2023年高三复习专项练习：第45练　平面向量中的综合问题.pdf

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1、第 45练 平面向量中的综合问题基础对点练考点一平面向量在几何中的应用1.0 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P满 足 舁=豆+2a回、的 AC)2 e（0,4-oo）,则点P 的轨迹一定通过ABC的（）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心答 案 B解析 因为4 里，竿 分 别是向量靠，启 方向上的单位向量，设矗 与 送 方向上的单位向量分AB|Aq别为刃和 e 2,又。一 苏=成，则原式可化为Q=2（ei+e2）,由菱形的基本性质可知A P平分N B 4 C,那么在ABC中，AP平分N B A C,故点P 的轨迹一定通过4B C 的内心.2.（多选）在 R t Z

2、V I B C 中，CO是斜边AB上的高，如图，则下列等式成立的是（）A.AC2=AC-ABB.BC2=BA BCC.|ABp=Ac c bD.的(而 函*廊 南AB2答 案 ABD解析 由n嘉=|而|矗|COSA=|ABHB|,由射影定理可 得 的 2=彳巳初，即选项A 正确；由函.就=1后|反:|cos8=|扇 II由由射影定理可得|的 三 扇.正，即选项B 正确；由A b d b|AC|CD|-cos（7r-ZACD）0,又 而 F 0，即选项 c 错误；由图可知 RtZACZ）sRtZviBC,所以闲 川 的=|0|,由选项A,B可得|2|2=(启丽X曲.陌丽F即选项D正确.3.(2

3、0 2 2 四川双流中学模拟妆口图，在 A B C 中，M 为 BC的中点，若 A B=1,AC=3,Q 与启的夹角为6 0。，则|海|=答 案 手解 析:M为 8c的中点，：.AM=(.AB+AC),；.|函|2=；(矗+宿2I-=(AB2+Aa2+2AB-AC)1 1 3=W(1 +9+2 义 1 X 3 X c o s 6 0。)=不.,.厢|=隼4.(2 0 2 2.潍坊模拟)已知点 4(2,0),8(1,2),C(2,2),AP=AB-AC,。为坐标原点,则所1=,而 与 殖 夹 角 的 取 值 范 围 是.答 案 1 o,I解 析 由题意可得赢一/=%=(-1,0),所以|力|=|

4、嘉一八|=|为|=1.则点P在以4(2,0)为圆心，1 为半径的圆上，如图.由图可知，碇 与 总 夹 角的最小值为0；当直线OP与圆A相切时，称 与 苏 的夹角取到最大值，连接A P,A p 1易得NPOA为锐角且s in NPOA=Q4=5,TT所以/P O A=N，o所以和与近夹角的取值范围是0,I .考 点 二 和 向 量有关的最值（范围）问题5.（2022.佛山模拟）2020年 10月 2 7 日，在距离长江口南支航道0.7海里的风机塔上，东海航海保障中心上海航标处顺利完成临港海上风电场AIS（船舶自动识别系统）基站的新建工作，中国首个海上风机塔A IS基站宣告建成.已知风机的每个转子

5、叶片的长度为2 0 米，每两个叶片之间的夹角相同，风机塔（杆）的长度为60米，叶片随风转动，假设叶片与风机塔在同一平面内，如图所示，则|总+而+诙/|的最小值为（）A.40 B.2丽 C.20Vl0 D.80答 案 A解 析 由题意知，OA+O B+d c=0,即万1 +无=曲,则 昌+拉?+而=痂，则当风叶旋转到最低点时，|的 最小，且最小值为6020=40.6.（2022 铁岭模拟）已知ABC的外接圆的半径等于3,A B=4,则赢流的取值范围是（）A.-4,24 B.-8,20C.-8,12 D.-4,20答 案 D解析 以ABC外接圆的圆心。为坐标原点，过点。且平行于AB的直线为x 轴，

6、建立平面直角坐标系，如图，则 4(2,书)，8(2,小),设 C(3cos 0,3sin 0)9则 寿=(4,0),启=(3cos 9+2,3sin 6+小),则油危=12cos 6+8 右 一4,20.7 .（2 0 2 2 中央民族大学附属中学模拟）已知圆C 的方程为（x 1）2+。-1）2=2,点 P在直线y=x+3上，线段AB为圆C 的直径，则|京+为|的最小值为（）A.芈 B.3 啦 C.4-7 2 D.3答 案 B解析 因为C 为48的中点，所以说+两=2 元，从而匣+成|=|2 的=2|元 1，可知|的 的最小值为点C 到直线y=x+3 的距离，=止 击 义=乎，所以丽+而 I

7、m i n =2 X 岁=3 也.8 .（多选）（2 0 2 2 珠海模拟）在 A B C中，。为 AC 上一点且满足盘）=；比，若P为B D上一点,且 满 足 亦=施+/仄 2,2,为正实数，则下列结论正确的是（）A.的最小值为1 6B .川的最大值为春cJ+上 的最大值为1 6D.：+看的最小值为4答 案 B D解 析：AP=AB+4fiA D,且 P,B,。三点共线，.+4 =1,=；.九 4“W娶方,）=当且仅当2=3，时取等号，的最大值为今；+%=（i+4 ）G+H=2+2+2J=4,当且仅当=（时取等号，：+才的最小值为4.9 .已知向量a=（5 si n。，1）,6=（1,c o

8、 s 0）,则 a 功的最大值为.答 案 2解析 a-Z=V 3 si n 9+c o s e=2 si n（6+W 2,故 a b 的最大值为 2.1 0 .已知四边形 A B C。中，AD/BC,ZBAD=90,A O=1,BC=2,M 是 4 8 边上的动点，则|庆+而|的 最 小 值 为.答 案 3解析 以 BC所在直线为x 轴，BA所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设 A(0,a),M(0,b),且 OW匕 W”，由于 8 c=2,AD=.，C(2,0),D(l,a).则 证=(2,b),施=(1,a-b),：.MC+MD=(3,a-2b).因此|耐+MD=、9+(a2b

9、,.,.当且仅当a=2 8 时，|庆+访|取得最小值3.力提升练1 1.(多选)(2022苏州市实验中学期中)引入平面向量之间的一种新运算 ”如下：对任意的向量 7 =(X1，),=(X2,丫2)，规 定 屐=X 1X 2力 丫2,则对于任意的向量。，b,C,下列说法正确的是()A.ab=baB.(痴)的=2(。幼)C.a(5c)=(ab)cD.。网21aMi答 案 ABD解析 设 a=(x i,y i),b=(X2,/)，c=(x3,)，A 中，因为 ab=xiX2yiy2f ba=xvcy2y.所以龈办=的。，故正确；B中，因为a a)M=(Z r i)X 2(肛|)”=贻 因 一9丁2)

10、=2(。纳)，故正确；C 中,Cbc)=(&X 3-y2y3)。,c=(xxi-yyi)c,此时 a(bc)=(a,c 不恒成立，故错误；D 中，因为(|a|.|0|)2=c/x彳+)+#=+痰)2=底宾+行凫+犹应+息皆,ab2=xUi+ylyl2xX2yyi9 所(ab)2 ab=xyi+xiy+2xX2yy2=(xy2+x2y)2 09 所(a-b)2 a仟 2 0,且网2 0,|a M|2 0,所以|a|步|2|a 例,故正确.12.(2022天津河西区模拟)在梯形 A8CD 中，AB/CD,ND4B=90。，AB=2,C D=A D=,若点M 在线段8。上，则刀玩说的最小值为()3

11、9 3 9A5 B-20*A.*C,-5 D20答 案 B解析建立如图所示的平面直角坐标系,因为 A BC D,ZDAB=90,AB=2,C D=A D=,所以 4(0,0),仇2,0),0(0,1),C(l,l),设 诙=2 而，0 W 2 W 1,所以 M(2 2 2,A),所 以 启=(2 2 2,2),C A/=(1-2 A,2-1),所以C M=(2-2 Z)(1 -2Z)+2(2-1)-5A2-7 2+2=5 -2-,7 ,9当2=1 5时，AMCM取得最小值为一而.1 3.(2 0 2 2 北京市第十二中学月考)在平面直角坐标系中，0为坐标原点，A,B,C三点满足O C=O A(

12、1)求邑9的值；CB(2)已知 A(l,c o s x),B(l+c o sx,c o sx),x e 0,y(x)=O 4O C(z w+l jl A S I.若y(x)的最小值为g(M，求 g(的最大值.i 2解(1)由题意知，A,B,C三点满 足 沅=亦+而，f f 2 f 一可得 O C 0 4=(0 8 0 4),一 f 2 f 2 f f所以 A C=g A 5=g(A C+CB),EP|AC=|CB,f f f I A C l即A C=2 C 3,则|A C|=2|C B|,所以1l=2.CB(2)由题意知，O A=(1,c o sx),O B=(l+c o sx,c o sx)

13、,A B=(c o sx,0),所以历为=(1+*O S K，C O S x),所以函数 J(x)=OA-0C2m+AB=1+c o s x+c o s2x(2ni+c o s x=(c o s x A H)2+1 m2因为 0,5,所以 cosx0,l,若机 1,当c o s x=l时，./(x)取得最小值g(?)=22孙1,m0,综上所述，g(/n)=,1 4.在ABC 中，a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边，且机=(2cos Acos C,1),n=(tan AtanC1,1),mA.n.求 8 的大小；Q)若 b=7,sin A+sin。=耳 乎，求48C 的面积.解 由/I_Ln,则 m n=0,即机 =2cos Acos C(tan/Itan C 1)1=2sin Asin C_2cos Acos C 1=-2cos(A+Q 1 =2cos B-1=0,.cosB=；,又 3(0,7i),.8言ab(2)Vsin A sin C sin B7 14一.2r 小,sin3 .sin A=*。，sin C唔,Vsin A+sin C：平,即害。+害。=13小14，a+c 13.又,.=2+C2 2CCOS B,T T即 72=tz2+c22ccos/.ac=40,S/kABcugacsin 8=gx40X sin=103.