2022高考数学真题分类汇编05函数与导数.pdf

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1、2022高考数学真题分类汇编五、函数与导数一、选择题1.(2 0 2 2全国甲(文T7)(理T5)函数y =(3*-3-)co s x在 区 间 一会 的图象大致为()【解析】【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.【详解】令/(x)=(3，-3-*)co s x,x e-py,则/(-x)=(3-A-3X)co s (-x)=-(3*-3-)co s%=-/(%),所以/(x)为奇函数，排除B D；又当时，3v-3-A 0,co s x 0,所以/(x)0,排除C.故选：A.b2.(2 0 2 2全国甲(文T8)(理T6).当x =l时，函数/(x)=a l n

2、x +一取得最大值-2,则 八2)=()【答案】B【解析】【分析】根据题意可知/(I)=-2,/=0即可解得名人，再根据/(x)即可解出.【详解】因为函数“X)定义域为(0,+8)，所以依题可知，/(1)=-2,/,(1)=0,而/(尤)=一5，2?所以人=-2,。一/?=0,即a=-2,b=-2,所以/(x)=+,因此函数/(x)在(0,1)上递增，在X X(1,+8)上递减，x=l时取最大值，满足题意，即有了(2)=-1 +；=-；.故选：B.3.(2022全国乙(文T 8)如图是下列四个函数中的某个函数在区间-3,3的大致图像，则该函数是()A.y=X，+3xX2+1c.y=2xcosx

3、x2+12sinx【答案】A【解析】【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.【详解】设/(x)=5,则/(1)=0,故排除B;设/“)=AS,当时，0cosxl,x+1 1 2，“2xcosx 2x 八.人_所以(%)=；-0得X邛令 r(x)o 得 一 叵 x o,*)=1孚0,/(所以，函数/(X)在-8,-亭)上有一个零点，当xN#时，力2/(等)0,即函数/(力 在(旦极值可判断B,利用平移可判断C；利用导数的力 百3亘,+8)上单调递增，-2)=-5 则力(X)是奇函数，(0,0)是力(X)的对称中心，将/z(x)的图象向上移动一个单位得到/(X)的图象，所以点(0,

4、1)是曲线y=/(X)的对称中心，故c正确；令/(力=3幺 _1 =2,可得x=l,又/=/(T)=l,当切点为(1,1)时，切线方程为y=2 x-I,当切点为(一1,1)时，切线方程为y=2x+3,故D错误.故选：AC6.(2022新高考I卷T 1 2)已知函数x)及其导函数/(无)的定义域均为R,记g(x)=/(x),若/(g 2x,g(2+x)均为偶函数，则()A./(O)=()B.g(一|=0 C./(-1)=/(4)D.g(l)=g(2)【答案】BC【解析】【分析】转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.【详解】因 为/(：一2 5，

5、g(2+x)均为偶函数，所 以/|-2 x +即/(1一x)=./(m+x)g(2+x)=g(2-x),所以3-x)=/(x),g(4 x)=g(x),则/(-1)=/(4),故C 正确；3函数f(x),g(x)的图象分别关于直线x=,x=2对称，2又g(幻=/(X)，且函数x)可导,所以 g(|)=0，g(3 x)=g(x),所以 g(4-x)=g(x)=-g(3-x),所以 g(x+2)=-g(x+l)=g(x),所以g =g p1 =O，g(-l)=g(l)=-g(2),故B正确，D错误；若函数f(x)满足题设条件，则函数/(x)+c (C为常数)也满足题设条件，所以无法确定/(X)的函

6、数值，故A错误.故选：B C.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质，准确把握原函数与导函数图象间的关系，准确把握函数的性质(必要时结合图象)即可得解.7.(2 0 2 2新高考n卷T8)若 函 数 的 定 义 域 为R,且7(x+y)+/(x y)=/(x)/(y)J=1,则22，/(%)=()*=1A.-3 B.-2 C.0 D.1【答案】A【解析】【分析】根据题意赋值即可知函数“X)的一个周期为6,求出函数一个周期中的/。),/(2),/(6)的值，即可解出.t 详解】因为 x+y)+/(i-y)=/(x)/(i),令 x =l,y =O 可得,2/=l)y(O

7、),所以 0)=2,令龙=0可得，y)+-y)=2 f()，)，B|J/(y)=/(-y),所以函数“可 为偶函数，令y =l得，/(x+l)+/(x-l)=/(x)/(l)=/(%),即有/(x+2)+/(x)=/(x+l),从而可知/(x+2)=/(x-l),/(x-l)=-/(x-4),故/(x+2)=/(x _ 4),即/(x)=/(%+6),所以函数/(力 的一个周期为6.因为/(2)=1)一/(0)=1-2 =-1,3)=/(2)-1)=一1一1 =一2,/(4)=/(2)=八2)=-1,/(5)=/(1)=/(1)=1,6)=/(0)=2,所以一个周期内的/(1)+/(2)+-+

8、/(6)=0.由于2 2除以6余4,22所以/(左)=/。)+/(2)+/(3)+/(4)=1 1一2 1=一3.Jt=l故选：A./(%)=-8.(2 0 2 2北京卷T4)己知函数 1 +2则对任意实数工，有()A.7(-%)+/(%)=0 B./(-x)-/(x)=Oc./(x)+/(九)=1 D./(-%)-f(x)=1【答案】C【解析】【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误.I 1 2X I【详解】/(-%)+/(%)=!+!=+!=h 故 A错误，c正确;八八l +2-v 1 +2 1 +2、1 +2”1 1 1 7r-1 0=-=.!=上 二1=1 ,不是常数，故 B D错误

9、；）1+2-1+2*1 +2*1 +2 2 +1 2 +1故选：C.9.（2 0 2 2北京卷T 7）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术,为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和I g P的关系，其 中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是b a r.下列结论中正确的是（）A.当 T =220,P=1 0 26时，二氧化碳处于液态B.当 7 =270,P=1 2 8时，二氧化碳处于气态C.当T =3 0 0,P =9987时，二氧化碳处于超临界状态D.当T =3 6 0,P=729时，二氧化碳处于超临界状态【答案】D【解

10、析】【分析】根据丁与lg P的关系图可得正确的选项.【详解】当T =220,P =1 0 26时，l g P 3,此时二氧化碳处于固态，故A错误.当丁=270,P=1 2 8时，2 l g P 3,此时二氧化碳处于液态，故B错误.当T =3 0 0,P=9987时，I g P与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，另一方面，T =3 0 0时对应的是非超临界状态，故C错误.当T =3 6 0,P =729时，因2 l g P 0且的极小值点和极大值点.若看9，则。的取值范围是【答案】【解析】【分析】由占,分别是函数/(%)=2ax-e x2的极小值点和极大值点，可得x )。(马,”)时，/,(x

11、)0，再分a l和0。1两种情况讨论，方程21 1 1山优一2 6=0的两个根为X”X 2,即函数y=I n a 优与函数y=e X的图象有两个不同的交点，构造函数g (x)=I n a ax,根据导数的结合意义结合图象即可得出答案.【详解】解：r(x)=2 1 n a d-2 e x,因为X.,X2分别是函数x)=2 ed的极小值点和极大值点，所以函数.f(x)在(8,%)和(,+3。)上递减，在(玉,工2)上递增，所以当无 -0 0,石)5 W,+)时，/(x)0，若a 1时，当x 0,2e x o,与前面矛盾，故。1不符合题意,若0 V a V 1时，则方程21 n a优一2e x =0

12、的两个根为X，9，即方程I n。优=e x的两个根为演，电，即函数y =ln a /与函数y =e x的图象有两个不同的交点，令g(x)=ln a a,则 g x)=l n%.优设过原点且与函数y =g(x)的图象相切的直线的切点为(玉)/n a d。则切线的斜率为g(不)=ln 2a.a”,故切线方程为 y -In a -a*=lr?a .a (x -,则有一 In a 屋。=-x0 In2 a a”,解得/=Ina则切线的斜率为In 2q.a*=e ln 2a，因为函数y =In a 优与函数y =e x的图象有两个不同的交点，所以e ln?a e ,解得 a 0,解得a 0,的取值范围是

13、(e,T)U(O,+8),故答案为：(-4.(20 22新高考n卷 T14)写出曲线y =ln|x|过坐标原点的切线方程：,.【答案】.y=x.y=-xe e【解析】【分析】分x0和x 0时设切点为（七,1 1 1%），求出函数 导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出方,即可求出切线方程，当x 0时y =ln x,设切点为（X o/n x o），由 =，所以 1=*。=，所以切线方程为X 玉）y-ln x0=(x-x0),又切线过坐标原点，所以T n x 0 =（一%）,解得5=e,所以切线方程为y l=1（x e）,即 =!工；*0 e e当尤 0时y =l

14、n（x）,设切点为an（x j）,由丁=，所以y工=为=,，所以切线方程为XX y _ l n(r j=(x -x j,又切线过坐标原点，所以一ln（-x j =（一 玉），解 得 罚=-e,所以切线方程为y _ l=_ L（x +e）,即芭 e1y 二 一x；e故答案为：y =-x；y =e ef（x）=-+J l-x5.（20 22北京卷T i l）函数*的定义域是【答案】（f,。）5【解析】【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可;1 /-1 x 2 0【详解】解：因为x)=+J匚3,所以 八，解得X W 1且X H O,7 X x#0故函数的定义域为(f,O)

15、u(O,l；故答案为：(e,O)u(O,l-o n-1,x6.(20 22北京卷T 1 4)设函数 一 若了存在最小值，则“的一个取值为的最大值为 .【答案】口 0(答案不唯一)【解析】【分析】根据分段函数中的函数 =-如+1的单调性进行分类讨论，可知，a =0符合条件，a 0时函数)，=-+1没有最小值，故f(x)的最小值只能取y =(x-2/的最小值，根据定义域讨论可知一/+1N0或 储+1 2(。一2)二 解得 0 a W l.1 ,x 0若a 0时，当x0时，当 x /(a)=-a2+1,0当X。时，/。焉=%_2(0 2)(a 2 2)，或一4+1 1。-2)2,解得0 aWl,综上

16、可得O W a W l；故答案为：0 (答案不唯一)，17.(20 22浙江卷 T 14)x+2,x 1,已知函数/(x)=1 X则/f若当x e a,b 时,l /(x)3,则。一。的最大值是.【答案】三 口 3+百#6+328【解析】【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出”的最小值功的最大值即可.【详解】由已知/(!)=_/_1丫+2=1，,2 4 4 4 7 28所以巾外豢当尤 1 时，由 l W/(x)3 可得 1 一/+2 1 时，由14/(幻 3 可得l K x +工 1 K3,所以l 0,解得4 2 4 x l,3令hx)0 ,解得x -g或0 x 1,则x变化时，h(

17、x),h(x)的变化情况如下表:XST3H 0)0(o，i)1(l,+o o)方0+00+hx)527/J _4-1/则以x)的值域为 一1,物)，故a的取值范围为-1,-H ).2.(20 22全国甲(理)T 2 1)已知函数-一nx+x-a.1口若耳2 0,求。的取值范围;2证明：若/(x)有两个零点内,，则环中2 0,再利用导数即可得证.x L 21 【小 问1详解】/5)的定义域为(0,+8),令/(x)=0,得无=1当 x e(0,1),/(X)0,/(x)单调递增/(x)/=e+1 -a,若/(x)2 0,则e+1 a 2 0,即 a K e+1所以”的取值范围为(-,e+l【小问

18、2详解】由题知,/(x)一个零点小于1,一个零点大于1不妨设王 l x21要证西/“2yX2)因为/(玉)=/(*2)，即证/(%2)/V 2 7ev-1印证-nx+x-xex-I n x O,XG(l,4-o o)x x即证f x e：2 l n x-f x-l l 0 x|_ 2 x)_e*_ (、下面证明了 1时，-x eA 0,I n x一一 x 1,x设e(x)=J(尤l)，d(x)=(J-y|e-v=-e-v 0X k X X J X所以e(x)0(l)=e,而e：0,所以 g(x)0X所以g(x)在(1,K。)单调递增ex 1即g(%)g=。,所以xex 0 x令/z(x)=l

19、n x-lx-l,x l12一2-2 1 X2)2x2 2x2所以(x)在(1,+c。)单调递减 0即 7z(x)%(1)=0,所以 I n x-;ex 1 1 (1综上，-XQX-2 I n x一-x x 2 x0,所以玉龙2 。【点睛】关键点点睛：本题 极值点偏移问题，关键点是通过分析法，构造函数证明不等式1 (1、h(x)lnx-x一 这个函数经常出现，需要掌握2 1x)3.(2 0 2 2全国乙(文)T 2 0)已知函数/(x)=以一,(a+l)I n x .x(1)当a=O时，求/(x)的最大值；(2)若f(x)恰有一个零点，求。的取值范围.【答案】(1)-1(2)(0,+8)【解析

20、】【分析】(1)由导数确定函数的单调性，即可得解；(2)求导得/(力=二|也 二D,按照。4 0、()0,单调递增；当x e(l,+8)时，*(x)0 ,则r(x)=a+-=3 丁 ,X X x x当a 0时，6 1 4 0,所以当x e(O,l)时，f 0,/(x)单调递增；当X G(l,+8)时，/%)(),/(x)单调递减；所以/(x)mx =/(1)=。-1 0,此时函数无零点，不合题意；当0 0,/单调递增；在(1,：)上，f x)0,/(x)单调递减：X/(l)=a-l 1 时，10,/(力 单调递增；在上，/(x)0,又/(5)=，丁 a+(a+l)ln a,当趋近正无穷大时，趋

21、近负无穷，所以 x)在(0,j有一个零点，在+8)无零点，所以/(x)有唯一零点，符合题意；综上，a 的取值范围为(0,+8).【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题.4.(2 0 2 2 全国乙(理)T 2 1)已知函数/(x)=ln(l+x)+ttx e r 1 口当a=1 时，求曲线y =/(力 在点(0,/(0)处的切线方程；2 口若“X)在区间(-1,0),(),一)各恰有一个零点，求 a 的取值范围.【答案】(1)y=2x(2)(-oo,-l)【解析】【分析】(1)先算出切点,再求导算出斜率即可(2)求导，对

22、“分类讨论，对x分(1,0),(0,X。)两部分研究【小 问1详解】/5)的定义域为(-1,+8)X 1 1 -X当a=1 时-J(x)=l n(l +x)+=,/(0)=0,所以切点为(0,0)/(%)=+(0)=2,所以切线斜e 1 +x e率为2所以曲线y=在点(0,/(0)处的切线方程为y=2x【小问2详解】/(x)=l n(l +x)-e+x e(l +x)ev设 g(x)=eX+a(l-x2)1 若。0,当 x w(-1,0),g(x)=e*+a(1 -J)0,即 f(x)0所以/(x)在(-1,0)上单调递增,f(x)0所以g(x)在(0,+g(0)=1 +a.0,即fx)0所以

23、在(0,+)上单调递增,/(x)/(0)=0故f M在(0,+8)上没有零点，不合题意3 若-1 当x e(0,+00)厕g(无)=e 2ax 0,所以g(x)在(),+)上单调递增g(0)=l +a0所以存在 m e(0,1)，使得 g(m)=0,即 f(m)=0当 X (0,，),/(x)O,/(X)单调递增所以当 x w (0,+0 0所以/(X)在(加,+0 0)上有唯一零点又(0,加)没有零点，即/(X)在(0,田)上有唯一零点当 x e (-l,0),g(x)=e*+a(l-x 2)设 h(x)=g (x)=ev-2ax/?(x)=e*-2 a 0所以g(x)在(-1,0)单调递增

24、,1 ,g(-l)=+2 a 0e所以存在 e(1,0),使得g()=0 x e (-1,r i),g(x)0,g(x)单调递增 g(x)g(0)=l+a 0所以/“)在(-1,/)上有唯一零点,a,0)上无零点即/（X）在（一 1,0）上有唯一零点所以。1时，e*-x=b的解的个数、X 心=的解的个数均为2,构建新函数h(x)=e +n x-2 x,利用导数可得该函数只有一个零点且可得/(x),g(x)的大小关系，根据存在直线y=b与曲线y=/(x)、y=g(x)有三个不同的交点可得。的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列.【小 问1详解】/(x)=e*-a x的定义域为R,而

25、/(x)=e*-a,若a 4 0,则/(x)0,此时/a)无最小值，故a 0.8 )=依一111%的定义域为(0,+8),而g (x)=，=1.X X当 I n a时,fx)ln a时，f(x)0,故f(x)在(i n a,+00)上为增函数，故/(x)mi n =/(ln a)=a-a ln a.当0 X,时，g (x)4时，g (x)0,故g(x)在上为增函数，a ya J故 g O O mi n =g =-h l.a j a因为f M =e -a x和g(x)=方-I n x有相同的最小值，1 a 故1 ln =a a ln a,整理得到=ln a,其中 0,a 1 +a,、a 1 r

26、/2 1 a21 -设g(a)=;-ln a,a0,则g ()=-一一=衣(。，1 +Q(1+a)a a(l+a)故g(a)为(0,+)上的减函数，而g(l)=0,故g ，)=0的唯一解为a =l,故a0 =ln a的解为a =l.综上，a =1.【小问2详解】由(1)可得/(x)=e*-x 和 g(x)=x-ln x 的最小值为 1 一 ln l=l ln；=l.当人 1时，考虑e-光=b的解的个数、x ln x=。的解的个数.设S(x)=e“x-仇 S(x)=e*-1,当尤 0时，S(x)0时，S(x)0,故S(x)在(,()上为减函数，在(),”)上为增函数,所以“力 小:/。)点 一/

27、。，而5(3 =e(),S(b)=d,-2b,设 =e-3,其中 b l,则=e 2 0,故”(5)在(1,+8)上为增函数，故 Ml)=e-2 0 ,故S 0,故S(x)=e-x b有两个不同的零点，即e x=6的解的个数为2.设T(x)=x-lnx-Z7,F(x)=-,当0 x l时，T x)l时，F(x)0,故T(x)在(0,1)上为减函数，在(1,+)上为增函数，所以丁(初面=7 =1一。，而T(e)e-0,T(e/,)=eft-2Z?0,T(x)=x-ln x b有两个不同的零点即x lnx=b的解的个数为2.当人=1,由(1)讨论可得x-lnx=/?、e-x=Z?仅有一个零点，当b

28、 =/(x)、y=g(x)有三个不同的交点，则 A1.设(x)=e*+lnx-2 x,其中x 0,故/i(x)=e+-2 ,X设s(x)=e*-x-l,%0.则s(x)=e-l 0,故s(x)在(0,+8)上为增函数,故s(x)s(O)=O即e*x+l，所以(x)x+J-122 l 0,所以x)在(0,+8)上为增函数，而献l)=e 20,/2(-L)=e7-3-4 e-3-4 0,故(x)在(0,+8)上有且只有一个零点x,1且：e、当0%/时，(%)0即6,彳一心即/()/时，h(x)0即e*-x 尤一lnx即:(%)g(x)，因此若存在直线y=与曲线y=/(x)、y=g(x)有三个不同

29、交点，故 b =./i(%)=g(%)l，此时e-x =b有两个不同的零点X,x0(x,0 x0),此时x ln x=匕有两个不同的零点乙),4(/1 1，x.=x,-b故 ，即玉+%=2%0.X =/一 匕【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论,而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.6.(2022新高考H卷 T2 2)己知函数/(x)=xe e，.(1)当a =l时，讨论/(x)的单调性；(2)当x 0 时，/(x)-l,求。的取值范围；1 1 1 ,/,、(3)设eN*，证明：/,+/,+/,ln(+l).V l

30、2+1 止 +2 y/n2+n【答案】/(%)的减区间为(一 8,0),增区间为(0,+8).(2)a 1恒成立，从而可得ln(n +l)-ln J 对 任 意 的 恒t7几十 H成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.【小 问1详解】当a =l时，/(x)=(x-l)ex,则/(x)=xe ,当无 0时，/x)0时，fx)0,故/(x)的减区间为(-8,0)，增区间为(0,+8).【小问2详解】设()=在心_ e +,则(0)=0,又(x)=(l+a r)e _ e ,设g(x)=(l+a x)e -e”,则(2；,则g (0)=%-l 0,因为g (x)为连续不间断函数，故存在e(0,+8

31、),使得V xe(0,/),总有g,x)0,故g(x)在(),%)为增函数，故g(x)g(O)=。，故M x)在(0,4)为增函数,故/z(x)(O)=-1,与题设矛盾.若,则=(l +a r)e -e =e +-e ,下证：对任意x0,总有l n(l+x)x成立，1 _ 入证明：设S(x)=l n(l+x)-无，故S (x)=-1 =0,故S(x)在(0,+o o)上为减函数，故S(x)5(0)=()即l n(l+x)x成立.由上述不等式有 e5+m(i+)一e*e 2-ev=e2a(-ev 0，故(x)WO总成立，即(x)在(0,笆)上为减函数，所以(x)(O)=-l.当a 4 0时，有/

32、1(%)=6网-6*+，a6*1 1+()=0,所以(x)在(),+8)上为减函数，所以(X)0,总有xe，e+1,/=e*,x=21nf，故2 n/(产一1即2Inr l恒成立.t所以对任意的GN*，有21n整理得到：ln(/z+l)-ln /(s)+/(f).【答案】(1)y=x(2)g(x)在 0,+8)上单调递增.(3)证明见解析【解析】【分析】(1)先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；(2)在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；(3)4 =f(x+t)-f(x),(x,t 0),即证加(x)机(0),由第二问结论可知?(x)在 0,+8

33、)上单调递增，即得证.【小 问 1详解】解：因为/(x)=e l n(l +x),所以0)=0,即切点坐标为(0,0),又/(x)=e (l n(l +x)+)，1+x切线斜率左=r(o)=i切线方程为：y=x【小问2详解】解：因为 g(x)=/(x)=e*(l n(l+1)+/一)，1 +x令/?(x)=l n(l +x)+2 11 +x(1+x)2 T2 1所以 g (x)=e*(l n(l +x)+-了)，1 +x (1+x)1 2 2 x2+1T+7-(l+x)2(1+x)3 1 -(1+x)3(X)在 0,+8)上单调递增,h(x)A(0)=1()g (x)0 在0+8)上恒成立,则

34、 hx)0,.g(x)0,+8)上单调递增.【小问3详解】解：原 不 等 式 等 价 于f(s)y(o),m(x)=f(x+t)-f(x),(x,r0),即证机(x)/(0),m(x)=f(x +t)-f(x)=ex+,ln(l+x+/)-e v ln(l+x),eA+,ermx=el+,ln(l+x+r)+-e ln(l+x)-=g(x+f)-g(x),1+x+r 1+x由 知8(幻=八 幻=&。11(1+幻+1一)在0,+8)上单调递增，1 +xg(x+t)g(x),m(x)0，*(x)在(0,+8)上单调递增，又因为x,r0,/.m(x)m(0),所以命题得证.8.(2022浙江卷 T

35、2 2)设函数/(x)=上 +In x(x 0).2x(1)求f(x)的单调区间；(2)已知,曲线y=/(x)上不同的三点(x，/(xj),(x2，/(x2)，(x3，.f(x3)处的切线都经过点(a,b).证明：(口)若a e,则；2 e-a 1 1 2 e-a()若。Qe,X 工2%3，则，+6.2 F +F Z _ 6e2,（注：e=2.71828是自然对数底数）【答案】（1）/（X）的 减 区 间 为 增 区 间 为 ,+.（2）（i ）见解析；（i i）见解析.【解 析】【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.（2）（i ）由题设构造关于切点横坐标的方程，根据方程

36、有3 个不同的解可证明不等式成立，（i i）卜=旦玉m=则题设不等式可转化为4+，3-2-2-，；一L,结合零点满足的方程进一步em3 6 m&+幻转化为l n m +(根/z n +12)7 2(加+1)0,利用导数可证该不等式成立.【小 问 1详解】小）=-苏+罗当O v x 0,、,+8 ./故/（X）的减区间为1o,|,/（x）的增区间为|2【小问2详解】（）因为过（a,6）有三条不同的切线，设切点为（X j,x j）,i =l,2,3,故/（玉）一/?=/（七）（七一。）,故方程/（X）h =/（x）（xa）有 3 个不同的根,该方程可整理为x-ae-l n x+/7 =0,2x-I

37、 n x +Z?,1 e 一 ）一二寿当0 c x a时，g,x)0；当e x(),故g(x)在(0,e),4)上为减函数，在(e,a)上为增函数，因为g(尤)有3个不同的零点，故g(e)0,整理得到：人 +l n a =/(a),2 e 2a此时 b f(a-+1|-+I n Q 十!=-I n a,，2(e )2e 12 a J 2e 2 2 2a设M(Q)=2-I n 6 r,则=2 2Q v 7 2a23 e故为(e,+8)上的减函数，故(4)耳 一 -l n e =0,故0()当0 a e时，同(口)中讨论可得：故g(x)在(0,a),(Q+o o)上为减函数，在(a,e)上为增函数

38、，不妨设 X j x2 x3,则 0%a /e 曰，因为g(x)有3个不同的零点，故g(a)0,整理得至!J：-F1 Z?-b l n。，2e 2e因为X1 工2 V ，故0 玉 Q V 入2 e 1,h 玉 am=1,e1 2 e a要证:2 e-a 1e+-6e7一+一 e-a2e e-a-f 4-6e 1 3 a 6e印证:13-m 21-m即证:13-m：+?3-O2 1-mFR丁0,即证:2(m-13)m2 根+2)ti+J-2-；-；-m 36W(4+幻而一(/+1)4+t；+In 4+/?=0 且一(/+1)J+In G +=故 1叫-Inq+(彳+1)(-Z3)=0,.2 2

39、In t,-In t.故 小 一 2 7=-1不丁+际丁 2 In。-In 4故即证：x i-i()即证：(左+1加3(%均(苏 一 加+12),072记加呼*1,则)=号1 、k-21nz 0kk 证,即证2+61 1 2 2 2设(女)=左-21nz,则 tZ(k)=l+-=0 即(%)0,k k k k k故9(4)在(l,+oo)上为增函数,故(p(k)cp(心所以也叫叱J I 3乂k 12m-m+12)(m+l)lnm(72m-13)(m2-AH4-12)72记 加)=lnm+72(/n+l),0 m 0,所以矶 间 在(0,1)为增函数，故或 加)(1)=0,(-1)(?一13)(江 一+12)(/7i+l)lnm(m 13)fm2 一加+故 In m+-o72(m+1)m-1 72故原不等式得证：【点睛】思路点睛：导数背景下的切线条数问题，一般转化为关于切点方程的解的个数问题，而复杂方程的零点性质的讨论，应该根据零点的性质合理转化需求证的不等式，常用的方法有比值代换等.