五年(2018-2022)全国高考数学真题分类汇编(全国卷新高考卷北京天津卷等)专题3函数填空、解答题(含详解).pdf

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1、2018-2022五年全国各省份高考数学真题分类汇编专题3函数填空、解答题（2 0 2 2 高考北京卷第1 4 题）设函数/（X）=-ax+,x a.若/（X）存在最小值，则。的一个取值为;a的最大值为（2 0 2 2 高考北京卷第1 3 题）若函数/（x）=As i n x-Geosx的一个零点为?，则 A3.（2 0 2 2 高考北京卷第1 1 题）函数+定义域是 x+2,x 1,（2 0 2 2 年浙江省高考数学试题第1 4 题）已知函数X）=0：/（x）是奇函数.8.（2 0 2 1 年新高考I 卷 第 1 5 题）函数 x）=|2 x-l|-2 1 n x 的 最 小 值 为.9.（

2、2 0 2 1 年新高考I 卷 第 1 3 题）已知函数/（犬卜X3,2-）是偶函数，则。=1 0 .（2 0 2 1 高考北京第1 5 题）已知函数/（x）=|l g x 卜依-2,给出下列四个结论:若k=0,f M恰 有 2 个零点；存在负数h使得/（x）恰有个1 零 点；存在负数Z,使得/（x）恰有个3 零 点；存在正数k，使得f M恰有个3零 点.其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.21 1 .(2 0 2 0 江苏高考第7题)已知y=/(x)是奇函数，当时，同=/，则/(-8)的值是.1 2 .(2 0 2 0 北京高考第1 1 题)函数f(x)=一1+l n x 的定义

3、域是X+121 3 .(2 0 1 9年高考浙江文理第1 6 题)已知a e R ,函数/(x)=加-x .若存在f e R ,使+2)/|则实数的最大值是.21 4 .(2 0 1 9年高考上海第1 2 题)己知/(x)=J一。(x l,ao),若。=%,“X)与X轴交点为A，/(X)为曲线L ,在 L上任意一点P，总存在一点。(P 异于A)使得A P _L A Q且|AP|=|A。，则=1 5 .(2 0 1 9年 高 考 上 海 第 6题)已知函数/(x)周期为1,且当0 x l,/(x)=-l o g2x,则/(3)=1 6 .(2 0 1 9年高考江苏第1 4 题)设/(x),g(x

4、)是定义在R上的两个周期函数，/(x)的周期为4,g(x)的周_ f (x +2),0 x 0.若在区间(0,9 上，关于x 的方程/(x)=g(x)有 8 个不同的实数根，则4的 取 值 范 围 是.1 7 .(2 0 1 9年高考江苏第4题)函数y=j 7 +6 x-x 的定义域为.1 8.(2 0 1 9年高考北京文第1 4 题)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为6 0 元/盒、6 5 元/盒、80 元/盒、90 元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到1 2 0 元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后

5、，李明会得到支付款的80%.当元=1 0 时，顾客一次购买草莓和西瓜各1 盒，需要支付 元；在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 X 的最大值为.1 9.(201 8年 高 考 数 学 江 苏 卷 第 9 题)函 数/(x)满 足/(x +4)=/(x)(x e R),且在区间(-2,2 上，c o s ,0 x 2,/(X)=2 则/(/(1 5)的值为.|x +-|,-2 x 0,2 0.(201 8年高考数学江苏卷第5 题)函数/(%)=加2-1 的定义域为.x 4 x 2 A21.(201 8年高考数学浙江卷第1 5 题)已知/leR,函数/(x)=,

6、当2 =2 时，不X2-4 x 4-3,x A等式/(x)0,函数=的 图 像经过点若 2=3 6 p g,则a=.23.(201 8年高考数学上海第7 题)已知ew卜 2,-1,一；1,1,2,3.若幕函数f(x)=X。为奇函数，且在(0,+00)上递减，则a =.2 4.(201 8年高考数学上海第4题)设常数QR,函数/Q)=l o g 2(x +Q),若/(幻 的反函数的图像经过点(3,1),则。=.2 5.(201 8年高考数学课标m卷(文)第 1 6题)已知函数 x)=l n(V i Tm-x)+l,/()=4,则-。)=26.(201 8年高考数学课标卷I (文)第 1 3题)已

7、知函数/(x)=l o g 2(x 2+a).若/(3)=1 ,则。=二、解答题27.(2022年高考全国乙卷数学(文)第20题)已知函数/(x)=o x ，-(a +l)l n x.x(1)当。=0 时，求AM的最大值；(2)若A*)恰有一个零点，求 a的取值范围.28.(2020年浙江省高考数学试卷第22题)已知la42,函数 X)=e x a ,其中e=2.71 828为自然对数的底数.(I)证明：函 数)=X)在(0,+8)上有唯一零点；(II)记 x o 为函数y=/(x)在(0，+8)上的零点，证明：(i )la-l A f l (e-l)(a -l)a .2 9.(2020江苏高

8、考第21 题)平面上点A(2,-l)在矩阵M=1 对应的变换作用下得到点以3,-4).-1 b(1)求实数a,6 的值；(2)求矩阵M 的逆矩阵3 0.(2020江苏高考第1 9题)已知关于x的函数)，=/。),丫 =8(工)与/2(*)=依+优人,6 2 在区间。上恒有f(x)h(x)g(x).若/(彳)=*2+2x,g(x)=-x2+2x,D =(-00,+c o),求/?(X)的表达式；(2)若 f(x)=左 一x+i,g(x)=&l n x,/?(%)=kx-k,D=(0,+o o),求k 的取值范围；若 f(x)=X4-2X2,g(x)=4 x 2-8,h(x)=4(r2-Z)x-3

9、t4+2产(O c W 夜)，D =P7?,u 卜求证：n m 到O O 的距离(米)之间满足关系式 =，/；右侧曲线3 0 上任一点F 到M N的距离h(米)与F到OO的距离h(米)之间满足关系式坛=-+万，+66.已知点B到0 0 的距离为4 0米.(1)求桥A3 的长度；(2)计划在谷底两侧建造平行于OO的桥墩CD和EF,3且 CE 为8 0米，其中C,E在川上(不包括端点).桥墩所每米造价 (万元)、桥墩CD每米造价;k(万元)(/0).问O E为多少米时，桥墩CD与 E F的总造价最低？32.(2 019年高考上海第18 题)已知f(x)=ax-(a e R).x+1(1)当a =l

10、 时，求不等式/(x)+l /(x+l)的解集；若 x e l,2 时，“X)有零点，求 a的范围.33.（2 018年高考数学上海第19题）（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示：当S中x%（0 x 100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为：30,0 x W 3 0/（%）=18 00（单 位：分钟），2汇 +翌-90,30 x 100V 7.x而公交群体的人均通勤时间不受X影响，恒为40分钟.试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x在什么范围时

11、，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义.2018-2022五年全国各省份高考数学真题分类汇编专题3函数填空、解答题1.(2 02 2 高考北京卷第14题)设函数-o r +1,x a.若/(X)存在最小值，则。的一个取值为;a的最大值为一.【答案】0(答案不唯一).11 ,X 0若a 0 时，当x-o o,故/(x)没有最小值,不符合题目要求；若 a 0 时，当x f(a)=-a2+1,二一/+1之0 或一/+1 2(4-2)2,解得0 a W1,综上可得O WaWl；故答案为：0(答案不唯

12、一)，1【题目栏目】【题目来源】2 02 2 高考北京卷第 14题2.(2 02 2 高考北京卷第 13题)若函数/(x)=A s i n x-百 c o s x 的一个零点为9，则 4 =【答案】.1.-V2解析:/(1)=乎A 等=0，=1:./(x)=s i n x G c o s x=2 s i n(x -)/()=2 s i n(-)=-2 s i n =-4 13 1212 3故答案为：1,/2【题目栏目】【题目来源】2 02 2 高考北京卷第13题3.(2 02 2 高考北京卷第11题)函数f(X)=L +J 匚 定义域是X【答案】(为,0)3。山解析:因为二所以J x w o

13、，解得且加0，故函数的定义域为(F,O)D(O,1 ；故答案为，(,0)=(0【题目栏目】【题目来源】2 0 2 2 高考北京卷第 1 1 题4.(2 0 2 2 年浙江省高考数学试题 第 1 4 题)已知函数 x)=-X?+2,x LX若当时，1 4 7(力 43,则人一。的最大值是37【答案】.而 .3+若#6+32 8解析:由已知吗)=_出+2 =：,碍=泻-1 哆,所以巾引啜，当时，由1 4/(幻 43 可得1 4_/+243,所以 IW x W l,当xl时，由1 4/(x)4 3 可得1 4 彳+工一1 3,所以1%2 +6,Xl /(x)/3.2 8【题目栏目】【题目来源】2 0

14、 2 2 年浙江省高考数学试题第1 4 题 5.(2 0 2 2 年高考全国乙卷数学(文)第 1 6 题)若/(x)=l n a+-+b 是奇函数，则。=_ _ _ _ _ _,b=_.l-x【答案】.；.In2.2解析：因为函数/(九)=l n a+一 一+。为奇函数，所以其定义域关于原点对称.1 x由。+一 片0可得，(1 一%)(。+1 办)H 0,所 以无=土吐=一1,解得：a=-,即函数的定义域i-x a 2为(F,1)=(-l,l)u(l,+o),再由/(o)=o 可得，b =l n 2.即/(x)=l n-g +丁 彳+l n2 =l n户：，在定义域内满足/(一%)=-/(%)

15、,符合题意.故答案为：-L；l n2.2【题目栏目】【题目来源】2 0 2 2 年高考全国乙卷数学(文)第1 6 题6 .(2 0 2 1 年高考浙江卷第1 2 题)已知a eR,函数“幻=(二;?若/,()=3，贝丑=【答案】2解 析:小 网=/(6-4)=2)=|2 3|+=3,故”=2,故答案为 2.【题目栏目】函数,函数的综合问题【题目来源】2 0 2 1 年高考浙江卷第1 2 题7 .(2 0 2 1 年新高考全国H 卷 第 1 4 题)写出一个同时具有下列性质的函数 X)：_ 中 2)=/(3)/(、2)；当X(O，*)时，r(x)0；/(x)是奇函数.【答案】x)=x4(答案不唯

16、一，/(x)=/(e N )均满足)解 析:取/=总 则/。)4%)；飞)，满足，/(力=4/，0 时 有(x)0,满足，f(x)=4 x 3的定义域为R,又 r(-x)=-4 d=-(x),故广(x)是奇函数，满足.故答案为 x)=/(答案不唯一，/(x)=均满足)【题目栏目】函数函数的基本性质、函数性质的综合应用【题目来源】2 0 2 1 年新高考全国n 卷 第 1 4 题8.(2 0 2 1 年新高考I卷 第 1 5 题)函数 x)=|2 x-l|-2 1 nx 的 最 小 值 为.【答案】1解析：由题设知：/(X)引2 x -1 1-2 In x定义域为(0,内)，.当 时，f(x)=

17、l-2x-2nx,此时 f(x)单调递减；12当 v x l 时，f(x)=2x-2nxf 有/(x)=2 1 时，/(x)=2 x-l-2 1 nx,有/*)=2-0,此时/(九)单调递增；x又/(X)在各分段的界点处连续，.综上有：0 l 时，X)单调递增；./。)2 1)=1,故答案为1.【题目栏目】函数函数的基本性质,函数的最值【题目来源】2 0 2 1 年新高考I 卷 第 1 5 题9.(2 0 2 1 年新高考I 卷 第 1 3题)已知函数/(司=Y(“2-2、)是偶函数，则 =【答案】1解析:因为/3=父(夕2、2 一【，故/(%)=/(a.2 T-2 1,因为/(x)为偶函数，

18、故=时丁(比2，-2 f )=-/3 2-*-2 ),整理得到(“-1 乂2+2-，)=0,故。=1,故答案为：1【题目栏目】函数函数的基本性质函数的奇偶性函数奇偶性的性质及其应用【题目来源】2 0 2 1 年新高考I卷 第 1 3题1 0 .(2 0 2 1 高考北京第 1 5 题)已知函数/(x)=|l g x|-日-2,给出下列四个结论：若=(),f(x)恰 有 2 个零点；存在负数k，使得/(%)恰有个1 零 点；存在负数k，使得了。)恰有个3 零 点；存在正数h使得f M恰有个3 零 点.其中所有 正 确 结 论 的 序 号 是.【答案】解 析：对于，当左=0 时，由/(x)=|l

19、g R-2=0,可得x 一或x=1 0 0,正确；对于，考查直线y=丘+2与曲线y=l g x(O x 1)相切于点P(r,-l g r),比+2=l g/t=1 1 00对函数y=Ig x求导得y=-,由 题 意 可 得，1 ,解得 皿；x l n l O k-.1 00.I rl n l O k=-Ig eI e所以，存在攵=他l g e =自+2过点(1,0)时，攵+2=0,解得=-2,所以，当U独Ig e(女 =履+2与曲线y=-l g x(O x l)有两个交点,e若函数“X)有三个零点，则直线y=履+2与曲线y=-l g x(O X l)有一个交点，所以，一 怆 -？，此不等式无解

20、,左 +2 0因此，不存在左l)相切于点P(r,l g t),对函数y=l g x求导得y=-x l n l Okt+2=gt由 题 意 可 得，1k _ _.rl n l Ot=l O O e解得,卜Ig e，.T o 6e【题目栏目】函数 函数与方程,函数零点或方程根的个数问题【题目来源】2021高考北京第1 5题21 1.(2020江苏高考第7题)已知y=f(x)是奇函数，当x 2 0时，/(力=/，则/(-8)的值是.【答案】【答案】-42【解析】/(8)=/=4,因 为 为 奇 函 数，所以/(-8)=-/(8)=与，故答案为：-4【题目栏目】函数函数的基本性质函数的奇偶性 函数奇偶

21、性的性质及其应用【题目来源】2020江苏高考第7 题1 2.(2020北京高考第1 1 题)函数,/()=In x 的定义域是_.X+1【答案】(0，内)x 0【解析】由题意得 八，.,.%()故答案为：(。,一)x+=0【题目栏目】【题目来源】2020北京高考第1 1 题21 3.(201 9年高考浙江文理第1 6题)己知aw R,函数/(x)=/-x .若存在f e R ,使|/(f+2)-/(/)|,则实数的最大值是.【答案】【答案】12?【解析】解法一：存在，R,使得|/。+2)-/区即。+2)3-+2)-3+区,2?4 4即 1 2(3广 +6r+4)-2 1 .设 m=3/+6r+

22、3=3(r+1)2+1 G1,4-CO),得 a ,所以 0 c q K ,3 3m 3m 34所以。的最大值为，+2)1+2解法二：定积分的几何意义，r(x)=3a r2-l,贝 iJQ +2)-/(r)|=|J fx)dxl,a 0),若。=%,/(X)与x轴交点为A，|x -1/(x)为 曲 线 乙 在 L上任意一点p ,总存在一点。(尸异于A)使得A P，A。且|AP|=|，则4 =【答案】【答案】a。=62 2 2【解析】设点A(/,0),则-=。=4=一+1或.-1二 一xA-l a a设?(孙名),。(工2，%)；2 2根据函数特征在(。，一+1)上递减，在(一+L+o o)上递

23、增，故P,。必各在一个区间内)，不失一般性.a a2 2假设 PE(+1,+8);对应的。(1,一+1);a aX 1 =XA+/CO S。yx=tsina则设P(%,%)满足v，而根据题意，。(工2，必)满足，x2=xA-t s in ay2=tcosa其中 a (0,工)，r e(0,+o o)；22X =a ,2玉 一 x2 l.22+a f c o s a-2t.2.s in a-r s in a c o s aa2t 2.cosa-t s in a c o s aa=2xA+1 c o s a 一2tcosa=-；-xA-t sin a-I1=at-)(s in a+c o s a)

24、=0a a a成立，即a f =/=2=a =夜 或 一 g (舍)a【点评】本题主要考查图象的平移、翻折变换、极限思想.【题目栏目】函数,函数的综合问题【题目来源】201 9年高考上海第1 2题1 5.(2 0 1 9年高考上海 第6题)已知函数/(X)周期为1,且当0 X 4 l,/(X)=-l o g2X,则f g)【答案】【答案】1【解析】/(13)=/(-1)=-l o g12-=l.【点评】本题主要考查函数的周期性及对数的运算.【题目栏目】函数函数的基本性质、函数的周期性【题目来源】201 9年高考上海第6题1 6.(201 9年高考江苏第1 4题)设f (x),g(x)是定义在R

25、上的两个周期函数，/(x)的周期为4,g(x)的周期为2,且/(x)是奇函数.当xe(0,2时，/(x)=l-(x-l)2,竹(x +2),0 0.若在区间(0,9上，关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根，,1%0,结合g(x)的周期为2及/(图象，可知：当xw(2,3 U (6,7 时,/(x)与g(x)的图象无交点所以当xw(0,l U (4,5 U (8 时,f(x)与g(x)的图象有6个交点.由f(x)与g(x)的周期性可知：当X(0,l 时，/(X)与g(x)的图象有2个交点.如图，当线段y =k(x+2)(0 2=1(0。,所以k =(此时恰有1个交点)；4当线段y =

26、(x+2)(0 Jl+6x-x2的定义域为.【答案】【答案】1,7【解析】由7 +6 x-f，o,解得一i W x W 7,即函数/(x)的定义域为 1,7 .【题目栏目】函数 函数及其表示 函数的概念【题目来源】2019年高考江苏第 4题18.(2019年高考北京文第14 题)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为6 0元/盒、6 5 元/盒、8 0元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的8 0%.当X =10时，顾客一次购买草莓和西

27、瓜各1 盒，需要支付 元；在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 X的最大值为.【答案】【答案】130；15.【解析】当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1 盒，可得6 0+8 0=14 0(元)，即有顾客需要支#1 4 0-1 0 =130(%)；在促销活动中，设订单总金额为加元，可得(机-x)x 80%x 70%,即有X”竺，由题意可得8120加1 2 0,可得X”=1 5,则%的最大值为15 元.8【归纳与总结】本题考查不等式在实际问题的应用，考查化简运算能力，属于中档题.【题目栏目】函数 函数模型及应用 函数的应用问题【题目来源】2019年高考北京文

28、第 14 题19.(2018 年 高 考 数 学 江 苏 卷 第 9 题)函 数/(无)满 足/(X+4)=/(X)(X R),且在区间(-2,2 上，c os ,0 x 2,于(X)=j 则/(/(15)的值为.|x+|,-2 x 0,【答案】2解析：由/(x+4)=/(x)得函数 f(x)的周期为 4,所 以/(15)=/(16-l)=f(-l)=-1+；=g ,因此/(/(15)=c os (=#.【题目栏目】函数 函数的基本性质 函数的周期性【题目来源】2 0 1 8 年高考数学江苏卷第9 题2 0.(2 0 1 8 年高考数学江苏卷第5 题)函数/(x)=帆1 的定义域为.【答案】2

29、,+8)解析：要使函数/(X)有意义，则1%速-1 2 0,解得x 2 2,即函数/(x)的定义域为 2,+8).【题目栏目】函数 函数的基本性质 函数的定义域【题目来源】2 0 1 8年高考数学江苏卷第5题x 4 xA2 1.(2 0 1 8年高考数学浙江卷第1 5题)已知/l e R,函数/(x)=,当2 =2时，不x-4 x 4-3,xA等式/(x)0的 解 集 是,若函数/(X)恰有2个零点，则丸的取值范围是【答案】x l%4 ,(L 3 U(4,y)解析：当；1 =2时,/(x)=,x-4,x 2 2X2-4 x+3,x2若x 2 2,/(x)=x-4,x-4 0得x 4,于是2Wx

30、 4；若x 2,f(x)=x2-4 x+3 ,x?-4 x+3 0得 1 cx 3 ,于是l x 4 2；不等式/(x)0的解集为 x l x 4 ；第二空两种解法方法一：代数法(分类讨论两段函数根的个数)当4W4时，由于/(x)=x-4(x、；l)有一个零点，问题等价于当x x =l,x =3 ,只需要 1 4,由 于/(幻=%-4(*2/1)无零点，问题等价于当x 4,当x 2时，/(幻=/一4+3有两零点1,3满足条件；综上可知，1 4 1 4.方法二：几何法（图像观察）当直线X =/L 从左到右的运动过程中，当1 4时，x 4 x 几f（x）=,与X轴有两个交点，即/（X）恰有2个零点

31、,x-4 x+3,x A即4的取值范围是1 4.【题目栏目】函数 函数与方程 函数零点或方程根的个数问题【题目来源】2 0 1 8 年高考数学浙江卷第1 5题2X2 2.（2 0 1 8 年 高 考 数 学 上 海 第 11题）已 知 常 数。0,函数=的 图 像经过点、2 x+ax15若 2 =36pq,则【答案】。=62P 2q 2P 2 aq解 析：由 题 意：行记+诏%=1 ,所以二之 一 汨 石 二 再 拓,所 以2 =a2Pq=3 6 p q,所以/=36,又因为。（）,所以a=6.【题目栏目】函数 基本初等函数 指数与指数函数 指数函数的图象与性质【题目来源】2 0 1 8 年高

32、考数学上海第1 1 题2 3.（2 0 1 8 年高考数学上海第7题）已知a w卜 2,-1,一；1,1,2,3）.若幕函数/（x）=F 为奇函数，且在（0,+8）上递减，则a -.【答案】T解析：由/（%）为奇函数，所以a =l,1,3,又在（0,+8）上递减可知。二一1.【题目栏目】函数 基本初等函数、基函数【题目来源】2 0 1 8 年高考数学上海第7 题2 4 .(2 0 1 8 年高考数学上海第4题)设常数a eR,函数/(x)=l o g2(x +a),若/(x)的反函数的图像经过点(3,1),贝 i j a=.【答案】7解析：由题意可知/(x)经过(1,3),所以l o g2(l

33、 +a)=3,；.l +a=2 3=8,a=7.【题目栏目】函数,基本初等函数,反函数【题目来源】2 0 1 8 年高考数学上海第4题2 5.(2 0 1 8 年高考数学课标HI卷(文)第 1 6 题)已知函数 x)=l n(V i 7 7 7)+l,/()=4,则 -)=【答案】-2解析：f(-x)=InVl+x2+xj+l(xe R)f(x)+f(x)=l n(V l +x2 x)+1 +n(y+x2+x)+1 =l n(l +x2-x2)+2=2 f(a)+/(-a)=2 ,【题目栏目】函数 函数的基本性质 函数的对称性【题目来源】2 0 1 8 年高考数学课标III卷(文)第 1 6

34、题2 6 .(2 0 1 8 年高考数学课标卷1 (文)第1 3 题)已知函数/(x)=1 0 g2(尤 2+“).若/=1,则“=.【答案】-7解析：由已知得/(3)=l o g?(9 +a)=1,9 +a=2,a=-7 .【题目栏目】函数 基本初等函数 对数与对数函数 对数函数的图象与性质【题目来源】2 0 1 8 年高考数学课标卷I (文)第 1 3 题二、解答题2 7 .(2 0 2 2 年高考全国乙卷数学(文)第2 0 题)已知函数/(x)=ac (a+l)l n x.X(1)当。=0时，求/(X)的最大值；(2)若/)恰有一个零点，求 a 的取值范围.【答案】(1)一 1(2)(0

35、,+a)解析：【小问1详解】当a=0时，/(x)=_ l n x,x 0,则=,当x w(O,l)时，/(x)X X X X单调递增;当 X l,+8)时，/(X)单调递减；所以 x)E=/=T；【小问2详解】/(x)=ax-(a+l)l n x,x 0 ,则/，(力=4 +!_ =(6,x x x x-当“4 0时，a x-l 0,/(x)单调递增；当x e(l,+。)时，fx)0,/(x)单调递减；所以/(x)gx =/(1)=。-1 0,此时函数无零点，不合题意；当0 “1,在(0),+8)上，殁 勾 0,力 单调递增；在(1,：)上，.盟x)0,“X)单调递减；又/“1 0,由(1)得

36、，+l n x N 1,即 In Nl-x,所以l n x x,l n&4,l n龙 ax-2(a+l)V x ax-(2a+3)/x,x x则存在2 =H +2 L 使得/(租)0,J a所以/(x)仅在(5,+8)有唯一零点，符合题意；当a =l时，/(x)=(可 2 所以“X)单调递增，又/(1)=。-1 =0,所以/(x)有唯一零点，符合题意；当。1 时，:0,“X)单调递增；在上，#(x)0,由(1)得当0 x l-XI nx 1-=,所以 l n x 2此时/(%)=办-(a+V)lnxax-2(。+1)1-x x I1,2(4 +1)存在赤东!使 得/所以/(x)在(0,：)有一

37、个零点，在无零点，所以/(x)有唯一零点，符合题意；综上，a的取值范围为(0,+8).【题目栏目】函数、函数与方程 函数零点存在定理及其应用【题目来源】2 0 2 2 年高考全国乙卷数学(文)第2 0 题2 8.(2 0 2 0 年浙江省高考数学试卷第2 2 题)已知laW2,函数/(x)=e x a ,其中e=2.为自然对数的底数.(I)证明：函数y =/(x)在(。，+8)上有唯一零点；(11)记沏为函数丁=力 在(0，+8)上的零点，证明：(i)J a-l 0,/.e*1,.-.f(x)0,f(x)在(0,+o o)上单调递增,Q l a e2-4 0,/(0)=l-0,所以由零点存在定

38、理得/(X)在(0,+8)上有唯一零点；(I I)(i)Q/(x0)=0,.,./-xo-a =O，ci 1 W XQ W，2(a-1)s-e。-1W 2(e。一 x。一 1)，令2g(x)=e-(0 2),/心)=靖-1三。0,hx)h(0)=h(x)在(0,2)单调递增，尤)A(0)=0,oXcex-x-1-0,2(er-x-l)x2,2另一方面：Q l4?2.,.6 Z 11.所 以 当 玉,时，而万成立，因此只需证明当0 x l时g(x)=/-x -l-/WO,因为g(x)=e*1 2x=g(x),g：(x)=e*2=0 n x =ln2当 xe(0,ln 2)时，g；(x)0，当 x

39、 e(ln 2,l)时，g；(x)0，所以 g(x)max g(0),g,Q g(0)=0,g(l)=e-3 0,g(x)0,g(x)在(0,1)单调递减，.g(x)g(O)=O,.e-x-l v f,缥上，c 0 _ XQ _ 1W x 2(e 0 _ XQ _ 1),ci 1 W x。4 J2(a-1)(ii)r(x0)=xof(ex)=Xof(xo+a)=x0(ea-1)+a(ea-2)，Q/(x。)=2(e l)xn+a(e 2)0,Ja-1 W x。W r(V i)=而 斤Ke T)+a(e-2)=(e(,-l)(a-l)+a y/a(ea-2),因为l a e,a N 2(a-l)

40、,r(x0)之(e 1)(。-1)+2(a 1)Ja-l(e-2),只需证明 2(a-l)7T(e0-2)(e-l)(a-1)2,即只需证明 4(e 2)2 2(e I-(a 1),令 s(a)=4(ea-2 f-(e(a 1),(1 8 e(e-2)-(e-l)2 0,/.s(a)sQ)=4(e-2)2 0,即4(e“2)2N(e l)2(a l)成立，因 止 匕 工0_/卜、。)2化一1)(。一1)”.【题目栏目】【题目来源】2 0 2 0 年浙江省高考数学试卷第2 2 题a 12 9.(2 0 2 0 江苏高考第2 1题)平面上点4 2,-1)在矩阵M=八对应的变换作用下得到点8(3,T

41、).-1 b(1)求实数。，方的值；(2)求矩阵 的逆矩阵例L 2 _ r【答案】【答案】A T、:.o =2 1 2.5 5.【解析】(I L.平面上点A(2,-l)在矩阵/=:对应的变换作用下得到点8(3,-4)1 U3-42。-1 =3-2-/?=-4解叽(a=222m+c=设 犷=贝!j MM-=2 m+c-m+2c2n+d n+2d2n+d=0一 解得2tn=51n=51-n+2d=,5_1525.,/.A/-1251 00 15d 二5【题目栏目】函数 函数中的新定义问题【题目来源】2 0 2 0 江苏高考第2 1题3 0.(2 0 2 0 江苏高考第 19题)已知关于x的函数y

42、=/(x),y =g(x)与(x)=履+k,b e R)在区间)上恒有/W Kx)g(x).(1)若+2 x,g(x)=-x2+2x,D=(-o o,+c o),求/?(x)的表达式；(2)若/(x)=x2-x +1,g(x)=knx,hx)=kx-k,D=(0,+o o),求 k 的取值范围；若/X x)=丁-2/，g(x)=4X2-8 ,h(x)=4(/2-r)x-3?+2 产(0|r|W 五),D =m,w c 亚,0 ,求证：n-m。)，*1)=0.又尸(x)=%土.若 k 0 时，F(x)在(0,1)上 递 减,在(1,行)上 递增，则 F(x)N尸=0,即/?(x)-g(x)Z 0

43、,符合题意.综上所述，k 0.由 /(x)-/?(x)=x2 x+l(一&)=x2-(Z:+l)x+(Z:+l)0k+1当工=丁 0,即左 1时，y=f(z+i)x+A+i 在(0,y)为增函数，因为。)-/(0)=%+1 0,故存在%(0,+8),使 6 一(力0,符合题意.4+O当工=-0,即左 1时，则需 =(%+1)一 4(左+1)二 0,解得一 1Z4X2-8 对任意x e 见川u -后，夜 恒成立，尤4-2 x2 2 4(尸一，X-3/4+2/对 任 意 工 团,川匚-夜,夜 恒成立，等价于(x-02(x2+2tx+3r2-2)0 对任意x e 加,川u-四,何 恒 成 立.故 f

44、 +2笈+3产一2 2 0 对任意X G 727,n U-/2,恒成立令 M(x)=f +2/X+3产一2,当0 *O,-1-Z1,n-my/2+ty/2+ly7,当 A=-8?+8 4(?-r)x-3 r4+2产对任意的 北 川 u 0,J I 恒成立.等价于4x2-4仔+(3/+4)(/2-2)0 对任意的x 北川u -0,向恒成立.4X2-4（Z3-/）X+（3/2+4）（-2）=0 的两根为玉,X2，则玉+W =/一，与=,所以 一m-xy-x2|=（再 +x2）-4xtx2=7r6-5r4+3r2+8-令/=%X e 1,2,则 时=7A3-5 A2+3 A +8 .构造函数 P（2

45、）=分 一 5万+32+8（4 e 1,2）,严（4）=3万 一 1 （H+3=（2 3）（34-1）,所以几 e 1,2时，P 0）.问0 为多少米时，桥墩C D 与 E F的总造价最低？【答案】【答案】120米 O E=20米【解析】由题意得 IOA=-x403+6x40.JC M|=8040 800/.|AB|=|OA|+|031=80+40=120 米设总造价为/（X）万元，|0 0|=-!-X8 0 2 =1 6 0,设|O E|=X,401 3 1/（%）=灯160+x3-6x）+二机160（8 0-X）2,（0X 4 0）./=A(1 60 +V 一/2),.J，=/高f 一 脑

46、=0 x =2 0 (0 舍去)当0 x 2 0 时，:)0；当2 0 x 0 ,因止匕当x=2 0 时，/0)耳又最小值,答：当。E =2 0 米时，桥墩C D与砂的总造价最低.【题目栏目】函数 函数模型及应用 函数的应用问题【题目来源】2 0 2 0 江苏高考第 1 7 题3 2.(2 0 1 9 年高考上海第 1 8 题)已知/(x)=O X +一(a e H).x +1 当 a =l 时，求不等式 x)+l /(x+l)的解集；若 x e l,2 时，/(x)有零点，求 a的范围.【答案】【答案】(1)2 x 1.(2)4?G-6 2【解析】当。=1 时，x)=x +-!-；%+1代入

47、原不等式：x +1-+l x+l +-；即：-一x+1 x+2 x+1 x+2移项通分：-0,得：2x -1 ；(x +l)(x +2)(2)依题意：/(x)=a x+!=0 在上有解x +1参编分离：a =-，即求g(x)=-在 x e l,2 值域，x(x+1)x(x+1)x(x +l)在 x w l,2 单调递增，x(x +l)e 2,6 ；-e ,故：a e -x(x +l)6 2 6 2【点评】本题主要考查函数的性质、函数的零点。【题目栏目】函数 函数的综合问题【题目来源】2 0 1 9 年高考上海第1 8 题3 3.(2 0 1 8 年高考数学上海第1 9 题)(本题满分1 4 分

48、，第 1 小题满分6分，第 2小题满分8分)某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示：当 S中x%(0 x 1 0 0)的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为：3 0 ,0 x30f(x)=l 1 8 0 0 (单位：分钟)，、2x+-90,3 0 x 1 0 0v)x而公交群体的人均通勤时间不受X影响，恒为40分钟.试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当X在什么范围时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义

49、.【答案】(D45x100；(2)g(x)=J X4 0-,0 x3010,g(x)在x e(0,32.5时%2-x+58,30 x40且30Vx 0,即（x 45）（x 20）0.所以 x45.综上所述，当45x100时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间.若30 x100,则g(x)=(2)若0 x W 3 0,则 g(x)S1 ,13 一 x-x+58.所以50 10g(x)=40-,0 x30101 ,13一 f_-A:+58,30X100150 10当0 xW 30时，g（x）递减;当30 x100时，g（x）=Y一得x+58的 对 称 轴 为 所 以（30,与）递减，（竽,100）递增.综上所述,0,递减,2 J?,io o 递增.即：当S中的自驾人数比例在（0,32.5%）时，人均通勤时间随着成员自驾的比例增加而减少；当S中的自驾人数比例在(32.5%,100%)时，人均通勤时间随着成员自驾比例增加而增加，当S 中32.5%的成员自驾时，该地上班族S 的人均通勤时间达到最小值36.875分钟.实际意义是：自驾人数在一定范围内增加时，交通顺畅；当随着范围进一步增加，交通拥堵，导致通勤时间增多.所以，对该地区要限制自驾人数.【题目栏目】函数 函数模型及应用 函数的应用问题【题目来源】2018年高考数学上海第19题