2023届高考湖北省高三年级9月起点考试数学试卷（附答案）.pdf

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1、湖北省2023届高三(9月)起点考试数 学 试 卷本试卷共4 页,22题，全卷满分150分。考试用时120分钟。祝 考 试 顺 利 注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答:每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。一、选择题:本题共8 小题,每小题5 分，共 4 0 分。在每小题给出

2、的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合 A=(-oo,1 U 2,+oo)=|xla-1 x a+1)，若.4U 8=R,则实数 a 的取值范围为A.(1,2)C.(1,2 D.l,2 2.已知i 为虚数单位，复数z=泮，则 Id I =A.3 B.4 C.5 D.253.已知a,是三个不同的平面,小户是两条不同的直线，下列命题为真命题的是A.若血a,小0,则B.若血外几 a,则 m/nC.若 m.La,几 _ 窃,贝m 几 D.若 a.l _y,贝 lj废 .84.已知 a w(0,2sin2a=cos2a+1,则 sina=A.y B.g C.亨 D.竽5.已知数列1 a/是

3、公差不为零的等差数列，|b j 为等比数列，且 0 =b=l,a2=b2,a4=8,设 c.=a”+61,则数列|c j 的前10项和为A.1078 B.1068 C.566 D.556数 学 试 卷 第 1 页(共4 页)6.我国古代名著 张丘建算经 中记载:今有方锥下广二丈，高三丈,欲斩末为方亭，令上方六尺，问亭方几何？大致意思:有一个正四棱锥下底边长为二本，高三方,现从上面截去一段，使之成为正四棱台状方亭，且正四棱台的上底边长为六则该正四棱台的体积是(注：1 丈=1 0 尺)A.1 9 4 6 立方尺 B.3 8 9 2 立方尺 C.7 7 8 4 立方尺 D.1 1 6 7 6 立方尺

4、7 .已知a,b,c e (0,1),e 是自然对数的底数，若 面=4 4,加3 =3 e ,2 c =e 0 l n 2,则有A.a b c B.6 a c C.b c a D.c a 2)=0.2,则 P(O X 1)=0.3G.已知 0 P(M)1,0 尸(。)6 0)的左、右焦点分别为用黑，长轴长为4,点尸(衣,1)在椭圆C 夕 卜，点。在椭圆C 上，则A.椭圆C 的离心率的取值范围是(。身B.当椭圆C 的离心率为与时，I。玛 I的取值范围是 2-A,2+A C.存在点。使 得 耐 病=0D.忌T+薪 的 最 小 值 为 1数 学 试 卷 第 2页(共4页)1 2.函数/(x)及其导函

5、数/(x)的定义域均为R,且/(x)是奇函数，设 g(x)=/(x),g)=/(彳-4)+攵,则以下结论正确的有A.函数g(x-2)的图象关于直线*=-2 对称B.若 g(x)的导函数为g ()，定义域为R,则 g (0)=0C.A(x)的图象关于点(4,4)中心对称D.设数列 I a/为等差数列，若%+a2+a“=4 4,则/“%)+h(a2)+/i(a)=4 4三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共 2 0 分。1 3 .在A 4 B C 中 刀 是 边 上 的 点，口 前=2 反，设 石=不 同+,无，则工-y=.1 4 .已知(2%+y)”展开式中各项系数和为2 4 3,则展开式中的

6、第3项为.1 5 .已知圆C：(工-3+(y-4)2 =4,过点P(3,3)作不过圆心的直线交圆C 于4,8两点，则 A 4 B C 面 积 的 取 值 范 围 是.1 6 .在三棱锥 P-A B C 中,P4 _ L底面 4 B C,P4 =4,AB=AC=BC=2 a,M AC 的中点，球 0为三棱锥P-A B M的外接球,0 是球0上任一点，若三棱锥D-P A C体积的最大值是4有，则球。的体积为.四、解答题:本题共6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7.(1 0 分)已知数列数前 n 项和为S“，且 4 =1,4=-2 51 1T s.5 云2).(1)

7、求；2n(2)设 6“=手，求 数 列 也 的前n 项 和 7；.1 8 .（1 2 分）如图.S 是圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心,其轴截面是正三角形，点T 是 S O上一点，7。=，57=1,点 4,8 是底面圆。上不同的两点，。是S A 的中点，宜线B C与圆锥底面所成角0满足t a n。=孚(D 求证：8。，64;(2)求二面角A-B T-C的正弦值.B数 学 试 卷 第 3页(共4 页)1 9.(1 2 分)在 A 4 8 c 中，内角4,B,C 满足2 疝1 2 4+8 贷5=2$指 2 c.(1)求证：t a nC =3 t a nA；I 9 3(2)求;T +-最小值.l a

8、nA l a nn l a nC2 0.(1 2 分)设某种植物幼苗从观察之日起，第“天的高度为y(c m),测得的一些数据如下表所示:第 天1491 62 53 649高度y(c m)04791 11 21 3(1)根据以上数据判断y =/+a与 y =d 而+C 哪一个更适宜作为y 关于x 的经验回归方程(给出判断即可，不需说明理由)？(2)根据(1)的判断，建立y关于工的经验回归方程，估计第1 0 0 天幼苗的高度(估计的高度精确到小数点后第二位);(3)在作电的这组数据的散点图中二甲同学随机选取其中的4 个点，记这4 个点中幼苗的高度大于亍的点的个数为X,其中彳为表格中所给的幼苗高度的

9、平均数，试求随机变量 X的分布列和数学期望.附:对于一组数据(町小)，(叼，先)，(”，筛)，其经验回归直线方程=瓦+金的斜2(%-X)(%7)-nxy率的最小二乘估计为6=Z-=42(%.-%)2 S a;；-nx2i=1i=l2 1.(1 2 分)已知双曲线C与双曲线旨-/=1 有相同的渐近线,且过点4(2 ,-1).(1)求双曲线C的标准方程；(2)已知C(2,0),E/是 双 曲 线 C上不同于。的两点，且 炭 笳=0,C _ L E/于 G,证明:存在定点，使 I cm为定值.2 2.(1 2 分)已知函数&)=心-臂(G K O),e=2.7 1 8 2 8 是自然对数的底数.(1

10、)当A =1 时，设f(x)的最小值为m,求证:m(j ；(2)求证:当 人 工 时，/(%)().e数 学 试 卷 第 4 页(共4 页)2023届高三(9月)起点考试数学参考答案一、选择题:题号12345678答案DCCBABAD8.【解析】计第一步取出两个白球为事件A,则 P (A)P(X=01 A)=1,P (X=l 1 A)=P (X=2|A)=0计第一步取出两球为一黑一白为事件B,则 P(B)q,P(X=0|B)=1,P(X=1|B)=|,P(X=2|B)=0计第一步取出两个黑球为事件C,则 P(C)W，P(X=0|C)W，P(X=1|C)=|,P(X=2|C)W6 6 3 6故由

11、全概率公式，P(X=0)=P(A)P (X=0|A)+P(B)P (X=0 I B)+P (C)P (X=01 C)WX 1X具|,6 3 2 6 6 36同理 P(X=1)岑，P(X=2)q.,.E(X)43 o 3 o L另解：在第一步完成之后，X 服从超几何分布,故E(X)=P(A)-2 X,+P .2 X；+P(C A 2 X 笠二、选择题：题号9101112答案BCACDBCDBCD1 2.【解析】由导数的几何意义及/(X)的对称性，/(x)在x 和-X处的切线也关于原点对称，其斜率总相等，故 g(x)=g(-x),g(x)是偶函数，8。-2)对称轴为=2,A错；由g(x)的对称性，

12、g(x)在x 和-X处的切线关于纵轴对称，其斜率互为相反数，故g (-x)=_g (x),g (x)为奇函数，又定义域为&,g (0)=0,B 对;/(x)=/(x-4)+(x-4)+4,由/(x)为奇函数知(x)=/(x)+x 为奇函数，图像关于(0,0)对称，/?(x)可以看作由“(X)按向量(4,4)平移而得，故 C对；由C选项知，当王+工2=8时，h(xi)+h(x2)-8 ,由等差数列性质q+即=8,:()+/?(厮)=8,以此类推倒序相加，D正确。三、填空题：1 3.-i 1 4.8 0久 3 y2 1 5.(0,7 3 1 6.8 疝 r1 6.【解析】：正/8 C 中，M 为/

13、C的中点，则8MJ./C,而尸4_L 平面Z 8 C,8Mu平面A BC,即 而尸/n/C=Z,P/,Z C u 平面 R4 C,则.平面P AC,尸例u平面R4 C,有尸又尸/因此，R t Z P 8 历与Rt尸/8的斜边P 5 中 点 至!|点 A,B,M,P的距离相等，即三棱锥外接球球心为尸B中点，从而，点 O是 三 棱 锥 外 接 球 球 心，设球。的半径为R,有 十=4+。2,/的 外 接 圆 圆 心 为 的 中 点，设为F,连接。尸，则。尸_ 1 _ 平面尸/尸，如图，则有即O到平面P Z C 的 距 离 为 且 q,因此。到平面刃C距离22的最大值为色/+/,=-x4x2 a=4

14、a,即有2 x4a4 2 3=4百,解得/=2,斤=4+。2=6,R=娓,所以球。的体积为g 乃炉=8面开.故答案为：8瓜兀四、解答题：17.解：(l)v an=-2Sn_xSni Sn-Sn_t=-2Sn_xSn1 1 Sn-1-Sn=2 SnSn-l A T-7-=2n-l数列=为等差数列,且(=5 +2(n-l)=1 4-2 n-2 =2 n-l3 分又 丁 n=1 时，a1=S=2 x 1 1=1 Sn=2n-l(nG N*)L n=1-2、o-.n 2(2n-l)(2n-3)一5 分=2n -1 bn=(2-1)2SnT=lx 2,+3 x 224-(2n-3)2-1+(2-1)22

15、7；=1X22+3X23+-(2-3)2 +(2 -l)2n+1两式相减得-7；=2+23+24+-+2n+l-(2 n-l)2n+,2 123(1-2-)1-2-(2n-l)2n+1=2 8 +2 2_(2 l)2 i =6 (2 3)2+1;.7；=(2 3 2”“+6.10 分18.J?：(1)由题意，SO=3,OA=OB =6 ,取。/的中点 0,连接 CO,60。1 1 3则 C 0 S O,且 C D =SO=x 3 =,2 2 2.5。人平面/。8,：.8 _ 1平 面/。8,N C 8。即为直线5C与平面Z 0 3所成角.s i n 6 =-从而B C =&，由勾股定理得3 0

16、 =巫B C 4 23 is在 A5。中，OB?+0D2 =3+=B D?,所以.3 分4 4S。_L 平面/。8 ,S。，。6 ,O B 1 O AO B L S O0 0 6，平面5。力,所以6 分（2）以。为原点，08,O4,0S分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系得 方=（一百,0,1）,AB则 6伊,0,0),7(0,0,1)(V3,-V3,0),TC设平面ZB T、C B T的法向量分别为*=8,必,z J,7 =（,尢，）。令X =1得加=(1,1,石),J)屈=0 卜 岳2+Z 2=。伉=氐2 ,，-/C由 =1 制 1-，令=1 得 百八.T C=0 3%+2=0 匕=一 百

17、%、乙 乙/一 一 m 3 八 八所以c o s（加=尸 口二一，.10分r lr l 54则二面角3 8 T C的正弦值为一.12分519.解：（1）由正弦定理有2a 2+/=2。2,从而?=/+_!_/,2则 c o s C =2 ahb s i n B4a 4 s i n J所以 4 s i n 4 c o s c =s i n 5 =s i n(l+C)=s i n A c o s C+c o s A s i n C ,即有 3 s i n 4 c o s C =c o s 4 s i n C ,t a n C=3 t a n A.g 分/、-,q 八 /,t a n 4 +t a n

18、 C(2)由(1)t a n C=3 t a n A，有 t a n B=-t a n(4 +C)=-t a n A t a n C -14 tan A3 t a n2 A-n I1 2 3 1 3 t a n2 J-l 1 3(t a n2/I +l)则-+-+-=-+-+-=-t a n A t a n 5 t a n C tan A 2t a n A t a n A 2t a n A10分故附 -1 -b-2-F-3 -=3(t a n A,+-1-k 3 2n,1At a n A-t a n A t a n 5 t a n C 2(tan A)2 v tan A=3，|I T当且仅当t

19、 a n 4 =-，即t a n 4=1,4=一时取等。tan A 41 2 3所以一 +一 的最小值为3.12分t a n 4 t a n 5 t a n C20.解：(1)y=dy/x+c2分(2)令=，则 丫 =为+m与双曲线彳y2=1化简得(4/-1)%2+8kmx+4(m2+1)=0.5 分(,8km%1+%2=_ A,2_I=(8 km)2 一 4(4 m2+4)(4 k2-l)0,即 4 炉一病 一 1 。，则有1 4 露打 工 2=工又 yi Y 2=(kxi+m)(/c x2+瓶)=k2x1x2+km(x1+%2)+m2因 为 既 D F =(%1 -2)(X2-2)+y0

20、2 =0.6 分所以(忆2+1)-xrx2+(km 2)(/+x2)+m2 4-4=0,所以(好+1)%:4-(km-2)嚏,;+m2+4=0,化简，得 3m2+16km+20k2=0,即(3m 4-10fc)(m+2k)=0 所以m =2k,m?=y fc,且均满足4fc2-m2-l 0).1 分x由于/，(！)=八_ 2 0,/(l)=e _ l0,故存在使得/(Xo)=，_4=O2 2 x0由基本初等函数性质知，/(X)在(0,+8)递增，所以当0/时，/(x)0,/(x)递增，所以加=/(x)min=f (x0)=ex0 -In x0=+x0.3 分1 1 X2-1设函数 g(x)=+

21、X,X G(,1),g x)=0 x 2 x故g(x)在(g j)递减，g(x)g(g)=I，所以加 g.6分(2)方法一：/口)=左*-!-=左(*-L).7 分kx k x当 左 时，由基本初等函数性质知，/(X)在(0,+8)递增，e1 1 -5-1/(；)=h 一 1 2 0,=k e -(k +l)k-一(左 +1)=0k k+k 11+1所以存在 x,e(0,+8)使得/(再)=k(ekx-1)=0,即：e的 =一k x k xxfoq+21n +In、=0,-knxx=kx+2左In左.9 分当 0 xX时，fx)子 时,/z(x)0,/(x)递增.10 分/(x)min =/(

22、而)=-=77-=:(-%lnX)=5(工+左2玉 +2%Ink)K K X K K X K 入 1 2之二(2 左+2 左 In 左)=(l+lnk)H k因为左之工，故kl左之一1 ,.(x)min NO，/(X)NO.12分e(n r i i lx方法二：e*-0 o feto-ln x 0,由于左N七,所以依 一InxN上e。一Inx,k e e1 lx lx L 1 lx e故只需证一e，-In x 0,即 e。-elnx 0,设 g(x)=e，-enx,gx)=ee ,e e xg(x)在(0,+oo)增，且g(e)=0,故xe(0,e)时g(x)-x lnx（如图）.e e方法四：efa-0 ef a,注意到y=eA与k kIn xy=上上互为反函数，其图像关于y=x对称，故只需证k当上2 1时，%.e k