2023届北京市朝阳区北京某中学高考冲刺模拟数学试题含解析.pdf

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1、2023年高考数学模拟试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角 条形码粘贴处o2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题

2、卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合4=-2,-1,0,1,2,B=x|x2-4 x-5 0 ,则（）A.-2,-1,0 B.-1,0,1,2 C.-1,0,1 D.0,1,2)2.若直线2x+y+m=0与圆f+2 x+y 2 2y 3=0相交所得弦长为2逐，则?=（）A.1 B.2 C.753.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）D.3坐肉 与C.吟 幽D.1 6 6 +呼4.已知点6是抛物线C：f=2 p）,的焦点，点工为抛物线C的对称轴与其准线的交点，过F?作抛物线。的切线,切点为A,若

3、点A恰好在以耳，月为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A.正立 B.V 2-1 C.逅Ml D.V2+12 25.x v l是 bc B.a c b C.b a c D.cb a7.等比数列 q 的前项和为S“，若。“0,q,。3 +%=20,a2d6=6 4,贝（J S5=（）A.48 B.36 C.42 D.318.高三珠海一模中，经抽样分析，全市理科数学成绩X近似服从正态分布N（85,。2）,且尸（60 0）的焦点为居抛物线C与圆c ：f +（y _ 6）2=3交于M,N两点，若 MN=6，则 M N F的面积为（）3&8口 乎11.已知三棱锥A-B C D的所有顶点都在球。的球面上

4、，AO_L平面A6C,N84C=120,AD =2,若球。的表面积为20万，则三棱锥A-3 8 的体积的最大值为（）A.B.冥I C.6 D,2 G3 312.已知各项都为正的等差数列 q 中，生+/+4=1 5,若q+2,4+4,&+16成等比数列，贝！|%=（）A.19 B.20 C.21 D.22二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。冗13.已知 AABC内角 A，B,C的 对 边 分 别 为b,c.。=4,b=底,A=则c os 2B=.14.若x,y满足|工区1-y,且代-1,则3x+y的最大值_ _ _15.已知集合人=加+1,（加一1）2,加J 3 m+3,若 IGA,

5、则机?。2。=.2 216.如图，已知圆内接四边形A8C。，其中AB=6,BC=3,CD =4,AD=5,则-+-=,sin A sin B三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已 知a 0,b 0,函数/(x)=|x+4+|2x q的最小值为1.(1)证明：2a+b=2.（2）若 2柩）恒成立，求实数，的最大值.,“、,八.,asin A-csin C18.（12分）已知在 ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且b=-sin sin C（1）求角A的值;（2）若”=G，设角8=6,ABC周长为y,求y=/（。）的最大值.19.（12分）已知数

6、列 4 中，（实数。为常数），%=2,S.是其前项和，且数列 5 是等比数列，1=2,4恰为S4与2-1的等比中项.（1）证明：数列 4 是等差数列；（2）求 数 列 也 的通项公式；3 1 1 1 ,（3）若。=一，当 2 2时2=-+-+-+,%的前项和为7；,求证：对任意 2 2,都有2%+1%+2 bn127；,6+13.20.（12分）已 知 直 线 小y=x+8与抛物线C：y2=2px（p 0）切于点，直线4：2x-2冲一 1 =0过定点Q,且抛物线C上的点到点。的距离与其到准线距离之和的最小值为 叵.2（1）求抛物线。的方程及点P的坐标；（2）设直线6与抛物线C交于（异于点尸）两

7、个不同的点A、B,直线Ri,PB的斜率分别为人、氏2,那么是否存在实数2,使得仁+&=义？若存在，求出X的值；若不存在，请说明理由.21.(12分)椭 圆C:x2 y2 1/8 0)的 右 焦 点/(庭,0卜过 点F且 与X轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为3VL(1)求 椭 圆C的方程；(2)过 点(2,0)且 斜 率 不 为0的 直线与椭圆。交 于 ，N两点.。为坐标原点，A为 椭 圆。的右顶点，求四边形OMAN面积的最大值.22.(10 分)已知 函 数 x)=,g(x)=2(x Inx)X(I)当x()时，证 明 x)g(x)；(I I)已知点尸(x H(x),点Q(-s加,co sx),

8、设 函 数/z(x)=/诙，当x e 时，试 判 断/z(x)的零点个数.参考答案一、选择题：本 题 共12小 题，每 小 题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.D【解 析】解一元二次不等式化简集合8,再由集合的交集运算可得选项.【详 解】因 为 集 合4=-2,-1,0,1,2,8=刈(一5)。+1)0=|一1%5r.A c 8 =2,1,0,1,2 c x|-1 x 5=0,1,2,故选：D.【点 睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.2.A【解 析】将圆的方程化简成标准方程，再根据垂径定理求解即可.【详解】圆V+2 x+/2 y 3 =0的标准方程(

9、x+1)2+(y-l)2=5，圆心坐标为(-1,1)，半径为非，因为直线2 x+y +m=0与圆/+2+；/-2丫-3 =0相交所得弦长为2君,所以直线2 x+y +m =0过圆心，得2 x(-1)+1 +加=0,即 加=1.故选：A【点睛】本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法，属于基础题.3.D【解析】结合三视图可知，该几何体的上半部分是半个圆锥，下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,分别求出体积即可.【详解】由三视图可知该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,则上半部分的半个圆锥的体积匕=；x g x 4兀x =上，下半部分的正三棱柱的体积

10、匕=g x4x2Gx4=166，故该几何体的体积丫 =乂+匕=#-6万故选:D.【点睛】本题考查三视图，考查空间几何体的体积，考查空间想象能力与运算求解能力,属于中档题.4.D【解析】根据抛物线的性质，设出直线方程，代入抛物线方程，求得R的值，设出双曲线方程，求得2 a=|AF2|-|A M=(V 2-D P，利用双曲线的离心率公式求得e.【详解】直线尸1 4的直线方程为：y=kx ,Fi(0,),Fi(0,),2 2 2代入抛物线C：好=2川方程，整理得：x2-2pkx+p2=0,.=4 A2 P 2 -4 2=O,解得：k=l,2 2.A(p,4),设双曲线方程为：4-5=1,2a2 b2

11、I AFt|=p,|AF2 I=J?+”2 =0p,2a=|A尸2 I-I A尸i I=(V 2-1)P，2c=p,，离心率e a1V 2-1V 2 +1,故选：D.【点睛】本题考查抛物线及双曲线的方程及简单性质，考查转化思想，考查计算能力，属于中档题.5.B【解析】利用充分条件、必要条件与集合包含关系之间的等价关系，即可得出。【详解】设 P：x l 对应的集合是A=(F,1),由x+一 2 解得x ()且 xw lXq:x +-_ 2 对应的集合是 B =(F,T)U(1,0)，所以 3 .A,故 X 1 是.r +,5 =1,1 /?=lo g4 V 5 lo g4 2=-9c=lo gs

12、 2 /?c.2故选:A.【点睛】本题考查利用函数性质比较大小，注意与特殊数的对比，属于基础题.7.D【解析】试题分析：由于在等比数列 4中，由4 a 6 =6 4可得：。2 a 6 =6 4,又 因 为%+%=2 0,所以有：%，为是 方 程/一2 0%+6 4 =0的二实根，又4 0,q l,所以 华，故解得：%=4,%=1 6,从而公比 1 1 0)=P(X xy,xy 4.则三棱锥4 8 8 的体积的最大值为Lk4xsinl2()O x2=R L3 2 3故选：B.【点睛】本题考查三棱锥的外接球、三棱锥的侧面积、体积，基本不等式等基础知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力，

13、考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题.12.A【解析】试题分析：设 公 差 为+%+%=3a3 =15=%=4+2d=5=q=5-2。=(4+2)(q+5。+16)=(7 24)(34+21)=81=2屋+7d 22=0=d=2 或d=-(舍)=/=l=o1a=1+9 x 2 =1 9,故选 A.考点：等差数列及其性质.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。713.16【解析】利用正弦定理求得角3,再利用二倍角的余弦公式，即可求解.【详解】4 _ V6由正弦定理 得 正 一 sin 3,T.n 372 m o 18 _ 7.sin B =-9 cos 2 B 1 2

14、 x .8 64 167故答案为：16【点睛】本题考查了正弦定理求角，三角恒等变换，属于基础题.14.5.【解析】由约束条件作出可行域，令 z=3x+y,化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.【详解】1 K y由题意*,，作出可行域如图阴影部分所示.y-l x 由集合的互异性，解得加=1,贝！)m2。2。=1.故答案为：1【点睛】本题考查集合元素的特性：确定性、互异性、无序性.确定集合中元素，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.4加0.-3【解 析】由题意可知A+C=万，B+D=兀,在和ABCO中，利用余弦定理建立方 程 求cos A,同理求cos 8,

15、求sin A,sin 8,代入求值.【详 解】由圆内接四边形的性质可得NC=180-NA,NO=180-Z B.连接在AABD中,有 3。2=4序+也2 _ 2A B.AOcosA.在 AfiGD 中，BD2=BC2+CD2-2BC-CD cos C.所以 AB?+A2-2AB ADcosA BC2+CD2+2BC-CD cos A,则 cos A 二AB?+A 2 一 BC?-0)22(AB-AD+BC C。)6 2+5 2 3 2 422(6x5+3x4)37连 接A C,同理可得cos 8=AB+BC2-AD1-CD-2(AB BC+AD-CD)62+32-52-422(6x3+5x4)

16、119所以 sin B=V1-cos2 B=.所以2 2 14 2x19 4710sin A sin B 2 JT5 6 J16 3故答案为：平【点 睛】本题考查余弦定理解三角形，同角三角函数基本关系，意在考查方程思想，计算能力，属于中档题型，本题的关键是熟悉圆内接四边形的性质，对角互补.三、解答 题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。917.(1)2；(2)-2【解 析】分析：将 x)=|x+a|+|2x-4转化为分段函数，求函数的最小值(2)分离参数，利用基本不等式证明即可.详解：(I)证 明：.一 2-3x-a+b,x-a,b x+。+久一ci 尢 2,显然/(X)在 卜

17、 8,一 g)上单调递减，在 仁,+8)上单调递增,所以/(x)的最小值为，g)=a+g=l,即2a+力=2.(I I)因为。+力2柩匕恒成立，所 以 竺 笠2,恒成立,aha+2h 1-+ab b4a 2b2 _J_112、1(2a 2b当且仅当。=8=2时，”出 取得最小值2,3 ab 29 9所以，即实数/的最大值为7.2 2点睛：本题主要考查含两个绝对值的函数的最值和不等式的应用，第二问恒成立问题分离参数，利用基本不等式求解很关键,属于中档题.18.(1)&)%ax=36【解 析】7T(D利用正弦定理，结合题中条件，可以得到从+c2=q2+bc,之后应用余弦定理即可求得A=H(2)利用

18、正弦定理求得/7=2sin6,求出三角形的周长，利用三角函数的最值求解即可.【详 解】(1)由已知年=si”一可得戾inB-Ainc=asinA-csinC,sinB-sinC2.2 _ 2 1结合正弦定理可得b2+c2=2+be,/.cosA=匕 二 =-2bc 2又 Ae(O,乃)，：.A=.(2)由a=J L A 及正弦定理得A b=2sinB=2sin6*c=2sinC=2sin 3-5 J|=2sinT-4 y =a+b+c=V3+2sin 0+2sin j,即 y=26sine+?J +G,由0 6 年,得 看 。+?+.+,=2 一(2一-1)+1=建 求得(，再代入证明。2 2

19、 2【详解】nci(1)解：令=1可得q=R=0,即a =0.所以=宅.”上 2 时 =S“一 S,T=等止料，可得(一 2)=(一 1)。,“，当2 3时a一n=-n-所 以4 =a-n 2-ax.3 xxa.2 x4 =2(-1、).an-2 4 T an-2 4显然当=1,2时，满足上式.所以4=2(l),e N*.an+l-an=2,所以数列%是等差数列，(2)由 知q=2(-1),GN*.设等比数列出 的公比为4,所以2=叱=2 q i*%6,S-1-卜 +T 2 22-（2-1）+1 2-12 一 下 一 耳，所以当=2时,25126x2+1312=1 4 4 42 3 4当 2

20、3时,小 ,11111 1T=C,+C,H-1-C,1H-1-1-H-1-d-1 =2 3 4 2 2 26 +1312二 对 任 意 都 有127；/6 +13,【点睛】本题主要考查数列的通项公式和前”项和的关系，等差数列，等比数列的定义和性质以及数列放缩的方法，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题，820.(1)y2=4x,(1,2)；(2)存在，一3【解析】(1)由直线4恒过点点及抛物线c上的点到点。的距离与到准线的距离之和的最小值为叵，求出抛物线的方程,2再由直线4与抛物线相切，即可求得切点的坐标;(2)直线与抛物线方程联立，利用根与系数的关系，求得直线P4,P8的斜率，求

21、出斜率之和为定值，即存在实数2使得斜率之和为定值.【详解】(1)由题意，直线4变为2x+L，(2y+l)=0,所以定点0的坐标为(一；,一 g)抛物线C:y2=2px(p0)的焦点坐标U o),由抛物线C 上的点到点。的距离与到其焦点F的距离之和的最小值为半，可得|0 目=/+|-+(0+)2=萼，解得=2或p=-4(舍去),故抛物线C 的方程为2=4xy=x+b.,又由2,消去y得一+2(。-2+/=0,因为直线4与抛物线C相切，所以A=2伍 2)了一4=0,解得。=1,此时x=l,所以点尸坐标为(1,2)(2)设存在满足条件的实数2,点 4 芭,必),8(,必)，2x 2my-m+l=0、

22、联立 2 A，消去“得y-4加丁一2机+2=0,贝U X+%=4%=2-2m,依题意，可得A=(4加-4(2-2加)0,解得机!，2由(1)知 尸(1,2),k=-2=_ X _ 2_ 2(?j-2)可 得 一芭 T 一 ；(2,孙 +*1)_ 1 -2知 +m-3，同理可得左2二不2也-2)2722y 2 +机 一 3所以a=2(y-2)+2(%-2)=24阳%3(m+l)(y+必)4 0 3)2m)+m 3 2my2+m-3 4-m2yiy2+2m(m 3)(y+y2)+(m 3)2_ 2 4m(2-2m)-3m+1)4，”-4(m-3)_ 8(-5/?i2-2/?+3)_ 84m2(2-

23、2m)+2m(m-3)4”?+(m-3)2 3(-5/-2m+3)3 Q故存在实数;I=满足条件.【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21.(1)-1-1 (2)最 大 值.8 6【解析】Q 1 2(1)根 据 通 径 丝 =3亚 和。=也 即 可 求a(2)设直线M N方程为x =m y+2,联立椭圆，利用S四边形。姓 可=&OAM+O AN，用 含

24、 的 式子表示出S四边形（W A N =OAM+SQN，用r =J3m2+2换元，8 8G可得S四边形OMAN=a r下，最后用均值不等式求解.【详解】解：(1)依题意有c =0，a=2也,b=R ,所以椭圆的方程为+耳8 6(2)设直线MN的方程为x =U +2,联立_,yL=8 6 一，得（3 +4）/+1 2冲-1 2=0.x =/篦y+2所以X +%-1 2m-1 2-3m27+4，-y1 y2-i -3-/n2；+4所以S四边形0例AN=S O A M +S“OAN=g x 2 0 M+g x 2 后|%|=3|凹_%|=3/（凹+%）2-你%=-1 2m3 m2+42I-4T 23

25、m2+48 百 J 3/+23根2+4令r =j 3 +2，贝h z及，()；则 叫x)=G_ 勾.易 得e*-2x 0,X X即m-0(x)2=e-2 0.即可证明 x)g(x)；,.JI(I I)/?(x)=OP-O Q=-x s i n x+ex c o s x,分 ,0点个数即可.【详解】解：(I )令(力=/(x)-g(x)=J-2(x-l n x),x Q ix则中，=(x-l),-2x).令 G(x)=ex-2x(x 0),Gz(x)=er-2(x 0),易得G(x)在(0,?2)递减，在(历2,+8)递增，:.G(x)*G(l n 2)=2-21 n 20,2 x 0在(0，+

26、8)恒成立.；(X)在(0,1)递减，在(1,+8)递增.:.c D(x)a(l)=e-2 0 .,(x)g(x)；(n )V 点尸(X，#(x),点Q(-s i n r,c o s x),:.=OP O Q=-x s i n x+/c o s x,/zr(x)=-sinx-xcosx+excosx-exsinx-ex-xcosx-ex 4-l js i n x .冗c 当x e -y,0 时，可知/2 x x,；e*-九 0:.(e*-x)c a s x N 0,+l)s i n x 40,:.(x)=ex xcosx-(ex+1)s z T i r 0.:.(x)在 go)单调递增，7 z(0)=l 0,力(一(sinx,ex xf:.e c o s%x s i n x,，0 在 。，恒成立，(x)在 Mx)在(0,(o 5 无零点.(TC 7 t(7 1,(3)当X E 7，7 G 时，O v c o s x v s i n x,1 4 2 I 4 2hx)=ex(cos x-sin x)-(xcos x+sinx)0-:.(%)在(。5存在一个零点.综上，(力的零点个数为L.【点睛】本题考查了利用导数解决函数零点问题，考查了分类讨论思想，属于压轴题.