人教版导与练总复习数学一轮教师用书：第五章第1节数列的概念.pdf

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1、盘第五章数 列（选择性必修第二册）第1节 数 列 的 概 念整 课程标准要求1.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表法、图象法、通项公式法）.2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.必备知识课前回顾选知识梳理6 归 激 吻夯实四基1.数列的概念及分类（1）定义数列按照确定的顺序排列的一列数项数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用a?表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用a0表示.其中第1项也叫做首项表示ab a2,a3,an,简记为an分类项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数

2、列.从第2 项起,每一项都大王它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起,每一项都小壬它的前一项的数列叫做递减数列.特别地,各项都相笠的数列叫做常数列.(3)数列与函数数列 4 是从正整数集N*(或它的有限子集 1,2,n)到实数集R的函数，其自变量是序号n,对应的函数值是数列的第n 项 an,记为4=f(n).另一方面,对于函数y=f(x),如果f(n)(nN*)有意义,那么f(1),f(2),f(n),构成了一个数列 f(n).(4)数列的表示法数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法.2.数列的通项公式如果数列 a j 的第n 项 a”与它的序号旦之间的对应关系可以用一个式子来表

3、示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.通项公式就是数列的函数解析式,根据通项公式可以写出数列的各项.3.数列的递推公式与前n 项和公式递推公式一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,这个式子叫做这个数列的递推公式刖n项和数列 a“从第1项起到第立项止的各项之和,称为数列 a j 的前n 项和，记作Sn,即Sn=ai+a?+a”数列 a j 的前n 项和S n 与它的序号n 之间的对应关系可以用一个式子来表示,这个式子叫做这个数列的前n 项和公式4.数列中a。与 S n 的关系若数列 a j 的前n 项和为出,，九=1,-SnT，M N 2.点自双1 .数列 an 的前几项为a

4、3,y,8,y,则此数列的通项公式可能是（A ）解析：数 列 为;,，其分母为2,分子是首项为1,公差为5的等差数列，故通项公式为a“二 誓.故 选 A.2.在数歹！J a J 中，a】=l,a n=l+工（n，2）,贝 ij a”等于（B ）an lA.-B.-C.-D.-2 3 4 53 .已知数列 a j 的前n 项和为S,“若 Sn=n2,则an=;若 Sn=n2+1,则 an=.解析：若 Sn=n2,则当 n=l 时，a i=S i=l,当 n 1 2 时,an=S,-S n-i=n2-(n-1)2=2n-1.当n=l时满足上式,所以an=2n-l.若 Sn=n2+1,当 n=l 时

5、,a i=S j=2.当n2 2时，an=Sn-S n-i=n2+l-(n-1)2+l =2n-l,当n=l时不满足上式，故国=2?1-1,九 之 2,nN*.答案：2日霹；工24 .已知an=n2+入n,且对于任意的n N*,数列 a j是递增数列，则实数入的取值范围是解析：因为 4是递增数列，所以对任意的n N*,都有an+1 an,即(n+1)2+入(n+1)n2+入 n,整理,得 2n+l+X 0,即 X -(2n+l).(*)因为nl,所以-(2n+l)W-3,要使不等式(*)恒成立，只需人-3.答案：(-3,+8)5 .在数列 a j中，an=-n2+6 n+7,当其前n项和S“取

6、最大值时,n=.解析：由题可知 n N*,令 an=-n +6 n+7 0,得 1 W n W 7 (n N*),所以该数列的第7项为零,且从第8项开始a W O,则S6=S,且最大.答案：6或7美 小 考 点气窠四鬟关键能力课堂突破阂考点T由围与Sn的关系求通项公式1.记Sn为数列 a j的前n项和.若Sn=2an+1,贝!J$6=.解析：因为Sn=2an+1,所以当n=l时,a i=2a i+l,解得a产 T,当 n 22 时,an=Sn-Sn-i=2an+l-(2an-i+l),所以 an=2an-i,所以数列 a j是以T为首项,2为公比的等比数歹U,所以 an=-2n l,所以 S6

7、=1X(1?2 6)=-63.1-2答案:-6 32.已知数列 a j 满足 a i+2a2+3a3+-+n an=2,则 an=解析：当n=l时，由已知,可得a,=2=2,因为 a 1+2a z+3a 3+n a n=2,故 a i+2a2+3a3+-,+(n-1)an-i=21(n 22),由-,得 n an=2n-2n-1=2n,所以 an=-(n N2).n显然当n=l时不满足上式,(2,n=1,所以a n=12”-iI ，n 2.n(2,n=1,答案:如】(,n 2 n3.设 Sn 是数列 a j 的刖 n 项和,且 Hi 1,an+i SnSn+i,则 Sn.解析:因为an+尸Sn

8、+Hn,现+尸SS+1,所以 Sn+1SnSnSn+1因为SnWO,所以工一二一 二1,g p-=-1.%sn+1 sn+1 sn又 2=7，Si所以数列 是首项为T,公差为-1的等差数列.所以 T+S T)X(-l)=-n,所以Sn=-.n答案:二n一题后悟通已知S0求a0的常用方法是利用a0=L L 7 一定要检验a1的情况.(5n-3n_1,n z,由考点二 由递推关系求通项公式口 角 度 一 累加法形如an+1-an=f(n),求an(例1T)设数歹U a j满足ai=l,且an+i-an=n+l(nGN*),则数列 a j的通项公式为解析：由题意得 a2-a,=2,a；-a2=3,所

9、以 a,-at,-i=n(n .以上各式相加，得&一a尸2+3+n=(n-1)(2+n)2n2+n-22因为a1=l,2所以史(n e 2).因为当n=l 时也满足此式，所以杰与二答案：卜解题策略I当出现为+】=ar,+f (n)时，用累加法求解.即利用a=(at l-a-i)+(a a 2)+(a2-a i)+a 1=f (n-1)+f (n-2)+f +a】求解.口 角 度 二 累乘法形如M (n),求 a“an(例 1 二 2)设数歹U a j 中，a,=2,an+i=-an,贝 lj ar,=.n+1-解析:因为 an+i-n+l-an,3-2,所以&H0,所以为1=/_.an n+l

10、所以当n2 2 时，a =3 ,咄 .也 也 a ian 1 an 2 an 3 a2 aln-l n2 n_3 l、,cZ Z-一 X /n n-l n-2 2_2na =2也符合上式，则 an=-.n答案3n 解 题 策 略 I当出现%l=f (n)时，用累乘法求解.即利用na k 上.虹 虹.也 也.a i 求解.an 1 an 2 an 3 a2 al口 角 度 三 构造等差法一一形如4+尸 鼻&B,C为常数)，求aBan+C O 已知数列瓜 中，a,=2,4+L卫(nN*),则数列瓜 的通项公式厮+2an=.解析：因为 anti=2 a?l,ai=2,n+2所以a”力。，所以-2号,

11、即-工总an+l an/ttn+l an 乙又a尸2,则2 42所以数列 2 是以;为首项,;为公差的等差数列.C L ji 2 2所以工=L+(nT)X；吟Q 2 2所以an=.n答案3n,解 题 策 略I形如aa尸 鼻(A,B,C为常数)，将其变形为一一=5-+1Ban+C an+i A an A 若A=C,则 工 是等差数列，且公差为W可直接用公式求通项公式.an A 若AWC,则采用待定系数法,构造新数列求解.。角 度 四 构造等比法-形如an+i=Aa+B(A#：0且AW1,BW0),求an(例1-4)已知数列瓜 满足a,=l,an+i=3an+2(n N*),则数列 a j的通项公

12、式为.解析：因为an+i=3an+2,所以 an+,+l=3(an+l),所 以&哼=3,即+1所以数列E+1为等比数列，公比q=3,又 ai+l=2,所以4+1=2 3二所以 a“=2-3n l-l.答案：a 0=2 3n-1-l 解 题 策 喳I对于形如an+i=Aa+B (A7 0且AW 1,B关0),通常采用待定系数法将其转化为an H+x=A(a+x),先求出x,再借助等比数列 an+x 求解.针对训练根据下列条件,求数列 4的通项公式.1 a 1=2,an+i=an+l n(l+-);n(2)a i=,an=-Hn-i (n 2);2 n+1(3)a尸*an+1 an+(1)n+1

13、;(4)a 1二l,a n二 (干22).解：因为a 0+尸a 0+l n(l+与，n所以 a n+a n=n所以 an_an-i-l n-7(n 2),n-la”a“-2=l n；，a2-a1=l n-(n 2).所以 a,-a i=:l n +l n +,+1n-=l n n(n 22),n-l n2 1即 an=l n n+2(n 22).又 3-2,所以 a。=In n+2.(2)因为 ann ari-i (n 22),n+l所以当ne2时-，区=二，an-i n+l所以a，9 q,幺q,Zl+1 CI2 4 a 1 3以上n-1个式子相乘得区生1.也也=巴=.丘.an-i an-2

14、dz d n+l n 4 3即四=_ .1x2X 1,n+l n所以 a n=r r-n(n+l)当n=l时,ai=,也与已知二;相符,1x2 2 2所以数列 的通项公式为an=-.n(n+l)在 布 亭,+严 两边分别乘以2吗 得2*a 1|(2 an)+l.令 bn=2n an,则 bn+1=|bn+l,根据待定系数法,得bn+1-3=|(b-3).所以数列瓜-3是首项为b-3=2X-3=-公比为|的等比数列.所以b3=T(|严，即 止3-2(尹.于是,a卷=36-2(歹.取倒数,得里也三耳3+二一(n 2 2).an an l an l所以数列-是等差数列，工J+3 (n-1)=1+3(

15、n-1)=a“Q.an an a1 3n-2灸考点三数列的性质及其应用口 角度一数列的周期性CMO 数列 a j 满足 anH=-,a8=2,则 a,=.l an-解析：由 a*-,得 a,=l,l-n n+l因为a8=2,所 以 a7=l-=p&6=1-=-l,=2,a7 a6所以瓜 是 以 3为周期的数列,所以 ai=a7=-.答案，.解 题 策 略 I解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值.口角度二数列的单调性(SH)已知数列 a j 的通项公式为a“=若,若 数 列 a,为递减数列，则实数k的取值范围为()A.+8)B.(2,+8)C.

16、(1,+8)D.(0,+)解析：因为/4=琮 辛-答=刍 鬻,由 数 列 aj为递减数列知,对任意 n N*,an H-a=321fe 3-3 n 对任意n N*恒成立，所以k (0,+8).故选D.解 题 策 略:解决数列单调性问题的三种方法(1)用作差比较法,根据a“an 的符号判断数列 a j 是递增数列、递减数列还是常数列.用作商比较法,根据皿(a)0或 aW O)与 1 的大小关系进行判断.an结合相应函数的图象直观判断.口 角 度 三 求数列中的最大(小)项(O 已知数列 a j的通项公式为an=n(|)n,则数列 an中的最大项为()A.-B.-C.D,9 3 81 243解析:

17、(n+l)(冢-吗 专(I)、当 n0,即 an+ian;当 n=2 时，an+ian=0,即 an+i=an；当 n2 时，an+i-an0,即 an+ia4a5,an,所以数列 a j中的最大项为a2或a3,且 a2=a3=2 X(|)2=1.故选 A.求数列最大项或最小项的方法(1)可 以 利 用 不 等 式 组(n 2 2)找到数列的最大项.(2)利用不等式组巴叱二。(心2)找到数列的最小项.&n+l 针对训练若数列 a j满足a N,am=当,则a2 02 2的值为()l-OnA.2 B.-3 C.-D.-2 3(2)已知数列 an的通项公式为an=-,则数列 an中的最大项为nz+

18、90()A.3V10 B.19 C.D.19 60已知等差数列 a j的前n项和为S.(nN*),且a=2n+X ,若数列 Sj(n27,nN*)为递增数列,则实数人的取值范围为解析：(1)因为 ai=2,l-n所以&2=3,1-fllI j 11 1 1同理可得 a3=-,a4=-,a5=2,a6=-3,a7=-,a q ，可得 an+4=an,贝！J 3 2 022二505X4+2=2=-3.故选 B.(2)由题意得an=A o,运用基本不等式得4或焉=焉,当且仅当n+n+2V90 6V10n nr?=90时,等号成立,结合nN*,可知a9=aio=最大.故选C.19(3)当n7时,数列“

19、为递增数列,设Sn+1Sn,即Sn+1-Sn=an+10,所以 a用=2(n+l)+入 0,则入-2n-2.又因为n27,所以-2n-2 W T 6,即入 _16.答案：B(2)C(3)(-16,+oo)息 备选例题C B D已知nN*,给出4个表达式:an=11为奇数，=上 二 11,九为偶数，2a=巨曹叫,a=|sin学，其中能表示数列:0,1,0,1,0,1,0,1,的通项公式的是()A.B.C.D.解析:选A.CBD 已知数列 a j 满足 a】=l,an=an-i+2n(n 2 2),贝!J a?等于()A.53 B.54 C.55 D.10 9解析：由题意知,a2=ai+2X2,a

20、3=a2+2X3,-,a7=a6+2 X 7,各式相加得a7=a1+2X(2+3+4+7)=55.故选 C.C B 在数列瓜 中，a i=l,an+1=2an-2n,则新等于()A.-15 X 216 B.15 X 217C.-16 X 216 D.16 X 217解析：因为 an+i=2 an-2,所 以 第 费I所以数列既 是等差数列,公差为弓首项为费所 以 骈 言(11)=等，所以 an=(2-n)2自，所以a产T5X22故选A.CW3若数列 a j的前n项和Sn=n2-10n (n N*),则数列 n aj中数值最小 的 项 是()A.第2项B.第3项C.第4项D.第5项解析：因为Sn

21、=n2-10n,所以当 n 2 2 时,an=S n-S n-i=2 n-ll;当n=l时,ai=S i=-9也适合上式.所以 an=2 n-l l (nG N*).记 f (n)=na n=n(2 nT 1)=2 r?T I n,此函数图象的对称轴为直线n=，但n N*,所以当n=3时,f(n)取最小值.所以数列 na j中数值最小的项是第3项.故选B.课时作业灵活方强密致提能选题明细表知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练由数列的前几项归纳通项公式1,7%与S n的关系4,8,916数列的递推关系2,312数列的性质5,614综合问题10,11,13,1517,18A级基础巩固练1.若

22、数列的前4项 分 别 是 则 此 数 列 的 一 个 通 项 公 式 为2 3 4 5(A )(-i)n+1(-i)nA.B.n+1 n+1(-l)n(-l)n-1L z L)n n2 .若数歹U a j 满足 a,=l,an.-an-l=2n,则 a。等于(A )A.2n+n-2 B.2n-1+n-lC.2n+1+n-4 D.2叫2 n-2解析：因为 an+-an=2n+l,所以 a?-a i=2 +l,a.3-&2=22+1,&4-&3=23+l,ana,n-i=2n 1+l (n2 2),以上各式相力U得 an-a i=:21+,*+21 1+(n-l)=2-+n l=2n+n-3.1-

23、2所以 an=2n+n-2.故选A.3.已知数列a j满足a】=l,a n+产吗-2 an+l (n N*),则a 2 0 2 2等于(B )A.1B.0C.2 022 D.-2 022解析：因为ai=l,所以 a2=(a i-l)2=0,a3=(a2-l)2=l,a4=(a3-l)2=0,可知数列 a j 是以 2为周期的数列，所以a?022=a2=0.故选B.4.已知数列 a j的 前n项和为Sn,也=2,S*2 S n T(n N*),贝!仁等于(B)A.128 B.256C.512 D.1 024解析：因为Sm=2Sl(nN*),n 2 2 时,Sn=2Snl,所以 anti=2an.

24、n=1 日 寸，ai+a2=2a1,Q,I2,a,2=l-所以数列 4 从第二项开始为等比数列，公比为2.则 a10=a2X28=lX 28=256.故选B.5.(多选题)在数列 4 中,a.=(n+l)(，,则数列 a0中的最大项可以是(AB)A.第6项B.第7项C.第8项D.第9项解析:假设为最大,则有优咤丁+1|(九+1)&)n (n+2)()n+1,卜 九 +1)6)n n ()I,f 7n+1 -(n+2),所以八 8-(n+1)n,即 6WnW7,所以最大项为第6项和第7项.故选AB.6.设数列 a j的通项公式为an=n2-bn,若数列 a j是单调递增数列，则实数b的取值范围是

25、(C)A.(-,-1 B.(-8,2C.(-0o,3)D.(-8,0解析：因为数列 a j是单调递增数列，所以 anH_an=2 n+1 -b 0(n N*),所以 b2n+l(neN),所以 b(2n+l)min=3,即b3.故选C.7.已 知 数 列f,当 斐，,根据前3项给出的规律,实数对2 4 6 m-n 10(m,n)为.解析：由数列的前3项的规律可知(19m=,解得 32故实数对(m,n)为号,|).答案:号,|)8 .若数列 an的 前n项 和Sn=3 n-2 n+l,则数列 a j的通项公式an=.解析:当 n=l 时,a i=S i=3 X 12-2 X 1+1=2.当 n2

26、 时，an=Sn-S n-i=3 n2-2 n+1 -3 (n-1)2-2 (n-1)+1 =6 n-5,显然当 n=l 时,不满足上式.故数歹U%的通项公l o式n-5,为n z9.冬案 j 2,n=1,r a,l 6 n-5,n 29 .已知数列列J中,a】=l,前n项和Sn=an.求a 2,a3;求 a j的通项公式.解：(1)由 52=/2 得 3 (a i+a 2)=4 a 2,解得 a2=3 a i=3.由 53=/3 得 3 (a i+a z+a?)=5a 3,解得 a3=|(a i+a2)=6.(2)由题设知,当n 22时，有a 0=SS”等a 等a-,1ann+_得HT二理整

27、n-1aan-1 an-2 2a nn手此因an-1n2n-4X-23-1曰 (九+1)九 n(n+l)化间俗 a n二 一 二 一 a i=-,2 x 1 2当n=l时,a,=l满足上式,所以 的通项公式为a产生尹(n N*).B级综合运用练1 0 .数列 Xn满足 Xn+i=|xn-XnT I(n足2,nN),X i=l,x2=a(a e R,a T o),Xn+T=Xn,当 T 取最小值时一，该数列的前2 021项和是(D )A.673 B.674C.1 347 D.1 348解析:若T=l,则 x j 为常数列,故 X2=X1=1,此时 X3=0Wxi,故 T=1 舍去.若 T=2,则

28、 x3=xi=l,故|a T|=1,故 a=2 或 a=0(舍去).故 X4=11-21 =1,但 x5=|IT|=0Wx3,故 T=2 舍去.若 T=3,贝 ij x3=|a-11,x4=|a-|a-l|=Xi=l,x5=|1|l-a|=x2=a,若 a l,则|a-(aT)|=1,且)-(a-1)|=a,整理得到12-a|=a,解 得 a=l.若 0a an,求实数k的取值范围.解：(1)由 n-5 n+4 0,解得 K n an K T W (n+1)2+k (n+1)+4 n2+k n+4,整理得k -2 n-l,且对任意的n N*恒成立，所以 k e(-3,+8),所以实数k的取值范

29、围为(-3,+8).15.已知数列 an中,a i=l,其前n项和为Sn,且满足 2Sn=(n+l)an(neN*).求数列 an的通项公式；(2)记bn=3n-X成,若数列限 为递增数歹U,求实数人的取值范围.解：因为 2Sn=(n+l)an,所以 2Sn+i=(n+2)an+i,所以 2an+i=(n+2)an+-(n+1)an,即 nan+i=(n+l)an,所以为尸幺，n+1 n所以血=也!=.=色=1,n n-1 1所以 an=n(neN*).由得,bn=3J人bn+i-bn=3n+1-A.(n+1)2-(3-入 r?)=2 3-人(2n+l).因为数列、为递增数列,所以 2 3-x

30、(2n+l)0,即X 1.所以数列 c j为递增数歹山所以入 C1=2,即实数人的取值范围为(-8,2).C 级应用创新练1 6.在数列 x#中，X/W汕 产,n 2 1,设其前n项和为Sn,则下列命题正 确 的 是(D)A.x w-x l O(x2-x i)B.9 x i+x i o W S i o W x i+9 x i oC.xW廿 也2D.若 X n H-X n=-,贝1J S n n X l-I n+1 2解析：由 X n+l Wn+：n+2 得 X n+X n W X n+2-X n+l,X n+1 -X n-&,则 dj W dz W Wd”X iX i=di+d2+d9 2 9

31、 dl=9 (x2-x i),故 A 错误.取 X i=1 0,X i o=l,故 B 错误.当k=3时,数列1 0,9,8,7,6,5不满足，故C错误.对于 D,由 Xn+l-X n=-0,知 x j 递增,X l X n+l,n+1-S n=X l+2(X 2-X 1)+3(X 3-X 2)+n(X n-X n-1)+(n+1)(X n+X。-(n+1)Xn+1=X i+1+2+n -(n+1)X n H 所以S 0 n x用 上 用,故D正确.故选D.2 21 7.已知数列 九 满足:回金=2(n N*),则下列选项正确的是an+i an(D)A.当 0 an anB.当 an l 时，

32、an+i anC.当 a1时，an 3 n+1 84%i+iD.当 ai=4 时，an+i+2 n+2an+l解析:对于 A,由于 0 anl,0 an+i +2)(an+1)an+i an an又由函数f(X)上 式=比 及 龙=x+)2,当X G(0,1)时，函数单调递减，XXX可得 f (ae)f (a)所以3n+X an,所以A错误.对于 B,由于 an l,an+i l,且 f (an+i)f (an),由f (x)=q乙=*=x+工+2在(1,+8)上单调递增，XXX可得anH an,所 以B错误.2 2对于C,D,由于(丽+1+1)=(厮+2),an+i an可得 an+i+-a

33、n+2+,an+l an an当 a=,n=l 时，可得 a2+-=ai+2=-+1 8 0时，可得a)0,从而 anH+an+2,an+l利用叠加法,可得an+i+a)+-+2 n,an+l al故当ai=4时,a+i+-2 n+2,所以D正确.故选D.1 8.大衍数列来源于中国古代著作 乾坤谱中 对 易-系 辞 上“大衍之数五十”的推论,其前1 0项 为0,2,4,8,1 2,1 8,2 4,3 2,4 0,5 0,通(小，九为奇数，项公式an=1如果把这个数列&,排成如图所示的形状,(九为偶数，并 记 A(m,n)表示第m 行中从左向右第n 个数，那 么 A(1 0,4)的值为02 4 812 18 24 32 405 0-解析：由题意可知，前 9 行共有1+3+1 7=等=81 项，所以A(1 0,4)为数列的第85 项,所以A(1 0,4)的值为q=3 6 1 2.答案：3 6 1 2