2023北京版数学高考第二轮复习--综合测试二.pdf

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1、2023北京版数学高考第二轮复习综合测试二（时 间:120分钟，分值：150分）一、选择题（共10小题,每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项）1.（2022密云二模.1）已知集合P=x|0 x4,xWZ,且MU P,则M可以是（）A.1,2 B.2,4 C.0,2 D.3,4答 案A由题意得=1,2,3,因为乂勺P,所以任取xC M厕x （1,2,3.所以M可能为1,2,A正确，因为 0。M,40M,所以 M 不可能为2,4,0,2,3,4,B,C,D 错误，故选 A.2.（2022朝阳二模2）在复平面内，复数3对应的点位于（）1 1A.第一象限 B.第二象限

2、 C.第三象限 D.第四象限答 案B=箴 瑞=招+宗 对 应 的 点 为（彳，），在第二象限*故选巳3.（2022东城期末,4）在二项式（小，5的展开式中，含x3项的系数为（）A.5 B.-5 C.10 D.-10答 案D Tk+尸Cx5-k（-|）k=（-2）kC与*5弋当k=1时,12=（-2）工“=-10*3.含好项的系数为-10.故选D.4.（2022朝阳一模,10）在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示,VA,VB,VC两两垂直,VA=VB=VC=1（单位:dm）,小明同学计划通过侧面VAC内任意一点P将木块锯开，使截面平行于直线V B和AC,则该截面面积（单位油子）的最大值是（）

3、AA-4BR-T夜4D4答 案B如图,在平面V A C内过点P作EFII AC,分别交VA,VC于F,E,在平面VBC内，过E作EQII VB,交BC于Q,在平面V A B内，过F作FDII VB,交AB于D,连接DQ.因为EFII AC,所以 VFE。VAC,设相似比为k(Okl),则於冷卧，因为 VA_LVC,所以在 Rt VAC 中,AC2=VA?+VC2,因为 VA=VC=1,所以 AC=&,所以 EF=V2k,因为FDII VB,所以 AFD-AVB,贝啼=枭=雀因为爷=爷=1水，所以瞳=祟*即FD=l-k,同理 CEQs CVB,所以浮=导=落I kV L o C V D因为 VB

4、VC,VBVA,VAO VC=V,VAc 平面 VAC,VCc 平面 VAC,所以 VB _L平面 VAC,因为 FDII VB,EQII VB,所以 FD_L平面 VAC,EQ_L平面 VAC,因为 EFc 平面 VAC,所以 FD_LEF,EQ_LEF,因为吧=K=k =臾=k所以丝=皿JBA 1/7 1 1 BC VC BA因为N B=Z B,所以 BDQj BAC,所以 DQII AC,因为 EFII AC,所以 EFII DQ,因为 FD J_EF,EQJ_EF,所以 FDDQ,EQDQ,所以四边形 FEQD 是矩形,S o?HEQD=EF-FD=V2k-(1-k)=-V2(得了+笔

5、所 以 当 时,S矩 形FEQ D有最大值，为当故选B.5.(2022北京市陈经纶中学开学考试,4)过点(遮,-2)的直线1经过圆x2+y2-2y=0的圆心，则直线1的倾斜角大小为()A.1500 B.60 C.30 D.1200答 案 D圆的标准方程为x2+(y-l)2=l,所以圆心坐标为(0,1),因为直线1经过点(逐-2)及(0,1),所以直线1的斜率为弓=-8，设直线1的倾斜角为a,由倾斜角与斜率的关系可知tan a=-8,贝！a=120。,故选D.6.(2022昌平二模*9)已知函数f(x)=ax24ax+2(alog2x 的 解 集 是()A.(-oo,4)B.(0,l)C.(0,

6、4)D.(4,+oo)答 案 C f(x)在区间(,2)上单调递增在区间(2,+oo)上单调递减，且 0)=2的)由=42)=2412,函数y=log2x在区间(0,+oo)上单调递增，且 Iog22=llog2x在区间(0成立，排除选项B、D,又 x0,所以排除选项A,故选C.7.(2022石景山一模 0)设 A.B为抛物线C:y=x?上两个不同的点,且直线AB过抛物线C 的焦点F,分别以 A.B为切点作抛物线C 的切线.两条切线交于点P.则下列结论：点P一定在抛物线C 的准线上;PF_L AB;PAB的面积有最大值，无最小值.其中，正确结论的个数是()A.O B.l C.2 D.3答 案

7、C显然直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为丫=1 +汽出)1 加22),，1由.y-依+l 得 x2_kx-J=0,则 xi+X2=k,xiX2=-；,(y=4 4.,.y,+y2=k(Xi+X2)+|=k2+$丫2=(依1+J (kx2+()=k2xlx2+k(xl+x2)+今=*，由 y=x?得 y-2x,kA 产2x,直线 AP:y-yi=2xi(x-xD.同理得直线 BP:y-y2=2x2(x-X2).(%一联立直线AP与 BP的方程，解得 即交点p 的坐标为(对)因为抛物线y=x2的准线方程为y=I，所以点P在准线上，故正确.4=1-4T-2+-1-4-O-Q.kpF-kAB=，k

8、=-l,PF AB.故正确.点P到直线AB的距离为d=M+lk2+lfc 1.12 4 4弦长|AB|=Y1+H|x l x2|=V1+/c2-y(x1+X2)2-4X1X2=V1+/c2-J/c2-4D-=k2+l,所以S；PAB4lA B|-d4(k2+l).P =可正当k=0时s PAB有最小值.无最大值.故错误.所以正确结Z Z Z 4论的个数是2,故选C.8.（2022朝阳一模,8）已知数列4,若存在一个正整数T使得对任意nWN*,都有“+丁=源,则称T为数列a.的周期.若四个数列分别满足 a =2,an+1=1 -an(n e N*);bi=l,b“尸 士 (nN*);Ci=1 ,

9、C2=2,Cn+2=Cn+l-Cn(n G N)；di=l,dn+i=(-l)ndn(neN*).则上述数列中,8为其周期的个数是()A.l B.2 C.3 D.4答 案Ban+2=la+i=l-(l-an)=an,所以出 的周期T=2,而8=4x2=4T,所以8也是 的周期：bi=l,b2=|,b 3 =1,b4=|,b 5 =|,b 6 =-7-=,b 7 =?b 8 =1+bi 2 1+匕2 3 1+03 5 1+O4 o 1+为 13 l+比 Z1吉=得力9=吉=*所 以8不是回 的周期；1+。7 34 1+。8 55(3)Cn+6=Cn+5-Cn+4=Cn+4-Cn+3-Cn+4=-

10、Cn+3=-(Cn+2-Cn+l)=Cn+l-Cn+2=Cn+l-Cn+1 +Cn=C,所以Cn的周期 T=6,故 8 不是Cn的周期;dn+4=(-l)n+3dn+3=(-l)n+3-(-l)n+2dn+2=(-l)2n+5-dn+2=-dn+2=-(-l)n+ldn+I=-(-l)n+，-(-l)ndn=-(-l)2n+ldn=dn,SMT=4,而8=4X2,故8是 dn的周期.综上,周期为8的数列有2个.9.（2022东城期末,9）已知点A,B,C不共线，中为实数，而=XAB+同厕改入+四1是 点P在 ABC内（不含边界）”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C充要条件 D.既不

11、充分也不必要条件答 案B设线段BC上任意一点D（不含端点B,C）厕 而=xAB+y前（0 xl,0yl,x+y=l）,则点P在 ABC内部（不含边界）的充要条件是而=丽则二fO A 1,所以所以0 t =A+nlg 10 0=2,即得n g 2-lg 3)22,解得nN21g2-电3 7.602 010,477产16 1，故至少需要逐次分形，故选C.二、填空题(共5小题,每小题5分，共25分)11.(20 22人大附中统练一1)已知正数x、y满足x g=2,则(的 最 小 值 是.答 案解析 由基本不等式得2=x+2弱=1，所以?今当且仅当x=I时，等号成立，故?的最小值为京12.(20 21

12、朝阳二模,14)已知函数f(x)=3x,g(x)=|x+a卜2(aWR).若函数y=f(g(x)是偶函数厕a=;若函数y=g(f(x)存在两个零点，则a的 一 个 取 值 是.答 案0;-3(第二空答案不唯一)解析 易知f(x)是定义在R上的非奇非偶函数,由函数y=f(g(x)是偶函数得g(x)是偶函数,从而有a=0.因为f(x)的定义域为R,值域为(0,+8),所以函数y=g(f(x)存在两个零点等价于函数y=g(x)存在两个正的零点,即关于x的方程|x+a卜2=()有两个正的实数解，解方程得xi=-2-a,X2=2-a,故xi0且X20,故a0,b 0)的左焦点为Fi,A,B为双曲线M上的

13、两点,0为坐标原点.若四边形F.A B O为菱形，则双曲线M的离心 率 为.答 案V3+1解 析:四边形R A B O为菱形,二AB=0.设 A(x0,yo),：Fi(-c,0),0(0,0),B(x0+c,y0).2 2点A在双曲线M上,二呼-卷=1，QZ b点B在双曲线M上,.幽 婴-细 ，Q/b由得诏=(xo+c E即Xo=-，代入 得 诏=聋 ，由|FQ|=|OB|,得(xo+c)2+M=c 2，将式代入式化简得b2(c2-4a2)=3a2c2,从而有(c 2-a2)(c 2-4a?)=3a2c 2,由 e=(,进而有(小-1 )4-4)=3/.即有 et8e2+4=0,解得 e?=4

14、+2巡或 e2=4-2V3().因此 e=V5+l.15.(20 22西城一模,15)已知函数f(x)=|2-a卜kx-3,给出下列四个结论：若a=l,则函数f(x)至少有一个零点；存在实数a,k,使得函数f(x)无零点；若a0,则不存在实数k,使得函数f(x)有三个零点；对任意实数a,总存在实数k,使得函数f(x)有两个零点.其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.答 案 解析 令f(x)=O得|2a|=kx+3,所以函数f(x)的零点个数等于函数y=2-a|与y=kx+3图象的交点个数.当a=l时,|2X-l|=kx+3,在同一坐标系中作出y=|2x-l|,y=kx+3的图象，如图

15、1所示.因为直线y=kx+3过定点(0,3),所以函数f(x)至少有一个零点，故正确.当a=-4,k=0时，作出y=|2x+4|,y=3的图象，如图2,由图象知，函数f(x)无零点，故正确.图3由图象知:函数f(X)有三个零点，故错误.在同一坐标系中画出函数y=|2X-a|与y=kx+3的图象如图4.由图象知:对任意实数a,总存在实数k,使得函数f(x)有两个零点，故正确.综上,正确结论的序号是.三、解答题（共 6小题，共 85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）16.（2021房山一模.17）在 ABC中/A,Z B,N C 的对边分别为a,b,c.B=y,b=b.再从条件、条件、条

16、件这三个条件中选择一个作为已知，求：(l)sin C 的值:（2）A ABC的面积.条件:AB边上的高为景条件:cos A号S条件:a=l.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.解析选:AB边上的高为当(1)设人8 边上的高为CD,V3在 RtA ACD中.sin A4=房=詈A C V7 14,/Z ABC=y,0 A y.c o s A=V1-sin2 A=除Vz A+Z ABC+Z ACB=T C,/.sinZ ACB=sin(Z A+Z ABC)=sin AcosZ ABC+cos AsinZ ABC=(；)+xV3解法一:在RtA BDC中，因为sinZ CBD备=多=si

17、nj=率所以BC=1.D C D C Z又因为 b=V7,sinZ ACB=p,所以 SA ABC=|absinZ ACB=j x l x V 7 x =y.解法二:在 R f ACD 中,AD=AMC2-CA2=J(V7)2-(苧j =|.因为 CD=y,tanZ CBD啜，所以 BD=产 jf=ytanOCDL/tan 2所以AB=AD-BD=1-另2.又因为CD=y,所以 S ABC-|AB CD=x 2 x 苧=当选:cos A=笔.(l)VB=y,.-.0 A 2又cos A=誓,，sin A=V1 cos2A=/.sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin

18、 B_V21/1 5V7 V 3 _ V21-XV 2)+X-GQ b bsinA 歹x音Q)赤=而，.2=漏=1 2:.SAABc=|absin C=|x lx V 7 x =y.选:a=l.解法：急=焉 人 山 A当卡又,.上二金,.0 A /.cos A=V1 sin2A=,:A+B+C=7T,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B一“r n +5夕乂国闻解法二:丁 bJa2+c2-2accos B,/.7=l+c2-2x 1 xcx(0,gp c2+c-6=0,解得c=2或 c=3(舍去).八百 L c b.小 csinB 2x区 V21痂=而，c=-

19、=r =(2)S，ABc=；absin C=；x l x V 7 x =y.17.(2022西城二模,18)如图，在三棱柱ABC-AIBIC中,四边形AA)CiC是边长为4 的菱形,AB=BC=g,点 D为棱AC上的动点（不与A,C重合），平面B.BD与棱AC1交于点E.(1)求证:BBill DE;(2)若臆=*从条件、条件、条件这三个条件中选择两个条件作为已知,求直线AB与平面BiBDE所成角的正弦值.条件:平面ABC_L平面AAiCiC;条件:N AAC=60o;条件:A|B=&T.解 析(1)证明:在三棱柱A B C A B G 中,AA/I BBi,因为BBg平面ACC A,A A

20、g 平面ACGAi,所以B B/I平面ACGAi,又因为平面BiBDED平面ACCA产DE,所以BB,II DE.(2)选条件.连接A C 取 AC中点0,连接AiO.BO.在菱形ACCiAi中/AiAC=60。,所以 AiAC为等边三角形.又因为0 为 AC中点，所以AiOAC,又因为平面ABC_L平面ACGAi,平面ABCA平面ACGA尸A C,A Q u平面ACGAi,且 AQ_LAC,所以A QJ平面ABC,因为O B u平面ABC.所以AQ_LOB.因为AB=BC,0为 AC中点，所以BOAC.所以OB、OC、OAi两两垂直.以O 为原点QB、OC、OAi所在直线分别为x轴、y轴、z

21、轴建立空间直角坐标系,贝!0(0,0,0)内0,-2,0)肉(0,0,2圾1(3,0,0)8),0).所 以 标=(3,2,0),BD=(-3,1,0),厉=标=(0,2,273).设平面BiBDE的法向量为n=(x,y,z),则 上 萼 U，所 以 伊:京。,(n.DE=0,(2y+2V3z=0.令 y=3厕 x=l,z=-V5,故 n=(l,3,-V3).设直线AB与平面BiBDE所成角为0,所以sin 6=|cos前,心|=搭 =2|AB|n|13所以直线AB与平面B.BDE所成角的正弦值为白选条件.连接A C取AC中点O,连接AiO.BO.在菱形 ACCIAI 中/AiAC=60,所以

22、 A A C为等边三角形.又因为O为AC中点，故AQ_L AC,且A Q=2g.又因为 OB=3,AIB=VH.所以 AQ?+OB2=AiB2,所以 A1OOB.又因为ACO OB=O,所以AQ_L平面ABC.因为AB=BC,0为A C中点，所以BOAC.所以OB、OC、OA两两垂直.以下同选条件.选条件.取AC中 点O,连 接A)O,BO.在 ABC中，因 为BA=BC,O为AC中点，所以 BOAC,fi AO=2,OB=3.又因为平面ABCJ_平 面ACGAi,平 面ABCO平 面ACGA产AC,BOu 平 面ABC,所 以BO_L平面ACCi A).因为 OAiU 平面 ACC1A1,所

23、以 BO_LOAi.在 RH BOA,中,OAI=JB2-OB2=2V3.又因为 OA=2,AAi=4,所以 O朗+0A2=A,所以 AQ JL AO.所 以OB、OC、OAi两两垂直.以下同选条件.18.(2022昌平二模,18)某产业园生产的一种产品的成本为50元/件销售单价依产品的等级来确定，其中优等品、一等品、二等品、普通品的销售单价分别为80元、75元、65元、60元.为了解各等级产品的比例,检测员从流水线上随机抽取200件产品进行等级检测，检测结果如下表所示.产品等级优等品一等品二等品普通品样本数量(件)30506060(1)若从流水线上随机抽取一件产品，估计该产品为优等品的概率；

24、(2)从该流水线上随机抽取3件产品，记其中单件产品利润大于20元的件数为X,用频率估计概率,求随机变 量X的分布列和数学期望；(3)为拓宽市场,产业园决定对抽取的200件样本产品进行让利销售每件产品的销售价格均降低了 5元设降价前后这200件样本产品的利润的方差分别为且,s；,比较*,s知勺大小.(请直接写出结论)解 析(1)抽取的200件产品中优等品有30件，抽取优等品的频率是券=条用样本估计总体，从流水线上随机抽取一件产品，估计是优等品的概率为六(2)从流水线上随机抽取一件产品,估计利润大于20元 的 概 率 为 喀 =|.X的可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=C(|)x3=卫5)1

25、25,54.P(X=3)=Ci(|)3 xX的分布列为X0123p2712554125361258125数学期望E(X)=0 x%+1 x哉+2 X部+3 X接 二.(3)51=s i，19.(2022 丰台一模,20)已知函数 f(x)=xVH4.当a=l时,求曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程；(2)若函数g(x)=f(x)学合有两个不同的零点，求a的取值范围.解析 当 a=1 时,f(x)=x，l -x(x 1),所以f-a0,所以g(xRO,则g(x)在定义域(。,a上是增函数.故g(x)至多有一个零点，不合题意,舍去.当a0时，随x变化r(x)和g(x)的变化情况如下表:X32aT

26、(2ak,ag(x)4-0-g(x)/极大值故g(x)在区间(一 口，当)上单调递增,在区间(g,a)上单调递减，当x号时,g(x)取得最大值,g管)=空 竿%当0a3 时,g管)0,又 g(0)=g(a)=-y0)的焦点在x轴上，且经过点E(l。，左顶点为D,右焦点为F.求椭圆C的离心率和 D E F的面积：(2)已知直线y=kx+l与椭圆C交于A,B两点.过点B作直线y=t(t百)的垂线，垂足为G.判断是否存在常数t,使得直线A G经过y轴上的定点.若存在,求t的值;若不存在.请说明理由.解析 依题意得艰+为,解得a=2.因为 c?=a?-b2=4-3=l,所以 c=l,所以 D(-2,0

27、),F(l,0),所以离心率球=呆D E F的面积S=|x 3 x|=J(2)由已知得，直线D E的方程为y=I+L当 A(-2,0),B(l,|),G(l,tM，直线A G的方程为y=g(x+2),交y轴于点(0,|t);当 A(l,|),B(-2,0),G(-2,tM.3直线A G的方程为y-|=V(x-1),交y轴于点(0,等).若直线A G经过y轴上定点厕|t=竽,解得t=3,故直线A G交y轴于点(0,2).下面证明存在实数t=3,使得直线A G经过y轴上的定点(0,2).设A(x1,y1),B(x2,y2).，y k x 联立/y2 消 y 整理得（4k2+3）x2+8kx-8=0

28、,（1 +=L贝！I X|+X2=-2,Xlx2=24k2+3 4k?+3设点G(X2,3),所以直线A G的方程为y-3=3(x-X2).xrx2令 X=0 m y=卫0+3 =3%1-%2丫1Xl-X23%1十2（%+1）_ 3x1-X2-kXiX2Xl-X2-XVX2因为 kX|X2=Xi+X2,所以y=3XX2-（X1+X2）X1-X22X1-2X2=2X1-X2所以直线A G过定点(0.2).综上，存在实数t=3,使得直线A G经过y轴上定点(0,2).21.(20 21海淀一模,21)已知无穷数列 垢 对 于m N*,若 同时满足以下三个条件，则称数列“具有性质P(m).条件:an

29、0(n=1,2,.);条件:存在常数T0,使得an0(n=l,2.),所以 an+2an+iJP a2 a,3 a4an+2+a2,BP iu-a32a2,a5-a42a2,.，an+3-an+2Na2.累加得,an+3-a32na2.对于常数T0,当时,an+32na2+a3T,与矛盾.0-2所以不存在具有性质P 的数列%.(3)因为数列 a0 具有性质P(m)油(2)知 m”当 m=2 时a+2=如+也),即 an+2-an+i=-an+i-an),n=l,2,.新 Ut|an+2-an+i|=/|a2-ai|.若 ai=a2=c(c 为常数，且 c N*),则 an=c,n=l,2,.经检验数列 a,J具有性质P(2).当 m3 时，令 b n=maxan,an+i W N*厕 an+2=-(an+i+an)1(an+1+an)(bn+bn)b n,n=1,2,.所以 an+3=(an+2+an+i)W(an+2+an+1)如+悦)%.所以 bn+2=maxan+2,an+3 bn.所以 b n+2b n-l,n=l,2,.所以 b?-b|-1,b 5-b j -1,.,b 2n+1-b 2n-1 4-1.所以 b2n+i-bibi 时bn+Kbi-nVO,与 b2n+i WN*矛盾.综上所述，数列出 的通项公式为an=c（c为常数，且cWN）