2023届高考数学一轮保基卷：正弦定理（含答案）.pdf

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1、2023届高考数学一轮保基卷：正弦定理一、选择题（共19小题）1.在 ABC中，一定成立的等式是()A.asinA=bsinB B.acosA=bcosB2.48C的内角A,B,C 的对边分别为a,b,()A.瓜 B.23.已知下列条件解三角形，其中有唯一解的是(A.a=20,b=28,A=40C.b=20,c=34,B=70C.asinB=bsinA D.acosB=bcosAc.若 c=&,b=瓜,8=1 2 0,则 a 等于C.V3 D.V2)B.a=18,b=20,A=150D.b=60,c=50,A=454.如图，正方形4BCD的边长为1,延长B 4 至点E,使力 =1,连接EC,E

2、 D,则 sin 4 E D 等于（）A 3V10A.-10B考cY10DY155.在 4BC中，角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若 sin?%+si/C-sin25=gsinAsinC,则角B 为（）.T TA.-6B.-3c.-2D-46.4B C 的内角4,B,C 的对边分别为a,b,C,已知=2sinB-sin4ab sin4,则角C 等于（）A.-6B.-3c.-4D.37.在 ABC 中，AB=2,AC=3,B=60。,则 cosC等于（）A.叵3BY3cd2D.西28.在 ABC中，若 陋sin4=2,b2 a2=-a c2,则 cosB=()A.i2B.i3c.-4D

3、.i59.如图所示，设 A,B 两点在河的两岸，一测量者与A 在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C,测出力，C 的距离为5 0 m,乙4cB=45,NC4B=105后，可以计算出4,B 两点的距离为（）BA.50V2 m B.50V3 m C.2572 m D.等 m10.在 ABC 中，已知 a=4,b=|,5cos(B+C)+3=0,则角 B 的大小为()A.-B.-C.-D.6 4 3 6I L在ABC中，若s in 4 s in B,则4与B的大小关系为()A.A B B.A B D.A,8的大小关系不确定12.在ABC 中，A=60,b=l,ShABC=V 3,则sini4a-2-

4、s2ibn+B+csinC)AA.-2-闻-c型D.2V313.在 ABC中，若 等=等，则C的值为（A.30 B.45)C.60 D.9014.在 ABC中，角A,B,C的对边分别为a,则 cos/=（）A.i B.-i2 215.设等差数列 册 的前n项和为Sn（n 6 N*）,值，则下列各项中为定值的是（）A.S15 B.S16b,c.若(b+c)sin(i4+C)=(a+c)(sin4 sinC),C.E D 遗2 2当首项的 和公差d变化时，若 的+他+。1 5是定C.S17 D.S1816.一船沿北偏西45。方向航行，看见正东方向有两个灯塔4,B,4B=10海里，航行半小时后,看见

5、一灯塔在船的南偏东60。，另一灯塔在船的南偏东75。，则这艘船的速度是每小时（）A.5海里 B.5夜海里C.10海里 D.10或 海里17.在ABC中，角4 B,C的对边分别为a,b,c,B=45,C=60,c=2,则最短边的长为().A.乎 B.V6 C.1D.V318.在48C 中，内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c.asinBcosC+csinBcos/1=且a b,则=()A.B.-C.6 3 3D.-619.在4BC 中，若 a=2,b=273,A=3 0,贝U B=()A.60 B.60 或 120 C.30D.30 或 150二、填空题(共5小题)20.判断正误.正弦

6、定理对任意的三角形都成立.21.三角形 4BC 的三边 a,b,c 之间有关系 a 2b+c=0,3a+b-2c=0,则 sinA:sinB:sinC等于.22.在 ABC 中，若匕=2,B=30,C=4 5 ,则 4.=.23.在 AABC 中，4A=120,AB=5,BC=7,则雇*也=.24.在48C 中，角 4,B,C 的对边分别为 a,b,c,若(a+b)(sin4-sin8)=(a-c)sinC,b=2,则ABC的 外 接 圆 面 积 为.三、解 答 题(共6小题)25.在4BC 中，内角 4,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 sinA sinC=fs in B,b=V5c

7、.(i)求si的值;(2)求(：05卜4一弓)的值.26.如图，在四边形 4BCD 中，己知 48=3,BC=5,CD=7,Z.ABC=120,Z.ACB=Z.ACD=(1)求sina的值；(2)求4。的长度.27.在 ABC 中，内角 4,B,C 的对边分别为 a,b,c,满足 acosB+bcos4=2ccos8,b=y7.(1)求 8；(2)若a-c =2,求4 c边上的高.28.如图，在 ABC 中，/ABC=90。，AB=4,BC=3,点。在线段 AC 上，S.AD=4DC.(1)求B D的长;(2)求 s i n/BD C 的值.2 9 .在 A B C 中，内角A,B,C 的对边

8、分别为a,b,c,已知a =2 b s i m 4.(1)求角B 的大小.(2)若角B 为钝角，且 b =2 ,a =V 3 c,求 c 和 s i n 2 c 的值.3 0 .如图，已知隧道的截面是矩形加半圆，设底宽为2 x.小hH-2 x -*(1)若截面周长为定值八问2%取何值时，截面面积最大？(2)若截面面积为定值S,问 2%取何值时，截面周长最小?答案1.c【解析】由 正 弦 定 理 目=-之，得 asinB=bsin/Lsin4 sinB2.D【解析】由正弦定理得$;=当，sml200 smC所以 sinC=又因为角C 为锐角，则 C=30。，所以A=30,ABC为等腰三角形，a=

9、c=V2.3.D4.B5.A【解析】由题意得a2+c2-b2=V3ac,所以 COSBr =-a-2+-c-2-b-2=f 32ac 2所以8T T66.B7.B【解1?】即才由正弦定理，得 刍=与sinC sinB解得 sinC=gsm60 3因为48 AC,所以C 8,所以 cost=Vl sin2C=y8.C【解析】因 为*=2,sinA所以由正弦定理得 =2,故 c=2a,a因为由余弦定理得b2=a2 4-c2-2accosB,所以 b2=5a2 4a2cosF,因为 b2 a2=|ac,所以 =Q?+1 碇=4a2,所以 4a2 =5a2 4a2cos8,所以 cosB=49.A【解

10、析】乙4BC=180。-45。-105。=30。，在 ABC 中，由-=瑞:sin45 sin30得 48=100 x 曰=50V2(m).10.A 解析】由 5cos(B+C)+3=0,得 cosA=所以sinA=S 4由正弦定理，得 sinB=竺吆=差=三，a 4 2又因为b sinB,所以2Rsin4 2RsinB(R 为 ABC外接圆的半径)，即 a b,故12.A【解析】因为 A=60。，b=1,SA BC=V3,所以-bcsinA=-x 1 x c x =V3,2 2 2所以c=4.所以a2=b2+c2-2bccosA=1 +1 6-2 x 1 x 4 x 22=1 3.所以a=V

11、13.由正弦定理得,a-2b+c _ a _ 713 _ 239sin 4-2sinB+sinC sinX 叵 3213.B【解析】由 正 弦 定 理 知 等=等,U U I、I sinC cosC所以一=所以 cosC=sinC,所以 tanC=1,又因为0 VC V 180。,所以C=45。.14.B【解析】因为(b+c)sin(4+C)=(a+c)(sin4 sinC),所以(b+c)snB=(a+c)(sin4-s in f),由正弦定理可得：(b+c)b=(a+c)(a-c),整理可得：b2+c2-a2=-bcf所以由余弦定理可得：COS4=叱F=2bc 215.A【解析】因为等差数

12、列 即 的前n 项和为Sn(?iN*),当首项的 和公差d 变化时，4 +%+。15是定值，所以的+。8+。15=3a8 是定值，所以。8是定值，所以S15=(%+%5)=15a8为定值16.D【解析】如图所示，Z.COA=135,/.ACO=Z.ACB=Z.ABC=15,4。4c=30,AB所以AC=10.4 0 C 中，由 正 弦 定 理 可 得/；=与，sml35 sm30所以 OC=5V2,所以 V=10V2,2所以这艘船的速度是每小时10或 海里.17.A18.D【解析】由二-=-=2 R,可将 asinBcosC+csinBcosA=sinA sinC sinBsinCsinBco

13、sA=-sinB,2因为 sinB HO,所以 sinAcosC+sinCcosA=j=sin(A+C)=J 即 sinB=因为a b,所以B 为锐角，所以o19.B【解析】由 号=上，得.8=处 丝=2 等=asinA snB a 2 2因为b a,所以B A,所以 B=60。或 8=120.=10,化为 sinAsinBcosC+20.V21.3:5:722.V3+123 口424.-IT32 5.(1)因为 sin A sin C =?sin B,所以由正弦定理，得a c=?b,又因为b=c,所以a=2 c,所以由余弦定理可得：cosA =，片/=富=2bc 2,5c2 5因为 A G

14、(0,7 1),所以 sinA=V1 cos2y 4 =誓.(2)由(I)可得：sin 2 A =2 sin 4 cosA =2 x 等 x .=所以 cos2 A =2 cos2 A -l=2x|-1 =-I，所以cos(2A-：)=cos2 4 cos+sin 2 A sin g3/3,4 i=-X +-x-5 2 5 2_ 4-3有 10 2 6.(1)在 A B C 中，因为 4 B =3,B C =5,乙4 B C =12 0,所以 A C2=A B2+B C2-2AB-BC-cosABC=4 9,所以4 C =7.由正弦定理得”=一 合，sina sinlZO所以 sin a=.1

15、4(2)由(1)可得 cosa=U,14在4 C D 中，CD=7,AC=7,根据余弦定理得 A D2=A C2+C D2-2AC-CD-cosa=7,所以A D =V7.2 7.(1)p(2)”142 8.(1)在 A A B C 中，ABC=9 0 ,AB=4,BC=3,则 AC=V32+42=5,所以 coszC =I，由 A 0 =4 D C,则 A D =4,DC=1,在 BCD 中，B D2=B C2+C D2-2BC-C D coszC =9 +l-2x3xl x|=y,所以B D =等.(2)由 sin NC =3,8。=苧，BC=3,在 B C D中，BDsin z.CBCs

16、in，8 D C 4710-Q即 T-=-sinzB D C5解得sin/B D C =甯.2 9.(1)由 题 设 及 正 弦 定 理 就=焉得 sin/4 =2 sin B sin 4.因为在 4BC中，sinA+0,所以 2 sin B =1.所以 sin B =因为 8 (0,-rr),所以或B =?.o o(2)由题设及(1),得8=1.6在 A 4 B C 中，因为，a=Wc,b=2y7,B=,6则由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得 2 8 =(V3 c)2+c2-2 7 5 c2 .cos 手所以 7 c2 =2 8,所以c=2.在 A B C中，由正弦定理，得sin

17、 C =匕 产=二b 2V7 14因为 A B C中B为钝角，所以C为锐角，所以 cosC =71-sin 2 c-Jl(兴)=所以 sin 2 C =2 sin C cosC =2 x x =.14 14 143 0.(1)设隧道截面矩形部分的高为九，则由半圆周长为11%,求得九=生 尹.于是隧道截面面积:S(x)=TIX2 4-2xh 4-Zx 2x2 nx2=收一(2 +g)x2.由2%+irx V /及 0,得定义域为(。，上)由S，(x)=1 (4 +冗)刈 令S(x)=0得 =&W(0,).函数S(x)在(0,)单调递增，在(士，W)单调递减故当底宽时，截面面积最大.4+1T(2)设矩形的高为儿因为|iix2+2xh=S,C一Airy 2 c所以八=r 于是隧道截面的周长2x 2x 4Z(x)=n x +2%+2由h 0,x 0,得 S 即 0 c x Sx H .x所以定义域为0,r(x)=+2-,令 n=o,解得所以函数小）在0,单调递减，在不符合题意，舍去）.单调递增，故当底宽2 x =时，截面周长最小.