2023年新高考数学一轮复习利用导数解决一类整数问题（解析版）.pdf

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1、利用导数解决一类整数问题【题型归纳目录】题型一:整数解问题之分离叁数、分离函数、半分离题型二:整数解问题之亶接限制法题型三:要数解问题之虚设零点题型四:整数解问题之必要性探路【典例例题】题型一:整数解问题之分离弁数、分离函数、半分离例1.己知函数/(c)X Inx 2.(1)求 函 数 在(1,/(1)处的切线方程(2)证 明：.f S)在 区 间(3,4)内存在唯一的零点；(3)若对于任意的c G(1,+8),都 有zlnrr+4 /;:(支1),求 整 数%的最大值.【答案】(1切=一1；(2)见解析；(3)3.【分析】(1)根据导数的几何意义即可切线；(2)先利用导数证明了(重)在(3,

2、4)上单调递增，再结合零点存在定理,得证；(3)参变分离得k 0,/(%)在(3,4)上单调递增，,(3)=3-ln3-2=1-ln3 0,/(力在区间(3,4)内存在唯一的零点.(3)*/xnx+x k(x 1),且正 (l,H-oo),.j)xlnx+x.k o,即g，o,g 在(3 +8)上单调递增，o(x a(x)601r leo+叼._ g(g-2)+g 一 (3 公 g1叼m in-1 /0 9 1。，4人 0-1”0一，：.k g(x nin=x0&(3,4),故整数k的最大值为3.【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点，以及不等式问题，考查转化与划归思想，逻辑推理能力和运算能力

3、，属于中档题.例2.已 知 函 数/=x2+In(2+)x,(aO).(1)当Q=/时，求 函 数/位)在 点(1,/(1)处的切线方 程；(2)令F(x)=af(x)一 一,若尸(力)1 2ax在化 (1,+)恒 成 立，求 整 数a的最大值.(参考数据：ln3 等，ln 4 1).【答案】2-y-3 =0;(2)3.【分析】(1)(1)当a=/时，得 到/=2式+ln c-4%求得/(c)=4+十 一4,得出/=1,且/=2,结合直线的点斜式方程，即可求解.把F(H)V 1-2aa;在(1,+8)转化为a 士!在；(1,+8)恒成立，令九(工)=与士工，利用导数求得函数的L L L Jb额

4、单调性，零点的存在定理得到h(x)在(1,g)上递减，在(酱卜+8)上递增，从而求得Q V/l3)1nin=g,即可求得整数Q的最大值.【详解】(1)(1)当 Q=/时，可得/(=2炉+Inc-4 c,则/(n)=4c+：4,可得/(1)=1,且/=2+lnl 4=-2,即函数/位)在点(1,一2)处的切线的斜率k=l,所以切线方程为y (2)=c 1,即c g 3=0,函数/(i)在 点(1,/(1)处的切线方程力一g 3=0.(2)由 F(x)=af(x)X2=alnx (2a+l)x,因为 F(T)1 2ax 在(1,+8)恒成立，即 alnx(2a+l)x 1,可得h(x)=-,Inc

5、 Inx令t(x)=Inx 1(%1),可得 3)在(1,+8)上单调递增，且力 0,所以存在 x()e(3,4),使 得-的)=Inrco-1=0,宓0从而hx)在(1,%0)上单调递减，在(痴,+8)上单调递增，所以4 m in=的)=1 =:。+1=向(3,4),g因为Q V 早 在(1,+8)恒成立，所以Q V/z Q)min=g,ir ivU所以整数a的最大值为3.例3.已知函数/(c)=x I n x 2.(1)证明：/3)在 区 间(3,4)内存在唯一的零点；(2)若对于任意的x E(1,+8),都有x l n x +T f c(a;1)，求整数A;的最大值.【答案】(1)证明见

6、解析；(2)3.【分析】(1)先利用导数证明/(在(3,4)上单调递增，再结合零点存在定理，得证；(2)参变分离得k 0,x /(在 4)上单调递增，vy(3)=3-l n 3-2 =l-l n 3 0,(力 在 区 间(3,4)内存在唯一的零点.(2)解:,:xlnx+x k(x 1),且o G (l,+o o)?.j .x l n x 4-x.k 则 g(,)=Q iy，c 1，由(1)知J3)=c l n c 2在(l,+8)上单调递增，且在区间(3,4)内存在唯一的零点，设该零点为力oE(3,4),则/(力0)=R o-l n )-2 =0,故当。c(i,o)时,/3)v o,即g 3

7、)v o,g(0,即/3)。，。3)在(曲),+8)上单调递增,a(r)=a(r)=&i ng+&_ 的(的-2)+戊)_ (),g i叼min g i g/-I -I 力0 e O,0 -J.o k 0在-2 0 0,2 0 0 上有且只有3 0 0个整数解,求实数a的取值范围【解答】解：.3)是偶函数，：.f(-x)f(x),7(4 +x)=/(4 -x),./(8+a;)=/(4 -(4 +a;)=f-x)=/Q),.J 3)的周期为T=8.当(0,4 时,=土当边,当 o v +v时，1(2)0,当!0,4)=竽=0,且/3)是以8 为周期的偶函数，当x 为整数时,/3)0,产+of

8、0 在-200,200上有300个整数解,.产 3)+可 3)0 在(0,4 上有3 个整数解，显然这三个整数解为1,2,3,即f 3)+a 0 在(0,4上有三个整数解1,2,3.J 呼+a 04-a 0+a 4 0，即，解得:31n24ln6 Fa 4例5.已知函数/(%)=6/一Q CQ 0),其中QGR,6 为自然对数的底数.(1)试讨论4 0 的单调性；(2)是否存在正整数Q,使得对一切c 0 恒成立？若存在，求 出 Q的最大值;若不存在,请说明理由.【解答】解：(l)/z(rr)=ex ax 0).若a 4 1,则f(x)0 恒成立J Q)在(0,+8)上单调递增；若 Q 1,令/

9、3)=0,则 x=Ina,当0 V 力V in a 时V 0,/(/)单调递减；当x n a 时J Q)0,/(%)单调递增.综上所述，当1 时，/3)在(0,4-00)上单调递增；当a 1 时，/(4)在(O,lna)上单调递减，在(Ina,+8)上单调递增.(2)要使/(%)=e/-a x x21 n x(0,+8)上恒成立，则 ln/0 在(0,+oo)上恒成立，x 令 hx 号-号-lnc(c 0),则3)=包 券+彖-：色浊泻血.当 a=2 时，=(),由 力 知，无 3)在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增./l(c)min=瓜2)=*-ln2-1 0,.a=2 满足题

10、意.当a 2 时，当2 a?a 时，函数(。)的取值情况，*2 x 0yx a xy：.(x 2)ex (x a)x,即 h!(x)0,当a 2 时，hx)在(2,a)上单调递增.不妨取Q=3,则 函 数 在 3)上单调递增，1 2 V e V 3，且 Z i(e)ee 2.1V 0,/.%3)0 不能恒成立.综上所述，正整数a 的最大值为2.例6.已知函数/(2)=旦谓 3 0),其中a C R,e 为自然对数的底数.(1)若函数/(有两个零点，求 a 的取值范围；(2)是否存在正整数Q,使得/Q)0 n 对一切2 0 恒成立？若存在，求出a 的最大值;若不 存 在.请 说明理由.【解答】解

11、：(1)/(2)=之 产=早 一 乐/()=史 三 工，令 r(0)0,得 力 1,令广3)0,得0 0 1,函数/Q)在(o,i)上单调递成，在(1,+8)上单调递增，/3)min=A l)=e-a,函数/3)有两个零点，/(1)V 0,Q的取值范围为(e,+0 在(0,+oo)上恒成立，x x令 hx)=lmr(c 0),则(0 =4+号 一 工=.一2甘 一 产 一a)、E i c L 2)(ex x)当Q=2 时，无(X)=-，X由知九3)在(0单调递减，在(2,+8)单调递增,九 Q)min=拉=-y-l n 2-l 0,：.a=2 时满足题意；当Q 2 时，考查Q:C 2 时，函数

12、九3)的取值情况：.QC 2,力 一2 0,力一aVO,又e”c,.;3 -2)e(x a)x,即 hr(x)0,:.当a 2 时，h(x)在(2,a)上单调递增，取a=3,则函数hx在(2,3)上单增，:2 V e V 3,且拉(e)=ee-2 1V 0,h(x)0 不能恒成立，综上，Q的最大正整值为2.例7.已知集合 A =xx2+20 一3 0,集合B -xx2 2ax K O,a 0 .(I)若。=1,求 A C lB；(n)若 A n B 中恰含有一个整数,求实数a 的取值范围.【解答】解：(I)A=xx2+2x 3 0=xx 1 或力V 3,当a=l 时，由 2 IWO,解得：1

13、一2即B=l四，1+2 ,.月 n B=(i,i +；(口)；函数 y =/(x)x2 2a x 1 的对称轴为 a;=a 0,/(0)=-1“有解？若 存 在，请 求 出4的最小值;若不存在,请说明理由.(参考数据：l n 2 0.6 93 1,l n 3 1.0 986)【答案】(1)答案见解析(2)存 在 的 最 小 值 为0【分析】(1)求出函数的导数，就a的不同取值可求 (2)。的解，从而可得函数的单调增区间.(2)利用导数结合虚设零点可求一等 0),所以 p(x)=+a a 1 a x24-x (a 1)a x (a 1)(x 4-1)-=-=-1 当a =0时，由 0,解得工 0

14、;当al时，由w (z)0,解得多包/；当OVaVl时，由/()。,解得c 0;当a =1时，由。0,解得r c 0;当aVO时，由。(力 0,解得0，综上所述，当a V0时，W(z)的增区间为(0,旦 尹当OM aWl时，e 的增区间为(0,+8)；a 1时，px)的增区间为,j 1,+8).当 a =1 时，gx)=/3,所以 h x)=(x 3)l n x,而(x)=I n x +1 J 3=I n x +1,因为4=1口力,沙=一!均 为(0,+8)上的增函数，故 Q)=h i c 日+1为(0,+8)上的增函数，a 0,故“(N)在(0,+8)上有且只有一个零点g,y X0 2且 l

15、nNo=1 且/E(0,g)时，h!(x)0,N o故拉(c)在(O,xo)上为减函数，在(厮+8)上为增函数，故无3)min=拉(m)=(x()-3)lnx0=(的-3)-1)=6-因为得V g 2,所以学岑,所 以 _ ”工)有解，故 方 0,故存在整数4满足题意，且1的最小值为0.【点睛】思路点睛：利用导数求函数的最值时，如果导数的零点不易求得，则可以虚设零点，利用零点满足的关系式化简最值，从而得到最值的范围或符号.例9.已知函数/(4)=tIn c +/KT-3k,求：(1)当a=i时,求曲线/(在 点(i,/(i)处的切线方 程；(2)当 3时,总有/(1,求 整 数k的最小值.【答

16、案】2工 -4=0 -3【分析】(1)先对函数求导,计算出斜率，再用点斜式即可；分 离 参数转化为函数的最值问题.(1)当上=1 时，/(土)=xlnx+x-3.=nx+2=2/=-2./(力在 点(1,f(1)处的切线方程为y+2=2(/-1)即2 a;-y-4 =0(2)由题意 J 3)1,即 xlnrr+k。一 3k 1,即 k(x 3)1 x ln x,又 7 3,/.k -恒成立.人 n(T =1一.0.nf(T=31nc-+2*?g-c 3 9(切 _ 3 .3)2令 hx)=31nc 6+2,则兄(x)=3 c*V 0 恒成立./.h(x)在(3,+)上递减，,:h(8)=31n

17、8 6 0,八=31n9 7 0,当 G(如+8)时，gx)gQ)max,且k e z,.4)一3,即整数A:的最小值为-3【点睛】方法点睛：对于零点不可求问题，可以设而不求，整体替换从而求出范围。例1 0.已知函数/(4)=(c k l)e，(其中e为自然对数的底数).(1)当k=l时,求函数/(工)的极值；(2)若 函 数g(c)=/(z)+e?在c (0,+8)有唯一零点,求 实 数A:的取值范 围；(3)若不等式/位)3x对任 意 的4 6 H恒 成 立，求 整 数k的最大值.【答案】极小值为一十,无极大值；(2)2Ue2-l,+);(3)-2.【分析】(1)利用导数可确定/(多)单调

18、性，由极值定义可求得结果；(2)利用导数可确定。()的单调性；当上4 0时，可知g(O)0时，根据g(c)min=g(k),分别在g(k)o,g(k)=0和g(k)V 0三种情况下，根据g(c)在W(0,+)有唯一零点可构造不等式求得结果；(3)将恒成立不等式化为k 0;.-./(X)在(-8,-1)上单调递减，在(-1,+8)上单调递增，/(力)的极小值为/(-1)=-4，无极大值.e(2)，g(N)=(x fc-l)ex+e2,=(x k)exy/.当4 (8,k)时，gGr)V 0;当 c G(fc,H-co)时，g(e)0;g(c)在(-oo,fc)上单调递减，在(k,+8)上单调递增

19、；当k 4 0时，g(4)在(0,4-)上单调递增，若g(%)在(0,4-oo)上有唯一零点，则g(0)0,即 一一-1+1 一1 0(舍)；当k 0时，gx)在(0,k)上单调递减，在(k,+8)上单调递增；当g(k)0,即0 V-V 2时,gm m =g O 0,则g(x)在(0,+oo)上无零点，不合题意；当g(k)=0,即k=2时，g 在(0,+)上有唯一零点c=2,满足题意；当 g(k)V 0,即 k 2 时，由 g(k+1)=。得:g(k)g(k 4-1)e2 1;综上所述：当k=2或k e21时，g(a?)在(0,+)上有唯一零点，即实数k的取值范围为2 Ue2-1,+8).(3

20、)若/(rr)3 c对n G R恒成立，即(力一k l)ex 3力对/R恒成立，则k V力一1 一运,e令从z)=L 1 一 丝，则 =1 一 =直土 3；二.3.,e e e令馆位)=363,则m!x)=1+3 0,m(x)在R上单调递增，=6一 0,mG)=装 一5 V 0,二m XQE G A),使得m(g)=0,即。+32o3=O,则 当,e(一8,60)时，”(c)V O;当 (g,+8)时，”(c)0;A h(x)在(-8用)上单调递减，在(为0,+8)上单调递增，从Z)m in=无(%)=XO-1-冬=的一 1 一 R=的-1+=XQ-1+1 1+1,e ox0 x0 i 2JQ

21、 1x0 d),*-x0 1 6(一*从例)y，-),/k /(c)恒成立，则a/(rc)max；若 /()恒成立，则a M -1)，求 整 数k的最大值.【答案】(1/=一1；(2)见解析；(3)3.【分析】(1)根据导数的几何意义即可切线；(2)先利用导数证明/&)在(3,4)上单调递增，再结合零点存在定理，得证；参 变 分 离 得 当 多 产，令g=至 警 产,原 问 题 转 化 为 求9(工)在(1,+8)上的最小值，结 合 中结论和隐零点的思维，即可得解.(1)v/(x)=x Inx 2,-1,f(x)=1 一 十，=0,./(X)在(1,一1)处的切线为y=-l;(2)证明：.(z

22、)=土 -Incc 2,=1-/当工e(3,4)时,广(力=1-：0,在(3,4)上单调递增，-.7(3)=3-ln3-2=1-ln3 0,./(c)在 区 间(3,4)内存在唯一的零点.(3)/xnx+x k(x 1),且 立 (l,4-oo)?.k 1,由(2)知J(2)=。-Inc 2在(1,+8)上单调递增，且在区间(3,4)内存在唯一的零点,设该零点为6o (3,4),则/(6o)=xo-ln xo-2 =0,故当，e(1,力o)时,/(力)v o,即g v o,g 在(1,g)上单调递减,当W (的,4-00)时，/(c)0,即d 0,g 在(3 +8)上单调递增，,a(x a(x

23、)-如+叼.-”。(/厂？)+电)一 6小 公 gi叼m in-1 a _ 1 /0 9 1.，4八 0-1”0一，：.k 9)+1恒 成 立，求整数力的最小值.【答案】(1)馆&=；(2)最小值为1.【分析】(1)由f(x)=9(z),可得a=叱6 1,函数f()与g(x)有公共点，即m=1*1 有解，设h(x)-1,求导数，求出函数九位)的值域即可.(2)不等式/(*)g(x)+1恒成立，即me-Inc 1 0恒成立，当c=1时，me lnl+2成立，解得r n?，故m l.再验证m=l时，不等式成立即可得出答案.【详解】解：(1)令/(W)=9(4)，即 me1=Inx+1,则 m =二

24、”$1 ,e函数/(2)与g(c)有公共点，即m=1 有解.-n 7 1令从M=!”1则(口二0.e，ex令 fc(x)=In/1=1)n x,当力 1 时，!一1 V 0,h i 0,所以 k(力)V 0,当 O V 0V l 时，1 10,1111 0所以拉(2)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，所以h(x)&九(1)=1且当 -0 时,/(4)t 8所以7TzM卷.(2)不等式/(力)g(c)+1恒成立，即mexlnx 1 0恒成立.9则力=1时，me Ini+2成立，解得?n 由题意求满足条件的整数馆最小值，下面验证rn=1是否满足题意.当?2=1 时，令m(i)=ex

25、 Inx 2,m,(x)=e一十，且m/(c)在(0,+8)上单调递增.又 加 0,m(-)V O,可知存在唯一的正数的6(卷,1),使得加(四)=0,即e的 =0,g则m Gr)在(0,g)上单调递减，在(网,+8)上单调递增.所以m(m in=a(g)=eX o 1 nx()2=+x0 2 0,g即当m=1时，不等式/(r r)g(x)+1 成立.故整数馆的最小值为1.【点睛】关键点睛：本题考查根据两函数图像有公共点求参数范围和不等式恒成立求参数范围，解答本题的关键是先根据4 =1时，不等式m e l n l +2成立，求处一个参数的范围，然后根据题目要求再验证馆=1 满足条件，从而得出答

26、案.属于中档题.例13.(2021北京北坪大二附中未来科技城学校高三阶段练习)已 知/=s i n x,g(a;)=I n x,h(x)=x2 a x 1.若 x W 0,1,证明:/(r e)g(z +1)；(2)对任意W 0,1 都有人+从c)g(c)0,求 整 数 a 的最大值.【答案】(1)证明见解析；(2)2.【分析】(1)利用二次求导求得存在唯一零点割(0,1)吏得尸(g)=0,F (z)0在(0,1)上恒成立上可以证明F(x)在定义域上的单调性,可知F(x)0,便可证明结论.(2)先判断整数a 4 2可知苗僦+x2-ax-l-n x e 疝 +/2 z-1 I n z,接着证明H

27、(x)es i n x+x22x 1 l n x 0 在区间(0,1 上恒成立即可可出结论.【详解】解：(1)证明：设 R(T)=s i n e l n(T +1),(0 W 力&1),则 F (N)=c o s t 1X +1 因为Fn(x)=1 .(,+1)2-s】n%且 6 E 0,1 则 F”(x)在 0,1,单调递减,-s i n l 0,F +c o s 与=0,尸(0)=0所 以 严(力 0 在(0,1)上恒成立上，所 以 以 2)在 0,1 单调递增则 F F(o)=0,即 F(x)0,所以/(r r)g(2：+l).(2)因 为 对 任 意 的(0,1,+h(x)-g(x)0

28、即 e8*1 1 1+x2 a x 1 l n z 0 恒成立令 2=1,则 es i n l a由 知 s i n l l n 2,所以2 =萨 2 6 仙 6 1 0整数，则a W 2因此 e +/ac -l-l n r r es i n 2：+x2-2 x-l-nx下面证明H(x)=es i n i+x22x 1 l n r c 0,在区间(0,1 上恒成立即可.由(1)知 s i n e l n(3；+1),则 e s M a:+1故”()a;+1 +a;2 2 a;1 I n a?=x2-x I n a;设 G(x)=x2 x I n x,x(0,1,5!J G x)=2 x 1 -

29、=+/G=0,所以H（c）0在 1 E（0,1 上恒成立.综上所述，Q的最大值为2.例14 是否存在正 整 数a，使 得exa x x2 nx对 一 切T 0恒成立？试求出a的最大值.解：易知e。-对一切力0恒成立，当c=l可得Q&e,则Q仅可取1、2下证Q=2时不等式恒成立，设g（x）=号 一2-In 4,g （力）=也-x x5（）在（0,2）单调递减，（2,+8）单调递增，g g（2）=j（e2-4 -4 1 n 2）0当Q=2时，不等式恒成立，所以Q最大为2.例15.x 2,k/In，/,求k的最大整数值.X 2解：令/（Z）=吗才，显然k 3 一 了所以/Q）=cl n c+cx 2

30、=4 +48 e 2x 2【过关测试】1.（2022吉林长春市第二实事中学商二期中）设函数/（t）=e*-2 加 一 1,g（x）=2+1.（1）讨论/（/）的单调性；（2）若 a =，且 不 等 式（a?k）r+g 0对 w 4 e（0,+8）恒 成 立，求 整 数 k的最大值.【答案】（1）见解析（2）2【分析】（1）先求导，讨论导数的实根个数，然后分别研究相应区间的导数符号从而确定函数单调性；（2）分离参数得KV 咚 士 对 Vc C（0,+8）恒成立，构造函数,研究其最小值，然后求出心的最大值.（1）/=ex 2 a,x WR当Q&O时，在 c E（8,+8）上r（c）0恒成立，/（C

31、）单调递增；当 Q 0 时，令/（/）=0,解得力=l n（2 a）,在力 G （o o,l n（2 a）上/（r e）0恒成立J（力）单调递增.综上：当Q 0时，/（%）在+G （o o,l n（2 a）上单调递减，在（l n（2 a）,4-o o）上单调递增.（2）因为e，-1 0,所以原不等式等价于kV 力斗 对 V 0 e （0,+8）恒成立，即k V（哼 F）令 w=咚3”（,）=哗麦且ex-1 ex l）z令”（c）=0,即 e”一 c 2 =0,令H（N）=e，-c 2,因为H (a:)=e H-l 0,所以H(r c)在工(0,+8)上单调递增,因为 H（l）=e-3V0,（2

32、）=e 2-4 0所以三须 (1 使得H x)=0,即e加一xo-2 =O在 工 (。，而)上，V O,H(a;)单调递减;在t e （x0,+0 0）上,H x）0,H（x）单调递增,所以 H（a;）m m =H（7 o）工0铲+1 _ 3（g+2）+1e 处 一 1 一 （r r0+2）-l=曲+1又因为&(1,2),所以“(G m i n C(2,3),又k e Z,所以卜的最大值为2.【点睛】本题第一问的关键是分类标准的正确选择；第二问的关键是零点虚设，通过设而不求的思想解决问题.2.(2022.河北衡水.商三阶段练习)已知函数/(=(a-l)x+lnx(a E R).(1)讨论函数/

33、(0的单调性与极 值；当a =0时，函数g(x)=f(x)-(2-加在1 上的最大值 为1 5,求 使 得 0,即al时J Q)0恒成立，则函数/(G 在(0,+8)上单调递增，无极值；当a-l V O,即aVl时，令/()=0,即a 1 +3=0,解得x=1三，J b v b L C L当c e (T)时，7 3)0,故函数/e)在(。,5)上单调递增；当力 (.,今+8)时，r(N)V 0,故函数/(4)在(；屐+8)上单调递减，所以当名=彳 一 时，函数/(c)取得极大值，且 极 大 值 为)=-1 4-l n l时，函数/Q)在(0,+8)上单调递增，无极值；当a V 1时，函数/(在

34、(0,1三)上单调递增;在(1三,+8)上单调递减，在土=处，/取得极大值，且极大值为一1 ln(l a),无极小值.(2)依题意，当 a=0 时，g(x)nx x (2 x)ex,g 3)=5 T +3 l)e=与 +3 -l)eI=(e，一十)(-1).因 为;十,1 ,所以c-l&O.令无(立)=6，_!，层,1 ，则矶)=e。+十 0在上恒成立，所以帖:)在 卷,1 上单调递增.又7i(0.5)=e0,5 2 0,所以存在力()I得，使得九(而)=0,即铲,=六，则当e (十，)时，无v o,则g (N)0,所以函数g Q)在(土,*0)上单调递增；当(x0,l)时，无3)0,则g 3

35、)V 0,所以函数g在(x0,l)上单调递减，所以函数g(c)在+，1 上的最大值。=g(R o)lnT0 x0+(的一2)e的=lno；o 初)+力0铲-2 e吗又因为=-,所以合二 l n g-g +1 -,x0E -5-,-p-1.xQ x0 l 2 O J令 3 =lnN-+l一 半 o E 侏 J则6(力=!一 1 +亳 0在 :，方 上 恒 成 立，所以函数欠在 y,y 上单调递增，所 以0售)&0(力W 0信).因为 0(,)=I ny-y+1-4 -4.2,0信)=I ny-得+1 一 与 七 一3.4,所以 ln(x+m)-2,求整 数m的最大值.【答案】-1,+8);(2)

36、2【解析】求出当Q=V，/0,+8)时/(。)0,只需要/3)mi n。；(2)先根据切线的条件求出参数。也 在 类 似 中用恒成立的方式来处理.(1)由/(N)=e+Q s i n2%+6,当 =g 时，得/(/)=e +cos 2，.当 c 0,+8)时，l,cos 2 a;G 1,1,所以/(力)=ex4-cos 2 rr 0,即/(4)在0,4-oo)上单调递增，所以/(x)mi n=/(0)=1 +6,由/(0)0 恒成立，得l+b 0,所以b -l,即b的范围是-1,+8).(2)由/(x)=e*+as i n2 x+b 得/3)=e*+2 acos 2 x,且/(0)=1 +6.

37、由题意得了(0)=e+2 a=1,所以a=0,又(0,1 +b)在切线0 g 1 =0上.所以0 1 1-6=0,所以6=-2,即/Q)=e工 一 2.因为/(x)ln(x+m)2,所以有 e，ln(x+m).令方=6 0,则 e2 ln(x+m)等价于力 ln(x+zn),即 r c +m V e ,从而 m V e*c=e 一 I nt.设g(。=e-ln,则 g，(。=e，一十.易知或力在(0,+oo)上单调递增，且g (：)=右 一 2 V 0,g (l)=e-1 0.所以，由函数零点存在性定理知，存在唯一的4e借,1)使得g (M)=0,即 e*=则 i0=-lnt0.当t e(O,

38、tn)时，g V g (M)=0,。在(O,t)上单调递减；当 te(t o,+8),g(t)g(t)-0,5(i)4.(t o,+)上单调递增.从而=g(M)=-i nt()=曲+；.因此g(t)的最小值g(M)e(2,5).从而整数馆的最大值是2.4.(2022全国模拟预测)已知函数/Gr)=(a+l)e，+M -3,其 中 e为自然对数的底数，a G R.(1)讨论函数/(。)的单调性；(2)当 a=0时,若 存 在x E R使得关于x 的不等式k xf(x)成立，求k的最 小 整 数 值.(参考 数 据：e 2.1)【答案】(1)答案见解析；(2)0.【解析】(1)求出函数/(力 的导

39、数，分 a V-l,-l a 0三种情况讨论了()的符号求解作答.(2)构造函数g(c)=时(2)，求出。屹)的最小值取值范围，再由不等式成立求整数k 的最小值作答.(1)函数/a)的定义域凡求导得：/(H)=(a+l)e，-3=(a+1)：-e e右 a V,由 /(c)=-=0,付 c=I ny 0 +,当 G(_ 8,l n J a )时 J ()0,当 n E (nV a T+T,+00)时,/0,则/(外 在 R 上单调递增，若 a 0,当工 W (-8,l n j a 3 )时，/0,则/(，)在(-8,ln&)上单调递减，在 0n7+T,+TO)上单调递增，所以，当a 0时J O

40、)在(-8,1 1 1 石哥)上单调递减，在(后 后 筑,+8)上单调递增.(2)当 a =0 时，令 g Gr)=xf(x)=(ex3),则 gf(x)=(力 +l)e 一3,令人(4)=(力 +l)ex 3,则 h!(x)=(,+2)e”，则当/G(-2,4-o o)时，h!(x)0,gf(x)=h x)在(2,+o o)上单调递增，当W (-o o,-2)时，”V 0,g 在(-o o,-2)上单调递减,因 d(o)=1-3=-2 0,则存在 xoe(0,给，使得g(物)=%+1)铲3=0,即则当a;W (3+8)时，g(x)0,当 (一2,m)时,d V 0,又当c e(-0 0,-2

41、 时，g(z)0,所以当0 C(-oo,xn)时，。(2)0,所以k的最小整数值为0.【点睛】结论点睛：函数9=/()的 定 义 区 间 为 若 三 工6 D,使得rn V/Q)成立，则m V/(c)max；若三加使得 成立，则 7n/(;r)min.5.(2021陕西依川市第一中学高二阶段练习(理)设函数/(立)=a(e，-2e)+(l-x)e(1)求/(入)的单调区间；(2)当c 2时,/(x)0,f V 0可得;(2)分离参数，将恒成立问题转化为函数g Q)的最值问题，通过二次求导可得导函数单调性，结合导函数的零点可得函数9(乃的单调区间，从而可得最值，然后可得.(1)f(x)=(a-x

42、)ex,由/()=(a x)ex 0 解得 V a,由 f(x)=(a x)ex a,所以/()的单调增区间为(-8,a),单调减区间为(a,+8)(2)当2 2 时，e 2e e?-2e=e(e 2)0所以/(c)0 o a 2时，h!x)=ex2e 0,所以九Q)=ex 2ex在(2,+8)上单调递增，h(2)=e24e(0,7i(3)=-6e)0,所以存在力()G(2,3),九(次)=0记 /0)=e例-2exQ=0,则 ex,)=2ex0 所以当1e (2,g)时,h(x)V 0,即grx)0,即g Q)0,此时g(i)单调递增(E n _ _ 1)e 的所以当=g 时，g(a:)由最

43、小值g(g)=-将代入可得g(g)=(g-l)e%2ex0(x0-1)e*-2 e =2 e g 2 e =X所以a Vo,因为Q为整数，所以a的最大值为2.6.(2022河南安阳模拟f l 测(文)已知函 数/6)=In a;a x+x 2)e”.当Q=1时,求曲线g =/(在 点(Ij(l)处的切线方程；(2)当a 1时，/位)b对任意的 (七,1)恒 成 立,求满足条件的实数b的最小整数值.【答案】y =-l-e -3【解析】(1)求出/(在2 =1处的导数值，求出/(I),即可得出切线方程；(2)不 等 式 化 为(c 2)e，+l n c 一力对任意的力 恒成立即可，构造函数g(a)

44、=(a:-2)e+l n 2力，利用导数求出最大值即可得出.(1)当 Q=1 时 J =Inx T+(x 2)ex,fr(x)=十 一1 +(r e l)ex,则f(l)=-l-eff(l)=0,所以切线方程为y=-l-e.(2)因 为/Wb对任意的1e 恒成立，即b (x -2)ex+nx a x,当a 1时，对任意的名 传,1)恒成立,a1,x 0,(x 2)e+In r c a x (c 2)e*+l n z -/对任意的c G传,1)恒成立即可.构造函数g()=(x-2)ex+nx-x,gf(x)=(n l)e+-1 =(cc-1)(1 ),x G(,1),J/一 1 V 0,且方(力

45、)=e?单调递增，丁 力(-)=e?-2V 0,1(1)=e-1 0,一定存在唯一的力()6 (子,1),使得t(g)=0,即 ex=一,x0=l n a；o,且当V/V%时，tx V 0,即 g(c)0;当%V%V 1 时，t(x)0,即 g G)0时，（m a;）e，Vm +2,求 整 数 m的最大值.【答案】（l）a=-1,单调递增区间为（0,+8）,单调递减区间为（8,0）（2）2【解析】根据所给的条件，写出在（0,/（0）处的点斜式直线方程即可求出a;（2）参数分离，构造函数，由函数的单调性即可求解.（1）函 数/3）的定义域为（8,+8）,因/（=e +a J （o）=1 +a,在

46、（O,/（O）处的切线方程为：9 一 /（0）=/（0）（7一 0）,由己知得/（0）=-2,y=（l +a）x 2，所以 a=-1;由/（z）=e，-l0 得 00,由f V0 得 r r V O,所以函数/&）的单调递增区间为（0,+8）,单调递减区间为（一8,0）；00时，不等式（m 一j:）e H m +2等价于m 0,所以g G r）在（0,+）上有唯一零点3,且 1 V g V 2 ,当 r r e （1,小）时，g（x）0 ,所以g（c）的最小值为。（网），由g（g）=0得*=（）+32 7 （X+3）I 2所以9（g）=A-=H（）+1,由于 1 V3V2,所以2 Vg（M）V

47、 3,“0 十乙因为m v g（g），所以馆的最大值为2；综上，。=-1,函数/（的单调递增区间为（0,+8）,单调递减区间为（-8,0）,7 n 的最大值为2.8.（2022湖北盾仙桃中学模拟fit测）设函数/Q）=m e-,g（c）=l u x +n,m.n为 实 数，若 F（0=与有最大 值 为 宏 求 n的 值；（2）若 学/Q）,求 实 数m的最小整数值.C【答案】（1m=-1（2）1【解析】求 定 义 域，求导，得到F 在 z =e-”处取得极大值，也是最大值，进而列出方程，求出n =-1;参变分离后，利用隐零点得到八=I在 2=工 2 处取得极大值，也是最大值，令。=当？,X C

48、 （1 ,4）,求出最大值的范围，确定实数m的最小整数值.（1）F(z)=哼 =当口,定义域为(O,+8),p，=1-吗-匕X当 0 V 勿 V e1-n 时,F x)0,当 n e1-n 时，尸(力)x(l n x 1),即 m ex3 x(nx 1),e2加映出,令九=*，定义域为(O,+8),h，(x)=nx-xnx+x/3 7令9(0)=l n x x l n x +x,r r 0则(c)=I n 61 +1 =-I n x,可以看出3(力)=十 1m 在(。，+8)单调递减，又夕 =1 0,”=-l n 2 0,当。e (g,+8)时，vO,9(c)在。=g 处取得极大值，也是最大值

49、，0(c)max =8(例)=l n x()-g l n g +的=*-1+费 勾 士 的-1 =1,X i)=-1 +T +T=f-10)(4)=4-6 1 n 2 0,故存在（-,x0）,X2E （孑,4）,使得0（+i）=0,（力 2）=0,所以当宏 （xHx2）时,0,当 a G （O,Xi）U 3,+8）时，（px）0,所以（n）=上些_L _+小在/（力 卜 电）上大于。，在力（0,电）U（力 2，+8）上小于0,e所以拉（力）=%E：3 1在力 （力 i,g）单调递增，在（0,力 1）,（电,+8）上单调递减，e且当a Ve时，h（x）=-VO恒成立，e力（l u ce 1）所以

50、hx=-言-在力=g 处取得极大值，也是最大值，其中l n a；2 xnx2+T2=0,MT）=g（l n g-l）=I n/T E（7_A2）-ex2-3 ex o-3，2 匕 I 2 刃令。=翳,工 （孑,4）1 n c n a“（c）=/_ 3,当 土 C （y,4）时，0 x）=j 3 0,I n-Z-故。(z)-1,所以实数m的最小整数值为1.【点睛】对于函数隐零点问题,要结合零点存在性定理得到隐零点的大致范围，然后对函数值进行变形，最后确定函数值的取值范围，确定参数的取值范围.9.(2022全国哈海大附中模拟f l测()已 知 函 数/=e-x+s m x-a x ，g(t)为/的