人教版导与练总复习数学一轮课时作业：第七章第6节第二课时　求空间角与距离.pdf

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1、第 二 课 时 求空间角与距离课时作业灵活方医方致偎影知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练用空间向量求异面直线所成的角1用空间向量求直线与平面所成的角2,4,911用空间向量求二面角312用空间向量求距离6,8综合问题5,7,1013,14,15,1617,18A级基础巩固练1.如图所示,在正方体A BCD-A BCR中，已知M,N 分别是BD和A D的中点，则 B M 与 O N 所成角的余弦值为（C）A.叵30同L.-10B弯D普c.解析：建立如图所示的空间直角坐标系Dxy z.设正方体的棱长为2,贝(J B12,2,1,0),(0,0,2),N(l,0,0),所以3%=(-1,-1

2、,-2),%N=(l,0,-2),所以B M 与D,N 所成角的余弦值为 DiN 卜1+4 _痂*rB；M山;N 一 否 苒 而FT取皮L2.如图，已知长方体A BCD-A BCD中，A D=A A i=l,A B=3,E为线段A B上一点,且A E=1A B,则 DC,与平面D.EC所成角的正弦值为(A )3V35 D 2V7D.35-7V3 n V2 U.3 4解析:如图，以D 为坐标原点,DA,DC,D D 所在直线分别为x 轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系,则 C,(0,3,1),D.(0,0,1),E(1,1,0),C(0,3,0),所以DCi=(0,3,1),5E=(1,1,-1

3、),Di C=(0,3,-1).设平面D EC的法向量为n=(x,y,z),则n,DE=0,n,DC=0,(x+y-z=0,(3y-z=0,取 y=l,得 n=(2,l,3).所以 c os 6 71；n=1 niDCjl In 35所以DC,与平面D,EC所成的角的正弦值为嘿.故选A.3.在正方体A BCD_ A BCD中，点E 为 BB,的中点,则平面A,ED与平面A BCD所成的锐二面角的余弦值为(B)C.D.3 2解析：以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A xy z,设正方体 A BCD-A.B,C,D,的棱长为 1,则 A,(0,0,1),E(l,0,1),D(0,1,0),

4、所以乙。二(0,1,-1),4=(1,0,-1),设平面A.ED的法向量为n,=(l)y,z),卜.A?=0,即 仁=0，所以3=2,“l 八 1-z =0,lz=2,Mi ArE=0,l 2所以 ni=(l,2,2).又平面A BCD的一个法向量为i h=(0,0,1),所以 c os=-=|,3 X A 5即平面A.ED与平面A BCD所成的锐二面角的余弦值为宗故选B.4.如图，正 三 棱 柱 A B C-A BG的所有棱长都相等，E,F,G分别为A B,A A i,A C的中点，则B F 与平面GEF所成角的正弦值为（A ）r3V3 n 3V6L.-U.-10 10解析:设正三棱柱A B

5、C-A.B,C.的棱长为2,取A C的中点D,连接DG,DB,以D 为原点，分别以DA,DB,DG所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Dxy z,如图所示，则 B,(0,V 3,2),F(l,0,1),E(j,y,0),G(0,0,2),所以B；F=(1,-V 3,-1),EF=4-亨，1),GF=(1,0,-1).设平面GEF的法向量为n=(x,y,z),则.-n =O,、GF n=0,fl V3,n即%4一 三y+z =，lx-z=0,取 x=l,贝 Ij z=l,y=V 3,故n=(l,V 3,1)为平面GEF的一个法向量，所以 c osn,Bi F=q,所以B F与平面

6、GEF所成角的正弦值为|.故选A.5.已知棱长为3的正四面体A-BCD的底面BCD确定的平面为a ,P是a内的动点,且满足P A N 2P D,则动点P的集合构成的图形的面积为(B)C.4 n D.无穷大解析:如图，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系,由题意，得A到a的距离为逐，则 A(f,去 V 6),D(0,0,0),设 P(x,y,0),所以 P A 2=(xq)2+(y+|)2+6,P D2=x2+y2,又 P A 22P D,所以(x-争 2+(y+/+6 24(x2+y 2),整理得 x+j x+y J y W 3,所以（X+噂6 Z 3即P的集合是半径为谷的圆（含圆内部），

7、所以图形的面积为等.故选B.6.（2021 江西南昌调研）已知三棱锥P _ A BC的所有顶点都在球。的球面上，A A B C满足A B=2V 2,ZA CB=90,P A为球0的直径,且P A=4,则点P到底面A BC的距离为（B）A.V 2 B.2V 2C.V 3 D.2V 3解析：因为三棱锥P-A BC的所有顶点都在球0的球面上,且直径P A=4,所以球心。是P A的中点,连接0C,则球0的半径R=0C=1P A=2.过点0作（平 面A BC,垂足为D,则D为A A B C外接圆的圆心，连接CD（图略）.在 A A BC 中,A B=2也 ZA CB=90,所以D为A B的中点，且A D

8、=BD=CD=V 2,所以 OD=VOC2-CD2=V4Z2=V2,所以点P到底面A BC的距离d=20D=2V 2.故选B.7.（多选题）（2021山东青岛期末）如图，正方体A BCD-AB C D的棱长为1,则下列四个结论正确的是（A BD）A.直线BC与平面A BCD所成的角为：B.点C 到平面A BCD的距离为亨C.异面直线D,C与 B G 所成的角为；D.三棱柱A A D_ BB 外接球的半径为日解析:正方体A BCD-A BCD的棱长为1,直线BC与平面A BCD所成的角为N C B C W，故 A 正确；连接 B （图略），由 B1CBC1,B1CA B,BC,nA B=B,BC

9、b A Bu 平面A BC.Db得B _ L平面A BCD,所以点C 到平面A BC.D.的距离为B C 长度的一半，即今故B 正确；因为BC./ZA DB所以异面直线 D,C与 B G 所成的角为N A D C 连接A C（图略），则4 A D C 为等边三角形,故异面直线D,C与 B G 所成的角为全故C错误;三棱柱A A D 一 BBC的外接球也是正方体A BC D-A BC D 的外接球，故外接球的半径为+冶,故D正确故选A BD.8.已知PA 垂直于正方形A BC D 所在的平面,M,N 分别是C D,PC 的中点,并且PA=A D=1.在如图所示的空间直角坐标系中,MN=.解析:连

10、接PD （图略），因为M,N分别为C D,PC 的中点,所以M N=|PD,又 P（0,0,l）,D（0,1,0）,所以|而|=。2 +1 2+（_ 1）2=鱼，所以M N 号.答案号9.（2 0 2 1 河北承德期末）已知四棱锥P-A BC D 的底面是菱形，N BA D=60 ,PD，平面A BC D,且 PD=A B,点E是棱A D 的中点,F在棱PC上.若 PF ：F C=1 ：2,则 直 线 EF与 平 面 A BC D 所成角的正弦值为.解析:如图，以点D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D xyz.设菱形A BC D 的边长为2,则 D(0,0,0),E(g .0),F(0

11、,工),所以薪=.L L J J Zoo又平面A BC D 的一个法向量为n=(0,0,1),所以 co s =3=_J 呼)2 +(6 2 +3 5即直线E F 与平面A BC D 所成角的正弦值为警.1 0.（2 0 2 1 山东德州模拟）如图,P_ A BC 是一个三棱锥,A B是圆的直径,C 是圆上的一点,PC 垂直于圆所在的平面,D,E分别是棱PB,PC 的中I 占八、C求证:D E _ L平面PA C;(2)若二面角A-D E-C 是 4 5 ,A B=PC=4,求A E 与平面A C D 所成角的正弦值.证明：因为A B是圆的直径，所以BC _ LA C,因为PC 垂直于圆所在的

12、平面,BC u 平面A BC,所以 PC _ LBC,又因为 A C G PC=C,A C u 平面 PA C,PC u 平面 PA C,所以BC _ L平面PA C.因为D,E 分别是棱PB,PC 的中点，所以BC/7 D E,从而有D E _ L平面PA C.(2)解：由可知，D E A E,D E 1 E C,所以N A E C 为二面角A-D E.C 的平面角，从而有N A E C=4 5,则 A C=E C=1 PC=2,又 BC A C,A B=4,得 BC=2 V3.,以C为坐标原点,CB,CA,CP的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C xy

13、z,则 C(0,0,0),A(0,2,0),E(0,0,2),B(2 6,0,0),P(0,0,4),D(V3,0,2),所以族=(0,-2,2),CA=(0,2,0),CD=(V3,0,2).设 n=(x,y,z)是平面A C D 的法向量,则 n?=0,.1 1 ,CD=0,可取 n=(2,0,-V3),故|co s _n=O 4=(co s 9 ,si n 9 ,V2),所以直线A 0,与平面O PQ所成角的正弦值为各人二m n 2 V3也 誓 _ 0,等 .故 选A.1 2.二面角的棱上有A,B 两点,直线A C,BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于A B,已知A B=4,

14、A C=6,BD=8,C D=2 V1 7,则该二面角的 大 小 为(C )A.1 50 B.4 5 C.60 D.1 2 0 解析:如图所示,二面角是.CD=CA+AB+BD,TTT -4所以 亦=0 4 2+4 3 2 +3。2+2 (CA AB+CA BD+AB 8。)=CA2+AB2+BD2+2CA BD,所以C4 BD=1 x (2 V1 7)2-62-42-82=-2 4.T T因为4c BD=2 4,AC-BD 1co s=AC BD 2 所以=60 ,故二面角为60 .故选C1 3.如图，菱 形 A BC D 中，N A BC=60 ,A C 与 B D 相交于点0,A E J

15、 _ 平面A BC D,C F A E,A B=2,C F=3.若直线O F 与平面BE D 所成的角为4 5 ,则AE=.解析:如图，以。为坐标原点，以0 A,0 B所在直线分别为x 轴、y 轴，过点0 且平行于C F 的直线为z 轴建立空间直角坐标系.设 A E=a (a 0),则 B(0,V3,0),D(0,-V3,0),F(-l,0,3),E(l,0,a),-,所以0 尸=(一 1,0,3),0 8=(0,2 V3,0),EB=(l,V3,-a).设平面BE D 的法向量为n=(x,y,z),则n=0,即 产y=0,n EB=0,(一 汽 +V3y nz=0,贝 I y=0,取 z=l

16、,得 x=-a,所以 n=(-a,0,1),rr I U/二 n OF a+3所以 co s-I n OF Va2+lxvl0因为直线O F 与平面BE D 所成角的大小为4 5所以a+3Va2+lxV10V2w解得a=2 或（舍去）,所以A E=2.答案：21 4.在四棱锥P-A BC D 中，四边形A BC D 是边长为2的菱形，Z D A B=60 ,PA=PD,N A PD=9 0 ,平面 PA D,平面 A BC D,点 Q 是A PBC 内（含边界）的一个动点，且 满 足 D Q A C,则 点 Q 所形成的轨迹长度是.解析:如图,连接BD,交A C 于点0,因为四边形A BC D

17、 为菱形,所以 A C _ LBD.取 PC 上一点M,连接M D,M B,且 D M A C,又 A C BD,BD n D M=D,BD u 平面 BD M,D M u 平面 BD M,所以A C _ L平面BD M,则点Q 的轨迹是线段BM.以0 为原点,O A 所在直线为X 轴,0 B所在直线为y 轴,过点0 且垂直于平面A BC D 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 0(0,0,0),A(V3,0,0),B(0,1,0),D(0,-1,0),P(9,T D，C (-V3,0,0),所以&=(6,0,0),防=(1,1),命=(-竽,3。=(0,-2,0).设P M=入

18、 PC,0 W 入 W 1,则OM=OP+PM=DP+入 PC=碎,5,1)+入空),2 2贝 向 镖-苧 入，沙,1 -人).因为 O A _ LD M,所以04 DM=0,解得入q所 以 晶=(0,|,)BMBD+DM=(0,-2,0)+(0,|,|)=(0,g|),所 以BM=2+(|)2:竽即点Q 所形成的轨迹长度为詈.答案:空51 5.如图，平面内直线EF与线段AB 相交于点C,N BC F=3 0 ,且A C=C B=4,将此平面沿直线EF折 成 60 的二面角a _ E F _ B,BP J _平面a ,点P 为垂足.BEFB(1)求A A C P的面积;求异面直线A B与 E

19、F 所成角的正切值.解:法一(建系法)如图,在平面a内，过点P 作PM _ LE F,点M 为垂足,连接BM,则Z BM P为二面角a -E F-P的平面角.以点P 为坐标原点，以直线PM 为x 轴,射线 PB为 z 轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz.在 R tA B M C 中，由 Z B C M=3 0,C B=4,得 C M=2 V 3,B M=2.在 Rt A B M P 中，由 Z B M P=6 0,B M=2,得 M P=1,B P=V 3.故 P(0,0,0),B(0,0,V 3),C(-1,-2 V 3,0),M(-l,0,0).由 N A C M=15 0,

20、得 A(l,-4 6,0).所以(1,2 V 3,0),CA=(2,-2 V 3,0),贝 I j c p C 4=-10,c o s N A C P=-岛，s i n N A C P=军.2V13因此 S.C P=，C A|C P|s i n Z A C P=3 V 3.(2)由(1)得 总=(1,-4 6,-包MC=(O,-2V3,0),B A MC=24,cos=fl,V13所以 sin=,V13tan=-.6所以AB与 EF所成角的正切值为o法 二(几 何 法)(1)如图,在平面a 内，过点P 作 PM_LEF,点 M为垂足,连接BM,则NBMP为二面角a _EF_P的平面角.在 Rt

21、ABMC 中，由 ZBCM=30,CB=4,得 CM=2V3,BM=2.在 RtABMP 中，由 ZBMP=60,BM=2,得 MP=1.在 RtACMP 中，由 CM=2V3,MP=1,得 CP=V13,cosZPCM=,sinZPCM=.故 sinNACP=sin(150。-NPCM)=焉，所以 S&C P=1|CA|CP|sinZACP=3V3.(2)如图,过点A 作 AQEF,交 MP于 点 Q,则N B A Q 是 A B 与E F 所成的角，且A Q _L 平面B M Q.作 A N L E F,垂足为N,因为 P M L E F,A Q Q M,所以四边形A Q M N 为矩形，

22、所以A N=Q M,因为N A C M=15 0,A C=4,所以 A N=Q M=2.在B M Q 中，由 Z B M Q=6 0,B M=M Q=2,得 B Q=2.在 Rt A B A Q 中，由 A Q=A C c o s 3 0 +C M=4 V 3,B Q=2,得 t an N B A Q=省.AQ 6因此A B 与 E F 所成角的正切值为616.(2 02 1 山东潍坊二模)请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上,并作答.A B _L B C;F C 与平面A B C D 所成的角为匕N A B C=J如图,在四棱锥P-A B C D 中，底面A B C D 是菱形,P

23、 A _L 平面A B C D,且P A=A B=2,P D 的中点为F.(1)在线段A B 上是否存在一点G,使得A F 平面P C G?若存在,指出G在 A B 上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由；(2)若,求二面角F-A C-D 的余弦值.解：(1)存在线段A B 的中点G,使得A F 平面P C G.证明如下：如图所示,设P C 的中点为H,连接F H,G H.因为F,H 分别为P D,P C 的中点，所以 F H C D,F H=|C D,在菱形A B C D 中，因为G 为 A B 的中点，所以 A G C D,A G=：C D,所以 F H A G,F H=A G,所以四边

24、形A G H F 为平行四边形，所以A F G H.又 G H u 平面P C G,A F Q 平面P C G,所以A F 平面P C G.(2)选择,A B B C.因为 P A _L 平面 A B C D,A B u 平面 A B C D,A D u 平面 A B C D,所以 P A _L A B,P A _L A D,所以A B,A D,A P 两两相互垂直，以A 为原点,A B,A D,A P 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.因为 P A=A B=2,所以 A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),F(0,1,1)

25、,所以4 F=(0,1,l),C F=(-2,-l,1).设平面F A C 的法向量为u =(x,y,z),则 人产=y+z=，CF=-2x-y+z=0,取 y=l,得 u =(-l,1,-1).易知平面A C D 的一个法向量为v=(0,0,1),设二面角F-A C-D 为 9 ,由图知二面角F-A C-D 为锐二面角，所以二面角F-A C-D 的余弦值为学选择,F C 与平面A B C D 所成的角为g6如图，取 B C 的中点E,连接A E,取 A D 的中点M,连接F M,C M,则 F M P A,且 F M=1.因为P A _L 平面A B C D,所以F M _L 平面A B C

26、 D,所以F C 与平面A B C D 所成的角为N F C M,所以N F C M.在 Rt A F C M 中,C M=N=4=K.tan-126 T又 C M=A E,所以 A E2+B E2=A B2,所以 B C _L A E,又 B C A D,所以 A E _L A D.因为P A _L 平面A B C D,A D u 平面A B C D,A E u 平面 A B C D,所以 P A _L A D,P A A E,所以A E,A D,A P 两两相互垂直，以A为原点,A E,A D,A P 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.因为 P A=A B

27、=2,所以 A(0,0,0),C(V 3,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),F(0,1,1),4 F=(0,1,1),C F=(-V 3,0,1).设平面F A C 的法向量为m=(x,y,z),m AF=y+z=0,.m CF=-y/3x+z=0,取 x=6,得 m=(6,-3,3).易知平面A C D 的一个法向量为n=(0,0,1),设二面角F _A C _D 为。,由图知二面角F-A C-D 为锐二面角,所以二面角F-A C-D 的余弦值为手.选择，Z A B C=J取 B C 的中点E,连接A E.因为P A L 平面A B C D,A E u 平面A B C D,A D

28、 u 平面 A B C D,所以 P A _L A E,P A A D,因为底面A B C D 是菱形，Z A B C=p所以A A B C 是正三角形.因为E 是 B C 的中点，所以 B C _L A E,所以A E,A D,A P 两两相互垂直，以A为原点,A E,A D,A P 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系.以下同选择.C 级应用创新练17.(2 02 1 江西上饶模拟)如图所示,正方形A A D D 与矩形A B C D 所在平面互相垂直,A B=2 A D=2,点E为A B 的中点.求证:B。平面A D E;设在线段A B 上存在点M,使二面角D.-M

29、C-D 的大小为三,求此时A M6的长及点E到平面D,M C 的距离.(1)证明：连接A D i 交A,D 于点0,连接0E,因为四边形A A D D 为正方形,所以。是A D i 的中点，因为点E为A B 的中点,所以E 0为4 4 8 口的中位线,所以 E O B D i.又因为B D Q 平面A.D E,O E u 平面A D E,所以B D 平面A D E.(2)解：因为平面A A D D _L 平 面 A B C D,平 面 A A D D A 平 面 A B C D=A D,D D A D,D D u 平 面 A A D D,所 以 D J)_L 平 面 A B C D,以点D为原

30、点，D A,D C,D D 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系，则 D (0,0,0),C (0,2,0),A i (1,0,1),D (0,0,1),B (1,2,0),E (1,1,0),设 M(l,y。,0)(0Wy W2),-所以MC=(-1,2-y0,0),D1C=(0,2,-1),设平面D i M C 的法向量为m=(x,y,z),则%.MC=0,%DC=0,加r%+y(2 yo)=o,(2y-z=0,取 y=l,则 n i=(2-y0,1,2).而平面M C D 的一个法向量为n2=(0,0,1).要使二面角D-M C-D 的大小为2O贝Ij c

31、o s -=|c o s|二 n1 1n二6%n21_ 2_V 3J (2-y0)2+l2+22 2解得 y 0=2 噂(0Wy W2),故 A M=2-y,此时 r h=(苧,1,2),D；E=(1,1,-1).故点E至！J 平面D.M C 的距离为dJ L以 阜竽I nt|3418.(2 02 1 辽宁沈阳模拟)如图，已知直三棱柱A B C 一 ABG中,AALAB=A C=1,A B A C,M,N,Q 分别是C G,B C,A C 的中点，点P 在直线AB上运动,且 A1P=X A1B1(X e 0,1).证明：无论入取何值，总有A M J L 平面P N Q;(2)是否存在点P,使得

32、平面P M N 与平面A B C 的夹角为6 0?若存在，试确定点P 的位置,若不存在,请说明理由.(1)证明：如图，以A为坐标原点,A B,A C,A A,所在的直线分别为x 轴、y轴、z 轴建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0),A i(0,0,l),B.(l,0,1),M(0,1,3,N(1,0),Q(0,1,0),-,由/入(1,0,0)=(入，0,0),可得 P(入，0,1),所以臼V=0-入,去-1),PQ=(-X,1 -1).又 京=(0,1,3,T 1 1 1 1所以4M-PN=0+g=0,AM PQ=0+；=0,T T 所以4M_LPN,AM LPQ,即 A M PN,A

33、M PQ,又 PN A PQ=P,PN u 平面 PN Q,PQ u 平面 PN Q,所以A M _L平面PN Q,所以无论入取何值，总有A M,平面PN Q.解:存在点P 使得平面PM N 与平面A B C的夹角为60 .设 n=(x,y,z)是平面PM N 的法向量，/21-2J132=oN M=opN-X+-A)1-2rlw即oC+1-2z-1y.1-2N M-nnT2X1-2得1+222-2AZ=-X,3取 x=3,所以n=(3,1+2 X ,2-2 X )是平面PM N 的一个法向量.取平面ABC的一个法向量为m=(0,0,1).假设存在符合条件的点P,贝(J|cos|?入.二、19+(1+22/+(2-2 入/化简得4 入 2-14入+1=0,解得人=2羿或人上用(舍去).4 4综上,存在点P,且当人广学时，满足平面PMN与平面ABC的夹角为60.