2022年高考全国乙卷数学（文）真题（答案解析）.pdf

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1、2022年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集 合 河=2,4,6,8,1 0,乂=卜 卜 1%2,5 .若 x,y 满足约束条件 0,A.-2 B.4 C.8 D.1 26 设尸为抛物线C:

2、y 2=4%的焦点，点A在 c上，点 3（3,0）,A F=BFf则|岗=（）A.2B.272C.3D.3亚7.执行下边的程序框图，输出的二（)A.3B.4C.5D.68.如图是下列四个函数中的某个函数在区间-3,3 的大致图像，则该函数是（）y+3 xx2+lB.yX2+1c 2xcosxC.y x2+lD.2sinxA.y=X9.在正方体A B C C-A 8C A 中，E,尸分别为A B,8 c 的中点，则（）A.平面J_平面6 0,C.平面耳 族/平面AACB.平面4 族 _ 1 平面4 5。D,平面用七/7/平面AG。1 0.已知等比数列%的前3 项和为168,a2-a5=4 2,则

3、 必=()A.14 B.12 C.6D.31 1.函数/（x）=c o sx+（x+l）s in x+l在区间 0,2兀 的最小值、最大值分别为（）A.7 1 兀3 7 1 7 1B.-,一2 2兀兀 CC.，一+22 2D.3兀兀 一-,-+22 22 21 2.已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为0,底面的四个顶点均在球。的球面上，则当该四棱锥的体积最大时,其 高 为（）1A.-B-I73VV 23二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.13.记S“为等差数列 4 的 前 项 和.若2 s 3=3 S 2+6,则公差d=.14.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则

4、甲、乙都入选的概率为.15.过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中三点 的 一 个 圆 的 方 程 为.16.若/(x)=ln a+6 是奇函数，则。=,h=-x三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.记AABC的内角 A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinC sin(A-B)=sin 3 sin(C A).(1)若 A=2 B,求 C；证 明：2/=/+。218.如图，四面体 ABC O中，A D 上 CD,AD =CD,NADB=N B D C,E

5、为 AC 的中点.(1)证明：平面B E D _L平面AC。；(2)设AB=8O =2,NACB=6 0 ,点尸在8。上，当ZXAFC的面积最小时，求三棱锥b一 A B C的体积.19.某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了 10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m?)和材积量(单位：n?)，得到如下数据：10 10 10并计算得工无：=0.0 3 8,2犬=1 6 1 5 8,=0 2 4 7 4 .i=l i=l i=l样本号i12345678910总和根部横截面积王0.040 060.040.080.080.050.050.

6、070.070.060.6材积量M0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)；(3)现测量了该林区所有这种树木根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为1 8 6 m L已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材枳量的估计值.丑（王一/（乂一刃 _附：相关系数 r=-?=-：-=，4 8 9 6 1.3 7 7 .f （%-幻 3 （凶-刃 2V i=l i=l2

7、 0 .已知函数/（x）=o-（a+l）lnx.x（1）当。=0时，求/的最大值；（2）若/）恰有一个零点，求 Q的取值范围.2 1 .已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过4（0,-2）,3 ,-1 1 两点.（1）求 E的方程；（2）设过点。（1,一 2）的直线交E于 M,N两点，过 M且平行于x 轴的直线与线段A8交于点T,点 H满足MT=TH-证明：直线N过定点.（二）选考题：共 10分.请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.选 修 I：坐标系与

8、参数方程2 2 .在直角坐标系x O y 中，曲线C的参数方程为 =6 c s 2 f,（/为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为y-2 s inf极轴建立极坐标系，已知直线I的极坐标方程为夕s in 。+加=0.（1）写出/的直角坐标方程；（2）若/与 C有公共点，求机的取值范围.选修45：不等式选讲2 3 .已知。，仇 c 都是正数，月.I +金=1，证明：（1）abc ；9a b c,1（2）-1-1-1-；b+c Q+C a+b 27 abe文科数学答案解析1.【答案】A【分析】根据集合的交集运算即可解出.【详解】因为M=2,4,6,8,10,7V =x|-l x 8,16B选项结

9、论正确.对于c选项，甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值2 =0.375 0.6,16D选项结论正确.故选：C5.【答案】C【分析】作出可行域，数形结合即可得解.【详解】由题意作出可行域，如图阴影部分所示,转化目标函数z =2 x-y为y =2 x -z,上下平移直线y =2 x-z,可得当直线过点(4,0)时，直线截距最小，z最大,所以 Z1 r a x=2 x 4-0 =8.故选：C.6.【答案】B【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点A的横坐标，进而求得点A坐标，即可得到答案.【详解】由题意得,尸(1,0),则|=忸尸|=2,即点A到准线X =-1的距离为2,

10、所以点A的横坐标为-1 +2 =1,不妨设点A在x轴上方，代入得，1,2),所以I=(3-1)2+(0-2)2=2 V 2 .故选：B7.【答案】B【分析】根据框图循环计算即可.【详解】执行第一次循环，b=b+2 a =+2 =3,=b 。=3 1 =2,=+1 =2,CT32-2 =-0.0 1 ；4执行第二次循环，)=b+2 a =3+4 =7,。=力一。=7 2 =5,=+1 =3,CT72-2 =0.0 1；2 5执行第三次循环，）=+勿=7+10=17,a=b-a =7-5=2,n=n+-4,b2 172 1-y-2 =7-7-2 =0.01,此时输出”=4.a-122 144故选：

11、B8.【答案】A【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.【详解】设/（%）=三，则/（1）=0,故排除B;设7?（力=,当时，0 c o sx l,所以/2（力=空吆 0,故排除D.x+1 10故选：A.9.【答案】A【分析】证 明 族_L平面3。2，即可判断A；如图，以点。为原点，建立空间直角坐标系，设A8=2,分别求出平面g E F,A B D,AG。的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD.【详解】解：在正方体A8CO-A耳G 中，AC_L 如 且 D D 平面 A B C D,又 F u平面A B C D,所以E F J.D A，因为E,尸分别为AB,B C的中点

12、，所以 F|A C,所以 E E A.B D，又 BDCDDI=D,所以E E L平面又E R u平面gE F ,所以平面用平面,故A正确；如图，以点。为原点，建立空间直角坐标系，设A8=2,则 4（2,2,2）,E（2,1,0）,尸（1,2,0）1（2,2,0）,A（2,0,2）,A（2,0,0）,C（0,2,0）,G（0,2,2）,则 而=（T,1,0）,砥=（0,1,2）,丽=（2,2,0）,9=（2,0,2）,丽=(O,0,2),衣=(-2,2,0),而 =(-2,2,0),设平面B E F的法向量为m =(x ,y ,z j,则有m -E F =-x+y =0m -E Bt=y +2

13、 Z 0,可取加=(2,2,1),同理可得平面 B D的法向量为1=（1,一1,一1）,平面A AC的法向量为后=（1,1,0），平面4G。的法向量为瓦=（1,1,一1），则机.勺=2 2+1 =1 0,所以平面与石尸与平面A/。不垂直，故B错误;U1I因为质与2不平行，所以平面gEF与平面A AC不平行，故C错误;因为而与瓦不平行，所以平面与EF与平面AG。不平行，故D错误,1 0.【答案】D【分析】设等比数列 为 的公比为4国力0,易得。工1,根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.【详解】解：设等比数列 ,的公比为4，叱0，若 q=l,则%=。，与题意矛盾，所以，则+a2

14、+a34|(1-力1 68,解得a2-a5-%q-aqA-42q =96q=；所以。6=a q 3.故选：D.1 1.【答案】D【分析】利 用 导 数 求 得 的 单 调 区 间，从而判断出“X）在区间 0,2可上的最小值和最大值.【详解】/(x)=-s i n x+s i n x+(x+l)co s x=(x+l)co s x,所以/（x）在区间和上r（x）0,即/（x）单调递增；在 区 间 信 哥 上r（x）o,即/（X）单调递减，又 。）=2兀）=2,喝=2,哈卜信+1）+1号,所以“X）在区间 0,2可 上的最小值为一 段，最大值为+2.故选：D1 2.A1 R 1 0 6 D&32

15、3 2【答案】C【分析】先证明当四棱锥的顶点。到底面A B C。所在小圆距离一定时，底面A B C O面积最大值为2/,进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.【详解】设该四棱锥底面为四边形AB8,四边形A8 8所在小圆半径为r,设四边形A B C。对角线夹角为a,1 1 1 ,则 S B”=-A C B D sina-A C BD 25【分析】设圆的方程为丁+丁+瓜+，+尸=o,根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可;【详解】解：依题意设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=(),尸=0 尸=0若过(0,0),(4,0),(-U

16、),则+F=0,解得，。=一4,16+4+4D+2E+F=0E=-2所以圆的方程为f +V-4x 2)=0,即(x_2y+(y_l)2=5；rF=0F=0若过(0,0),(4,2),(-1.1),贝 卜l+l-D+E +F=0,解得16+4+4D+2E+尸=0二 14E=I 3o 1 A（4、-（A S所以圆的方程为d +y?x-y=0,B P x +y =；3 3-I 3）3；91 +1-D+E+F=O若过（7,1）,（4,0）,（4,2）,贝 卜 16+4O+F=016+4+4D+2E+F=0解得55E=2所以圆的方程为 f +J -g x 2y J=（）,即（x|）+（J-1）21693

17、故答案为:(x _ 2 y+(y _ 3)2=3 或(x_2)2+(y_l)2=5或 1吟 或16.【答案】.；In 2.2【分析】根据奇函数的定义即可求出.【详解】因为函数/(x)=姑。+占+8为奇函数，所以其定义域关于原点对称.由a+一H()可得，(l-x)(a+l-a x)0,所以 =1 =-1,解得：a=-,即函数的定义域为1-xa2(o,-l)u(-l,l)u(l,+oo),再由/(0)=0可得，8=ln 2.即/(x)=l n+ln2=ln,在定义域内满足/(f)=/(%),符合题意.故答案为：一不；In 2.217.5 7 1【答案】(1)O(2)证明见解析.【分析】(D根据题意

18、可得，sinC=sin(C A),再结合三角形内角和定理即可解出；(2)由题意利用两角差的正弦公式展开得sinC(sinAcosB cosAsinBjusinjBlsinCcosA-cosCsinA),再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出.【小 问1详解】由 A=2 5，sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A)可得，sinCsinfi=sinBsin(C-A),而0 3 ,所以sin B e(0,1),即有 sinC=sin(C-A)0,而0。兀,()。一4兀，显然。#。一4,所以，C+C-A=nf 而A=2B，A+8+C=7 i,所以C=一8【小问2详解】由 sinCsin(A-B

19、)=sinBsin(C-A)可得，sin C(sin A cos B-cos Asin B)=sinB(sin C cos A-cos Csin A),再由正弦定理可得，ac cos B hc cos A he cos Aah cos C,然后根据余弦定理可知，l(n2+C2-Z2)-1(Z2+C2-a2)=(2+C2-2)-(2+-c2).化简得：2a2=/+2,故原等式成立.18.【答案】(1)证明详见解析4【分析】(1)通过证明ACJ_平面BEO来 证 得 平 面 平 面AC0.(2)首先判断出三角形AR?的面积最小时/点的位置，然后求得尸到平面ABC的距离，从而求得三棱锥产一 ABC的

20、体积.【小 问1详解】由于A=C,E是AC的中点，所以AC_LOAD=CD由于=，所以八4出二COB,NADB=ZCDB所以A3=C 3,故ACLBO,由 于 DEcBD=D，DE,BD1 平面 BED，所以AC，平面BE。，由于AC u平面AC。，所以平面BED J_平面ACO.【小问2详解】依题意AB=8D=3C=2,ZACB6 0,三角形ABC是等边三角形，所以 AC=2,AE=CE=1,BE=百，由于AD=C),A，C。，所以三角形ACD是等腰直角三角形，所以OE=LDE2+BE2=BD2 所以 DEL BE,由于A Cc3E=E,AC,BEu平面A B C,所以OEL平面ABC.由于

21、A D B vA C D B,所以NER4=NEBC,BF=BF由于 y T 0取一 博 噂(信 叫沙-帕=0.2474-10 x0.06x0.39=。134,0.0134。077(0.038-1 Ox 0.062)(1.6158-10 x 0.392)0.0001896 0.01377则”0.97【小问3详解】设该林区这种树木的总材积量的估计值为后？，又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，_0.06 186 二可 得 布=F，解之得Y=12()9m3.则该林区这种树木总材积量估计为1209m320.【答案】(1)一1(2)(0,+co)【分析】(1)由导数确定函数的单调性，即可得解；

22、(2)求导得/(力二(4 1)2(口1),按照。0、0。0,则/(x)=_，=,.A k当xe(O,l)时，/x)0,x)单调递增；当x e(l,w)时，/x)0,贝!=a+=,当“M0时，a r-l 0,“X)单调递增；当xe(l,+8)时，/彳x)0,/(X)单调递减；所以/(x)niax=/(l)=a 1 0,此时函数无零点，不合题意；当00,/(x)单调递增；在(1,，上，用x)0,“X)单调递减；又/=。一10,由(1)得，+l n x 2 1,即 lnN l-九，所以l n x x,l n 石 lnx 1 时，/(x)=ax-(a+l)nx ax-2(a+l)V x ax-(2 a

23、+3)y x,x x则存在相=(3 +2 -,使得?)o,a J a所以/(x)仅在+0 0)有唯一零点，符合题意；当4 =1时，/(6=(1 1)2 *所以/(X)单调递增，又 1)=。-1=0,所以/(X)有唯一零点，符合题意；当”1 时，:0,/(X)单调递增；在(5 上，/)0,由(1)得当O v x v l 时 二 l n x 1 -,l n /x 1广XyJX/,所以l n x 2 1-止 匕 时 f(x)-ax,-(4-l)l n x o x-2(+1)1 2(+1)XXx&，存在/1八，)，使得/()，4(。+1)a所以/(X)在(o,：有一个零点，在 5,+8)无零点,所 以

24、 X)有唯一零点，符合题意；综上，的取值范围为(0,+8).【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题.2 2【答案】(1)+=14 3(2)(0,-2)【分析】(1)将给定点代入设出的方程求解即可;(2)设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.小 问 1详解】解：设椭圆E的方程为如2 +町2=1,过-14n=1则 9，解得m=！，=:，m+n=1 3 4142 2所以椭圆E的方程为：-+=1.4 3【小问2详解】32A(0,-2),B(-,-l),所以A 6:y+2=1X,若过点尸。，-2)的直

25、线斜率不存在，直线 =1.代入 工+匕=1,3 4可得M(l,侦)，N Q _ 还),代入4 8方程y=4-2,可得3 3 3r(V6+3,孚)，由而f =而 得 到HQ 娓+5,当).求得HN方程:3，=(2-亚 口 一2,过点(0,-2).若过点HL-2)的直线斜率存在，设依一 y-伏+2)=0,(演,y ),N(/,%)联立kx y-(k+2)=0 x2 y2，得(3公+4)/一6左(2+人口+3%伏+4)=0,+=1I 3 46 k(2 +k)3 A (4+&)可得 8(2+2)乂+必=而 不4(4+44 2公)必必=一瓦】4-24%且%+%乂=际(*)联立y=y 32.可得 T(m

26、+3，X)，(3 弘+6-4,).y=-x-2 23可求得此时H N:y _ y?=-一-(x-电)，3yl+6-x,-x2将(0,-2),代入整理得 2(X +)-6(y+%)+%+X-3y y2 T 2=0,将(*)代入，得24左 +1 2/+96+484-2 4 k-4 8-48%+2 4/一3 6/-48=0,显然成立，综上，可得直线V过定点(0,-2).【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.22.【答案】（1）氐+/+2加=019 5（2）-一 m*+2in=（）中，可得3 0,bQ,c Q,则 q5o，后 o，0,3 3 3 _所以 a 。，晨.消1,3J_ 1 1 3 3 3 1 1即（c）3 w ,所以就c W g,当且仅当”=庐=洒，即a=O =c=时取等号.【小问2详解】证明：因为a 0,b 0,cQ,所以b+c N 2 j，a+c2yac a+b 2fah 3 3 3所以 W 二屋，b 幺 b=b?,w -Ab+c 2ybc 2y1 ahc a+c 2yac 2ahc a+h 2ab 2yabcba+c4-3 3 3c炉 c$-abc 2d abc3 3 3+序+c2yabc12labc当且仅当=h=c时取等号.