2023年人教版高考数学总复习第一部分考点指导第八章立体几何第六节第3课时用空间向量研究夹角问题.pdf

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1、第3课时用空间向量研究夹角问题【考试要求】1.会求异面直线夹角，直线与平面夹角，平面与平面夹角等各种空间夹角问题.2.体会向量方法在研究立体几何中的作用.【高考考情】考点考法：高考命题常以解答题的形式考查空间角与距离，难度中等，特别是角的计算是每年必考考点.一般以大题的条件或一小问的形式呈现，考查用向量方法解决立体几何问题.核心素养：数学运算、逻辑推理、直观想象o 知铝梳理二思体激活-Q归纳知识必备1.两条异面直线所成的角(1)范围：两条异面直线所成角的范围是(0,4.2(2)向量求法：设直线a,8的方向向量分别为a,b,其夹角为0,则有cos 0=|cos(p|=|b_|aHb|2.直线与平

2、面所成角7 1(1)范围：直线与平面所成角的范围是 0,万.(2)向量求法”：如图所示，设直线/的方向向量为e,平面a的法向量为，直线/与平面en。所成的角为0,两向量e与A的夹角为明 则有sin 0=|cos 0=-1 1 1|e|n|，注 解1向量法求空间角时，直线就用方向向量，平面就用法向量.注 解2只有线面角正弦值对应向量夹角的余弦值(的绝对值)，其他空间角都是余弦值对应向量夹角的余弦值(的绝对值).3 .平面与平面的夹角兀(1)范围：平面与平面夹角的范围是 0,万.(2)向量求法：如图，平面a 与平面 相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于9 0 的二面角称为平面a 与平面

3、的夹角.类似于两条异面直线所成的角，若平面。，尸的法向量分别是功和外，则平面。与平面尸的夹角即向量m和功的夹角或其补角(两个角中较小的一个).设平面a 与平面的夹角为0,则 c o s 0=|c o s (小,心|4 .二面角(1)如图，AB,切分别是二面角。-八的两个面内与棱/垂直的直线，则二面角的大小，=(AB,C D).(2)如图，功，及分别是二面角。一/一的两个半平面。，尸的法向量，则二面角的大小满足I c o s G|=|c o s A l,n,)|,二面角的平面角大小是向量A l 与一的夹角(或其补角).范围是 0，口 _.智学变式探源1.选择性必修一 P 4 3 T 92.选择性

4、必修一 P 4 8 T 42L (改变条件)如图所示，正方体4?A B K 中，点 反 厂 分 别 在 力。上，AE=-O 4 AFAC,则E F与G 所成角的余弦值为()ODxA.乎 B.乎 C.*D.9 6 3 3【解析】选 c.以为原点，建立如图所示空间直角坐标系,设正方体棱长为 3,则(1,0,1)(2,1,0),旗=(1,1,-1),G(o,3,3),(0,0,3),C-t-D-,/=(0,-3,0、)，设跖与 G 所成的角为。，则 c o s 0=_ E F.CD_|=0-3+0IEFHQD,!7 3 X 3=也一 3 ,2.(改变条件)在正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)力跖4

5、 劣6中，AB=2,E,/分别为7AG和 A3的中点，当4?和 郎所成角的余弦值为沔时，4?与平面8 c 所成角的正弦值为()A逗 R遮 近 0亚A，5 氏 1 0 C*1 0 5【解析】选 B.设 羽=2 以8为原点，过 8 作比1的垂线为x 轴，直线8a的 为 y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系，则 加 小，1,0),樽，|,1,5(0,0,0),吟,1一21-2z因为熊和郎所成角的余弦值为2，所以|c os 龙，赤 I=喇10 I 总 厮1一2-/1+t2 yll+t=1，解 得t=2,所以衣=一 里；，2 ,因为平面小历的一个法向量为片（1,0,一 3r0）,所 以 与 平

6、面 比 四 所 成 角。的正弦值为sin=卑.施/10慧考 四基自测3.（求线线角）直三棱柱B C中，AC=BC=AA,N AC B=90,E 为 BB，的中点,异面 直 线 与 C /所成角的余弦值是（）3.基础知识4.基本方法5.基本应用6.基本能力亚 _ 5A 5L D.5L【解析】选 D.直三棱柱/旌，B C中，AC=BC=AA,乙化?=9 0,E 为 BB，的中点.以。为原点，为 x 轴，为轴，CC为 z 轴，建立空间直角坐标系，设/C=6C=A 4=2,则。(0,0,0),=0,2,1),C(0,0,2),1(2,0,0),玄=(0,2,1),厂 4 =（2,0,-2）,设异面直线

7、C E 与 C力所成角为0,则 c os|满 尸 2 V10C E (TA 一乖.乖 10所以异面直线C E 与 C/所成角的余弦值为4.（求线面角）已知长方体/a4 2=4 4 =1,4 5=3,为线段4 9上一点，且OAB,则分与平面几笫所成的角的正弦值为（OiAiBA，3 5D 平【解析】选A.以，为坐标原点，DA,DC,DD、为 x,y,z轴建立空间直角坐标系，则G（0,3,1),(0,0,1),Mb 1，0),=(0,3,1)(2,1,3)710X/143 /3 5=3 5R岖B.了则由磅z),6所以。与平面比所成的角的正弦值为支胆005.（求二面角）如图，在三棱柱4 8343C中，

8、AB,AC,14两两互相垂直，AB=AC=AA M,是 线 段 阶 上 的 点，平 面 上 与 平 面 板 所 成（锐）二面角为看,当1 5M最小时，ZAMB=(c,【解析】选 C.以/为原点，所在直线为X轴，所在直线为y 轴，44所在直线为Z轴，建立空间直角坐标系，设 46=/。=期=1,设CN=b,BM=a,则M l,0,6),#(0,1,a),4(0,0,0),3(0,1,0),=(0,1,a),加=(1,0,6),设 平 面 的 法 向 量 z?=(x,y,z),A M*z?=y+az=0则，取 z=l,得 A=(b,a,1),、市 n=x+bz=0可得平面48c的一个法向量E=(0,

9、0,1),因为平面4眦与平面4a 所成(锐)二面角为，三 的加_ _ _ _ _ _ _ _ 通所以co s至 一 .-7+百-2 A8 解得 3H2+3 4=1,所以当 15M 最小时，4=0,BM=a=1,所以 tan ZAMB=1,所BM 1JI以 NAMB=N.6.(求线线角)如图，在正方形力颔中，EF/AB,若沿绪将正方形折成一个二面角后，AE：ED：AD=1：1 ：*，则 与 四 所 成 角 的 余 弦 值 为.A1-lB【解析】因为折后AE：E D AD=：1：J2 ,所以AE LE D,即ZE,DE,)两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系，设 AB=E F=C D=2,则

10、(0,0,0),A(l,0,0),户(0,2,0),。(0,2,1),所以亦=(1,2,0),E C=(0,2,1),AP P C 4 4 4所以c os (AF,E C=-=r 7=1 ,所以4 月与四所成角的余弦值为.|前庇小X乖 5 5答案:I。、才点榇史悟法培优,_ _ Q/考点一异面直线所成的角自主练透1.如图，在正方体力比)45。中，为4 的中点，过 4c且与切平行的平面交平面G 6V于直线/,则直线/与4 6所成角的余弦值是()A必 R蛆A.2 B-2乖+书 26J 4 3【解析】选 D.如图，建立空间直角坐标系,NCiz/DX A Bx在正方体/颇 4 6 G 中，A M D

11、G 平面4 G 8,4 8 u 平面4 G 6,所以勿平面4 G 8,延长刚与/相交于点A；连接G V,则 G V 即为直线/，设正方体的棱长为1,则4 （1,0,0）,8(1,1,0),C(0,1,1),川(1,-1,2),所以崩=(0,1,0),qN =(l,-2,1),ABCjN 2 、历设 与 G/V所成角为 J,则 c os 0=；=-7=.|AB HC.NI 1X 6 32.（2 02 2 福州模拟）已知/6C 与/切所在的平面互相垂直，4 7=2 5,AB=AD=2 0,C B=1 5,则 直 线 与 a 1所成的角的余弦值为（）7 7 2 4 12A。*B.嘀 C,-D.-【解

12、析】选 D.因为4=4+切+初，所以力比 与 4%为全等的直角三角形，过点8 作 8 a L/C,垂足为0,连接0,所以如，：因 为 平 面 力 比 工 平 面 所 以 加，平面力切，故以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，可得4（0,-16,0）,8（0,0,12）,。（0,9,0）,（12,0,0）,则 劝=（12,16,0）,BC=（0,9,-12）,一，一、16X9 16X9 12所以 COS AD,B C）=I =7,I ,=on xz 1 r=o c-/122+162 -92+12?2 0 X 15 2 53.（2 0 2 1 西安模拟）已 知 三 棱 柱 的 侧 棱 与

13、底 面 边 长 都 相 等，8C 的中点为，4 A底面487,则异面直线48 与 C G 所成角的余弦值为（）乖 乖 S 3A.%B.为 C.D.-4 4 4 4【解析】选D.设 三 棱 柱/吐4 AG的棱长为2,因为48=4。，为a 的中点，则/，比；因为4_ L平 面/8C,所以以点。为坐标原点，DB,A D,力所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则点/(o,一4，0),6(1，所 以 拔=(1,y3,Q),CC0，0）,Ai（0，0,1）,=A A,=（0,小,1）,.ABCC.3 3cos（AB,CC,）=.T =9 v 9=彳.|AB|.|CC,|2 X 2 43

14、因此异面直线力3与3所成角的余弦值为a.射规律方法求异面直线所成角的注意问题(1)注意公式是C OS 0=I C OS ,I ;要注意所成角的范围.5 考点二直线与平面所成的角讲练互动 典例1 (2 0 2 1淅江高考)如图，在四棱锥Q46(初中，底 面/腼 是 平 行 四 边 形，N/6C=12 0 ,AB=,BC=4,P A=yl5,M,A,分别为 8C,0 C的中点，P DLDC,P MLMD.(1)证明：ABLP M-,(2)求直线4V与平面如所成角的正弦值.【解析】在中，DC=,C M=2,N DC M=6 0,由余弦定理可得仁/,所以成+D C =C M,所以DMLDC.由题意知D

15、C 1P D旦 P DC DM=D,所以入平面P DM,而门仁平面P DM,所以此LP M,又 AB DC,所以48，区 因 为 4 kM,AB1.P M,而 48与相交，所以掰J _ 平面力比由余弦定理可得4仁 市,所以局7=2/，取助中点,连接.，监 则，监，DM,两两垂直，以点物为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系，则力(一工,2,0),尸(0,0,2 y2 ),D(小,0,0),#(0,0,0),C 心,-1,0),又 N 为中点，以所由 得 平 面 包 出，所以平面也物的一个法向量A=(0,1,0),从而直线4V 与平面功必所成角的正弦值为5 _s i.n”a 1%_ _ _ I

16、 _ _ _2/Hi-r.阚加后16，规律方法利用向量法求线面角的方法求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，其余角就是斜线与平面所成的角.，对点训练（2 0 2 1 济南模拟）已知正方体A B C D-A B C D 和平面a,直线A C 平面a,直线B D 平面a.证明:平面a 平面B C D/点 P 为线段A G 上的动点，求直线B P与平面a 所成角的最大值.【解析】（1）连接A,则B D L A C,因为A A 平面A B C D,B D u 平面 ABCD,所以 A A i_ L B D；又因为A A Q A C 尸A”所以B D _ L 平面A A C C；因为A C c 平

17、面A A C C,所以B D _ L A&；同理 B C _ L A 3；因为 B D A B =B”所以A C 平面B C D 1；因为A G 平面a,过直线A C,作平面3 与平面a 相交于直线1,则A C 1；所以1J _ 平面B C D ；又 l u 平面a,所以平面a，平面B iC D,.（2）设正方体的棱长为1,以A为坐标原点，A B,A D,A A i所在直线分别为x,y,z 轴正方向建立空间直角坐标系，则 A（0,0,0）,B（l,0,0）,D（0,1,0）,G（l,1,1）,所 以 鸡=(1，b 1),B b=(-1,1,0).设平面a 的法向量为/?=(x,y,z),nBD

18、=Ox+y+z=Ox+y=Q取 x=l,贝 ij =(1,1,-2)；设 办=tA Q (O W 0),则 方=(3 t,t),因为扁=(-1,o,0),所以价=BA+AP=(f1 t,t)；设直线彼与平面。所成的角为9,所以当t=-1 时，sin 取到最大值为J,0乙此时的最大值为W.6J 考点三 平面与平面夹角I多维探究 角度1平面与平面的夹角 典例2(2022 张家口模拟)如图，在四棱锥门48(力中，底面为梯形，P A=P B=AB,且/P BC=2NB4A90.(1)求证：平面处，平面/犯9；求平面为3 与平面 W 夹角的余弦值.【解析】(1)如图，在平面必内，过户作4，垂足为因为N

19、W 9 0 ,所以P BL8 C,因为所以%_L4?,又因为P BC P H=P,所以/，平面9屣 平 面P HB,所以ADLBH.因为 P A=P B=AB,所以Rt用Rt物所以P H=BH,、历又/为445,所以 P H=BH=AH=P B,得 期=所+而，B P P HLBH,又因为ADC BH=H,所以方，平面4颇，又因为联平面必,所以平面用，平面ABC D.(2)由(1)知P HL平面力腼，BHX.AD,设 用=镜，则P H=AH=BH=1,以为原点，以物所在直线为x 轴，加所在直线为z 轴,物所在直线为 y 轴，则(0,0,0),J(l,0,0),尸(0,0,1),6(0,1,0)

20、,所 以 =(-1,0,1),P B=(0,1,-1),HA=(1,0,0).设平面为8 的一个法向量为A=(为，y,z j,n AP=0则得n 磅=0-*i+z i=0,y,z(=0,令 为=1,则弘=1,n=(1,1,1).设平面4%的一个法向量为皿=(苞，y2,Z 2),m，HA=0则,2 2?P B=Q髭=0,yi-Z 2=0,得令%=1,则 Z 2=l,至=0,所以皿=(0,1,1).y赤 N/m n 2 亚所以 c os n i,n)=,;-;r=f=-7=U .m y2 X yj 3 3设平面为8 与平面4%的夹角为0,、后 、后则 c os 0=|c os(m,n)=,所以平面

21、用8 与平面4%夹角的余弦值为己 .O0角度2 求二面角大小、氏 典例3 (2 02 1 朝阳模拟)如图，在 三 棱 锥 中，尸 C L 底面ABC,C A=C B=C P=AB,肱/V分别是P A,加的中点，与 飒 交于点E,F 是2 7上的一个点，记 两=A PC(0/11).(1)若储平面/8C,求实数几的值；2(2)当 4=可时，求二面角小断8 的余弦值.【解析】连接阳 并 延 长 交 于 点 连 接 修，因为北平分别是为，加的中点，所以少点为为8 的重心，P P 9且。为血的中点，所以而=-,1 U O(1)因为用平面/6 G 平面匐9 n 平面/a、=切，上 平面尸切，P F P

22、E 2所以E F/C D,所 以/=诙=n，i y 1 L/O又因为的=人 衣(0/11),2所以4=可;O9 p F P E 2(2)因为儿=g，于 是 旃=荷 =3，所以E F C D,不妨设力8=/，则 C A=C B=C P=t AB=,乙且 而+%=/民 所以。_ L 2,因为A C L 平面ABC,不妨以点。为坐标原点，C A,C B,少所在直线分别为 y,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则力（1,0,0）,8（0,1,0），尸（0,0,1）/1、，1 1 1、f f l 1 JH0,0 q），%，骨）3*J AF=（-L 0，；），诙=（o，-1，设平面4项 的法向量为E=（

23、为，z）,-1 1FE=-xx+-yx=Q由 ，m,AF=X+z,=0 J取 为=1,可得=（1，1，3）,设平面庞F的法向量为Z 7=（吊，K，Z2）,f 一 1 ,1n FE=-x2+-y2=o o由一 J ，、n,BF=y2+-Z2=QJ取%=1,可得=（L 1，3）,/、m n 7 7cos 玲.司=vnxvn=n 由图知，二面角4 册 6的平面角为钝角，7因此，二面角力跖8 的余弦值为一石 .角度3 与二面角有关的综合问题 典例4（2 02 1 北京高考）已知正方体A B C D-A B C D,点 E为 AD中点，直线BC交平面C D E于点F.DC(1)证明：点 F 为 B的中点

24、；若点M 为棱AB上一点，且二面角M-C F-E 的余弦值为坐,求给的值.【解析】因为A B C D-A B C D 为正方体,所以A D B C,C D/7C.D,.又因为C D Q平面A B C。”CDu 平面A B C D，所以C D 平面A B C。”因为平面C D E F D 平面A B C D=E F,且 C D u平面C D E F,所以C D E F,故 G D E F,所以四边形 E F C D 为矩形，又因为点E 为AD的中点，故 G F=D 1E=A D=CB，故点F 为 B的中乙 乙点.(2)因为A B C D-A B C D 为正方体，故 D A,D C,D 两两垂直

25、，以D为坐标原点，分别以D A,D C,D D i 所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，令正方体A BCD-A BCD 的棱长为2,设入(0 W 入 W 1),则 C(0,2,0),E(l,0,2),F(l,2,2),M 2 入，2),CE=(1,-2,2),OF =(1,0,2),CM =(2,2 人一2,2).设平面CEF 的法向量为n=(荀，%，),则 CE 4 =0,CF*ni=0,M一2弘+2 =0,即,XI+2ZI=0,故 7i =0,令 =1,则为=2,可取 i=(2,0,1).设平面6好 的法向量为四=(在，%，Z 2),CM*z f e=0.n2=0,则2及+(24

26、2)%+2Z2=0,即X2+2Z2=Q,令&=1,则%=2,%=尸 万可取4=(2,文,1设二面角外用后 为。，且为锐角,故 COS 6=1COS i,Zfe）/=|nj ,|nj4+1=（-1）（-1）整理得（4 1）2=；解得小=，42=（舍），故 镖 =9 -N乙 AD Z射规律方法二面角的求解方法(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.#多维训练

27、1.(20 21 贵港模拟)如图，直三棱柱4 6 G 4 A G 中，底面/勿为等腰直角三角形，AAC B=9 0 ,AA=2 AC,尸是侧棱上的点.(1)若/初 9=60 ,证明：产是的中点；若C P=3 P G,求二面角层/A C 的余弦值.B【解析】(1)由直三棱柱ABC-A B。得 6 C L 平面A 9 C,所以GCL 47,Q C Y B C,所以加三朋又/AP B=6 0 ,所以 AP=BP=AB,又 N4=90,所以 A P=A B=AC,所以P C=AC=A4尸;C Q,即尸是 的中点；(2)如图，以C为坐标原点，C A,&和 CG所在直线分别为x、y 和 z 轴建立空间直角

28、坐标系,设 2 8 2,则 4(2,0,0),8(0,2,0),(0,0,3),所 以 范=(一 2,2,0),AP=(-2,0,3),设平面刃产的法向量为A=(*,y,z),n则曲宓=0n AP=0得,2x+2y=02x+3z=0令 x=3,得 =3,z=2,所以A=(3,3,2),又平面尸的法向量为9=(0,1,0),所以 cos n m)n m 3 _ 3/22n m yf 2 2 X l 2 2由图可知，二面角层/A C 为锐二面角,故二面角层力A C 的余 弦 值 为 嚓 .2.(2021 梅州模拟)如图，在四棱锥房儿刀 中，平面力比工平面/0 应，是等边三角形，在直角梯形力C Z

29、应中，AE/C D,AE LAC,AE=,AC=C D=2,。是棱被的中点.求证：74平 面 腼；设点材在线段4c 上，若平面阳v与平面历历所成的锐二面角的余弦值为叁，求,火的长.D【解析】如图，取回的中点0,连接产0,AQ,因为46。是等边三角形，所以4aL 6C,又 平 面 平 面4建，AE LAC,平面力比 D平面AC DE AC,所以力良L平面ABC,又/上 平面/况；所以m L/Q,又AE U C D,所以缪_ L/0,又 C DC BC=C,所以 4Q_ L 平面 BC D,因为0是父的中点，尸是棱川的中点，所以 Pgg 06=1,P Q/DC,又 AE H C D,AE=,所以

30、AE P Q,AE=P Q,即四边形4E7R是一个平行四边形，所以E P/AQ,所以母L平面6 3(2)由(1)得国J_平面/a；所以以点0为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系,则 0（0,0,0）,A（小,0,0）的法向量为勿=（为，必，z）,B(0,1,0),(木,0,1),(0,0,1),设平面近18,/n-AB=yl3xi+yl=Q/、由j0m=（1,小,0）,jn,血=0因为点 在线段/。上，设其坐标为（乖一羽大，t,0）,其中OWW1,所 以=（y/s t,t,-1）,EP=（y3,0,0）设平面阳V的法向量为/?=（在，%，z j,由,n,EM=A/3 tx2 ty-Zi=A=(0,1,t),n EP=yx2=Qm,n由题意，设平面处V与平面48所成的锐二面角为明 则 cos 9=.2 Jl+t2,因为O W tW l,所以t=-,所以|斗，一；，o ,所以/=/.