAO3巳知圆半径为2括，弦4 3 长也是26，A 0 8 是 边 长 为 的 正 三 角 形，其一边上的高为匕=2后 sin60=3

5、,也就是原点到直线/的距离为3.八 yD CXO(A)B A图 2-22如图2-22所示，作O M八A B于点M,由点到直线的距离公式知:IOM|=1 3：”由1=3,化简得：9?-6 6机+3=9(机2 +1),m=.必y/m2+1 3直线方程为y=x+2 6，此直线的倾斜角为30。，故|。|=二 一=4.3cos30(3)如图2-23所示，当|QA+O8|=时，O,A,8三点为等腰三角形的3个顶点，3其中 04=0 3,?AOB 120?.从 而 圆 心。到 直 线x+y-k=()(A 0)的 距 离 为1.此 时 人 友 ,当k 血 时，OA+OB y|AB|,又因为直线与圆+y?=4存

6、在两个交点，故k +4=0,此即为公共弦所在直线的方程.把整理得：(1+2)x2+(1+A)y2+6x+6Ay-4-282=0.：.圆心的坐标为勤 工5 1+23 7十1 +4。而圆心在直线X-y-4=0上，.-4=0,解得2=-7,1+4 1+4代 入 圆 系 方 程 得y2_ x+7 y-32=0.【例3】在平面直角坐标系中，己知圆G:(x+3 f+(y-I)2=4和圆C?:(x-4)2+(y-5)2=4,如图2-24所示.(1)若直线/过点4(4,0),且被圆G截得的弦长为2万，求直线/的方程；(2)设P为平面上的点，满足：存在过点尸的无穷多对互相垂直的直线4,它们分别与圆G和G相交，且

7、直线4被圆C1截得的弦长与直线4被圆C?截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.【策略点击】对于(1),可设直线1的点斜式方程，由弦长为2后求解，也可结合图形特征来解.对于(2),可着眼于“无穷多对”转化为“恒成立”问题来解，若能进一步研究图形的几何特征，还可以获得-一种简捷的解法.【解】(1)设直线/的方程为y=Z(x-4),即M y-4r=0,由垂径定理得：圆心G到直线/的距离1=1-结合点到直线的距离公式得上当=匕的=i.7化简得24公+7%=0,解得2=0或左二247故所求直线/的方程为y=0或y=-五(x4),即 产 0或7x+24y-28=0.【解法一】设点P的坐标为(W),

8、直线4,的方程分别为广=k(x-ni),y-n-y(x-ni).即 A x-y +一初2 =0,x-y +n+m=0.k k 直线4被圆C1截得的弦长与直线4被圆C?截得的弦长相等，又两圆半径相等.由垂径定理得圆心G到直线4的距离与圆心c2到直线12的距离相等，故有4.m-5+及 H-3 k-i+n-k m _ k k去掉绝对值，化简得(2-6 一 )左=/口一一3 或(加一+8)Z =忆+一 5 ,关于2的方程有无穷多解.2-m-n =0有m-n-3=0加一+8=0或加+-5 =0解得点P的 坐 标 为(或(g J)解法二 这样的点若存在，应是连心线GC2的中垂线与以G e 2 为直径的圆的

9、交点，故有1 4 x +8 y-3 1 =01X 2、276 5 .解得尸I一3,只 或 2-.再验证即可.2 2)(2 2)7方法提炼1 .圆的切线(1)以 圆/=/上一点？(拓,%)为切点的切线方程为X o X+%y =r 2.(2)若圆的方程为1+2 +6+小，+尸=0,则以其上一点(与,%)为切点的切线方程为 XoX+yoy+o-W 1+EA+R nO.(3)若 P(%,%)在圆/+：/=/外，则可引两条切线外,P B,切点弦AB 所在直线方程为X o X+%y =/；同理，若 P(%,%)在 圆/+2 +6+反+尸=()外，则可引两条切线 B4,P B,切点弦A3所在的直线方程为毛尤

10、+为)，+。三 包+E 芍 为+/=().(4)若点尸(如为)在圆/+V+瓜+y +F =0 外，则所引切线P A的长度为I PA.|=旧+y；+Dx0+取 +F .2 .圆系方程(1)过圆。：V+V+以+4+=0 与直线/：小；+g y +C=0 交点的圆系方程为+y+Dx+Ey+F +4(A x +By+C)-0(2)过圆。:x2+y2+Dtx+Ety+=0 与圆Q :/+y?+2 X+g=0 交点的圆系方程为2+丁+。俨+耳+；1(f+旷 2+0/+外)=()(不 包括圆a).当;1 =一 1 时，为一条直线/,称为根轴；即过两圆交点的直线.3.与圆有关的最值问题若 P(x,y)是定圆C

11、:(x-a):+(y-b)2=r2上的一动点，则i x+n y 和这两种形式的x最值一般有如下两种求法.(1)代数法.侬的最值:设 氏+到=,与 圆 的 方 程 联 立，化为一元二次方程，由判别式等于0,求得，的两个值，一个为最大值，一个为最小值.上的最值:设y =与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于()，求得，的两X个值，一个为最大值，一个为最小值.(2)几何法.的最值:设,圆心C(a,Z?)到直线如+盯=1的距离为dma+n h-tI 7 2lm+n,由4 =即可解得两个/值，一个为最大值，一个为最小值.上的最值:上即点P与原点连线的斜率，数形结合可求得斜率的最大值和最小值.X

12、X三、易错警示【例】设X,丁满足/+丁一8工一6)+1 6 =0,问：上士2是否有最大值和最小值？如果x-2有，求出其最大值或最小值；如果没有，说明理由.错解:由己知点(x,y)是 圆 意-4)2+(丫-3)2=9上的点，匕表示点(x,y)与点(2,2)连线x-2的斜率，如图2 2 5所示，图 2-2 5画出圆(x 4尸+(y 3)2=9,过点(2,-2)作圆的切线.设切线方程为y +2 =A(x-2),则圆心(4,3)到该直线的距离为3,即|4%-3-2 Z-2 1 1 2 k -5|J+k2 yj+k26 R=3,解得左=2 3二.二上上2的最大值为&=一2 +处，最小值为=-2-处.x-

13、2 5 5【评析及正解】上述解法中，没有注意直线的斜率是倾斜角的正切值，而正切函数在区间(0,上单调递增，在(方,兀)上也单调递增，是两个不同的单调递增区间，在6 =时没有言 的 范 围 不 是-2 一 第,一 2+空，而是意义.如图2 26所示，因此,（注:此处就不再另附正确解法的具体步敢）也没有最小值.图 2 26四、难题攻略网（2019年高考数学江苏卷文科第18题）如图2-2 7 所示，一个湖的边界是圆心为。的 圆.湖的一侧有一条直线型公路/,湖 上 有 桥 是 圆。的直径），规划在公路/上选两个点P，Q,并 修 建 两 段 直 线 型 道 路 QA.规划要求：线段尸8 QA上所有点到点

14、。的距离均不小于圆。的半径.已知点4 8 到直线/的距离分别为A C 和 8 0（C,。为垂足），则得AB=10,AC=6,B D=1 2（单 位：百米）.若 道 路 与 桥 A B垂直，求道路P B 的长.（2）在规划要求下，尸和。中能否有一个点选在。处?并说明理由.（3）在规划要求下，若 道 路 总 和 QA的长度均为d （单 位：百米）.求当d 最小时，P,。两点间的距离.CD图 2-27【破难析疑】在实际问题中，遇到直线与圆的问题，利用坐标法比用平面几何及纯三角的方法解决有时要简捷些，其关键在于建立适当的直角坐标系，建立适当的直角坐标系应遵循3点：若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为

15、生标轴；常选特殊点作为直角坐标系的原点；尽量使已知，点位于坐标轴上.第问，可作垂线，利用余弦函数的定义求解，或建立平面直角坐标系以。为原点，过。且平行于/的直线为x轴俾立平面直角坐标系）利用两直线垂直的条件得直线BP的方程，并与直线/的方程联立求解点尸的坐标.再由两点间距离公式求解PB的 长.第问，分点尸在。处和，点。在。处进行讨论，进而可作出判找.第问，先讨论，点尸的位置，再讨论点。的位置，利用两点间距离公式，直线与圆的位置关系建立目标函数，再求解最值.【解法一】（1）如图2-2 8所示，过A作垂足为E,由已知条件得，四边形ACDE为 矩 形.D E=B E A C=6,A E=C D 8

16、.P B AB,8 4cos/PBD=sinzf A B E=10 512:.PB=c o s/P B D 45=15因此道路PB的长为15（百米）.若P在。处，由（1）可得E在圆上，则线段座 上的点（除B E）到点。的距离均小于圆。的半径.选在。处不满足规划要求.若0在。处，连接A。，由知.,A D2+A B2-BD-7、,、从而 c o s/B A D-=0.2 A D A B 25./B 4D为锐角，线段AO上存在点到点O的距离小于O的半径.因此Q选在。处也不满足规划要求.综上，P和。均不能选在。处.(3)先讨论点P的位置.当/。时，线段尸3上存在点到点。的距离小于圆。的半径，点p不符合

17、规划要求；当/O 8 P.9 0时，对线段P 8上任意一点R O E.0 3,即线段P 5上所有点到点。的距离均不小于圆。的半径，点P符合规划要求.设=6B cos/E5A=15xg=9当/Q B P 9 0时，在中，P B R B=1 5 .由上可知,d.A5.再讨论点0的位置.由知，要使2 A.i5,点。只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当 QA=15 时，CQ=yjQA2-AC2=V152-62=3A/21.此时，线段2 4上所有点到点。的距离均不小于圆。的半径.综上，当P 3 L A B,点0位于点C右侧，且CQ=3&1时，4最小.此时，P，。两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=I

18、7+3扬.因此，d最小时，P，。两点间的距离为17+3际(百米).【解法二】(1)如图2-29所示，过。作O 4 _ L/,垂足为H,以。为坐标原点，直线OH为y轴，建立图 2-29BD=2,AC=6,O H=9直线/的方程为y=9,点A 8的纵坐标分别为3,3,A 8为圆。的直径，A B=1 0,圆。的 方 程 为/+尸=2 53从而A（4,3）,8（Y,3）,直线AB的斜率为i .P B 1 A B,4 4 2 5 直线尸8的斜率为一,直线P B的方程为.P（-1 3,9）,P B=7（-1 3+4）2+（9+3）2=l5,因 此 道 路 的 长 为1 5（百米）.若P在。处，取线段8。上

19、一点E（TQ）,则EO=4 上存在点到点。的距离小于圆。的半径.因此。选在。处也不满足规划要求.综上，P和。均不能选在。处.（3）先讨论点P的位置.当/。8尸 PtB=5.由上可知，。-1 5.再讨论点。的位置.由（2）知，要使得QA 1 5,点0只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当。4=1 5 时，设。（。,9）,由 4）,得 a=4+3同0（4+3伍9）,此时，线段Q A上所有点到点。的距离均不小于圆。的半径.综上，当尸（一1 3,9）,Q（4+3 7 2 1,9）d 最小.此时P，。两点间的距离|PQ|=4+3-（-1 3）=1 7+3。因此，d最小时，P，。两点间的距离为1 7+3

20、亚（百米）.五、举一反三1.（1）已知圆G：/+V=9与圆。2：f+y 2-4 x+4 y-l=0关于直线/对称，则直线/的方程为（）.A .4 x-4 y+l=0B.x-y=OC .j H-y=OD .x-y-2=0【解】由题意可知/为储G的中垂线，因为圆G的圆心为G（o,o）,圆G的圆心为G（2，-2）,则直线G e?的斜率为b=-1，故直线/的斜率是&=1 .又因为CG中点为（1，-1），故/的方程为y+l=x l .即为x-y-2=0,故选D.圆M：一+（）-。）2=4 2的圆心为M（o,a）,半径为a,如图所示，作M4L直线H y=0于点A,则AO M是等腰直角三角形.第 1（2）题

21、图又 半弦长|。4|=四,二0=|。徵=2.圆N的圆心为N（l,l）,且半径为1.故连心线=J（0-1）?+Q T）2=6 .两圆半径和为3,而半径差为1.1V20)截直线x+y=O 所得线段的长度是2 血，则圆M 与圆N：(x l)2+(y -l)2=l的位置关系是().A .内切B.相交C .外切D ,相离2 .已知点(x,y)在圆(x 2+(y+3)2=l 上.求x+y的最大值和最小值；求上的最大值和最小值；X(3)求7 2+/+2%-4 +5 的最大值和最小值.阐【解法一】设/=升 n，则丁=一尸匕，可视为直线丁=一叶，的纵截距.叶 y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的

22、最大值和最小值，即直线与圆相切时的纵截距.由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径.即 付 M二4=1,解之得片企1 或片一血一 1 .叶 y的最大值为近一1,最小值为一夜一1 .【解法二】设L2+COS夕 外0,2),贝 IJ jr-y=2+cos0-3+sin0=/2sin+|-1 ,由y=-3+s i n=2 x-4,设圆C的半径为1,圆心在/上.若圆心C也在直线y=x-l上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M,使MAF=2MO,求圆心C的横坐标。的取值范围.图 2-30解方程组，v=2 x 4；=X 1得圆心C为(3,2),又圆C的半径为1.圆 C 的方程为(x

23、3)2+(y 2)2=1 .显然切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为y=k x+3,即日y+3=0,-1-1,即|3Z+I|=JK+I,解得=0或%=.V P+i 1 1 4，所求圆C的切线方程为y=3或3升4 y 1 2=0.(2)圆C的圆心在直线/：y=2 x 4上，可设C(a,2所4),则圆C的方程为：(x-a)2+y-(2 a-4)2=l.又 一 M A=2 M O,设 M(x,y),则有 耳可于；整 理 得/+(什1)2=4,设为圆D.点M既在圆。上又在圆。上，即圆C和圆。有交点.|2-1|a2+(2-4)-(-l)2|2+1|,即 掇 加 片 _12丁+9 3.由 5/-12a+8.0 得 X e R；由 5/一 12,0 得 嗯 必 ,综上所述，。的取值范 围 为0,y .