圆锥曲线基础知识手册.pdf

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1、圆锥曲线一、椭圆及其性质第1页 共29页第一定义平面内一动点P与两定点居、B距离之和为常数(大于匹凡|)的点轨迹第二定义平面内一动点到定点与到准线的距离比是常数的点轨迹 孥=季=e焦点焦点在C轴上焦点在u轴上图形!仅111B.2纯/=!：AX F,Oc1 JiF,JA2!*JV：囱 C B，2 X11LBT；W-标准方程%+方=1(。6 0)丁2溟+p =l(a b 0)范围-a c&Q 且 一b&y&bb W n&b 且 一Q&ya顶点A(a,0),A2(a,0)，B(0,-b),B2(0fb)4(0,a),A.2(0,a),Bj(6,0),J32(6,0)轴长长轴长=2a,短轴长=2b,焦

2、距=FlF2=2c，c2=d2 b2焦点月(一c,0)、用(c,0)Fi(0,c)、B(0,c)焦半径PFI=a+ex(),PF2=a-eg|PFj-a-e y0,|P7|-a +eyQ焦点弦左焦点弦|AB|=2a+e(电+电)，右焦点弦|AB|=2a-e(.+x2).离心率e=f=7 -?(oe 1-2e2(4)焦 长 公 式：炉尸J:一坟、居|=a ccosa a+ccosalAol_ 2ab2 _ 2ab2 仪 p1 a2-c2cos2a b2+c2sin2a离心率:黑k2X二、双曲线及其性质第一定义平面内一动点P与两定点耳、尸2距离之差为常数(大于|尸产的点轨迹第二定义平面内一动点到定

3、点与到准线的距离比是常数的点轨迹季=孥=6焦点焦点在轴上焦点在夕轴上图形J虚实轴标准方程g-*=l(a 0,b 0)范围/a或cQ,g 6 Ry a,c R顶点4(a,0)、4 2(a,0)4(0,a)、4(0,a)轴长虚轴长=2 b,实轴长=2Q,焦距=FF2=2 c,c2=d2+b2焦点片(一 c,0)、凡(c,0)片(0,-c)、(0,c)焦半径 PF=a +exQ f PF2=-a +e g左支添“一”离心率e=W =L +%(e l)准线方程劣=土 土cu =土！渐近线y=r-x”b切线方程g y四 _ ia2 b2 一XQX y()y _b2 a2 通径过双曲线焦点且垂直于对称轴的

4、弦长 AB =等(最短焦点弦)焦点三角形(1)由定义可知：|P|-|P H l =2 a(2)焦点直角三角形的个数为八个,顶角为直角与底角为直角各四个：焦点三角形面积：$例%=+t a n?-c-y乙 政,3宓 _ _ _ _ 回 同 _ s i n。_ s i n(a +6)w十 I I P同 _|P同 1 I s i n a -s i n l|s i n a -s i n|*第2页 共29页三、抛物线及其性质第3页 共29页定义平面内与一个定点尸和一条定直线1的距离相等的点的轨迹称为抛物线.方程y2=2px(p0)y2=2px(p0)x2=2py(p0)x1 2pg(p0)图形JLV%?2

5、-T-T J*顶点(0,0)对称轴C轴9轴焦点F管,。）F(-i 0)尸（。用P(0,+)准线方程，=一 当，二 号9=+T离心率e=l范围/0c 4 09 0g切线方程yoy=p(x+xo)yoy=-p(.x+xo)XoX=pQ+7/0)xox=-p(y+y0)通径过抛物线焦点且垂直于对称轴的弦|4 3|=2 M最短焦点弦）焦点弦48为过靖=2RT(P 0)焦点的弦，力31，%)、氏力2演)，倾斜角为Q.则：|力闭=+号|B F|=x2+y A B|=X i +x2+p,/P 2 2(2)仔2=丁 功=-p(3)|1 F|P BF-7,p1 c o s。1 +c o s a FA FB 卜(

6、4)|A B|.S OB i r?-s m a 2 s i n aA B 为过 c 2=2 p g(p 0)焦点的弦，A(孙 功)、B d y J,河=1-G 画=1+黑四f s“=号s i n a0l倾斜）制为a.则：yIIKF娟=2 p M p 0)yo2=2?x r(p 0)X四、圆锥曲线的通法Q 点差法与通法1、圆锥曲线综述：联立方程设交点,韦达定理求弦长;变量范围判别式，曲线定义不能忘；弦斜中点点差法，设而不求计算畅:向量参数恰当用，数形结合记心间.2、直线与圆锥曲线的位置关系(1)宣线的设法：若题目明确涉及斜率，则设直线：y=f a r +b,需考虑直线斜率是否存在,分类讨论；若题

7、目没有涉及斜率或直线过(a,0)则设直线：z=7ny+a,可避免对斜率进行讨论2)研究通法:联立W：ax2+bx +c =0W，y)=0到别式:A -b2 4ac,韦达定理：g +=A,7 2=套3)次长公式：AB =J(-O；2)2+(%仇)2=+火山-铀|=1(1+h2)31+?)2 =J 1 +吉(%+与 产 一 4yl y213、硬解定理设直线g=/K i:+9与曲线 +,=1相交于4 7 1，%)、B(如 例)/I C T -G，可得：(九 +?71%2)+2k 07712+?72(02 m)=0nx +m y-=m n判另I 式：=4m n(n+mf c2 b 0)中，有/CATN

8、*=-/；在双曲线当 告=l(a 6 0)中,有k N,%=%;ar bz 工。ar在抛物线y2=2p x(p 0)中，有kM N,班=p.()设M、N 两两点的坐标分别为(如功)、(如功)，第4 页 共 29 页十则 有 I对 IS+一 ，得 至 卓+七 驾=。C L 0.二 一%.例+幼 _ _出 X2-Xx X2+Xj-a2v .L _ yy、3 _ 2y _ y.y _-_ _X.HMN-,+-2 x x,MN x a2-11X=-量62M/F/O -F.J x置律曲线的参数方程1、参数方程的概念在平面直角坐标系中，曲线上任意一点的坐标土都是某个变数t 的函数x=f(t).y=g(t)

9、并且对于t 的每一个允许值，由 这 个 方 程 所 确 定 的 点 都 在 这 条 曲 线 上,该 方 程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y 的变数t 叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.派2、直线的参数方程 过定点P（g,他）、倾斜角为a（a*爰）的直线的参数方程（2）参数t 的几何意义：=。+忙。$&（为参数）y=yQ+tsm a参数土表示直线，上以定点地为起点，任意一点M（z,妨为终点的有向线段的长度再加上表示方向的正负号，也即|西 必|=用，表示直线上任一点M 到定点Mn的距离.当点M 在跖上方时，t 0；当点加在M。下方时，tV

10、O；当点”与他重合时，t=0；直线方程与参数方程互化：夕%=tanaQ -与）o,=+tcosa(t 为参数)y=yo+tsma直线参数方程:x=x0+at、，人“、,（t 为参数）,9=为+机当a?+=1时,参数方程为标准型参数方程,参数的几何意义才是代表距离.当a2+w i时，将参数方程化为 3、圆的参数方程X=X o-h:若tV 然后在进行计算.=仇+下 才x=a-rcosO.s.公 文 心、八，.A (6为参数);n=b+rsina(1)圆心(a,b),半径r 的圆(x a)24-(y b)?=r?参数方程参数方程为:x=rcosd,日心 是第5 页 共 29页可得圆方程：Q-a2+(

11、y b)2 =r2 4、椭圆的参数方程 椭 圆 岑+9 =l(a b 0)的 参 数 方 程 为：c s?g 为参数).a(g=bsin b 0)的参数方程为ebCSP(b 0)的 参 数 方 程=为参数)；sec=一a b lg=btan0 cos双 曲 线%番=l(a b 0)的参数方程，一儿tm 为参数)；cscp=a b 夕=acsc(p sm。(2)介数0的几何章义:参数。表示双曲线上某一点的离心角.派6、抛物线的参数方程(1)抛物线娟=2px参数方程r =2区，。为参数，力=-1-):y=2pt tana(2)参数t的几何恚义:抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.t=

12、4KO PQ仿射变模与齐次式1、仿射变换:在几何中，一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间.派2、椭圆的变换：椭圆62X2+a 2 g 2 =a 2 b 2变换内容(x,=x储=却 _x=xy=苑 z =知：1=若。、y=y y=yr圆方程x2+y2=d2x2+y2=b2图示aC科-4I (J X-A点坐标统)T 4(如 京 b)A(xa,yn)A(-xn,yn)斜率变化kf=卡k,由于瓦vc kbc=_ 1.fAC*kBC 壬kAG =kr=卡k，由于 kAc -*c=1.AC*ksc=比 va，CLB，C，二一曾弦长变化则 AB=Nl+短|干x2|n AB9=V1

13、 4-k,2xx T2|=J l +借 浓|电 _的|第6 页 共 29页面积变化S4ABe=EC，(水平宽不变，铅锤高缩小)SAABC=黄必 畛(水平宽扩大，铅垂高不变)3、中点弦问题，Wb的B=4,中 垂 线 问 题 替=耳，且 加.=与 故=一 曾，(Ig MP(I C L 0拓展1:椭圆内接HBC中,若原点O 为重心,则仿射后一定得到OB，。为 120的等腰三角形；4 9。为等边三角形；拓展2:楠圆内接平行四边形OAPB(力、P、B)在椭圆上,则仿射后一定得菱形OA P B，4、面积问题：若以椭圆考 +4=1 对称中心引出两条直线交椭圆于4 3 两点，且 r 4 汨=一彩a b-ar则

14、经过仿射变换后kO A-生星=一 1，所以SfO B为定值.(2)若椭圆方程亳+号=1 上三点A,B,Af,满 足:心 k oB=-7 S4AoB=OM sintzOA+c os aO B ot (,)，三者等价派5、平移构造齐次式：(圆锥曲线斜率和与积的问题)(1)题谈:过圆锥曲线上的一个定点P 作两条直线与圆锥曲线交于4、3,在直线P 4和P B 斜率之和或者斜率之积为定值的情况下,直线4 B 过定点或者AB定斜率的问题.步*将公共点:平移到坐标原点(点平移:左加右减上减下加)找出平移单位长.由中的平移单位长得出平移后的圆锥曲线C,所 有 直 线 方 程 统 一 写 为=1将圆锥曲线。展开

15、，在一次项中乘以小7+九 y=1,构造出齐次式.在齐次式中，同时除以炉,构建斜率去的一元二次方程，由韦达定理可得斜率之积(和).0圄律曲线考点归类(一)条件方法梳理1、椭圆的角平分线定理(1)若点4B 是 椭 圆 营+，=1(&6 0)上的点，人 3 与椭圆长轴交点为川 在长轴上一定存在一个点M,当仅当则/工N=&2时，乙4M N=/BM/V,即长轴为角平分线；(2)若点A、B 是椭圆手 +，=1(4 6 0)上的点，A B与椭圆短轴交点为N,在短轴上一定存在一个点M,当 仅 当 则 犷&=时，/4W N=N B M V,即短轴为角平分线；派2、关于角平分线的结论：若直线A O的斜率为e,直线

16、CO的斜率为M E O 平分A A O C则有：k +k2 t ana+t an(n a)=0角平分线的一些等价代换条件:作/轴的对称点、点到两边的距离相等.3、四种常用直线系方程第 7 页 共 29页(1)定点直线系方程：经过定点区(而,仇)的直线系方程为y-n产M x-g)(除直线/=铀)，其中k 是待定的系数;经过定点国附加的直线系方程为A(x -g)+%)=0,其中4 8是待定的系数.(2)共点直线系方程：经 过 两 直 线 小AR+B出+G=0 2：4 7+3%+。2=0 的交点的直线系方程为+Biy+G)+A(A2X+B2y+Q)=0(除。)，其中 4 是待定的系数.平行直线系方程

17、:直线夕=k z +b 中当斜率k 一定而b变动时，表示平行直线系方程.与直线Ax +By+。=0 平行的直线系方程是人，+国+4=0(/1 0 0)是参变量.(4)垂直直线系方程:与直线A r +B y +C=0(A r 0,B片0)垂直的直线系方程是B x-A y +A=0,A是参变量.4、圆系方程(1)过直线/：力工+向/+。=0 与圆。:一+娟+D r +坳+F0的交点的圆系方程是x2+y2+D x +Ey+R +4 A r +3 u +C)=0 是待定的系数.(2)过圆G：d+炉+D ix +Ey+R=0 与圆C?:+靖+D2x +E.2y+=0的交点的圆系方程是d+炉+Dl X+E

18、ly+Fl+A(x2+y2+D2x +E2y+B)=(M 是待定的系数.(二)圆锥曲线过定点问题1、直线过定点的背景：(1)直线过定点模型：AB是圆锥曲线上的两动点，M是一定点，其中a,分别为M 4,MB的倾斜角，则：、加 诟 为定值o 直线4 3恒过定点；、kM A以出为定值=直线A B恒过定点；、a+6 =8(0 8 0)上的两动点,a,8分别为OA QB的倾斜角,则：O A OB kOA-kOB=-1 o l a -0 1 =号=直线 AB恒过定点(2 p,0).(3)椭圆中直线过定点模型：4 B是 椭 圆 受+$=l(a b 0)上异于右顶点D的两动点，其 中 分 别为。4 D3的倾斜

19、角，则可以得到下面几个充要的结论：2D A D Bok D A.k D B=T。l a -6 1 =等 o 直线AB恒过 定 点(令 江,0)2、定点的求解方法：含参形式简单的直线方程,通过将直线化为y y产k(x -x)可求得定点坐标(3,涣)含参形式复杂的通过变换主元法求解定点坐标.交操主元法:将直线化为无(应妨+43，访=0,解方程组：乃了?二 :可得定点坐标.U(r c,y)=0eg:直线方程：(2m +1)x+(m 5)y +6 =0,将 m看作主元，按照降塞排列：(2工+沙)m+x 5 y +6 =0,解方程组：解得：b 0)的两个顶点为A1(-a,0),A2(a,0),与y轴平行

20、的直线交椭圆于g.E时A P与4R交点的轨迹方程是岑告=1.a bX_ _Z、2 21 0 .若点入(3,他)在椭圆3+方=l(a b 0)上,则在点气处 的 切 线 方 程 是 等+喘=1.X._,/11 1 .若 入(判,物)在椭圆/+=1 外，则过P。作椭圆的两条切线切点为必、鼻,则切点弦P R的直线方程 是 笔+普=1.ar bzK _.1 2 .是椭圆/+4=1 的不平行于对称轴的弦，M 为 A B的中点,则自加和B=ar b-aX,_1 3 .若居3,仅)在 椭 圆/+=1 内，则被PO所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是 等+耦=苧+等.,/1 4.若8(3,物)在椭圆+哲

21、=1 内，则过PO的弦中点的轨迹方程是+若=义挈+普.a b*a V a b-X._.Z-,1 5.若PQ是椭圆5+1 =l(a b 0)上对中心张直角的弦，则 去+十=3 +*(n=|O P|,r 2 =I O Q I).X_ _(-;-1 6.若 椭 圆 与+4=l(a b 0)上中心张直角的弦L所在直线方程为Ax +By=1(力 B W 0),则(1)4+a baX y l2+B2-(i L 2 Ja%2 +贷b，2-A +J3,(2)L-Q?4+biB2-第1 0 页 共 2 9 页/X9/一1 7.给定椭圆 Cx：b2x2+a2y2=a2b a 6 0),C2：b 2x2+d2y2=

22、(3*曲),5 1 0 对 G 上任意给定的点P(g,仇)，它的任一直角弦必须经过G 上一定点河(0 篝 g,一方/为).匕 对 G 上任一点P闺，端)在G 上 存 在 唯 一 的 点 使 得 W的任一直角弦都经过P点.1 4 0,0)上一点，。岛 为 曲 线。的 动 弦,且 弦 吗 小后 斜率存在，记为防后,则直线P 岛通过定点M(M,m涣)(m W 1)的充要条件是自居=一 栏 霍 4-_/A ZxiW 1 9.过椭圆 +$=l(a 0,6 0)上任一点A(g,2)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于3,。两S 点，则直线B C有定向且他=孕(常数).4Q级)Q b 0)的左右焦点分别为BB

23、，点 P为椭圆上任意一点 FPF.2=y,则椭圆的匕 焦点三角形的面积为SwL/ta n*,P(fA/c2-62t an2-y t an-).r=_ J z、乜 2 1.若P为椭圆，+=l(Q b O)上异于长轴端点的任一点,F L 是焦点,N P F 以=a,/P E E =,乜q 则-与 *=t an#t an-y.a+c 2 2、_yzxf 2 2.椭圆号+菅 =l(a b 0)的焦半径公式：|MF J =a+ex0,|MF,|=a-eg 出(c,0),F,(c,O),M(xt tr ，明).二 l/-X 1 2 3.若椭圆。+%=1(。&)的 左、右焦点分别为”、4，左准线为乙，则当弓

24、 V 2-l e 6 0)上任一点，/，玛为二焦点，人为椭圆内一定点，则 2 a-|4 码 L 少a b|之|P*+|P R|&2 a+|月园，当且仅当A,月,P三点共线时,，等号成立.、_y口(卜 分 2 5.椭圆考C L +羔=l(a b 0)上存在两点关于直线l：y=k(x-窃)对称的充要条件是就V(匕 芸00 O KL o x_/I*2 6.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切S 线垂直.L o V_/I2 2 7.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直._ z5(2 8 .P是椭圆X=：

25、c os？3 b 0)上一点，则点P对椭圆两焦点张直角的充要条件是e2=,1 2 jl.Q y=bs in(l)l+s m。0-，岂-：-：-12 9 .设 4,B 为椭圆 +=楙 0#1)上两点，其 直 线 与 椭 圆 5+g=1 相交于P，Q,则 A Pl.o=B Q.第 11页 共 2 9 页3 0.在椭圆与+若=1 中，定 长 为 2 7 n (o V m W a)的 弦 中 点 轨 迹 方 程 为 i =(JL O 1(3+土)(a2 c os 2 a+f e2s i n2a)，其中 t an a=-*,当 y=0 时,a=9 0.3 1.设S 为 椭 圆 +=1(匕 0)的通径,定

26、长线段乙的两端点力,3在椭圆上移动，记|4用=%,河(g,班)是A 3中点，则当，(D S时.，有(死)皿咏=今 一 去(c?=a?-,e =()；当 Z V(I)S时，有(刈)=磅，4 b 2-P,(例 濡=0.X _，/*3 2 .椭圆(+q=1与直线Ax +By+C O有公共点的充要条件是A2a2+W C2.a b,z、3 3 .椭 圆 也 咨 +叫 抖 匚=1 与直线人,+为+。=0 有公共点的充要条件是A2a2+132bz 及(Ac。+By+C)2._,/-3 4 .设椭圆考 +哲=l(a b 0)的两个焦点为Fx、尸 2,P (异于长轴端点)为椭圆上任意一点，在 P R Ha u中

27、，记 AFXPF2=a,/PE K=B/FM P=7，则 有 慧=5=e.3 5.经过椭圆d+&2 靖=0 2 3&0)的长轴的两端点4 和 4 的切线,与椭圆上任一点的切线相交于R 和马，则出4 卜因4|=比3 6.已知椭圆 +/=l(ab 0),O 为坐标原点，P、Q 为椭圆上两动点，且 O PL O Q.1=工 +工 )O P2 O Q 2 a?十/(2)|OP|2+IOQE的最小值为普容;(3)SAPQ的 最 小 值 是 哥 y.3 7.M N是经过椭圆b2x2+a2y2=a262(a b 0)焦点的任一弦，若A B是经过椭圆中心O 且平行于M N的弦，则 AB2=2a MN.3 8.

28、M N是经过椭圆b2x2+a2y2=a2b,2(a 6 0)焦点的任一弦，若过椭圆中心O 的半弦OP 工M N,则2 ,1=J_,J_a MN O P/一 标十 b2 -_(,3 9.设椭圆 +，=l(a b 0),M(m,o)或(o,m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过 M 引一条直线与椭圆相交于P、Q 两点，则直线A P、40(4,4为对称轴上的两顶点)的交点N在直线l：x =-(或 片 舄 上.4 0.设过椭圆焦点R 作直线与椭圆相交P、Q 两点，人为椭圆长轴上一个顶点，连结4P和 4Q 分别交相应于焦点P的椭圆准线于“、N两点,则MF NF.第12 页 共 2 9 页4 1.过椭

29、圆一个焦点尸的直线与椭圆交于两点P、Q,4、4 为椭圆长轴上的顶点，4P和 4Q 交于点M,A2P和A.Q交于点N,则M F NF.4 2 .设 椭 圆 方 程 号+等 =1,则斜率为k(k+0)的平行弦的中点必在直线l；y=k x的共输直线y=k x上,而 且 就=/.4 3 .设A、B、C、O 为椭圆。+r=1 上四点，人 以 所 在 直 线 的 倾 斜 角 分 别 为 巴 氏 直 线.与 相交于P,且P不在椭圆上，则 隅溪b%o邵+匐 阵6 2 c os%+a2s i n2a2 24 4.已知椭圆方+方=l(ab 0),点尸为其上一点，此为椭圆的焦点，/R PE 的外(内)角平分线为Z,

30、作口|、鼻 分 别 垂 直，于 R、S,当 P 跑 遍 整 个 椭 圆 时，R、S 形 成 的 轨 迹 方 程 是 一+/=-2 L2 a V+b2x(r r c)2 n a y +b2(x +c)2)-X._ _4 5 .设 ABC 内接于椭圆 且 A B 为I、的直径，为A B 的共较直径所在的直线，Z分别交直线A。、B C于E 和F,又。为，上一点，则 CD与椭圆相切的充要条件是。为E 尸的中点.46.过椭圆考 +q=l(a b 0)的右焦点R作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦 的 垂 直 平 分 线 交C L 0Z 轴于P，则粽=*X._Z47.设 A(如功)是椭圆金+=l(a b 0

31、)上任一点，过 力作一条斜率为一强的直线心,又设d是原a b ar y点到直线L的距离,71,9分别是A到椭圆两焦点的距离，则J 而 d=ab.X；_ -_ ._/、48 .已知椭圆-y y +7=1(。b 0)和V V 1)，一直线顺次与它们相交于A、B、。、75四点，则 I Z B I =|C D|._Z49 .已知椭圆。+/=l(a b 0),A、B、是椭圆上的两点,线段力B的垂直平分线与土轴相交于点P(g,0),则一萨 b 0)上异于长轴端点的任一点,田、月为其焦点记/E PE=。，则囱=瞪需 SA尸产 尼=/ta n冬X,_51.设过椭圆的长轴上一点3(馆,。)作直线与椭圆相交于P、

32、。两点，A为椭圆长轴的左顶点，连结力 P和A Q分别交相应于过8点 的 直 线：2=于M,N两点，则9 0。=密 噌.。十 7n b(n+a)第 13页 共 29 页52.L是经过椭圆累+方=l(a b 0)长轴顶点A且与长轴垂直的直线，E、F是椭圆两个焦点，e 是离心率，点P C L,若则a 是锐角且输出忘6 或&b 0)的准线，A、B是椭圆的长轴两顶点，点P E L,e是离心率,4 E P F =a,H 是乙与X轴的交点c 是半焦距，则a是锐角且s i na&e或 a W a r cs i ne(当 且 仅 当|?*=普 时 取 等号)X _C,54.L是椭圆手 +卓=l(a b 0)的准

33、线，E、F是两个焦点，H 是乙与c 轴的交点，点P G L,N E P F =a,离心率为e，半焦距为c,则a为锐角且s i na e?或 a V a r cs i ne?(当且仅当 PH =衣不 时取等号).k _,Z-55.己 知 椭 圆/=l(a b 0),直线L通过其右焦点且与椭圆相交于4、B两点，将 4、B与椭圆左焦点片连结起来，则 因 川因8 4 色 萨 广(当 且 仅 当 AB，/轴时右边不等式取等号，当且仅当4、同、B三点共线时左边不等式取等号).X._ _/56.设 A、B是椭圆+g=l(a b 0)的长轴两端点，P是椭圆上的一点，A B=a,ZPI 3A=凡N B P A=

34、y,c、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有 门 川=坐 吗.a c c os a(2)ta nta ny?=1 e2.SAR4B=-2 c ot/.,_,Z57.设A、B是椭圆 +/=l(a b 0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点)、外部的两点，旦 xA 磔的横坐标4。电 3=&2,(1)若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则A P B A=NQBA；(2)若过B引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则/凡43+/.Q AB=18 0.X,_ _ _ _ _，58 .设A、3 是 椭 圆 岑+1=l(a b 0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点)，外部的两点，a b(1)若过4 点引直线与这椭圆相

35、交于P、Q两点，(若BP交椭圆于两点，则P、Q不关于z轴对称)，且N P B A =N Q B A,则点4、B的横坐标打、物满足xA-xB=a2；(2)若过B点引直线与这椭圆相交于P、。两点，且Z P A B+18 0,则点A、B的横坐标满足力xB a2._./-59 .设A,4 是椭圆。+=1 的长轴的两个端点，Q Q 是与44垂直的弦,则直线A Q与A Q 的交点P的轨迹是双曲线 一行=1.X_-60.过椭圆，+/=l(a b 0)的左焦点F作互相垂直的两条弦AB.CD则 誉 菅 b 0)两焦点的距离之比等于旦萨(c 为半焦距)的动点M 的轨迹是姊妹圆(x a)2+y2 b2.2 26 2

36、 .到 椭 圆 会+告=l(a 6 0)的长轴两端点的距离之比等于乌产(c 为半焦距)的动点M 的轨迹是姊妹圆(x +-)2+y2=(普广6 3 .到椭圆。%=l(a b 0)的两准线和z 轴的交点的距离之比为乌萨(c 为半焦距)的动点的轨迹是姊妹圆(x /丫 +峭=(卷)%为离心率).6 4 .已知P是椭圆聿 +弥=l(a b 0)上一个动点，A,A是它长轴的两个端点，且A Q AP,A Q 4P,则 Q点的轨迹方程是5+黑=L 6 5.椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.6 6 .设 椭 圆 写+=l(a b 0)长轴的端点为A,A,P

37、，仇)是椭圆上的点过P作 斜 率 为 的 直a b a yi线 Z,过力,A分别作垂直于长轴的直线交I于M,，则(1)AM A M =b2.四 边 形 M 4A”面积的最小值是2ab.6 7.已知椭圆手+4=1(6 0)的右准线，与立轴相交于点石,过椭圆右焦点少的直线与椭圆相交于4、B两点，点。在右准线，上,且3C z 轴,则直线AC 经过线段ER 的中点._ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

38、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _6 8.0 4 O B是 椭 圆3一 严+=i(a o,6 0)的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则 直 线A BQ T bl必 经 过 一 个 定 点(聋，,0).(2)以。只、O B为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是卜渭 今 丫+婿=(聋/(“0).6 9.P(m,n)是椭圆(工研+=l(a b 0)上一个定点,P A、P B是互相垂直的弦，则 直 线A B必a o经过一个定点以PA、PB为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是ab2+a2m2.

39、(b2n 2_a2 64+n2(a2-d2)(a2+b2)2(x m S.yn).70.如果一个椭圆短半轴长为b,焦点片、好到直线乙的距离分别为4、心，那么 娘 2=且 K、同在E同侧o直线E和椭圆相切.d&，且 、用在上同侧o 直线刀和椭圆相离，(3)d&V/,或回、F?在L异侧o 直线L和椭圆相交.7 L4B是椭圆，+/=1(0 6。)的长轴,是椭圆上的动点,过 的切线与过.、口的切线交于0、第15页 共 29页。两点,则梯形ABDC 的对角线的交点M 的轨迹方程是多 +笔=1（沙 4 0）.72 .设点P（g,训）为 椭 圆 耳+烝=l（a 6 0）的内部一定点，A B是 椭 圆 与+告

40、=1过定点P（g,仇）C L O C L 0的任一弦，当弦AB平行（或重合）于椭圆长轴所在直线时（|P A|P B|）m a x=受二嗜31.当弦A B垂直于长轴所在直线时,（IP A I|P B|）m h.涉二（噂 士 幽）.73 .椭圆焦三角形中，以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切.X_/74 .椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点._ 7 75.椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a +c 与 a -c.k _ y76 .椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.i 一一-.-i _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

41、 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _/77.椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e （离心率）.（注：在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）X,_ _ _ 778.椭圆焦三角形中，内

42、心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.X_/79.椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.X._ 780.椭圆焦三角形中，椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例._ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _81.

43、椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.82.椭圆焦三角形中，过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行._ 7.椭圆焦三角形中，过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线，则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长._/84.椭圆焦三角形中，过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.X._y 8 5.椭圆焦三角形中，非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.8 6.椭圆焦三角形中，非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线.

44、X._ _ 8 7.椭圆焦三角形中，非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.X._,8 8 .椭圆焦三角形中，过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交，则以两交点为直径的圆必过两焦点.X._,/-8 9 .已知椭圆手+后=l（a 0,9 0）（包括圆在内）上有一点P,过点P分别作直线y=xRy=-x第1 6 页 共 29 页/匕 的平行线，与多轴于N,与 y 轴交于为原点，则：|OM 2+Q N =2a 2；QQ+QR|2=匕 2b2.0,6 0).若|OQ|2+|OA =2巴 则P的g 轨迹方程是，+称 =l(a 0,b 0).H k_ _ _ _ 刀 /上 91.点P 为 椭 圆 率+%

45、=1(&0,6 0)(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点,过。引2 轴、9 轴的平行线，交 v 轴、z 轴于M,N,交直线y=一小工于Q,R,记A OM Q与/O NR的面积为SS2,则：S+S?=3 abg 万L-9 x._ y9 zx片 92.点P 为第一象限内一点，过 P 引2 轴、9 轴的平行线，交沙轴、加轴于M,N,交直线y=与工于Q,R,C L日 记 OMQ与ON7?的面积为Si,S2,己知$1+$2=噜，则P 的 轨 迹 方 程 是 +4 =l(a 0,b 0).A/Q 0 x_ _ _/-B 93.过椭圆焦点垂直于长轴的弦(通径)是最短的弦,长为等，过焦点最长弦为长轴._ _

46、 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _./，I 94.过原点最长弦为长轴长2a,最短弦为短轴长2b.6 0)有共焦点的椭圆方程为痣1 +簿 彳=1(1 6 0,/1 /).E x_ 7G r-Aj-o 96.与椭圆系+亨=1(&9 0)有共焦点的椭圆方程为詈1+

47、侪1 =1(&5 0 ).L b 0)中：乜 当为=2 时，即点P 为短轴端点时，6 最大；!oA=行+符-4 c 2=包+)2 2 402=4 _ 1 =空_ 1卜 27 2m -2rj -ryr2f i 2/1 _ 2-2 _F 一(中厂&当且仅当r】=冷时，等号成立.g S=+|P|P 月|sin0=c|%|当屣|=b,即点P 为短轴端点时，S取得最大值，成 最大值为儿；P Q B的周长为2(a +c).广 少 、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

48、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _/p z b 0)的左右焦点分别为E、F2.椭圆在点P 处的切线为/,Q Z.且满第 17页 共 29页足/AQF=4 0 V J V 爰），则点Q 在以C（0,土 ccotO）为圆心，端瓦为半径的圆上.第 18页 共 29页/X六、双曲线的二级结论l .|P|-|P|=2aX._ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _c 2.标准方程点号 14.点尸

49、处的切线P T平分在点。处的内角.K,_.5 .P T平分 P EB在点P处的内角，则焦点在直线P T上的射影H点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点.X,_ _6 .以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.K_ _7 .以焦点半径P F为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.K_.z-8.设P为双曲线上一点，则P F 1尸2的内切圆必切于与P在同侧的顶点.V._ _Z-9.双曲线5 一 =1 3 0,6 0)的两个顶点为力1(Q,o),A,(a,0),与y轴平行的直线交双曲线于E.P?时A R与AP2交点的轨迹方程是彳+4=1.a b_；_ _Z1 0 .若点冗(小仇)在双曲线与一鸟=l

50、(a 0,6 0)上,则在点 入 处 的 切 线 方 程 是 否 一 喀=1.a b ar bX._ _./1 1 .若 冗(割，仇)在双曲线营一条=l(a 0,b 0)外，则过居作双曲线的两条切线切点为R、R，则切点弦P R的 直 线 方 程 是 否 一 噌 =1.Q T bZ_/,1 2.若A B是双曲线 一/=l(a 0,6 0)的不平行于对称轴且过原点的弦，”为A B的中点，则殳小a bAB=z _1 3.若总(如班)在双曲线写一圣=l(a 0,b 0)内，则被R所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是 否 一 曙=当U U C v U(X_yS_b2,X._.Z2 22 21 4.