2022年辽宁省丹东市中考数学真题卷（含答案与解析）.pdf

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1、2022年辽宁省丹东市初中毕业学业水平考试数学试卷注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷上无效。3.非选择题的作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷上无效。4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题1.-7 的绝对值是（）A.7B.-71C.一71D.72.下列运算正确的是（）A.a2,a3a6B.(a2)3

2、a5C.Cab)3a3b3D.a a23.如图是由几个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是（)A.一 B.|C.|D.-4.四张不透明的卡片，正面标有数字分别是-2,3,-10,6,除正面数字不同外，其余都相同，将它们背面朝上洗匀后放在桌面上，从中随机抽取一张卡片，则这张卡片正面的数字是-10的概率是（）113A.-B.-C.-D.14245.在函数中，自变量X的取值范围是（）XA.x3 B.x-3 C.应3 且中0 口.应-3 且*06.如图，直线卬2,直线/3与 h/2分别交于A,B两 点,过点A 作 A C L/2,垂足为C,若N l=52。，则N 2 的度数是（）34八XA.

3、32 B.38 C.48 D.527.甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每 人 10次射击 平均成绩恰好都是9.2环，方差分别是sM=0.12,s/=0.5 9,s 丙 2=0.33,5 产=0.4 6,在本次射击测试中，这四个人成绩最稳定的是（）A甲 B.乙 C.丙 D.T8.如图，AB是。的直径，C 是。上一点，连接AC,O C,若 4B=6,NA=30。，则 的 长 为A()A.6万 B.2乃 C.n D.n29.如图，抛物线y=ax2+%x+c（6t#0）与 x 轴交于点A（5,0）,与y 轴交于点C,其对称轴为直线x=2,结合图象分析如下结论：abc0；b+3a 0 时，y 随 x 的

4、增大而增大；若一次函数y=kx+h（咛0）的图象经过点A,则点E（k,b）在第四象限；点M 是抛物线的顶点，若 CM_L4AL则 a=.其中正确的有（）C.3 个 D 4 个二、填空题10.美丽的丹东山清水秀，水资源丰富.2021年水资源总量约为12600000000立方米，数 据 12600000000用科学记数法表示为一11.因式分解：2a?+4a+2=.12.若关于x 的一元二次方程9+3/m=0有实数根，则 m 的 取 值 范 围 是.13.某书店与一所中学建立帮扶关系，连续6 个月向该中学赠送书籍的数量（单位：本）分别为：200,300,400,200,500,5 5 0,则这组数据

5、的中位数是 本.x 5 X0）的图象上，点 A 在反比例函数尸8（尤 0）的图象上，若平行四边形0ABe的面积是7,则Xk=.17.如图，四边形A8C。是边长为6 的菱形，乙48c=60。，对角线AC与 8。交于点。，点 E,F 分别是线段 A8,AC上的动点（不与端点重合），且 BE=AF,B F与C E交于点P,延长2 F 交边（或边CD）于点 G,连接OP,O G,则下列结论：A A B F g A B C E；当 B E=2时，ZXBOG的面积与四边形。CDG面积之比为1：3；当B E=4时，BE：CG=2：1；线段O尸的最小值为2 百-2 G.其中正确的是.（请填写序号）E/PBC三

6、、解答题1 8.先化简，再求值：x +2 x-士，其中x=s i n 4 5。.x 4 2 x 4 x1 9 .为了解学生一周劳动情况，我市某校随机调查了部分学生的一周累计劳动时间，将他们一周累计劳动时间？（单位：小时）划分为A：f V 2,B,2 /3,C：3 r 3 B.x-3 C.x 3 且 x#0 D.於-3 且 xO【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0 列出不等式组，解不等式组即可得到答案.【详解】解：由题意得：x+3X）且后：0,解得：应-3 且存0,故选：D.【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0

7、 是解题的关键.6.如图，直线32,直线/3与/1,/2 分别交于A,B两点，过点A作 A C L/2,垂足为C,若/1=5 2。，则N2的度数是（）A.32 B.38 C.4 8 D.5 2【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质求出/ABC,根据三角形内角和定理求出即可.【详解】解：.,直线Z l=5 2,二 NABC=N 1=5 2。，N4 c 8=9 0,.,.Z 2=1 8 0-A A B C -Z A C fi=1 8 0 -5 2 -9 0=38,故选：B.【点睛】本题考查了对平行线的性质和三角形内角和定理的运用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质:两直线平行，同位角相等，两直线

8、平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补.7.甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每 人 1 0次射击的平均成绩恰好都是9.2 环，方差分别是5 甲 2=0.1 2,s/=o.5 9,s 丙 2=0.33,5r2=0.4 6,在本次射击测试中，这四个人成绩最稳定的是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.T【答案】A【解析】【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定.进行判断即可.【详解】解：甲 2=0.12,sz,2=o.59,s 丙 2=0.33,5 r2=0.46,.甲 2 0；b+3a 0 时，y 随 x 的增大而增大；若一次函数y=kx+b(原0)的图象经过点A,则点E(k,b)在第四象限；点

9、M 是抛物线的顶点，若则。=.其中正确的有()6A.1个 B.2 个 C.3 个 D.4 个【答案】D【解析】【分析】正确，根据抛物线的位置判断即可；正确，利用对称轴公式，可得b=-4 m 可得结论；错误，应该是x 2 时、y 随 x 的增大而增大；正确，判断出心 0,可得结论；正确，设抛物线的解析式为(x+1)(x-5)=a(x-2)2-9 a,可得 M(2,-9a),C(0,-5 a),过点 M 作 轴于点从 设对称轴交工轴于点K.利用相似三角形的性质，构建方程求出。即可.【详解】解：,抛物线开口向上，对称轴是直线x=2,h=2,2a:b=-4。VO ,抛物线交y 轴的负半轴，Ac09故正

10、确，=-4。，aQ,.b+3a=-a 0,此时E(k,b)在第四象限，故正确.,抛 物 线 经 过(-1,0),(5,0),，可以假设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-5)=a(x-2)2-9a,：.M(2,-9a),C(0,-5a),过点M 作轴于点从 设对称轴交x 轴于点K.J ZAMC=ZKMH=90f：/CMH=/KMA,：NMHC=NMK4=90,：.4MHCSMKA,.MH _ CH.2 _-4a f-9a 3a2=.6V a0,:.a=显,故正确,6【点睛】本题考查二次函数的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题

11、.二、填空题10.美丽的丹东山清水秀，水资源丰富.2021年水资源总量约为12600000000立方米，数 据 12600000000用 科 学 记 数 法 表 示 为.【答案】1.26x1010【解析】【分析】科学记数法的表示形式为4X10 的形式，其 中 1|10,为整数.确定的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值区0 时，是正整数，当原数绝对值 1 时，是负整数.【详解】解：12600000000=1.26x1010.故答案为：1.26x109【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax 10的形式，其 中 号 同

12、 10,为整数，表示时关键要正确确定。的值以及 的值.11.因式分解：2a2+4a+2=【答案】2(a+1)2【解析】【分析】先提公因式，再运用完全平方公式进行因式分解.【详解】2a2+4a+2=2(a2+2 a+l)=2(a+1)2故答案为：2 （a+1）2【点睛】考核知识点：因式分解.掌握提公因式法和公式法是解题关键.1 2 .若关于x的一元二次方程N+3 x+?=0 有实数根，则，”的 取 值 范 围 是.9【答案】m 0,9解得：m .49故答案为m 一.4【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是根据根的个数结合跟的判别式得出不等式.1 3 .某书店与一所中学建立

13、帮扶关系，连续6 个月向该中学赠送书籍的数量（单位：本）分别为：2 0 0,3 0 0,4 0 0,2 0 0,5 0 0,5 5 0,则这组数据的中位数是 本.【答案】3 5 0【解析】【分析】根据中位数的概念求解即可.【详解】解:将 数 据 2 0 0,3 0 0,4 0 0,2 0 0,5 0 0,5 5 0 按照从小到大的顺序排列为：2 0 0,2 0 0,3 0 0,共“300+4004 0 0,5 0 0,5 5 0.则其中位数为：-=3 5 0.2故答案为：3 5 0.【点睛】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置

14、的数就是这组数据的中位数.如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.x5 3【答案】1.5 x 6【解析】【分析】先解每一个不等式，再求它们的解集的公共部分.【详解】解：解不等式-5 1 得：x 3 得：x 1.5,所以不等式组的解集为：1.5 x 6,故答案为：1.5xX0)的图象上，点 A 在反比例函数产&(x 0)的图象上，若平行四边形OABC的面积是7,则k=_【答案】-4【解析】【分析】连接02,根据反比例函数系数k 的几何意义得到因+3=7,进而即可求得k 的值.【详解】解：连接.四边形0 A 8 C 是平行四边形，：.A B/0C,轴，.1 1 ,3

15、SGAOD=K 因，SABOD=-x 3 =一,2 2 2.i 3 S/SAOB=S/AOD+S/XBOD=k+,2 2S 平 行 四 边 彩 OABC=2S&406=|4+3,平行四边形0 A B C 的面积是7,.因=4,.在第四象限，故答案为：-4.【点评】本题考查了反比例系数k 的几何意义、平行四边形的面积，熟知在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是川是解答此题的关键.1 7.如图，四边形A B C D 是边长为6的菱形，Z A f i C=6 0,对角线4c与 80交于点0,点 E,F分别是线段 A B,AC上的动点（不与端点重合）

16、，且B F 与 C E 交于点P,延长B 尸 交 边（或边C D）于点 G,连接O P,0 G,则下列结论：当B E=2 时，ABOG的面积与四边形。C D G面积之比为1：3；当B E=4 时，B E：C G=2：1；线段OP的最小值为2 君-2 .其中正确的是.（请填写序号）GArDY/B 匕 6【答案】【解析】【分析】证明A8C是等边三角形，进而得出三角形全等的三个条件；可推出点G 是 AD的中点，可以得出SACOD=SOD=2SS O G,根据点。是 3。的中点，可以得到SMOG=S&DOG,进一步得出结果；C CF根据ABC)得出-=-,从而得出C G=3,于是BE：CG=4：3；A

17、B AF可推出N8PC=120。，从而得出点尸在以等边三角形BCH的外接圆的8 C 上运动，当点0、P、/共线时，0 P 最小.【详解】解：.四边形A8C。是菱形，：.AB=BC=AD=CD,：.Z ABC=60,/ABC 是等边三角形，/B 4C=/A B C=60。，AB=BC在ABF 和BCE 中，N8AC=NA3C,AF=BE：.4A B F沿/XBCE(SAS),故正确；由知：Z U B C 等边三角形，：.AC=AB=6,：AF=BE=2,：.CF=AC-AF=4,四边形ABC。是菱形，：.AD/7BC,OB=OD,OA=OC,/.AGF CBF,SABOG=SADOG，SAOD=

18、SCOD.AG AFBCCF AG 2 -,6 4 AG=3,AG=A。，2SMOD=25AOOG,，S ACOD=2SACOG=2S&BOG,S ma OCDGSDOG+SACOD 3sAOOG=35ABOG,BOG的面积与四边形OCDG面积之比为1 ：3；故正确;图1 四边形4BCC是菱形,.AB/CD,.CG CF =,AB AF CG 2 =一,6 4:.CG=3,：.BE：CG=4：3,故不正确；/.ZBCE=NABF,：.BCE+Z CBF=ZABF+Z CBF=ZABC=60,A ZBPC=120,作等边三角形8C”，作B C 的外接圆/,则 点P在。/上 运 动，点。、P、/共

19、 线 时，0户最小,作“M _ L B C 于 M,：H M=与 BC=3 5：.P I=I H=-H M=2+,3,?ZA C B+ZIC B=6 0+3 0=90 ,0 1=d o c?+c i?=旧+(2 g)2=国,.0 P 城 小=0/-P/=后-2 G ,故不正确，故答案为：.【点 睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解 直角三角 形，确定圆的条件等知识，解 决 问 题 的 关 键 熟 练 掌 握“定弦对定角”等模型.三、解答题1 8.先化简，再求值:x +2 xX2-42X-4,其中 x=s i n 4 5。.x【答

20、案】一，yp2-x【解 析】【分 析】根据分式的运算法则进行化简，化简后代入即可得出答案.【详解】解:x+2原式=(x+2)(x 2)2(x 2)xX21X_ 1=一,X6 1当 x=s i n 4 5 0=-时，则 一=应，2 x所 以 原 式=夜.【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟记特殊角的三角函数值也是解题的关键.1 9.为了解学生一周劳动情况，我市某校随机调查了部分学生的一周累计劳动时间，将他们一周累计劳动时间,（单 位：小 时）划 分 为A：f 2,B：2t3,C：3t=一，CE=5,CE 5.*.=3,CD=4,:,AJ=EJ=CD=4,CJ=DE=3,在 A/O 中,产=(r-

21、3)2+42,25r=,6.。0 的半径为2二5.【点睛】本题考查解直角三角形，切线的判定，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.五、解答题2 2.如图，我国某海域有A,B,C 三个港口，8 港口在C港口正西方向33.2nmile(nmile是单位“海里”的符号)处，A 港口在8 港口北偏西50。方向且距离8 港口 40nmile处，在 A港口北偏东53。方向且位于C港口正北方向的点。处有一艘货船，求货船与A 港口之间的距离.(参考数据：sin500=0.77,cos500.64,tan501.19,sin530.80,cos530

22、.60,tan53%1.33.)【答案】货船与A港口之间的距离约为80海里【解析】【分析】过点A 作 4 E L C D,垂足为E,过点B 作垂足为凡 根据题意得：E=8C=33.2海里,A G/D C,从而可得NAOC=53。，然后在RAAEF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而求出AE的长，最后在M&4DE中，利用锐角三角函数的定义求出A。的长，进行计算即可解答.【详解】解：过点A 作 A E L C Q,垂足为E,过点8 作垂足为凡EF=BC=33.2 海里，A G/DC,：.ZGA D=ZA DC=53,在 R&B 尸中，ZA B F=50,AB=40 海里，.,MF=ABsi

23、n5040 x0.77=30.8（海里），：.A EA F+EF=64（海里），.在必/XADE：中,，A D=AE 64 m-x=80（海里），sin 530 0.8.货船与4 港口之间的距离约为80海里.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.六、解答题2 3.丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源.某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量），（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：销售单价X（元/件）

24、354045每天销售数量y(件)9 08 07 0(1)直接写出y 与 x的函数关系式；(2)若每天销售所得利润为1 2 00元，那么销售单价应定为多少元？(3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元?【答案】产-2 x+1 6 0(2)销售单价应定为5 0元(3)当销售单价为5 4 元时，每天获利最大，最大利润1 2 4 8 元【解析】【分析】(1)设每天的销售数量y (件)与销售单价x (元/件)之间的关系式为了=履+6,用待定系数法可得 y-2 x+1 6 0；(2)根据题意得(x-3 0)(-2 +1 6 0)=1 2 00,解方程并由销售单价不低于成本且不高于5 4 元

25、，可得销售单价应定为5 0元；(3)设每天获利卬元，w=(x-3 0)(-2 x+1 6 0)=-2 x 2+2 2 0 x -4 8 00=-2 (x-5 5)2+1 2 5 0,由二次函数性质可得当销售单价为5 4 元时，每天获利最大，最大利润，1 2 4 8 元.【小 问 1 详解】解：设每天的销售数量y (件)与销售单价x (元/件)之间的关系式为=入+6,把(3 5,9 0),(4 0,8 0)代入得:35k+8=90,40 人+8=80解得k=-2 =160；.y=-2 x+1 6 0；小问2详解】根据题意得：(x-3 0)(-Z r+1 6 0)=1 2 00,解 得 加=5 0

26、,X2=6 0,规定销售单价不低于成本且不高于5 4 元，.,.x=5 0,答：销售单价应定为5 0元；【小问3详解】设每天获利卬元，w=(x-3 0)(-2 x+1 6 0)=-2 x 2+2 2 0%-4 8 00=-2 (x-5 5)2+1 2 5 0,V -2 =BH.设 A H=2 x,BH=x,在 中，/+(2x)2=(6)2,：.BH=,AH=2,在七A E 中，VtanZABE=,EHEHAH0=tan 45=1,:,EH=AH=2,：.BE=BH+EH=3,BD=y/AB2+AD2=J（石 尸+（2 石）2=5,：,DE=BD-BE=5-3=2,DG由（2）得：=2,DGLB

27、E,BE：.DG=2BE=6f:S&BEG=BE-DG=x3x6=9,2 2在心ZiBOG和心DEG中，点M是BG的中点，点N是CE的中点，.DM=GM=I BG,DN=GN=；EG,:NM=NM,:DMNAGMN（SSS）,MN是BEG的中位线，:MN BE,:.X B E GSX M N G,.S&W N G /GM 1S曲 EG GB 4 _ _ 1 _ 9 S&MNG=S&MNG=SABEG=-.4 4【点睛】本题主要考查了正方形，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是类比的方法.八、解答题25.如 图1,抛物线=依2+冗+。（。邦）与x轴交

28、于A（-2,0）,B（6,0）两点，与y轴交于点G点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过 点 尸 作 轴，垂足为。，尸。交直线BC于点E,设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的表达式；(2)设线段PE的长度为，请用含有，的代数式表示；(3)如图2,过点尸作垂足为F,当 CF=E/时，请求出，的值；(4)如图3,连接C P,当四边形OCP力是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点。，使原点。关于直线CQ的对称点0恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点。的坐标.【答案】(1)y=-N+X+341 3(2)h=m2+m(0m 6)4 2(3)m=(4)点。的坐标为(2,g)或(2,-1)或

29、(2,4)【解析】【分析】(1)运用待定系数法即可求得答案；(2)利用待定系数法可得直线BC的解析式为y=-J x+3,设点P 的横坐标为处 则 尸(-一24 3m2+m+3)9 E(/n,-：m+3),即可得出=m2+2 4 2EF(3)如图，过点E、尸分 别 作 轴 于 点”，尸轴于点G,可证得B O C sp/石，得 出 万=,可求得E F=匪再由C E H s/cg o,可 得”=生，求得CE=叵”结BC 5 4 2 EH 0B 2合C F=E F,可 得 建 立 方 程 求 解 即 可 得 出 答 案；24(4)设 Q(2,f),分两种情况：当点。恰好落在该矩形对角线0。所在的直线上

30、时，当点0恰好落在该矩形对角线CD上时，当点。恰好落在该矩形对角线0 c 延长线上时，分别求出点。的坐标即可.【小 问 1详解】解：I抛物线y=or2+x+c(咛0)与 x 轴交于A(-2,0),B(6,0)两点，4。-2+c=036。+6+c=0解得：一 4,c=3.抛物线的表达式为)，=-！/+/3；4【小问2详解】解：:抛 物 线y=-/+x+3与y轴交于点C,4：.C(0,3),设 直 线 解 析 式 为 丁=+乩 把B (6,0)、C(0,3)代入，得“6攵b+=b 3=0k=-解得；2 ,b=3直线B C的解析式为y=-1 x+3,设点P的横坐标为办则尸(孙 m2+m+3),E(m

31、,-；，+3),42.h=-1 m-,+m+3-(z -i m+3)=-1 m-,+3 m,42 4 2 点P是第一象限内抛物线上的一个动点，1 3.11=-m2+m(0?6)；4 2【小问3详解】解：如图，过点E、F分别作E”，了 轴于点H,F G _L y轴于点G,A 0 D BV P (m,/H2+/?+3),E C m941 ,3:.P E=-tn 94 2-y m+3),：PFCE,:.NEPF+NPEF=9Q,；PZ)_Lx 轴，:.NEBD+NBED=90。,又,：NPEF=NBED,:.NEPF=NEBD,：NBOC=NPFE=90。,:./XBOCSPFE,.EF PC,正

32、一 访 在 RtBOC 中，BC=yj0B2+0 C2=7 62+32=3 亚，3 i o r -i a:.E F=-xPE=-/(m2+m)(m2+BC 3V5 4 2 5 4 2轴，PO_Lx 轴，ZEHO=ZEDO=NOCW=90。，四 边 形 是 矩 形，：.EH=OD=m,:E”/x 轴,:A C E H s 丛 CBO,.CE _ B C 叩 C E _ 3 指 ，即-，EH OB m 6:CE=1,2:CF=EF,:.EF=C E=-m,2 4,-亚-V5 r 1 ,3m-(-+一机),4 5 4 2解得：m=0 或机=1,V 0w 31、.-.Q（2,-）；当点。恰好落在该矩形

33、对角线CO上时，如图，连 接 CD交 GH于点K,点。与点0,关于直线CQ对称，C。垂直平分0。，：.ZOCQ=ZDCQf :GHH0C,：.ZCQG=ZOCQ9：.ZDCQ=ZCQG,：CK=KQ,C、尸关于对称轴对称，即点G是6的中点，GH/OCIIPD,点K是CD的中点，/3、：.K(2,2在 R/ZCKG 中，CG2+G烂=C群，3 322+()2=(7)2,2 2解得：力=1(舍去)，/2=-1，：.Q(2,-1)；当点。恰好落在该矩形对角线0 c延长线上时，如图，过点。作OKLy轴于点K,连接。0,交CQ于点 点。与点。关于直线。对称，CQ垂直平分00,：./OCM=/OCM,NO

34、MC=NOMC=90。，0,C=0C=3,u：K C=NZ)OC=90。，NOCK=4DC0,:.AOCKSADCO,.O K _C K _ CO -OK CK 3OD CO CD3 5；.0 K=,CK5OK=OC+CK=3+-=5 5 点M是 的 中 点，6 1 2、：.M（，）,5 5设直线CQ的解析式为ykx+b,6,1 2 k+b-则J 5 5 ,b=31k 解得：2,b=3.直线C Q的解析式为y=y x+3,当 x=2 时，y=1 x2+3=4,：.Q（2,4）；综上所述，点Q的坐标为（2,）或（2,-1）或（2,4）.3【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，轴对称性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题.